2018届高考数学第1轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入4.3.1平面向量的数量积课件理

因为|a－b|＝2 5，
所以 a2－2a·b＋b2＝20，
所以 5－2×5＋b2＝20，
所以 b2＝25，所以|b|＝5。故选 C。
(2) 解 法 一 ： 由 于 a·(a ＋ 2b) ＝ a2 ＋ 2a·b ＝ |a|2 ＋ 2|a||b|cos60°＝ 4 ＋
2×2×12＝6，|a＋2b|＝ a＋2b2＝ a2＋4a·b＋4b2＝ 4＋4＋4＝2 3，所
以 cos〈a，a＋2b〉＝|aa·|·a|a＋＋22bb|＝2×62
＝ 3
23，所以〈a，a＋2b〉＝30°。
故选 D。
解法二：∵|a＋2b|2＝4＋4＋4a·b＝8＋8cos60°＝12， ∴|a＋2b|＝2 3， ∴a·(a＋2b)＝|a|·|a＋2b|·cosθ ＝2×2 3cosθ＝4 3cosθ。 又 a·(a＋2b)＝a2＋2a·b＝4＋4cos60°＝6， ∴4 3cosθ＝6，cosθ＝ 23，θ∈[0°，180°]， ∴θ＝30°。故选 D。 【答案】 (1)C (2)D
b____反__向__共_；线若θ＝90°，则a与b____垂__直。
• (2)平面向量的数量积
• ①定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量 _______|_a_||b_|c_o_sθ_叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即 a·b＝___|a_||b_|c_o_sθ______，规定零向量与任一向量的数量积 为0，即0·a＝0。
微知识 小题练
教材回扣 基础自测
• 自|主|排|查
• 1．平面向量的数量积
• (1)向量的夹角 • ①定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则__∠__A_O_B__就是向量
a与b的夹角。
• ②范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°。 • ③共线与垂直：若θ＝0°，则a与b____同__向__共__线；若θ＝180°，则a与
考点例析 对点微练
考一点【典例平1】面(1向)已知量a＝数(2,3量)，b积＝(－运4,7算)，则 a 在 b 上的投影为(
)
A. 13
13 B. 5
65 C. 5
D. 65
(2)(2016·天津高考)已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D，E
分别是边 AB，BC 的中点，连接 DE 并延长到点 F，使得 DE＝2EF，则A→F·B→C
②模：|a|＝ a·a＝____x_21＋__y_21_。
a·b
x1x2＋y1y2
③夹角：cosθ＝__|a_||_b_| __＝___x_21_＋__y_21·__x_22_＋__y_22__。
④两非零向量 a⊥b 的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0。 ⑤ |a·b|≤|a||b|( 当 且 仅 当 a ∥ b 时 等 号 成 立 ) ⇔ |x1x2 ＋ y1y2|≤
• ②几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的 投影___|b_|c_o_sθ______的乘积。
• 2．平面向量数量积的性质及其坐标表示
• •
设①向数量量积a＝：(xa1·，by＝1)|，a||bb＝|co(xs2θ，＝y_2_)，x_1_xθ_2为＋__向y_1量y_2_a_，_。b的夹角。
3．已知平面向量 a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，λa＋b 与 a 垂直，则 λ
＝( )
A．－1
B．1
C．－2
D．2
【解析】 λa＋b＝(λ＋4，－3λ－2)。 ∵λa＋b 与 a 垂直， ∴(λa＋b)·a＝10λ＋10＝0。∴λ＝－1。故选 A。 【答案】 A
4．已知单位向量 e1，e2 的夹角为 α，且 cosα＝31，若向量 a＝3e1－2e2， 则|a|＝________。
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
第三节 平面向量的数量积与平面向量的应用举例
☆☆☆2017 考纲考题考情☆☆☆
考纲要求
真题举例
命题角度
1.理解平面向量数量积的含义及 其物理意义； 2.了解平面向量的数量积与向量 投影的关系； 3.掌握数量积的坐标表达式，会 进行平面向量数量积的运算； 4.能运用数量积表示两个向量的 夹角，会用数量积判断两个平面 向量的垂直关系； 5.会用向量方法解决某些简单的 平面几何问题； 6.会用向量方法解决简单的力学 问题与其他一些实际问题。
的值为( )
A．－58
1 B.8
1
11
C.4
D. 8
【解析】
(1)|a|cosθ＝a|b·b| ＝2×－－44＋2＋37×2 7＝
13 ＝ 65
565。故选 C。
(2)如图，设A→C＝m，A→B＝n。根据已知得，
D→F＝34m，所以A→F＝A→D＋D→F＝34m＋21n，B→C＝m
－n，
A→F·B→C＝43m＋12n·(m－n)＝34m2－12n2－14m·n ＝34－12－18＝18。故选 B。
若点 M，N 满足B→M＝3M→C，D→N＝2N→C，则A→M·N→M＝( )
A．20
B．15
C．9
D．6
(2)(2016 ·蚌埠模拟)已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上
的动点。D→E·D→C的最大值为________。
【解析】 (1)在平行四边形 ABCD 内，易得， A→M＝A→B＋34A→D，N→M＝13A→B－41A→D， 所以A→M·N→M＝A→B＋34A→D·13A→B－14A→D ＝13A→B＋34A→D·A→B－34A→D ＝13A→B2－196A→D2＝31×36－136×16＝12－3＝9。故选 C。
【解析】 ∵|a|2＝a·a＝(3e1－2e2)·(3e1－2e2) ＝9|e1|2－12e1·e2＋4|e2|2＝9－12×1×1×13＋4＝9 ∴|a|＝3。 【答案】 3
5．(2016·大连模拟)若 a，b 满足|a|＝ 2，a·(a＋b)＝1，|b|＝1，则 a， b 的夹角为________。
＝2 5，则|b|等于( )
A. 5
B．2 5
C．5
D．25
(2)(2016·东北三校联考)已知向量 a，b 的夹角为 60°a 与向量 a＋2b 的夹角等于( )
A．150°
B．90°
C．60°
D．30°
【解析】 (1)由 a＝(1,2)，可得 a2＝|a|2＝12＋22＝5。
(2)如图所示，以 AB，AD 所在的直线分别为 x，y 轴建立直角坐标 系，
设 E(t,0)，0≤t≤1，则 D(0,1)，C(1,1)，D→E＝(t，－1)，D→C＝(1,0)， 所以D→E·D→C＝t≤1。
【答案】 (1)C (2)1
考二点【典例平2】面向(1)(2量017的·长沙模模拟与)已夹知向角量问a＝题(1,2)，a·b＝5，|a－b|
【解析】 因为|a|＝ 2，
所以 a·(a＋b)＝a2＋a·b＝2＋a·b＝1，
即 a·b＝－1。
设 a，b 的夹角为 θ，
则 cosθ＝|aa|·|bb|＝ －2×11＝－ 22。
因为 θ∈[0，π]，所以 θ＝43π。
【答案】
3 4π
第一课时 平面向量的数量积
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2．在△ABC 中，AB＝3，AC＝2，BC＝ 10，则A→B·A→C＝( )
A．－32
B．－32
2
3
C.3
D.2
【解析】 在△ABC 中， cos∠BAC＝AB2＋2AABC·A2－C BC2＝92＋×43－×120＝14，
∴A→B·A→C＝|A→B||A→C|cos∠BAC＝3×2×41＝23。故选 D。 【答案】 D
2016，全国卷Ⅰ， 13,5分(向量的几何意 义) 2016，全国卷Ⅱ， 3,5分(向量数量积的 坐标运算) 2016，全国卷Ⅲ， 3,5分(向量夹角问题) 2016，天津卷，7,5 分(向量的数量积和线 性运算) 2015，全国卷Ⅰ， 15,5分(向量的数量积 运算)
高考对本节内容 的考查以向量的 长度、夹角及数 量积为主，以向 量数量积的运算 为载体，综合三 角函数、解析几 何等知识进行考 查，是一种新的 趋势，复习时应 予以关注。以客 观题为主，有时 出现在解答题中。 分值5～12分。
小|题|快|练 一 、走进教材 1．(必修 4P107 例 6 改编)已知|a|＝2，|b|＝4，a·b＝4 3，则 a 与 b 的 夹角 θ＝________。
【解析】 因为 a·b＝|a||b|·cosθ， 所以 cosθ＝|aa|·|bb|＝24×34＝ 23， 又因为 0°≤θ≤180°，故 θ＝30°。 【答案】 30°
所以 k＝± 55。
【答案】
5 ±5
二、双基查验
1．下列四个命题中真命题的个数为( )
①若 a·b＝0，则 a⊥b；
②若 a·b＝b·c，且 b≠0，则 a＝c；
③(a·b)·c＝a·(b·c)；
④(a·b)2＝a2·b2。
A．4 个
B．2 个
C．0 个
D．3 个
【解析】 a·b＝0 时，a⊥b，或 a＝0，或 b＝0。故①命题错。 ∵a·b＝b·c，∴b·(a－c)＝0。 又∵b≠0，∴a＝c，或 b⊥(a－c)。故②命题错误。 ∵a·b 与 b·c 都是实数，故(a·b)·c 是与 c 共线的向量，a·(b·c)是与 a 共线的向量， ∴(a·b)·c 不一定与 a·(b·c)相等。故③命题不正确。 ∵(a·b)2＝(|a||b|cosθ)2＝|a|2|b|2cos2θ≤|a|2·|b|2＝a2·b2。故④命题不正确。 故选 C。 【答案】 C
2．(必修 4P105 例 4 改编)已知 a＝(1,2)，b＝(3,4)，若 a＋kb 与 a－kb 互相垂直，则实数 k＝________。
【解析】 由已知 a＝(1,2)，b＝(3,4)，
若互相垂直，则(a＋kb)·(a－kb)＝0， 即 a2－k2b2＝0，
即 5－25k2＝0，即 k2＝51，
反思归纳 1.平面向量夹角的求法 若 a，b 为非零向量，则由平面向量的数量积公式得 cosθ＝|aa|·|bb|(夹角 公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题。 2．平面向量的模的解题方法 (1)若向量 a 是以坐标形式出现的，求向量 a 的模可直接利用|a|＝ x2＋y2。 (2)若向量 a，b 是非坐标形式出现的，求向量 a 的模可应用公式|a|2 ＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通过向 量数量积的运算求解。
微点提醒 1．a 在 b 方向上的投影与 b 在 a 方向上的投影不是一个概念，要加 以区别。 2．对于两个非零向量 a 与 b，由于当 θ＝0°时，a·b>0，所以 a·b>0 是两个向量 a，b 夹角为锐角的必要而不充分条件；a·b＝0 也不能推出 a ＝0 或 b＝0，因为 a·b＝0 时，有可能 a⊥b。 3．在实数运算中，若 a，b∈R，则|ab|＝|a|·|b|；若 a·b＝a·c(a≠0)， 则 b＝c。但对于向量 a，b 却有|a·b|≤|a|·|b|；若 a·b＝a·c(a≠0)，则 b＝c 不一定成立，原因是 a·b＝|a||b|cosθ，当 cosθ＝0 时，b 与 c 不一定相等。 4．向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c 不一定等于 a·(b·c)， 这是由于(a·b)·c 表示一个与 c 共线的向量，而 a·(b·c)表示一个与 a 共线的 向量，而 c 与 a 不一定共线。
【答案】 (1)C (2)B
反思归纳 1.当已知向量的模和夹角 θ 时，可利用定义法求解，即 a·b ＝|a||b|cosθ。
2．当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若 a＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，则 a·b＝x1x2＋y1y2。
【变式训练】 (1)设四边形 ABCD 为平行四边形，|A→B|＝6，|A→D|＝4。
x21＋y21· x22＋y22。
• 3．平面向量数量积的运算律 • (1)a·b＝ ____b_·a__(交换律)。 • (2)λa·b＝___λ_(_a·_b_) ___＝_a_·_(λ_b)______(结合律)。 • (3)(a＋b)·c＝ ___a·_c_＋_b_·c_____(分配律)。