计算机算法设计与分析第2章递归和分治策略

, n>=1
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2.1 递归的概念
例3

Ackerman函数
A(n，m)的自变量m的每一个值都定义了一个单变量 函数（根据m的不同可得到基于n的不同函数！）： m=2时，
A(n,2)=A(A(n-1,2),1)


n=0, A(0,2)=1 n=1, A(1,2)=A(A(0,2),1)= A(1,1）= 2 n>=2,A(n,2)=A(A(n-1,2),1)=2A(n-1,2) A(n,2)= 2^n , n>=0
A(1,0) 2 A(0, m) 1 A(n,0) n 2 A(n, m) A( A(n 1, m), m 1)
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m 0, n 1 m 0, n 0 m 0, n 2 m 1, n 1
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2.1 递归的概念
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2.1 递归的概念
例3

Ackerman函数
A(n，m)的自变量m的每一个值都定义了一个单变量 函数（根据m的不同可得到基于n的不同函数！）： m=0时，
n=0,

A(0,0)=1 n=1, A(1,0)=2 n>=2, A(n,0)=n+2
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2.1 递归的概念
与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子 问题缩小到很容易直接求出其解。 这自然导致递归过程的产生。

分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在 算法设计之中，并由此产生许多高效算法。
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2.1 递归的概念

在算法设计中使用递归技术，往往使算法的描述简单明了、 易于理解（？）、容易编程和验证。 在计算机软件领域，递归算法是一种非常重要并且不可或缺 的算法。
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2.1 递归的概念
例4 排列问题 设计一个递归算法生成n个元素{r1,r2,…,rn}的全排列。
假设：
• • •
R={r1,r2,…,rn}是要进行排列的n个元素，Ri=R-{ri}。 集合X中元素的全排列记为perm(X)。
(ri)perm(X)表示在全排列perm(X)的每一个排列前加上前
得的子问题是同类问题，并要求原问题的解可以通过组 合子问题的解来获取。
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2.1 递归的概念

定义：
直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。 用函数自身给出定义的函数称为递归函数。

由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模 式，这就为使用递归技术提供了方便：
在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题
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2.1 递归的概念
例3

Ackerman函数（以下了解即可）
定义单变量的Ackerman函数A(n)为：A(n)=A(n，n)。 定义其拟逆函数α(n)为：α(n)=min{k｜A(k)≥n}。 即α(n)是使n≤A(k)成立的最小的k值。 因为：A(0)=1,A(1)=2,A(2)=4,A(3)=16 4,A(4)=？ 所以：α(1)=0，α(2)=1，α(3)= α(4)=2 α(5)=… α(16)=3 α(n)在复杂度分析中常遇到。对于通常所见到的正整数n， 有α(n)≤4。但在理论上α(n)没有上界，随着n的增加，它 以难以想象的慢速度趋向正无穷
分治法的设计思想是，将一个难以直接解决 的大问题，分割成一些规模较小的相同问题， n = 以便各个击破，分而治之。 T(n)
凡治众如治寡，分数是也。 n/2 n/2 ----孙子兵法 n/2
n/2
T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)
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2.1 递归的概念
例3 Ackerman函数（以下了解即可） 练习：采用递归和非递归方式实现Ackerman函数
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2.1 递归的概念
例4

排列问题
设计一个递归算法生成n个元素{r1,r2,…,rn}的全排列。 从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排列起 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，当m=n时所有的 排列情况叫全排列。 如1,2,3三个元素的全排列为：
（4）棋盘覆盖；
（5）合并排序和快速排序； （6）线性时间选择；
（7）最接近点对问题；
（8）循环赛日程表。
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算法总体思想

计算机求解的复杂度（时间与空间）与问题的规 模有关，回忆： a) 1、2、3……n个元素的排序问题； b) 1、2、3……n个元素的查找问题；

结论：

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2.1 递归的概念

递归的使用场合：
① 数据结构本身是递归定义的，其实现算法往往是递
归算法，比如二叉树和图等 ② 求解过程需要递归，算法描述简捷其易于理解及分 析，比如阶乘计算
下面来看几个实例
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2.1 递归的概念
例1 阶乘函数 阶乘函数可递归地定义为：
边界条件： 非递归定义 的初始值
1 n0 F ( n) 1 n 1 F (n 1) F (n 2) n 1
数列的第n项的值是它前面 两项之和
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边界条件 递归方程
2.1 递归的概念
例2 Fibonacci数列（菲不尼茨数列）
第n个Fibonacci数可递归地计算如下：
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算法总体思想

分治法的可行性： 如果原问题可以分成k个子问题，1<k<=n 子问题都可解 可利用子问题的解求出原问题的解
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算法总体思想
问题分解是求解复杂问题时很自然的做法。 求解一个复杂问题可以将其分解成若干个子问
题，子问题还可以进一步分解成更小的问题，直 到分解所得的小问题是一些基本问题，并且其求 解方法是已知的，可以直接求解为止。
T(n)
n/2
=
n/2
n
n/2 n/2
T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4
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算法总体思想

将求向上逐步求出原来问题的解。
int factorial(int n) { if (n==0) return 1; return n*factorial(n-1); }
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2.1 递归的概念
例2 Fibonacci数列（菲不尼茨数列） 无穷数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，……， 称为Fibonacci数列。它可以递归地定义为：
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算法总体思想

将要求解的较大规模的问题分割成k个更小规 模的子问题。
T(n)
=
n
T(n/2)
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T(n/2)
T(n/2)
T(n/2)
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算法总体思想

对这k个子问题分别求解。如果子问题的规模 仍然不够小，则再划分为k个子问题，如此递 归的进行下去，直到问题规模足够小，很容易 求出其解为止。
T(n)
n/2
=
n/2
n
n/2 n/2
T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4
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算法总体思想

将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模 的问题的解，自底向上逐步求出原来问题的解。
例3 Ackerman函数
前2例中的函数都可以找到相应的非递归方式定义：
n! 1 2 3 (n 1) n
n 1 n 1 1 5 1 1 5 F (n) 2 2 5
本例中的Ackerman函数却无法找到非递归的定义！！！
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2.1 递归的概念
例3 Ackerman函数 A(n，m)的自变量m的每一个值都定义了一个单变量 函数（根据m的不同可得到基于n的不同函数！）：

m=3时，类似的可以推出
A(n,3)=
2 2 n
2 2
, n>=0

m=4时，A(n,4)的增长速度非常快，以至于没有适 当的数学式子来表示这一函数。

1，2，3 1，3，2 2，1，3 2，3，1 3，1，2 3，2，1
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2.1 递归的概念
例4 排列问题 设计一个递归算法生成n个元素{r1,r2,…,rn}的全排列。
集合X中元素的全排列记为perm(X)。
(r)perm(X)表示在全排列perm(X)的每一个排列 前加上前缀r得到的排列。
T(n)
n/2
=
n/2
n
n/2 n/2
T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4
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算法总体思想

将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模 的问题的解，自底向上逐步求出原来问题的解。
多个元素的排序和查找比较少元素的排序和查找复杂 和困难的多！ 问题的规模越小，解题所需的计算时间往往也越短！
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算法总体思想

想法： 能否将“多个元素的排序和查找”变成数个 “较少元素的排序和查找”，分别进行？？？

分治
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算法总体思想

分治法的设计思想： 将一个难以直接解决的大问题，分割成一些 规模较小的相同问题，以便各个击破，分而 治之
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算法总体思想
通常，由分治法所得到的子问题与原问题具有相同的类
型。如果得到的子问题相对来说还太大，则可反复使用 分治策略将这些子问题分成更小的同类型子问题，直至 产生出不用进一步细分就可求解的子问题。由此可知， 分治法求解很自然地可用一个递归过程来表示。
总而言之：分治法作为一种算法设计策略，要求分解所
???????????????????????????????1125125151nnnf本例中的ackerman函数却无法找到非递归的定义
第2章
递归与分治策略
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学习要点:


理解递归的概念。
掌握设计有效算法的分治策略。 通过下面的范例学习分治策略设计技巧。
（1）二分搜索技术； （2）大整数乘法； （3）Strassen矩阵乘法；
n0 1 n! n(n 1)! n 0
较小自变量的函数值表 示较大自变量的函数值
递归方程： 递归定义式
边界条件与递归方程是递归函数的二个要素，
递归函数只有具备了这两个要素，才能在有限 次计算后得出结果。
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2.1 递归的概念
例1 阶乘函数
第n个阶乘可递归地计算如下：
2.1 递归的概念
例3

Ackerman函数
A(n，m)的自变量m的每一个值都定义了一个单变量 函数（根据m的不同可得到基于n的不同函数！）： m=1时，
n=0,

A(0,1)=1 n>=1,A(n,1)=A(A(n-1,1),0)

n=1,A（1,1）=A(A(0,1),0)=A（1,0)=2 n>1, A(n,1)=A(n-1,1)+2 A(n,1)=2*n
缀得到的排列。
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2.1 递归的概念
例4 排列问题 (/view/1710135.htm)

• •
全排列问题可以定义如下： 当n=1时，perm(R)=(r)，其中r是集合R中唯一的元素； 当n>1时，perm(R)由(r1)perm(R1)， (r2)perm(R2)，…，(rn)perm(Rn)构成。
int fibonacci(int n) { if (n <= 1) return 1; return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2); }
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2.1 递归的概念
例3 Ackerman函数（阿克曼函数）
当一个函数及它的一个变量是由函数自身定义时，称这个函数 是双递归函数。 Ackerman函数A(n，m)定义如下--有两个独立的整型变量m、n：