(毕节专版)中考数学复习 第2章 方程(组)与不等式(组)第7课时 一元二次方程(精讲)试题-人教版

第7课时 一元二次方程
某某中考考情及预测
近五年中考考情 2019年中考预测
年份 考查点 题型
题号 分值 预计将考查一元
二次方程的应用，以解答题的形式呈现.
2018
一元二次方程根的判别式
填空题 18 5 一元二次方程的解
解答题
22
8
2017
未单独考查
2016 一元二次方程的应用
解答题 23 10 2015 一元二次方程根的判别式
选择题 12 3 一元二次方程的解
填空题 17 5 一元二次方程的应用 填空题 20 5 2014
一元二次方程的解
解答题
22
8 一元二次方程的应用
解答题 25（2） 3
某某中考真题试做
一元二次方程及其解
1.（2018·某某中考）先化简，再求值：
⎝ ⎛⎭⎪⎫2a a 2－4－1a －2÷
a a 2＋4a ＋4，其中a 是方程a 2＋a －6＝0的解. 解：⎝ ⎛⎭⎪
⎫2a a 2－4－1a －2÷a a 2＋4a ＋4 ＝2a －（a ＋2）a 2
－4·a 2
＋4a ＋4a ＝a －2（a ＋2）（a －2）·（a ＋2）2
a ＝a ＋2
a
. ∵a 是方程a 2
＋a －6＝0的解， ∴a ＝2或a ＝－3.
又∵当a ＝2时，原分式无意义，∴a ＝－3. 当a ＝－3时，原式＝－3＋2－3＝1
3
.
一元二次方程根的判别式
2.（2015·某某中考）若关于x 的一元二次方程x 2
＋（2k －1）x ＋k 2
－1＝0有实数根，则k 的取值X 围是（ D ）
A .k ≥54
B .k ＞54
C .k ＜54
D .k ≤54
一元二次方程根的应用
3.（2015·某某中考）一个容器盛满纯药液40 L ，第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这时容器里只剩下纯药液10 L ，则每次倒出的液体是20L .
4.（2016·某某中考）为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014年该县投入教育经费6 000万元.2016年投入教育经费8 640万元.假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同.
（1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；
（2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2017年该县投入教育经费多少万元. ，得
6 000（1＋x ）2
＝8 640.
解得x 1＝0.2＝20%，x 2＝－2.2（不合题意，舍去）. 答：这两年该县投入教育经费的年平均增长率为20%；
（2）因为2016年该县投入教育经费为8 640万元，且年平均增长率为20%， 所以2017年该县投入教育经费为8 640×（1＋20%）＝10 368（万元）. 答：预算2017年该县投入教育经费10 368万元.
某某中考考点梳理
一元二次方程的概念
一个未知数，并且都可以化成ax 2
＋bx ＋c ＝0（a ，b ，c 为常数，a ≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程.
方法点拨
判断一个方程是一元二次方程的条件：①是整式方程；②二次项系数不为零；③未知数的最高次数是2，且只含有一个未知数.
一元二次方程的解法
直接开 平方法 这种方法适合于左边是一个完全平方式，而右边是一个非负数的一元二次方程，即形如（x ＋m ）2
＝n （n≥0）的方程.
配方法 配方法一般适用于解二次项系数为1，一次项系数为偶数的这类一
元二次方程，配方的关键是把方程左边化为含有未知数的完全平方
式，右边是一个非负常数.
公式法 求根公式为x ＝－b ±b 2
－4ac
2a
，适用于所有的一元二次方程.
因式分
解法
一般步骤：（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解成两个一
次因式的乘积；（3）令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，
解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解.
一元二次方程根的判别式
2
＋bx ＋c ＝0（a≠0）的根的情况可由b 2－4ac 来判定，我们将b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2
＋bx ＋c ＝0
（a≠0）的根的判别式.
（1）b 2
－4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）b 2－4ac ＝0⇔方程有两个相等的实数根. （3）b 2－4ac<0⇔方程没有实数根； 方法点拨
（1）一元二次方程有实数根的前提是b 2
－4ac ≥0； （2）当a ，c 异号时，Δ>0.
一元二次方程的应用
（1）审题；（2）设未知数；（3）列方程；（4）解方程；（5）检验；（6）得结论.
（1）增长率中的等量关系：增长率＝增量÷基础量；
（2）利率中的等量关系：本息和＝本金＋利息，利息＝本金×利率×时间；
（3）利润中的等量关系：毛利润＝售出价－进货价，纯利润＝售出价－进货价－其他费用，利润率＝利润÷进货价.
1.关于x 的方程（a －1）x
|a|＋1
－3x ＋2＝0是一元二次方程，则（ C ）
A .a ≠±1
B .a ＝1
C .a ＝－1
D .a ＝±1
2.（2018·某某中考）已知一元二次方程x 2
＋kx －3＝0有一个根为1，则k 的值为（ B ）
A .－2
B .2
C .－4
D .4
3.（2018·某某中考）已知关于x 的一元二次方程x 2
＋4x ＋k ＝0有两个实数根，则k 的取值X 围是（ C ）
A .k ≤－4
B .k ＜－4
C .k ≤4
D .k ＜4
4.（2018·眉山中考）先化简，再求值：
⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2
－1x 2＋x －x 2
－2x x 2
＋x ÷2x 2
－x x 2＋2x ＋1，其中x 满足x 2－2x －2＝0. 解：原式＝[x 2
－1x （x ＋1）－x 2
－2x x （x ＋1）]÷x （2x －1）（x ＋1）2
＝2x －1x （x ＋1）·（x ＋1）
2
x （2x －1） ＝x ＋1x
2. ∵x 2
－2x －2＝0， ∴x 2
＝2x ＋2＝2（x ＋1）， ∴原式＝x ＋12（x ＋1）＝12
.
5.（2018·某某中考）某地2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1 280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金1 600万元.
（1）从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？
（2）在2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1 000户（含第1 000户）每户每天奖励8元，1 000户以后每户每天奖励5元，按租房400天计算，求2017年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励.
，得
1 280（1＋x）2＝1 280＋1 600，
解得x＝0.5＝50%或x＝－2.5（舍去）.
答：从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%；
（2）设2017年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励.
∵8×1 000×400＝3 200 000<5 000 000，
∴a>1 000.
令3 200 000＋（a－1 000）×5×400≥5 000 000，
则a≥1 900.
答：2017年该地至少有1 900户享受到优先搬迁租房奖励.
中考典题精讲精练
一元二次方程及其解
例1 若方程（n－1）x2＋nx－1＝0是关于x的一元二次方程，则（C）
A.n≠1
B.n≥0
C.n≥0且n≠1
D.n为任意实数
【解析】一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0（a，b，c是常数，且a≠0），当n－1≠0，n≥0，即
n≥0且n≠1时，（n－1）x2＋nx－1＝0是关于x的一元二次方程.
一元二次方程根的判别式
例2 （2018·某某中考）已知关于x的一元二次方程x2－x＋m－1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的
取值X 围是m<5
4
Ｗ.
【解析】一元二次方程ax 2
＋bx ＋c ＝0（a≠0）的根与Δ＝b 2
－4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，x 2
－x ＋m －1＝0有两个不相等的实数根，得Δ＝b 2
－4ac ＝（－1）2
－4（m －1）＞0，解不等式即可得出m 的取值X 围.
解一元二次方程
例3 用适当的方法解下列方程： （1）（x －1）2
＝9； （2）3x 2
－6x ＝0； （3）x 2＋2x ＝5；
（4）4x 2－8x ＋1＝0（用公式法）.
【解析】解一元二次方程，公式法是解一元次方程常用方法，因式法分解法是解一元二次方程的简便方法，根据方程的特点选择适当的方法是解题关键.
【答案】解：（1）直接开平方，得x －1＝±3， 即x ＝1±3， ∴x 1＝4，x 2＝－2；
（2）提公因式，得3x （x －2）＝0， ∴x ＝0或x －2＝0， ∴x 1＝0，x 2＝2；
（3）原方程可变形为（x ＋1）2
＝6， 开平方，得x ＋1＝±6， ∴x ＝－1±6；
（4）∵a＝4，b ＝－8，c ＝1，
∴Δ＝b 2
－4ac ＝（－8）2
－4×4×1＝48＞0，
∴x ＝8±482×4＝2±32
.
一元二次方程的应用
例4 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件.若商场平均每天盈利2 100元，每件衬衫应降价多少元？请完成下列问题：
（1）未降价之前，该商场衬衫的总盈利为元；
（2）降价后，设该商场每件衬衫应降价x 元，则每件衬衫盈利元，平均每天可售出件（用含x 的代数式进行表示）；
（3）请列出方程，求出x 的值.
【解析】（1）利用销量×每件的利润，计算出结果即可； （2）每件的盈利＝原利润－降价；销量＝原销量＋多售的数量；
（3）商场平均每天盈利数＝每件的盈利×售出件数；每件的盈利＝原来每件的盈利－降价数. 【答案】解：（1）20×45＝900（元）. 故应填：900；
（2）降价后，该商场每件衬衫应降价x 元，则每件衬衫盈利（45－x ）元，平均每天可售出（20＋4x ）件. 故应填：（45－x ），（20＋4x ）；
（3）由题意，得（45－x ）（20＋4x ）＝2 100， 解得x 1＝10，x 2＝30.
由于要求尽快减少库存，故x 的值应为30.
1.下列方程为一元二次方程的是（ C ）
A .x 2－3＝x （x ＋4）
B .x 2－1
x
＝3 C .x 2－10x ＝5 D .4x ＋6xy ＝33
2.已知关于x 的方程（m －1）xm 2
＋1＋2x －3＝0是一元二次方程，则m 的值为（ B ）
A .1
B .－1
C .±1
D .不能确定
2
＋mx －2＝0的根的情况为（ B ）
A .有两个相等的实数根
B .有两个不相等的实数根
C .只有一个实数根
D .没有实数根
2
－x －2
k
＝0（k≠0）.
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根都是整数，求整数k 的值.
（1）证明：在一元二次方程kx 2－x －2k ＝0（k≠0）中，Δ＝（－1）2
－4k×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ＝9＞0，
∴这个方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵方程的根为x ＝1±92k ＝1±3
2k
， ∴x 1＝2k ，x 2＝－1
k
.
∵方程的两个实数根都是整数，且k 是整数， ∴k ＝－1或k ＝1.
5.用适当方法解下列方程： （1）（3x －1）2
＝1； （2）2（x ＋1）2
＝x 2
－1； （3）（2x －1）2＋2（2x －1）＝3； （4）（y ＋3）（1－3y ）＝1＋2y 2
. 解：（1）直接开平方，得3x －1＝±1，
∴3x －1＝1或3x －1＝－1， ∴x 1＝2
3
，x 2＝0；
（2）原方程可变形为2（x ＋1）2
－（x ＋1）（x －1）＝0， （x ＋1）（2x ＋2－x ＋1）＝0，即（x ＋1）（x ＋3）＝0， ∴x ＋1＝0或x ＋3＝0， ∴x 1＝－1，x 2＝－3；
（3）原方程可变形为（2x －1）2
＋2（2x －1）＋1＝4，（2x －1＋1）2
＝4，4x 2
＝4， 即x 2
＝1， ∴x 1＝1，x 2＝－1；
（4）整理，得5y 2
＋8y －2＝0. ∵a ＝5，b ＝8，c ＝－2，
Δ＝b 2
－4ac ＝82
－4×5×（－2）＝104＞0， ∴y ＝－8±1042×5＝－4±265
.
6.（2018·某某中考）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1 200元？ 解：（1）3×2＋20＝26（件）. 故应填：26；
（2）设每件商品降价x 元时，该商店每天销售利润为1 200元，则平均每天销售数量为（20＋2x ）件，每件盈利为（40－x ）元，且40－x≥25，，得（40－x ）（20＋2x ）＝1 200，
即x 2－30x ＋200＝0，
解得x1＝10，x2＝20（舍去）.
答：当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1 200元.。