第八章位移法new

1）在B结点增加附加转动约束（附加刚臂）( )。
附加转动约束只能阻止刚结点的转动，不能阻止结
点之间的相对线位移。此时产生固端弯矩
M
F。
BC
q
锁A 住
B 0
B
C
q
M
F BA

0,
M
F BC


ql2 。 8
B
M
F BC
C
2）令B结点产生转角

(
B
)。此时AB、BC杆类似
于B端为固端且产生转角 B 的单跨超静定梁。 4
20
三. 固端弯矩
单跨超静定梁在荷载作用下产生的杆端弯矩称为 固端弯矩。固端弯矩以顺时针方向为正，逆时针方向 为负。
1. 两端固定的梁：
q
ql 2 12
A
ql 2 24
l
ql 2 12 FP l 8
B
A
FP
FP l 8
B
FP l
l/2
8
l/2
M
F AB


ql 2 12
,
M
F BA

ql 2 。 12
增加附加链杆：
B EA C
Z1 BH CH
B EA = 有限值 C
Z1 BH
Z2 CH
A
DA
Z3 D
D
Z1 B
Z2 C
C
Z1 B
Z4 BH B
A
C
Z5 CH
Z2


B
BH
E A
D
当BD杆： EI无限大
D
？
12
§8-2 等截面直杆的刚度（转角位移）方程
25
例8-3-1 采用位移法求作图示刚架的 M 图，已知各杆 的 EI 相同。
B
i
Di E
i
A
4m
i
C
4m
4m i EI
4
解：
1. 直接列方程法:直接利用结点的力矩平衡条件来建 立位移法的一般方程。
1）确定基本未知量为：θB ( )和 θD ( )
26
2）列出杆端弯矩的表达式:
10.67
B 0 B
第八章 位移法
§8-1 位移法的基本概念 §8-2 等截面直杆的刚度方程 §8-3 无侧移刚架和有侧移刚架的计算 §8-4 对称结构的简化计算 §8-5 支座移动，温度变化及具有弹性支座结构的计算 §8-6 带有斜杆刚架的计算 §8-7 剪力分配法
1
2
§8-1 位移法的基本概念
一. 位移法的基本概念
l
A
EI
B
A
AB
l B
M AB 4i A M BA 2i A
A
i
B
A
M AB 2iB M BA 4iB
MAB EI
MBA
A
B
A
l B
AB
A
i
B
B
A MAB i MBA B
AB
6i M AB M BA l AB15
由上图可得：
M AB

若一个结构须要附加 j 根链杆才能使所有内部的
结点成为不动点（没有任何结点之间的相对线位移发 生），则该结构中独立的结点之间的相对线位移的基
本未知量的数目就是 j个。
采用位移法求解的基本未知量的数目= i j
+
结构内部刚结点的转角位移 Zi K
结构中独立的结点之间的相对线位移
Zj

11 KL
M DB M DC M DE 0,
2iB 8iD 32.00 0，2
B 0.356 / i( )。
D 3.911/ i( )。
31
4）作弯矩图：
将求得的 θB，θD 代入杆端弯矩表达式，得：
M AB 0.71KN m MBA 1.42KN m MBD 1.42KN m
C
C 似乎看D起来
Z2 C 比较容易。
A
B
C
Z1 B
Z2 C
A
D
E
10
2．独立的结点之间的相对线位移的基本未知量Z j KL
的确定：
采用增加附加链杆的方法只确限定制独相立对的线结位点移之间的
相对线位移的基本未知量 Z j KL。
从两个不动点（没有线位移的点）引出的两根无 轴向变形的杆件，其交点没有线位移。
4i A

2i B

6i l
AB ;
M BA

2i A

4i B

6i l

。
AB
可以写成为：

M
AB


4i

M
BA

2i
2i 4i

6i l 6i l

A
B


AB


上式就是两端固定的梁的刚度（转角位移）方程。
M
F AB


FP l 8
,
M
F BA

FP l 8
。
21
2. 一端固定，一端可动铰支座的梁:
ql 2 8 A
q
ql 2 16
l
3FP l 16
FP
BA
B 5FP l 32
l/2 l/2
M
F AB


ql 2 8
,
M
F BA

0。
M
F AB


3FP l 16
,
M
F BA

0。
22
3. 一端固定，一端滑动支座的梁: q
负。
A
B
FP C
D
B
C
3．杆件两端的相对线位移 ik: 杆件两端的相对线位移 ik 的正负号与弦转角β
的正负号一致。而β 以顺时针方向为正，逆时针方向
为负。
A AB
l
AB
l
B
AB
AB A
B
14
二.等截面直杆的刚度（转角位移）方程
1. 两端固定的梁:( i EI )

r12 Z2 r22 Z2

R1P R2 P

0， 0。
3）计算系数和自由项：
6

8 42
6

21.33。
27
θB
D 0
B
i
i
A
Di E i C
b) 由于θB 产生的杆端弯矩
i EI 4
M BA

4i
，
B
M AB

2i
。
B
M BD

4i
，
B
M DB

2i
。
B
28
B 0
D
B
i
i
A
Di E i C
i EI 4
c) 由于θD 产生的杆端弯矩
M AB

4i A

6i l
AB
M BA

2i A

6i l
AB
19
2)
MAB EI
AB

i
A

l
MAB
AB

i
A

EI l
A
BA
B
M AB

3i A

3i l
AB
3) A
MAB
i

EI l
MBA B
A
MAB i EI
l
MBA
B
A
A
M AB i A
MBA i A
解:
1）确定基本未知量的个数，并选取基本体系:
容易确定此刚架只有两个结点的转角位移为基本
未知量： Z1 B 和 Z2 D，选取基本体系如下图所
示。
Z1 B 0 Z2 D 0
B
i
基本体系
i
Di E i
A
C
33
2）列出位移法的典型方程：

r11 Z1 r21 Z1
一. 符号规则:
B MBC
MCB C
1．杆端弯矩:
规定杆端弯矩顺时针
MBA
方向为正，逆时针方向为
负。
杆端弯矩具有双重身份： A
1）对杆件隔离体，杆端弯矩是外力偶，顺时针方向 为正，逆时针方向为负。
2）若把杆件装配成结构，杆端弯矩又成为内力，弯 矩图仍画在受拉侧。
13
2．结点的转角位移 i :
规定结点转角以顺时针方向为正，逆时针方向为
MDE iD 42.67。
M AB

2i
。
B
MED iD 21.33。
30
3）建立位移法方程，并求解：
由结点B和结点D的平衡条件，可得：
B
MBD
MDB
D MDE
MBA
MB 0,
MBA MBD 0,
8iB 2iD 10.67 0, 1
MDC
MD 0,
ql 2 3
FP l 2
A
BA
l
ql 2 6
l
FP
B FP l 2
M
F AB


ql 2 3
,
M
F BA


ql 2 6
。
M
F AB


FP l 2
,
M
F BA


FP l 2
。
各种单跨超静定梁的固端弯矩可查教材附表。
23
四.正确判别固端弯矩的正负号:
q
q
A
l
M
F AB


ql 2 8
q
M
F AB

0，
6i B

ql 2 8
0。
5）作弯矩图:
B

ql 2 48i
(
)
将求得的B 代入杆端弯矩表达式，得到：
M BA

3i B

3i
ql 2 48i

ql 2 16
,
M BC

3i B

ql 2 8

ql 2 16

ql 2 8

ql 2 。 16
ql 2 16
A B
C
M 图 3ql2 32


ql 2 8
BA
B
B
ll
A
A
B
l
M
F BA

ql 2 8
q
M
F AB

ql 2 8
24
§8-3 无侧移刚架和有侧移刚架的计算
一. 采用位移法求解无侧移的刚架 有两种建立位移法方程的方法：
1）直接列方程法：直接利用平衡条件建立位移法的 典型方程。
2）典型方程法：利用位移法的基本体系来建立位移 法的典型方程。
MDB 27.02KN m MDC 11.73KN m MDE 38.76KN m
MED 25.24KN m
8kN/m 27.02 38.76
1.42
B 1.78 i
D
i 11.73 i
i
E 25.24
4m
M 图( KN m) A 0.71
C
4m
4m
32
2. 典型方程法：利用位移法的基本体系来建立位移法 的典型方程。
所示。
q
q
A
BA
B
M
F AB


ql 2 8
,
M
F BA

0。
M
F AB


ql 2 12
,
M
F BA

ql2 。 128
i EI / l
A A
BA
i EI / l B
A
MAB 4iA,
M BA

2i
。
A
M AB 3iA,
MBA 0。
为了减少人工计算时基本未知量的数目，在采用 位移法求解时，确定结构的基本未知量之前，引入如 下的基本假设：对于受弯杆件，忽略其轴向变形和剪 切变形的影响。
7
二.位移法的基本未知量的确定
位移法的基本未知量是结构内部的刚结点（不
包括支座结点）的转角
和独立的结点之间的相对
i
线位移 j 。
不把支座结点的可能位移作为位移法的未知量是
因为：
1）为了减少人工计算时基本未知量的数目； 2) 单跨超静定梁的杆端弯矩表达式中已经反映了支座 可能位移（转角位移，相对线位移）的影响，如下图
亦即假定杆件在轴向是刚性的，杆件在发生弯曲 变形时既不伸长也不缩短。
9
1．刚结点的转角位移的基本未知量 Zi K的确定：
结构内部有多少个刚结点就有多少个结点的转角
位移被只确限定制为转基角本位未移知量，增加附加刚臂。结点的转
角位移的基本未知量的数目就是 i 个。
A
B
Z1 B
B
Z1 B
17
3. 一端固定，一端定向滑动支座的梁：
MAB A
EI MBA
B
i EI l
A
M AB i A,M BAຫໍສະໝຸດ i。
A
18
4. 等截面直杆只要两端的杆端位移对应相同，则相应 的杆端力也相同。
1)
AB
A
MAB
MAB
A i EI MBA
l
AB

i
A

EI l
BA
MBA B
式中系数4i、2i、6i/l 称为刚度系数，即产生单位 杆端位移所需施加的杆端弯矩。
16
2. 一端固定，一端滚轴支座的梁:
A M AB EI
A
l
i EI l
B AB
A
M AB 3i A
i
B
A
A
i
M AB


3i l

B AB
M AB

3i A

3i l
AB ;
MBA 0。
B
A
B
放
i
松
3i B
A
i B
BB
3i B
3）杆端弯矩的表达式:
i
B i
Ci EI l C
M BA

3i
，
B
M BC

3iB

ql 2 。 8
4）建立位移法方程，并求解:
由结点B的力矩平衡条件，可得:
MB 0， MBA MBC 0。 5
3i B
3iB

ql 2 8
6
小结：
1）位移法的基本未知量是结构内部刚结点（不包括 支座结点）的转角位移或结点之间的相对线位移。
2）选取内部结点的位移作为未知量就已经满足了结 构的变形协调条件：位移法的典型方程是力（其中 包括力矩）的平衡方程，满足了结构中力的平衡条 件。