黑龙江省哈尔滨市2019-2020学年中考数学四模试卷含解析

黑龙江省哈尔滨市2019-2020学年中考数学四模试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x ，则所列方程正确的为（ ）
A ．1000（1+x ）2＝1000+440
B ．1000（1+x ）2＝440
C ．440（1+x ）2＝1000
D ．1000（1+2x ）＝1000+440
2．下列说法正确的是（ ）
A ．某工厂质检员检测某批灯泡的使用寿命采用普查法
B ．已知一组数据1，a ，4，4，9，它的平均数是4，则这组数据的方差是7.6
C ．12名同学中有两人的出生月份相同是必然事件
D ．在“等边三角形、正方形、等腰梯形、矩形、正六边形、正五边形”中，任取其中一个图形，恰好既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是
1
3
3．某圆锥的主视图是一个边长为3cm 的等边三角形，那么这个圆锥的侧面积是（ ） A ．4.5πcm 2
B ．3cm 2
C ．4πcm 2
D ．3πcm 2
4．已知圆内接正三角形的面积为33，则边心距是（ ） A ．2
B ．1
C ．3
D ．
32
5．已知方程2520x x -+=的两个解分别为1x 、2x ，则1212x x x x +-的值为（） A ．7-
B ．3-
C ．7
D ．3
6．实数a b 、在数轴上的点的位置如图所示,则下列不等关系正确的是( )
A ．a+b>0
B ．a-b<0
C ．
a b
<0 D ．2a >2b
7．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm （1μm=0.000001m ）的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它们含有大量的有毒、有害物质，对人体健康和大气环境质量有很大危害．2.5μm 用科学记数法可表示为（ ） A ．52.510m -⨯ B ．70.2510m -⨯
C ．62.510m -⨯
D ．52510m -⨯
8．已知A （
，1y ），B （2，2y ）两点在双曲线32m
y x +=
上，且12y y >，则m 的取 值范围是（ ） A ．m 0>
B ．m 0<
C ．3m 2
>-
D ．3m 2
<-
9．2014 年底，国务院召开了全国青少年校园足球工作会议，明确由教育部正式牵头负 责校园足球工
作．2018 年2 月 1 日，教育部第三场新春系列发布会上，王登峰司长总结前三年的工作时提到：校园足球场地，目前全国校园里面有 5 万多块，到2020 年要达到85000 块．其中85000 用科学记数法可表示为（）
A．0.85 ⨯ 105B．8.5 ⨯ 104C．85 ⨯ 10-3D．8.5 ⨯ 10-4
10．如图，A、B为⊙O上两点，D为弧AB的中点，C在弧AD上，且∠ACB=120°，DE⊥BC于E，若
AC=DE
，则BE
CE
的值为（）
A．3 B3C 33
+
D31
11．化简：
x
x y
-
-
y
x y
+
，结果正确的是（）
A．1 B．
22
22
x y
x y
+
-
C．
x y
x y
-
+
D．22
x y+
12．《九章算术》中有这样一个问题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十
．问甲、乙持钱各几何？”题意为：今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则
甲的钱数为50；而甲把其2
3
的钱给乙，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为x，
乙的钱数为y，则列方程组为（）
A．
1
50
2
2
50
3
x y
y x
⎧
+=
⎪⎪
⎨
⎪+=
⎪⎩
B．
1
50
2
2
50
3
y y
x x
⎧
+=
⎪⎪
⎨
⎪+=
⎪⎩
C．
1
50
2
2
50
3
x y
y x
⎧
-=
⎪⎪
⎨
⎪-=
⎪⎩
D．
1
50
2
2
50
3
y y
x x
⎧
-=
⎪⎪
⎨
⎪-=
⎪⎩
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．分解因式：a3b+2a2b2+ab3＝_____．
14．如图，在△ABC中，BC=8，高AD=6，矩形EFGH的一边EF在边BC上，其余两个顶点G、H 分别在边AC、AB上，则矩形EFGH的面积最大值为_____．
15．我国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，“一带一路”地区覆盖总人口约为4400000000人，将数据4400000000用科学记数法表示为______．
16．关于x 的一元二次方程x 2+（2k+1）x+k 2+1=0有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是_____．
17．化简：2222-2-2+1-121
x x x
x x x x -÷
-+=_____. 18．如图，已知正六边形ABCDEF 的外接圆半径为2cm ，则正六边形的边心距是__________cm ．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）如图，益阳市梓山湖中有一孤立小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB ，现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PD ，小张在小道上测得如下数据：AB=80.0米，∠PAB=38.1°，∠PBA=26.1．请帮助小张求出小桥PD 的长并确定小桥在小道上的位置．（以A ，B 为参照点，结果精确到0.1米） （参考数据：sin38.1°
=0.62，cos38.1°=0.78，tan38.1°=0.80，sin26.1°=0.41，cos26.1°=0.89，tan26.1°=0.10）
20．（6分）计算：101
()2sin601tan60(2019)2
π--+-+-o o ； 解方程：24(3)9x x x +=-
21．（6分）问题探究
（1）如图①，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，如果BC 边上存在点P ，使△APD 为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形△APD ，并求出此时BP 的长；
（2）如图②，在△ABC 中，∠ABC=60°，BC=12，AD 是BC 边上的高，E 、F 分别为边AB 、AC 的中点，当AD=6时，BC 边上存在一点Q ，使∠EQF=90°，求此时BQ 的长； 问题解决
（3）有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE ，山庄保卫人员想在线段CD 上选一点M 安装监控装置，用来监视边AB ，现只要使∠AMB 大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳，已知
∠A=∠E=∠D=90°，AB=270m ，AE=400m ，ED=285m ，CD=340m ，问在线段CD 上是否存在点M ，使∠AMB=60°？若存在，请求出符合条件的DM 的长，若不存在，请说明理由．
22．（8分）小晗家客厅装有一种三位单极开关，分别控制着A(楼梯)、B(客厅)、C(走廊)三盏电灯，在正常情况下，小晗按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，既可三盏、两盏齐开，也可分别单盏开．因刚搬进新房不久，不熟悉情况．若小晗任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是多少？若任意按下一个开关后，再按下另两个开关中的一个，则正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明．
23．（8分）已知：正方形ABCD 绕点A 顺时针旋转至正方形AEFG ，连接CE DF 、.如图，求证：CE DF ；如图，延长CB 交EF 于M ，延长FG 交CD 于N ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出如图中的四个角，使写出的每一个角的大小都等于旋转角.
24．（10分）如图，已知A ，B 两点在数轴上，点A 表示的数为-10，OB=3OA ，点M 以每秒3个单位长度的速度从点A 向右运动．点N 以每秒2个单位长度的速度从点O 向右运动（点M 、点N 同时出发）数轴上点B 对应的数是______．经过几秒，点M 、点N 分别到原点O 的距离相等？
25．（10分） 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣12
x 2
+bx+c （a≠0）与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴直线x ＝3
2
交x 轴于点D ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E 是线段BC 上的一个动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，交x 轴于点G ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时E 点的坐标；
（3）在（2）的条件下，将线段FG绕点G顺时针旋转一个角α（0°＜α＜90°），在旋转过程中，设线段FG与抛物线交于点N，在线段GB上是否存在点P，使得以P、N、G为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
26．（12分）为支持农村经济建设，某玉米种子公司对某种种子的销售价格规定如下：每千克的价格为a 元，如果一次购买2千克以上的种子，超过2千克部分的种子价格打8折，某农户对购买量和付款金额这两个变量的对应关系用列表做了分析，并绘制出了函数图象，如图所示，其中函数图象中A点的左边为（2,10），请你结合表格和图象，回答问题：
购买量x（千克） 1 1.5 2 2.5 3
付款金额y（元） a 7.5 10 12 b
（1）由表格得：a= ；b= ；
（2）求y关于x的函数解析式；
（3）已知甲农户将8元钱全部用于购买该玉米种子，乙农户购买4千克该玉米种子，如果他们两人合起来购买，可以比分开购买节约多少钱？
27．（12分）动画片《小猪佩奇》分靡全球，受到孩子们的喜爱.现有4张《小猪佩奇》角色卡片，分别是A佩奇，B乔治，C佩奇妈妈，D佩奇爸爸（四张卡片除字母和内容外，其余完全相同）.姐弟两人做游戏，他们将这四张卡片混在一起，背面朝上放好.
（1）姐姐从中随机抽取一张卡片，恰好抽到A佩奇的概率为；
（2）若两人分别随机抽取一张卡片（不放回），请用列表或画树状图的分方法求出恰好姐姐抽到A佩奇弟弟抽到B乔治的概率.
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．A
【解析】
【分析】
根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以解答本题．
【详解】
解：由题意可得，
1000（1+x）2＝1000+440，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系进行列方程.
2．B
【解析】
【分析】
分别用方差、全面调查与抽样调查、随机事件及概率的知识逐一进行判断即可得到答案．
【详解】
A. 某工厂质检员检测某批灯泡的使用寿命时，检测范围比较大，因此适宜采用抽样调查的方法，故本选项错误；
B. 根据平均数是4求得a的值为2，则方差为1
5
[(1−4)2+(2−4)2+(4−4)2+(4−4)2+(9−4)2]=7.6，故本选项正
确；
C. 12个同学的生日月份可能互不相同，故本事件是随机事件，故错误；
D. 在“等边三角形、正方形、等腰梯形、矩形、正六边形、正五边形”六个图形中有3个既是轴对称图形，
又是中心对称图形，所以，恰好既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是1
2
，故本选项错误．
故答案选B.
【点睛】
本题考查的知识点是概率公式、全面调查与抽样调查、方差及随机事件，解题的关键是熟练的掌握概率公式、全面调查与抽样调查、方差及随机事件.
3．A
【解析】
【分析】
根据已知得出圆锥的底面半径及母线长，那么利用圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2求出即可．
【详解】
∵圆锥的轴截面是一个边长为3cm的等边三角形，
∴底面半径＝1.5cm，底面周长＝3πcm，
∴圆锥的侧面积＝×3π×3＝4.5πcm2，
故选A．
【点睛】
此题主要考查了圆锥的有关计算，关键是利用圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2得出．
4．B
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，连接AO并延长交BC于点D，则AD⊥BC，设OD=x，由三角形重心的性质得AD=3x，利用锐角三角函数表示出BD的长，由垂径定理表示出BC的长，然后根据面积法解答即可．
【详解】
如图，
连接AO并延长交BC于点D，则AD⊥BC，
设OD=x，则AD=3x，
∵tan∠BAD=BD AD
，
∴BD= tan30°·3，∴3，
∵
1
2
BC AD ⋅=,
∴
12
× ∴x ＝1
所以该圆的内接正三边形的边心距为1， 故选B ． 【点睛】
本题考查正多边形和圆，三角形重心的性质，垂径定理，锐角三角函数，面积法求线段的长，解答本题的关键是明确题意，求出相应的图形的边心距． 5．D 【解析】 【分析】
由根与系数的关系得出x 1＋x 2＝5，x 1•x 2＝2，将其代入x 1＋x 2−x 1•x 2中即可得出结论． 【详解】
解：∵方程x 2−5x ＋2＝0的两个解分别为x 1，x 2， ∴x 1＋x 2＝5，x 1•x 2＝2， ∴x 1＋x 2−x 1•x 2＝5−2＝1． 故选D ． 【点睛】
本题考查了根与系数的关系，解题的关键是根据根与系数的关系得出x 1＋x 2＝5，x 1•x 2＝2．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积是关键． 6．C 【解析】 【分析】
根据点在数轴上的位置，可得a ，b 的关系，根据有理数的运算，可得答案． 【详解】
解：由数轴，得b ＜-1，0＜a ＜1． A 、a+b ＜0，故A 错误； B 、a-b ＞0，故B 错误； C 、
a
b
＜0，故C 符合题意； D 、a 2＜1＜b 2，故D 错误； 故选C ． 【点睛】
本题考查了实数与数轴，利用点在数轴上的位置得出b ＜-1，0＜a ＜1是解题关键，又利用了有理数的运算． 7．C 【解析】
试题分析：大于0而小于1的数用科学计数法表示，10的指数是负整数，其绝对值等于第一个不是0的数字前所有0的个数． 考点：用科学计数法计数 8．D 【解析】 【分析】
∵A （1-，1y ），B （2，2y ）两点在双曲线32m
y x
+=上， ∴根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，得1232m 32m
y y 12
++==-，. ∵12y y >，∴32m 32m >12++-，解得3
m 2
<-.故选D. 【详解】 请在此输入详解！ 9．B 【解析】 【分析】
根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×
10 n ，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．在确定n 的值时，等于这个数的整数位数减1. 【详解】
解：85000用科学记数法可表示为8.5×104， 故选：B ． 【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值． 10．C 【解析】 【分析】
连接,,CD BD D 为弧AB 的中点，根据弧，弦的关系可知，AD=BD,根据圆周角定理可得：
120,ACB ADB ∠=∠=o ,CAD CBD ∠=∠在BC 上截取BF AC =,连接DF,则ACD V ≌BFD △,根据全
等三角形的性质可得：,CD FD = ,ADC BDF ∠=∠ ,ADC ADF BDF ADF ∠+∠=∠+∠ 即
120,CDF ADB ∠=∠=o ,DE BC ⊥根据等腰三角形的性质可得：,CE EF = 30,DCF DFC ∠=∠=o
设,DE x = 则,BF AC x ==
3,
tan 30DE CE EF x ==
=o
即可求出BE
CE
的值. 【详解】 如图：
连接,,CD BD
D 为弧AB 的中点，根据弧，弦的关系可知，AD=BD,
根据圆周角定理可得：120,ACB ADB ∠=∠=o
,CAD CBD ∠=∠
在BC 上截取BF AC =,连接DF,
,AC BF CAD FBD AD BD =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
则ACD V ≌BFD △,
,CD FD ∴= ,ADC BDF ∠=∠ ,ADC ADF BDF ADF ∠+∠=∠+∠
即120,CDF ADB ∠=∠=o
,DE BC ⊥
根据等腰三角形的性质可得：,CE EF = 30,DCF DFC ∠=∠=o
设,DE x = 则,BF AC x ==
3,tan 30DE
CE EF x ==
=o
333
3BE BF EF x x CE CE x
+++=== 故选C. 【点睛】
考查弧，弦之间的关系，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数等，综合性比较强，关键是构造全等三角形.
11．B
【解析】
【分析】
先将分母进行通分，化为（x+y ）（x-y ）的形式，分子乘上相应的分式，进行化简.
【详解】
()()()()2222
22x y x +xy xy-y x +y -=-=x-y x+y x+y x-y x+y x-y x -y
【点睛】
本题考查的是分式的混合运算，解题的关键就是熟练掌握运算规则.
12．A
【解析】
【分析】
设甲的钱数为x ，人数为y ，根据“若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其
23
的钱给乙，则乙的钱数也能为50”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，此题得解．
【详解】
解：设甲的钱数为x ，乙的钱数为y ， 依题意，得：15022503x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
． 故选A ．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．ab （a+b ）1．
【解析】
【详解】
a 3b+1a 1
b 1+ab 3＝ab （a 1+1ab+b 1）＝ab （a+b ）1．
故答案为ab （a+b ）1．
【点睛】
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．
14．1
【解析】
【分析】
设HG=x，根据相似三角形的性质用x表示出KD，根据矩形面积公式列出二次函数解析式，根据二次函数的性质计算即可．
【详解】
解：设HG=x．
∵四边形EFGH是矩形，∴HG∥BC，∴△AHG∽△ABC，∴HG
BC
=
AK
AD
，即
8
x
=
6
6
KD
，解得：KD=6
﹣3
4
x，则矩形EFGH的面积=x（6﹣
3
4
x）=﹣
3
4
x2+6x=
3
4
﹣（x﹣4）2+1，则矩形EFGH的面积最大值
为1．
故答案为1．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定和性质、二次函数的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
15．4.4×1
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】
4400000000的小数点向左移动9位得到4.4，
所以4400000000用科学记数法可表示为：4.4×1，
故答案为4.4×1．
【点睛】
本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
16．k＞3 4
【解析】
【分析】
由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围．【详解】
∵关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不相等的实根，
∴△＞0，即（2k+1）2-4（k2+1）＞0，
解得k＞3
4
，
故答案为k＞3
4
．
【点睛】
本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．
17．1 x
【解析】
【分析】
先算除法，再算减法，注意把分式的分子分母分解因式【详解】
原式=
2 22(1
1(11)(2)
x x
x x x x x
--
-⨯
++--
）
）（
=
212(1)
1(1)(1)
x x x
x x x x x
-----=
+++
=1 x
【点睛】
此题考查分式的混合运算，掌握运算法则是解题关键18．3
【解析】
连接OA，作OM⊥AB于点M，
∵正六边形ABCDEF的外接圆半径为2cm
∴正六边形的半径为2 cm，即OA＝2cm
在正六边形ABCDEF中，∠AOM=30°，
∴正六边形的边心距是OM= cos30°×OA=3
23
⨯=(cm)
故答案为3.
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．49.2米
【解析】
【分析】
设PD=x 米，在Rt △PAD 中表示出AD ，在Rt △PDB 中表示出BD ，再由AB=80.0米，可得出方程，解出即可得出PD 的长度，继而也可确定小桥在小道上的位置．
【详解】
解：设PD=x 米，
∵PD ⊥AB ，∴∠ADP=∠BDP=90°．
在Rt △PAD 中，x tan PAD AD ∠=，∴x x 5AD x tan38.50.804
===︒． 在Rt △PBD 中，x tan PBD DB ∠=，∴x x DB 2x tan26.50.50
===︒． 又∵AB=80.0米，∴5x 2x 80.04+=，解得：x≈24.6，即PD≈24.6米． ∴DB=2x=49.2米．
答：小桥PD 的长度约为24.6米，位于AB 之间距B 点约49.2米．
20．（1）2 （2）123,1x x =-=-
【解析】
【分析】
（1）原式第一项利用负指数幂法则计算，第二项利用特殊角的三角函数值化简，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用零指数幂法则计算可得到结果；（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】
（1）原式=211+=2；
（2）2
4(3)9x x x +=- 4(3)(3)(3)+=+-x x x x
()33(3)0++=x x
∴123,1x x =-=-
【点睛】
本题考查了实数运算以及平方根的应用，正确掌握相关运算法则是解题的关键．
21．（1）1；（1）;（4）（
【解析】
【分析】
（1）由于△PAD 是等腰三角形，底边不定，需三种情况讨论，运用三角形全等、矩形的性质、勾股定理
等知识即可解决问题．
（1）以EF为直径作⊙O，易证⊙O与BC相切，从而得到符合条件的点Q唯一，然后通过添加辅助线，借助于正方形、特殊角的三角函数值等知识即可求出BQ长．
（4）要满足∠AMB=40°，可构造以AB为边的等边三角形的外接圆，该圆与线段CD的交点就是满足条件的点，然后借助于等边三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识，就可算出符合条件的DM长．【详解】
（1）①作AD的垂直平分线交BC于点P，如图①，
则PA=PD．
∴△PAD是等腰三角形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠B=∠C=90°．
∵PA=PD，AB=DC，
∴Rt△ABP≌Rt△DCP（HL）．
∴BP=CP．
∵BC=2，
∴BP=CP=1．
②以点D为圆心，AD为半径画弧，交BC于点P′，如图①，
则DA=DP′．
∴△P′AD是等腰三角形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=DC，∠C=90°．
∵AB=4，BC=2，
∴DC=4，DP′=2．
∴22
7．
43
∴BP′=27．
③点A为圆心，AD为半径画弧，交BC于点P″，如图①，
则AD=AP″．
∴△P″AD是等腰三角形．
同理可得：BP″=7．
综上所述：在等腰三角形△ADP中，
若PA=PD，则BP=1；
若DP=DA，则BP=2-7；
若AP=AD，则BP=7．
（1）∵E、F分别为边AB、AC的中点，
∴EF∥BC，EF=1
2 BC．
∵BC=11，
∴EF=4．
以EF为直径作⊙O，过点O作OQ⊥BC，垂足为Q，连接EQ、FQ，如图②．
∵AD⊥BC，AD=4，
∴EF与BC之间的距离为4．
∴OQ=4
∴OQ=OE=4．
∴⊙O与BC相切，切点为Q．
∵EF为⊙O的直径，
∴∠EQF=90°．
过点E作EG⊥BC，垂足为G，如图②．
∵EG⊥BC，OQ⊥BC，
∴EG∥OQ．
∵EO∥GQ，EG∥OQ，∠EGQ=90°，OE=OQ，
∴四边形OEGQ是正方形．
∴GQ=EO=4，EG=OQ=4．
∵∠B=40°，∠EGB=90°，EG=4，
∴3
∴3
∴当∠EQF=90°时，BQ的长为4+3．
（4）在线段CD上存在点M，使∠AMB=40°．
理由如下：
以AB为边，在AB的右侧作等边三角形ABG，
作GP⊥AB，垂足为P，作AK⊥BG，垂足为K．
设GP与AK交于点O，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，过点O作OH⊥CD，垂足为H，如图③．
则⊙O是△ABG的外接圆，
∵△ABG是等边三角形，GP⊥AB，
∴AP=PB=1
2 AB．
∵AB=170，
∴AP=145．
∵ED=185，
∴OH=185-145=6．
∵△ABG是等边三角形，AK⊥BG，
∴∠BAK=∠GAK=40°．
∴OP=AP•tan40°
=145×
3
3
∴3
∴OH＜OA．
∴⊙O与CD相交，设交点为M，连接MA、MB，如图③．∴∠AMB=∠AGB=40°，3．
∵OH⊥CD，OH=6，3
∴2222
=(903)150
OM OH
--2
∵AE=200，OP=253，
∴DH=200-253．
若点M在点H的左边，则DM=DH+HM=200-253+402．
∵200-253+402＞420，
∴DM＞CD．
∴点M不在线段CD上，应舍去．
若点M在点H的右边，则DM=DH-HM=200-253-402．
∵200-253-402＜420，
∴DM＜CD．
∴点M在线段CD上．
综上所述：在线段CD上存在唯一的点M，使∠AMB=40°，
此时DM的长为（200-253-402）米．
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质、矩形的性质、等边三角形的性质、正方形的判定与性质、直线与圆的位置关系、圆周角定理、三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识，考查了操作、探究等能力，综合性非常强．而构造等边三角形及其外接圆是解决本题的关键．
22．（1）1
3
；（2）
1
3
.
【解析】
试题分析：(1)、3个等只有一个控制楼梯，则概率就是1÷3；(2)、根据题意画出树状图，然后根据概率的计算法则得出概率.
试题解析：(1)、小晗任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是：1 3
(2)、画树状图得：
结果：（A，B）、（A，C）、（B，A）、（B，C）、（C，A）、（C，B）
∵共有6种等可能的结果，正好客厅灯和走廊灯同时亮的有2种情况，
∴正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是2
6
=
1
3
.
考点：概率的计算.
23．（1）证明见解析；（2）,,,DAG BAE CNF FMC ∠∠∠∠.
【解析】
【分析】
（1）连接AF 、AC ，易证∠EAC=∠DAF ，再证明ΔEAC ≅ΔDAF ，根据全等三角形的性质即可得CE=DF ；（2）由旋转的性质可得∠DAG 、∠BAE 都是旋转角，在四边形AEMB 中，∠BAE+∠EMB=180°，∠FMC+∠EMB=180°，可得∠FMC=∠BAE ，同理可得∠DAG=∠CNF ，由此即可解答.
【详解】
(1)证明：连接,AF AC ，
∵正方形ABCD 旋转至正方形AEFG
∴DAG BAE ∠∠=，45BAC GAF ∠=∠=︒
∴BAE BAC DAG GAF ∠+∠=∠+∠
∴EAC DAF ∠=∠
在EAC ∆和DAF ∆中,
AE AD EAC FAD AC AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
,
∴EAC DAF ∆≅∆
∴CE DF =
(2).∠DAG 、∠BAE 、∠FMC 、∠CNF ；
由旋转的性质可得∠DAG 、∠BAE 都是旋转角，在四边形AEMB 中，∠BAE+∠EMB=180°，∠FMC+∠EMB=180°，可得∠FMC=∠BAE ，同理可得∠DAG=∠CNF ，
【点睛】
本题考查了正方形的性质、旋转的性质及全等三角形的判定与性质，证明ΔEAC ≅ΔDAF 是解决问题的关键.
24．（1）1；（2）经过2秒或2秒，点M 、点N 分别到原点O 的距离相等
【解析】
试题分析：（1）根据OB=3OA ，结合点B 的位置即可得出点B 对应的数；
（2）设经过x 秒，点M 、点N 分别到原点O 的距离相等，找出点M 、N 对应的数，再分点M 、点N 在点O 两侧和点M 、点N 重合两种情况考虑，根据M 、N 的关系列出关于x 的一元一次方程，解之即可得出结论．
试题解析：（1）∵OB=3OA=1，
∴B 对应的数是1．
（2）设经过x 秒，点M 、点N 分别到原点O 的距离相等，
此时点M 对应的数为3x-2，点N 对应的数为2x ．
①点M 、点N 在点O 两侧，则
2-3x=2x ，
解得x=2；
②点M 、点N 重合，则，
3x-2=2x ，
解得x=2．
所以经过2秒或2秒，点M 、点N 分别到原点O 的距离相等．
25．（1）213222y x x =-
++ ；（1）132 ，E （1，1）；（3）存在，P 点坐标可以为（，5）或（3，5）．
【解析】
【分析】
（1）设B （x 1，5），由已知条件得
21322x -+= ，进而得到B （2，5）．又由对称轴2b a -⨯求得b ．最终得到抛物线解析式.
（1）先求出直线BC 的解析式，再设E （m ，＝﹣12m+1．），F （m ，﹣12
m 1+32m+1．） 求得FE 的值，得到S △CBF ﹣m 1+2m ．又由S 四边形CDBF ＝S △CBF +S △CDB ，得S 四边形CDBF 最大值， 最终得到E 点坐标．
（3）设N 点为（n ，﹣12
n 1+32n+1），1＜n ＜2．过N 作NO ⊥x 轴于点P ，得PG ＝n ﹣1．
又由直角三角形的判定，得△ABC 为直角三角形，由△ABC ∽△GNP ， 得n ＝或n ＝1（舍去），求得P 点坐标．又由△ABC ∽△GNP ，且
OC PG OB NP =时， 得n ＝3或n ＝﹣2（舍去）．求得P 点坐标．
【详解】
解：（1）设B （x 1，5）．由A （﹣1，5），对称轴直线x ＝
32
． ∴21322x -+= 解得，x 1＝2．
∴B（2，5）．
又∵
3 12
2()
2
b
-=
⨯-
∴b＝
3
2
．
∴抛物线解析式为y＝2
13
2
22
x x
-++，
（1）如图1，
∵B（2，5），C（5，1）．
∴直线BC的解析式为y＝﹣
1
2
x+1．
由E在直线BC上，则设E（m，＝﹣
1
2
m+1．），F（m，﹣
1
2
m1+
3
2
m+1．）∴FE＝﹣
1
2
m1+
3
2
m+1﹣（﹣
1
2
n+1）＝﹣
1
2
m1+1m．
由S△CBF＝
1
2
EF•OB，
∴S△CBF＝
1
2
（﹣
1
2
m1+1m）×2＝﹣m1+2m．
又∵S△CDB＝
1
2
BD•OC＝
1
2
×（2﹣
3
2
）×1＝
5
2
∴S四边形CDBF＝S△CBF+S△CDB═﹣m1+2m+
5
2
．
化为顶点式得，S四边形CDBF＝﹣（m﹣1）1+
13
2
．
当m＝1时，S四边形CDBF最大，为
13
2
．
此时，E点坐标为（1，1）．
（3）存在．
如图1，
由线段FG 绕点G 顺时针旋转一个角α（5°＜α＜95°），设N （n ，﹣12
n 1+3
2n+1），1＜n ＜2．
过N 作NO ⊥x 轴于点P （n ，5）． ∴NP ＝﹣
12
n 1+3
2n+1，PG ＝n ﹣1．
又∵在Rt △AOC 中，AC 1＝OA 1+OC 1＝1+2＝5，在Rt △BOC 中，BC 1＝OB 1+OC 1＝16+2＝15． AB 1＝51＝15． ∴AC 1+BC 1＝AB 1． ∴△ABC 为直角三角形． 当△ABC ∽△GNP ，且
OC NP
OB PG
=时， 即，213
2
222
42
n n n -++=- 整理得，n 1﹣1n ﹣6＝5．
解得，n ＝7或n ＝17（舍去）． 此时P 点坐标为（7，5）． 当△ABC ∽△GNP ，且
OC PG
OB NP
=时， 即，222134
222
n n n -=
-++ 整理得，n 1+n ﹣11＝5． 解得，n ＝3或n ＝﹣2（舍去）． 此时P 点坐标为（3，5）．
综上所述，满足题意的P 点坐标可以为，（7，5），（3，5）． 【点睛】
本题考查求抛物线，三角形的性质和面积的求法，直角三角形的判定，以及三角形相似的性质，属于较难题.
26．（1）5,1 （2）当0＜x≤2时，y=5x ，当x ＞2时，y 关于x 的函数解析式为y=4x+2 （3）1.6元.
【解析】 【分析】
（1）结合函数图象与表格即可得出购买量为函数的自变量，再根据购买2千克花了10元钱即可得出a 值，结合超过2千克部分的种子价格打8折可得出b 值；
（2）分段函数，当0≤x≤2时，设线段OA 的解析式为y ＝kx ；当x ＞2时，设关系式为y ＝k1x ＋b ，然后将（2，10），且x ＝3时，y ＝1，代入关系式即可求出k ，b 的值，从而确定关系式； （3）代入（2）的解析式即可解答． 【详解】
解：（1）结合函数图象以及表格即可得出购买量是函数的自变量x ， ∵10÷2＝5，
∴a ＝5，b ＝2×5＋5×0.8＝1． 故答案为a ＝5，b ＝1．
（2）当0≤x≤2时，设线段OA 的解析式为y ＝kx ， ∵y ＝kx 的图象经过（2，10）， ∴2k ＝10，解得k ＝5， ∴y ＝5x ；
当x ＞2时，设y 与x 的函数关系式为：y ＝1k x ＋b ∵y ＝kx+b 的图象经过点（2，10），且x ＝3时，y ＝1，
11210314k b k b +⎧⎨
+⎩＝＝ ，解得14
2k b =⎧⎨=⎩
， ∴当x ＞2时，y 与x 的函数关系式为：y ＝4x ＋2． ∴y 关于x 的函数解析式为：()50242(2)
x x y x x ⎧≤≤=⎨
+>⎩ ；
（3）甲农户将8元钱全部用于购买该玉米种子，即5x ＝8，解得x ＝1.6，即甲农户购买玉米种子1.6千克；如果他们两人合起来购买，共购买玉米种子（1.6＋4）＝5.6千克，这时总费用为：y ＝4×5.6＋2＝24.4元． （8＋4×4＋2）−24.4＝1.6（元）．
答：如果他们两人合起来购买，可以比分开购买节约1.6元． 【点睛】
本题主要考查了一次函数的应用和待定系数法求一次函数解析式，根据已知得出图表中点的坐标是解题的关键．注意：求正比例函数，只要一对x ，y 的值就可以；而求一次函数y ＝kx ＋b ，则需要两组x ，y 的值．
27．（1）1
4
；（2）
1
12
【解析】
【分析】
（1）直接利用求概率公式计算即可；（2）画树状图（或列表格）列出所有等可能结果，根据概率公式即可解答．
【详解】
（1）1
4
；
（2）方法1：根据题意可画树状图如下：方法2：根据题意可列表格如下：
弟弟
姐姐
A B C D
A （A,B）(A,C) (A,D)
B (B,A) (B,C) (B,D)
C (C,A) (C,B) (C,D)
D (D,A) (D,B) (D,C)
由列表（树状图）可知，总共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中姐姐抽到A佩奇，弟弟抽到B乔治的结果有1种：（A，B）.
∴P（姐姐抽到A佩奇，弟弟抽到B乔治）
1 12
【点睛】
本题考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解决问题用到概率公式：概率=所求情况数与总
情况数之比．。