聚合物流变学第二章

Tii p 。而应力张量 T 分解为：
- p 0 1 0 0 0 0 - p 0 p 0 1 0 0 0 0 0 - p 0 0 1 0 0 0
个函数——粘度函数就可以完全描述其力学状态。 高分子液体是粘弹性流体， 在剪切场中既有粘性流动， 又有弹性形变， 一般情况下偏应力张量的三个法向应力分量不等于零，而且互不相等， 11 22 33 0 。因此要完整描述高分子液体的应力状态，偏应力张 量 中至少需要有 4 个应力分量 12、 11、 22、 33。 应力张量分解如下： （2-15）
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高分子材料流变学第二章
要定义的基本物理量有： 应力张量、偏应力张量； 形变张量、形变率张量、速度梯度张量； 基本流变学函数有： 剪切粘度，第一、二法向应力差函数，拉伸粘度等。
2．
2．1 应力与偏应力张量
基本物理量
物体在外力或外力矩作用下会产生流动或（和）形变，同时为了抵抗 外力的作用（流动或形变），物体内部产生相应的应力。 应力通常定义为材料内部单位面积上的响应力，单位为 Pa （ 1Pa= 1N/m2）或 MPa (1MPa = 106 Pa)。 在平衡状态下，物体所受的外应力与内应力数值相等。 牵引力和应力张量 首先考察流动过程中物体内一点 p 点的应力。在物体内取一小封闭曲 面 S，令 p 点位于曲面 S 外表面的面元 S 上（法线为 n，指向曲面 S 外 部） ， 考察封闭曲面 S 外的物质通过面元 S 对曲面 S 内物质的作用力 （见 图 2-1）。设面元 S 上的作用力为 F ，则定义
ij
0 i j 1 i j
称为 Kronecker ，是单位张量的一种表示法。
单位张量 I 通常记为：
1 0 0 I 0 1 0 0 0 1
（2-11）
（2-9）式表示，应力张量可以分解为各向同性压力和偏应力张量两部分。 偏应力张量 是应力张量中最重要的部分， 直接关系到物体流动和形 变（粘性形变和弹性形变）的描写，是我们研究的重点。
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第二章
基本物理量和高分子液体的基本流变性质
1． 引言
经典弹性理论。Hooke 定律记为：

E G
（2-1）
式中ε 、γ 分别为拉伸形变和剪切形变，E、G 分别称 Yang's 氏模量和剪 切模量，它们是不依赖于时间、形变量的材料常数。 经典流体力学理论。Newton 粘性定律表述为
T11 , T22 T33 T12 T23 T31 0 ， 而τ 为常数。 （2-14） 0 为拉伸， 0为 此时体系处于沿 x1 方向的均匀拉伸或压缩状态。
压缩。材料在单轴拉伸流场中（纺丝过程）处于这种应力状态。 具体分解式：
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这三个力一般与选定的三个正交独立坐标方向 n1 , n 2 , n 3 不重合（因为 牵引力是客观存在的， 而坐标轴的选择具有任意性） ， 于是可以将 t1 , t 2 , t 3 沿坐标轴方向分解，得到
t1 T11n1 T12n 2 T13n 3 t 2 T21n1 T22n 2 T23n 3 t T n T n T n 31 1 32 2 33 3 3
偏应力张量中只有一个独立分量——剪切应力分量 ， 故只需定义一
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T11 0 1 0 0 T11 p 0 1 0 0 11 12 0 T22 0 p 0 1 0 T22 p 0 p 0 1 0 21 22 0 0 0 T 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 T33 p 33 33
0 0
料常数。
d dt
（2-2）
式中 为剪切速率， 0 为 Newton 粘度，是与时间和剪切速率 无关的材 实际高分子液体流动时，表现出比上述两种情形复杂得多的性质。 一是体系受外力作用后，既有粘性流动，又有高弹形变，体系兼有液、 固双重性质。外力释去时，仅有弹性形变部分可以恢复，而粘性流动造成 的永久形变不能恢复。 二是高分子液体流动中表现出的粘弹性， 偏离由 Hooke 定律和 Newton 粘性定律所描写的线性规律，模量和粘度均强烈地依赖于外力的作用速 率，不是恒定的常数。 更重要的，应力与应变间的响应，不是瞬时响应，即粘性流动中的力 学响应不唯一决定于形变速率的瞬时值， 弹性形变中的力学响应也不唯一 决定于形变量的瞬时值。 由于高分子的力学松弛行为， 以往历史上的应力 （或应变）对现时状态的应变（或应力）仍产生影响，材料自身表现出对 形变的“记忆”能力。 实际上，高分子液体流动时，其内部的应力状态十分复杂，既存在剪 切应力，还存在法向应力，各个不同法向上的应力值不等。为此需要对这 种复杂应力状态和我们不熟悉的大形变——有限形变的度量给出恰当定 义和严格数学描述，由此才能正确描述高分子液体的非线性粘弹性质。
t lim

F S 0 S
（2-3）
为 p 点处具有法线 n 的面元 S 上的平均表面牵引力，注意牵引力 t 与法 线 n 的方向一般并不重合。 图 2-1 面元 S 上的表面牵引力
在 p 点处，通过 p 的每个方向都可求出相应的牵引力 t 。可以证明， 描述流体内一点的应力状态， 只需求出任何过该点的三个正交独立曲面上 的牵引力 t1 , t 2 , t 3 就足够了。
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按 Cauchy 应力定律，在平衡时，物体所受的合外力与合外力矩均 等于零。于是平衡时，应力张量中沿主对角线对称的剪切分量应相等， 即
Tij T ji
（i，j =1，2，3）
(2-6)
这表明，平衡时应力张量为对称张量，其中只有六个独立分量。三 个 为 法 向 应 力 分 量 ： Tii （ i =1 ， 2 ， 3 ） ， 三 个 为 剪 切 应 力 分 量 ：
（2-16） 流变函数除了定义粘度函数外， 还要定义与法向应力分量相关的函数。 注意偏应力张量中法向应力分量的值与各向同性压力的大小有关。 由于（2-8）式给出的各向同性压力的定义有一定任意性，使得应力张 量的分解有多种结果。 见下例，同一个应力张量给出两种不同的分解方法。
3 1 0 2 0 0 1 1 0 1 1 0 0 2 0 1 1 0 0 0 2 0 0 2 0 0 0
11+ 22+ 33= 0
（2-12）
例1 静止液体内只有法向应力 （实际上就是各向同性压力） ， 无剪切应力， 故各应力分量为
T11 T22 T33 p
应力张量记为
Tij 0 (i j ) ，
T pI
0
（2-13）
即应力张量只有各向同性压力部分，偏应力张量为零张量。 这是任何静止的平衡液体，或静止或流动的无粘流体的应力状态。 例2 均匀拉伸或压缩 设流体只受到一个方向的拉力或压力，此外不再有任何其它作用力， 各应力分量为：
写成张量式：
（2-4）
t1 T11 T12 T1பைடு நூலகம் n1 t T T T n 2 21 22 23 2 t 3 n 3 T31 T32 T33
（2-5）
或者简单地
t1 n1 t (T ) n ij 2 2 t 3 n 3
（i，j =1，2，3）
二阶张量（ Tij ）完整地描述了 p 点的应力状态，称之为 p 点的应力 张量。 （ Tij ）中第一个下标 i 表明力的作用面（面元 S ）的法线方向，第 二个下标 j 表示牵引力的分量序号。例如 T12 指的是作用在第一个面元上 的牵引力 t 1 在 n 2 方向的分量。 图 2-2 给出了个应力分量的位置关系。 图 2-2 单位立方体上各应力分量的位置关系
0 0 0 0 2 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 3 0 0
例3 均匀剪应力 在分层流动的简单剪切流场中，可能发生均匀剪应力（图 2-3） 图 2-3 简单剪切流场
或者
3 1 0 1 0 0 2 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 2 0 0 1 0 0 1
两种结果中各向同性压力的值不同， 由此导致偏应力张量中法向应力 分量 ii 的值不同。但是可以看出，不管应力张量如何分解，偏应力张量 中两个法向应力分量的差值 11- 22， 22- 33 始终保持不变。 这给予我们重要的启示， 在高分子液体流变过程中， 单独去追求法向 应力分量 ii 的绝对值没有多大意义。重要的是，两个法向应力分量的差 值在各种分解中始终保持不变， 于是我们就可以定义两个法向应力差函数 来描写材料弹性形变行为： 第一法向应力差函数 第二法向应力差函数 N1= 11- 22 N2= 22- 33 (2-17) （2-18）
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与应力张量相似，偏应力张量 也是对称张量，只有六个独立分量。 三个为法向应力分量： ii （ i =1 ， 2 ， 3 ），三个为剪切应力分量：
12 21, 13 31, 23 32 。
注意公式（2-8）定义的各向同性压力（－p）具有一定的任意性，它 并不一定真正等于液体内部的真实静水压力， 由此它将影响到偏应力张量 中法向分量 ii 的值。 下面将证明，偏应力张量中法向分量 ii 的绝对值并无很大意义，重要 的是沿不同方向的法向应力分量的差值， 它们对于描述非牛顿流体的弹性 行为十分重要。 另外我们指出，当各向同性压力（－p）按（2-8）式定义时，下式成 立：
T12 T21, T13 T31, T23 T32 。
偏应力张量 并非所有应力张量的值都与材料的流动（或形变有关）。根据力的性 质不同，应力张量可以分解表示。其中最常见的一种分解方式形式如下：
1 （2-7） T (trT)I σ 3 式中 trT T11 T22 T33 称张量 T 的迹， I 为单位张量， 称偏应力张量。
若定义 则 T 分解成 分量式
1 p trT 3 T pI
（该定义有一定任意性）
（2-8） （2-9） （2-10）
Tij p ij ij
称 p 为各向同性压力（静水压力），处在任何状态下的流体内部都具有各 向同性压力。它作用在曲面法向上，且沿曲面任一法向的值相等，负号表 示压力方向指向封闭曲面的内部。
图中，所有 Tij (i j; i, j 1, 2, 3) 分量都作用在相应面元的切线方 向上，称为应力张量的剪切分量；而所有 Tii （i =1，2，3）分量都作用在 相应面元的法线方向上，称为应力张量的法向分量。 剪切力的物理实质是粘滞力或内摩擦力，法向力的物理实质是弹性 力（拉力或压力），于是应力张量可以完整地描述粘弹性物体在流动过程 中的复杂内应力状态。
流体的应力状态为：只有剪切分量 T12 T21 ， 常数，而所有其他 剪切分量为零。 现在考察简单剪切流场中材料所受法向应力的情况。 重点强调 Newton 流体与高分子流体在简单剪切流场中不同的应力状态。 Newton 流体只有粘性而无弹性，偏应力张量 中，各法向应力分量等 于零， ii 0 。应力张量 T 中所有法向应力分量均可归于各向同性压力，