无穷级数单元测试题

第十二章 无穷级数单元测试题

一、判断题

1、。收敛，则3)3(lim 21=+-∞→∞

=∑n n n n n u u u 〔 〕 2、若正项级数∑∞

=1

n n u 收敛,则∑∞=12n n u 也收敛。 〔 〕 3、若正项级数∑∞=1n n u 发散,则。1lim 1>=+∞→r u u n

n n 〔 〕 4、若∑∞=12n n u ,∑∞=12n n v 都收敛,则n n n v u ∑∞=1

绝对收敛。 〔 〕 5、若幂级数n n n x a )23(1

-∑∞

=在x=0处收敛,则在x=5处必收敛。〔 〕 6、已知n

n n x a ∑∞=1的收敛半径为R,则n n n x a 21∑∞=的收敛半径为R 。 〔 〕 7、n n n x a ∑∞=1和n

n n x b ∑∞=1的收敛半径分别为b a R R ,,则n n n n x b a ∑∞

=+1)(的收敛半径为 ),m in(b a R R R =。 〔 〕

8、函数f<x>在x=0处的泰勒级数

...!

2)0(!1)0()0(2+''+'+x f x f f 必收敛于f<x>。 〔 〕 9、f<x>的傅里叶级数,每次只能单独求0a ,但不能求出n a 后,

令n=0得0a 。 〔 〕

10、f<x>是以π2为周期的函数,并满足狄利克雷条件,

n a 〔n=0,1,2,...〕, n b 〔n=1,2,...>是f<x>的傅里叶系数,则

必有)sin cos (2)(1

0nx b nx a a x f n n n ++=∑∞=。 〔 〕 二、选择题

1、下列级数中不收敛的是〔 〕 A ∑∞

=+1)11ln(n n B ∑∞=131n n C ∑∞=+1)2(1n n n D ∑∞=-+14)1(3n n n n 2、下列级数中,收敛的是〔 〕 A ∑∞

=--11)1(n n n ； B ∑∞=+-1232)1(n n n n ； C ∑∞=+115n n ； D ∑∞=-+1231n n n ． 3、判断∑∞=+11

11n n n 的收敛性,下列说法正确的是〔 〕

A 因为 01

1>+n ,所以此级数收敛

B 因为01lim 11=+∞

→n n n ,所以此级数收敛 C 因为

n

n n 111

1>+,所以此级数发散。 D 以上说法均不对。

4、下列级数中,绝对收敛的是〔 〕 A ∑∞=-1)1(n n n ； B ∑∞=++12123n n n ； C ∑∞=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-1132)1(n n

n ； D ∑∞=-+-11)1ln()1(n n n ． 5、若级数∑∞

=--112)2(n n n a x 的收敛域为[3,4>,则常数a=〔 〕 Ａ ３ Ｂ ４ Ｃ ５ D 7

6、 级数∑∞

=-1)1(1n n x x n 的和函数为 〔 〕 A x x ---)1ln( B ln<2-x> C lnx D 以上都不对

7、241x

x -展成x 的幂级数是〔 〕 Ａ ∑∞=12n n x

Ｂ ∑∞=-12)1(n n n x C ∑∞=22n n x D ∑∞

=-22)1(n n n x 8、)(|sin |)(ππ≤≤-=x x x f 的傅里叶系数n n b a ,满足〔 〕

Ａ ,...)2,1(0,...),2,1,0(0=≠==n b n a n n

Ｂ ,...)2,1(0,...),2,1,0(012====-n b k a n k

C ,...)2,1(0,...),2,1,0(0===≠n b n a n n

D 以上结论都不对。

三、填空题

1、∑∞

=--11)1(n n n 的和为 2、n

n n x a ∑∞=1在x=-3时收敛,则n n n x a ∑∞

=1在3||<x 时 3、f<x>满足收敛的条件,其傅里叶级数的和函数为S<x>,已知 f<x>在x=0处左连续,且f<0>=-1,S<0>=2,则=+

→)(lim 0x f x 4、设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤-+=ππ

ππx x x x x x f 0,10,)(展成以π2为周期的傅里叶级数的和函数为

S<x>,则S<-3>=,S<12>=,S<πk >=,k 为整数。

四、计算题

1、判断下列级数的收敛性

〔1〕∑∞=--1131arcsin )

1(n n n 〔2〕∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+11n n

n n <3>)0,(,31211>++++++b a b

a b a b a <4> ++++++

n n 134232 2、利用逐项求导数或逐项求积分或逐项相乘的方法,求下列级数在收敛区间上的和函数。

〔1〕 ++++7

53753x x x x 〔2〕 +⋅+⋅+⋅4

332214

32x x x 〔3〕 +++13

9513

92x x x 3、将下列函数展开为x 的幂级数,并指出其收敛半径

〔1〕⎰+x t

dt 041 〔2〕)1ln(2x x ++ 〔3〕x arcsin 〔4〕 x e x -3

4．将函数)0()(ππ≤≤-=x x x f 分别展开成正弦级数和余弦级数.