函数零点问题

函数的零点问题复习总结

一、考题展望

函数的零点问题，是每年高考的一个热点、难点，如2015年高考课标卷1第21题、湖南卷第15题等都是与零点相关的问题.函数零点问题，除了需要借助方程理论解决外，常还涉及到函数图像，函数的单调性以及函数的极值和最值等问题.

二、练一练

1. 已知()()2

0f x ax bx c a =++>，分析该函数图象的特征，若方程()0f x =一根大于3，另一根小于2，则下列推理不一定．．．

成立的是 （ A ） A ．232b a

<-

< B ．240ac b -≤ C ．()20f < D ．()30f < 2.方程01sin 2=+-x x π所有根的和为( B ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7

略解：

3.【15年课标卷1T12改编】若函数a x e x f x --=)12()(有两个零点，则实数a 的取值范围是 )0,2(e

- 4.已知32,(),x x a f x x x a

⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点， 则a 的取值范围是 . ),1()0,(+∞-∞ .

方法思想小结：

1.二次方程根的分布问题：

开口方向、判别式、对称轴、端点函数值、

2.函数零点的解决方法：

① 求对应方程的根； ②利用零点存在性定理（充分不必要）；

③ 转化为函数图像交点； ④利用导数，结合图像；

3.涉及数学思想

① 函数与方程思想； ②数形结合思想；

③转化与化归思想 ④分类讨论思想；

三、典型例题

例1.用][x 表示不大于实数x 的最大整数，方程02][lg lg 2=--x x 的实根个数为 3 例2.已知函数R a ae x x f x ∈-=()(，e 为自然对数的底数）.

（1）讨论函数)(x f 的单调性；

（2）若函数)(x f 有两个零点1x ，2x ，求证：1x +2x >2.

解：（1）x e a x f ⋅-='1)(， ...............................1分

当0≤a 时，0)(>'x f ，函数f(x)是),(+∞-∞上的单调递增函数；..............................3分 当a>0时，由0)(>'x f 得x<-lna ，由0)(<'x f 得x>-lna ，

所以函数f(x)是)ln ,(a --∞上的单调递增函数，函数f(x)是),ln (+∞-a 上的单调递减函数.

（2）函数f(x)有两个零点1x ，2x ，所以11x ae x =，22x ae x =，

因此)(2121x x e e a x x -=-，即2121x x e e x x a --=

， 要证明1x +2x >2，只要证明2)(21>+x x e e a ，即证：2)(2

12121>-+-x x x x e e e e x x . 不妨设1x >2x ，记t=1x -2x ，则t>0，1>t

e ，因此只要证明：211>-+⋅t t e e t ， 即02)2(>++-t e t t ， 记)0(2)2()(>++-=t t e t t h t ，则1)1()(+-='t e t t h ， 记t e t t m )1()(-=，则t te t m =')(，

当t>0时，0)(>'t m ，所以1)0()(-=>m t m ，即t>0时1)1(->-t e t ，0)(>'t h ， 所以h(t)>h(0)=0，即02)2(>++-t e t t 成立， 所以1x +2x >2.

小结：在此类函数与方程综合问题中，求证零点“为常数）a a x x (21>+”，一般两种处理方法：

①利用等式“0)(,0)(21==x f x f ”，将21,x x 整体变元，再构造函数解决； ②利用原函数)(x f 的单调性，转化为证)()(12x a f x f ->（或))()(12x a f x f -<，再利用)()(21x f x f =，转化为“)()()(11x a f x f x F --=”的问题.

四、课堂小结

五、作业布置 《名师导学》 P95 考点限时训练

六、自我提升

1.【雅礼2016届高三第3次月考】已知函数()

()2ln x a f x x -=（其中a 为常数）. (1) 当a =0时，求函数的单调区间；

(2) 当0<a <1时，设函数()f x 的3个极值点为

123,,x x x ，且123x x x <<.证明：13x x +>

2.已知)1,0(,2sin )(2∈++=x x ax x x f π

（1）若)(x f 在定义域内单调递增，求a 范围；

（2）当2-=a 时，记)(x f 的极小值为)(0x f ，若)()(21x f x f =，

求证：0212x x x >+