广东省肇庆市高要区第二中学2020_2021学年高一数学下学期段考二试题

某某省某某市高要区第二中学2020-2021学年高一数学下学期段考
二试题
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分（每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．()=+4
1i ( )
A. -4
B.4
C.i 4-
D.i 4
2.已知单位向量b a ,的夹角是︒60，则在下列向量中，与b 垂直的是( ) A.b a 2+ B.b a +2 C.b a 2- D.b a -2
3.已知复数ω在复平面内对应点在射线()02≥=x x y 上，且5=ω，则复数ω的虚部为 A.-2 B.2 C.-1 D.1
4.若空间四边形ABCD 中，AB =CD ，AB 与CD 所成角为0
90，E 、F 分别是BC 、AD 中点，
则EF 与AB 所成角大小为( )
A.0
30 B.0
45 C.0
60 D.0
90
5.已知圆柱的母线长是2，它的两个底面圆周在直径为62的同一个球的球面上，则该圆柱的表面积为( )
A.π54
B.()π368+
C.π310
D.()
π5410+
6.把边长2的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角后，下列命题正确的是( ) A ．⊥CD 平面ABC B ．平面⊥ABC 平面ACD
C ．2=AC
D ．三棱锥BCD A -的外接球的表面积为π8
7.在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，()62
2+-=b a c ，,3
π
=
C 则该三角
形的面积为( ) A.3 B.
239 C.23
3 D.33
8.已知平行四边形ABCD 中，2AB AD ==，60DAB ∠=︒，对角线AC 与BD 相交于点
O ，点M 是线段BC 上一点，则OM CM ⋅的最小值为( )
A ．169-
B ．169
C ．21-
D ．2
1 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分（第9—12题有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有错选的得0分） 9.给出如下四个命题，正确的有( ) A. 平行于同一个平面的两条直线是平行直线 B. 垂直于同一条直线的两个平面是平行平面
C. 若平面α内有不共线的三个点到平面β的距离都相等，则α//β
D. 若平面βα⊥，l =⋂βα，过平面α内的任意一点作交线l 的垂线，则此垂线垂直于平面β
10.如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -，E ，F 分别是AB 1，BC 1 的中点，则下面结论一定成立的是( )
A.EF 与A 1C 1平行
B.BC 1与AB 1所成角大小为3
π C. EF 与BB 1垂直 D.EF 与BD 垂直
11.若关于的x 方程02
=++q px x （q p ,是实数）有两个不等复数根βα和，其中
i 2
3
21+
-=α（i 是虚数单位）
，下面四个选项正确的有( ) A.1=⨯βα B.
12
=βα C.2=β
α D.233=+βα 12.已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为4，EF 是棱AB 上的一条线段，且EF ＝1，点Q 是棱A 1D 1的中点，点P 是棱C 1D 1上的动点，则下面结论中正确的是( ) A ．PQ 与EF 一定不垂直B ．二面角P ﹣EF ﹣Q 的正弦值是
10
10
C ．△PEF 的面积是22
D ．点P 到平面QEF 的距离是定值 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知向量()2,2-=a 与()R x x b ∈-=,,1，且
b
a //=. 14.已知复数
ω，且1=ω，则i 2-ω()是虚数单位i 的最大值是．
15. 正四棱锥的顶点都在同一个球的球面上，若该棱锥的侧棱长为23，底面边长为2，则
该球的体积为．
16.已知ABC ∆中，c b a ,,的内角分别是A ，B ，C ，若()
B C A 2
22sin sin sin -+B tan =
C A sin sin ⋅,则角B=．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）在①A c C a cos 3sin ⨯=,②2
2
2
c b bc a +=+这两个条件中任选一个，
补充到下面问题中进行解答．
问题：在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，． (1)求出角A ; (2)若2=a ，3=∆ABC S ，求c b ,． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18.（本小题满分12分）如图，三棱锥P ﹣ABC 中，PA ＝PC ，AB ＝BC ，∠APC ＝
120°，
∠ABC ＝90°，AC ＝3PB ＝2． （1）求证：AC ⊥PB ；
（2）求PB 与平面PAC 所成的角．
19. （本小题满分12分）（1）若非零向量,a b 满足23a b a b ==-，求a 与b 夹角θ的余弦值及a 在b 上的投影向量（用含b 的表达式表示）； （2）如右图，一个圆内接四边形中ABCD ，已知2=AB ，
,4,6===DA DC BC 求四边形ABCD 的面积．
20.（本题满分12分）如图，棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，,E F 分别是棱,AB AD 的中点，G 为棱1DD 上的动点．
（1）当G 是1DD 的中点时，判断平面1DBC 与平面
EFG 的位置关系，并加以证明；
（2）若直线EG 与D 1C 所成的角为60︒，求三棱锥
C EFG -的体积．
21.（本题满分12分）已知A,B ,C 是ABC ∆的三个内角，n m ⊥，其中向量
(),sin 2sin ,cos C B B m -==n ()B B C sin ,cos cos 2+.
（1）求角A ；（2）若3=BC ,求AC AB +的取值X 围.
22.（本题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，AD //BC ，平面⊥APD 平面ABCD ，
PD PA =，E 在AD 上，且2=====EA DE CD BC AB ．
（1）求证：平面PEC ⊥平面PBD ； （2）设直线PB 与平面PEC 所成的角为6
π
，求平面APB 与平面PEC 所成的锐二面角的余弦值．
2020－2021学年高要区二中第二次阶段性
考试
高一数学答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13、24 14、3 15、
16243π 16、656π
π或
17.解答：（选条件①）(1)由正弦定理得，A C C A cos sin 3sin sin =，因为0sin ≠C ，所以3tan cos 3sin =⇒=A A A ，又()π,0∈A ，故3
π
=A ；－－－－－5分
(2) 3sin 2
1
==
∆A bc S ABC 4=⇒bc －－－－－－－－－6分 由余弦定理A bc c b a cos 22
22-+=，即3
cos
4242
2
2
π
⨯⨯-+=c b
822=+c b －－－－－－8分
由8,42
2
=+=c b bc 得出2==c b －－－－－－－－－10分
（选条件②）(1)由余弦定理A bc c b a cos 22
22-+=知2
1
cos -
=A ，又()π,0∈A 故3
π
=
A ； －－－－－－－－－5分
(２)3sin 2
1
==
∆A bc S ABC 4=⇒bc －－－－－－－－－6分
由余弦定理A bc c b a cos 22
2
2
-+=，82
2
=+c b －－－－－－8分
由8,422=+=c b bc 得出2==c b －－－－－－－－－－10分 18.【解答】（1）证明：取AC 的中点为O ，连接BO ，PO ． 在△PAC 中，∵PA ＝PC ，O 为AC 的中点，∴PO ⊥AC ， 在△BAC 中，∵BA ＝BC ，O 为AC 的中点，∴BO ⊥AC ， ∵OP ∩OB ＝O ，OP ，OB ⊂平面OPB ，∴AC ⊥平面OPB ， ∵PB ⊂平面POB ，∴AC ⊥BP ------------------------------6分
（2）解：在直角三角形ABC 中，由AC ＝2，O 为AC 的中点，得BO ＝1. 在等腰三角形APC 中，由∠APC ＝120°，得PO ＝
3
3， 又∵PB ＝
3
3
2，∴PO 2+BO 2＝PB 2，即PO ⊥BO ， 又BO ⊥AC ，AC ∩OP ＝O ，∴BO ⊥平面ABC ，---------------9分 即OPB ∠为PB 与平面PAC 所成的角． 在POB Rt ∆中，21cos ==
∠PB OP OPB ,3π=∠OPB ,PB 与平面PAC 所成的角大小为3
π
.
19. （1=02>=-k ——————1分
⇒=+⋅-=+⋅-=2
2
2
2
2
496496k k k 2
32
k =⋅--------3分 故a 与b 的夹角θ的余弦值,
4
3
cos ==
θ在上的投影向量为23.----6分
(2) ABC ADC ABC ADC ∠-=∠=∠+∠cos cos ,π--------------------7分 连接AC ，在ABC ∆和ADC ∆分别使用余弦定理得：
ADC ABC AC ∠⨯⨯-+=∠⨯⨯-+=cos 44244cos 6226222222
即71cos =
∠ABC ，所以，7
3
4sin =∠ABC ，四边形ABCD 的面积S =
()387
34446221
=⨯⨯+⨯=
+∆∆ADC ABC S S -------------------12分 注：其他解法可参照评分标准酌情给分
20. 解：（1）依题意可以判断，平面1DBC 与平面EFG 平行．连结1AD ，
,F G 分别是
1,AD DD 的中点，1//FG AD ∴，又
11//AB D C ，且11AB D C =，
∴四边形11ABC D 是平行四边形
111//,//AD BC FG BC ∴∴，
又⊄1BC 平面EFG ，且⊂EF 平面EFG ，
1//BC ∴平面EFG ． —————2分
易证BD //平面EFG ，又B BC BD =⋂1，
11,BDC BC BD 平面⊂，
故平面1DBC //平面EFG ————————————5分 （2）取CD 的中点O ，连结,OE OG ，
由题意可知，OE ⊥平面11DCC D ，————6分 因为GO //D 1C ，
OGE ∴∠是直线EG 与D 1C 所成的角， 60OGE ∴∠=︒，在Rt OEG 中，22
3tan 603
OG =
=︒，
∴在Rt ODG 中，2
2
233133DG ⎛⎫=-= ⎪
⎝⎭
，————————10分 21
1113
32112123
322C FFG G CEF CFF V V S
DG --⎛⎫∴==⋅=⨯-⨯⨯-⨯⨯⨯⋅= ⎪
⎝⎭．12分 21.解答：（1）0=•⇒⊥n m n m ，()()0sin sin 2sin cos cos 2cos =-++B C B B C B ，
()01cos 2=++C B ，故()21
cos -=+C B .------------4分
因为()π,0∈+C B ,所以,32π=+C B 3
π
=A ------------5分
（2）,3,3
==
BC A π
由正弦定理得
2sin sin sin ===A
BC
B A
C C AB ,C AB sin 2=, ⎪⎭
⎫
⎝⎛-==C B AC 32sin 2sin 2π
故⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+C C AC AB 32sin 2sin 2π=C C cos 3sin 3+=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+C C cos 21sin 2332 =⎪⎭
⎫
⎝
⎛
+
6sin 32πC ------------------------10分 因为⎪⎭⎫ ⎝
⎛∈32,
0πC ,所以⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+65,66πππC ,(]
32,36sin 32∈⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+πC . 所以,AC AB +的取值X 围是
(
]
32,3.-----------12分
22.解：（1）连接PE ，BD ．
//AD BC ，PA PD =，E 在AD 上，且2AB BC CD DE EA =====．
PE AD ∴⊥，四边形EBCD 为菱形，BD CE ⊥
平面APD ⊥平面ABCD ，PE ∴⊥面ABCD ，BD PE ⊥ 且PE
EC E =，DB ∴⊥面PEC
DB ⊂平面PBD ，∴平面PEC ⊥平面PBD ；5分
（2）易得四边形AECB ，BCDE 为菱形，ABE ∴∆、BCE ∆、CDE ∆均为正三角形． 设EC
BD O =，可得1EO CO ==
，BO DO ==
由（1）得BD ⊥面PEC ，BPO ∠为直线PB 与平面PEC 所成的角，∴6
BPO π
∠=．
∴2PB OB ==
，PE ==11=⇒HP .————8分
过P 作直线//m EC ，可得面APB ⋂平面PEC m =． 取AB 中点H ，则PH m ⊥，又PE EC ⊥，可得PE m ⊥
HPE ∴∠平面APB 与平面PEC 所成的锐二面角．
在Rt PHE ∆中，cos PE HPE PH ∠=
== 平面APB 与平面PEC 12分。