九年级数学下册2.4.1二次函数应用教案2新版北师大版20170802220

课题：二次函数的应用
教课目的：
1．经历研究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获取利用数学方法解决实
际问题的经验，并进一步感觉数学模型思想和数学知识的应用价值.
2．能够剖析和表示不一样背景下实质问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次
函数的知识解决实质问题中的最大(小)值问题．
3．能够对解决问题的根本策略进行反省，形成个人解决问题的风格．进一步领会数学
与人类社会的亲密联系.
教课要点与难点：
要点：
经历研究矩形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获取利用数学方法解决实质问题
的经验，并进一步感觉数学模型思想和数学的应用价值.
难点：
能够剖析和表示不一样背景下实质问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数
的知识解决实质问题．
课前准备：导教案,多媒体课件．
教课过程:
一、创建情境，导入新课
活动内容：〔利用导教案〕
研究活动：以小组为单位，用长1米的绳索
看哪个小组围成的图形最
围成不一样的图形，
多，并估量出所围成的这些图形中，哪个图
形的面积最大？
图形面积
办理方式：学生先把答案写在导教案上，而后小组内沟通，班级内比较的到就地合款相等时面积最大.
设计企图:增添学生的着手能力和小组合作研究能力，同时也为了复习图形的面积公式，
会用估量的方法比较这些图形的面积大小，研究此中的规律，为本节课学习最大面积问题做好铺垫．
二、研究学习，感悟新知
活动内容：〔多媒体展现〕
问题一：研究两边在直角三角形直角边上内接矩形的最大面积
如图，在一个直角三角形的内部作一个长方形
E
ABCD ，此中AB 和AD 分别在两直角边上．
〔1〕设长方形的一边AB ＝x m ，那么AD 边的
30mD
C
长度如何表示？
〔2〕设长方形的面积为
2
A
B y m ，当x 取何值时，
40m
y 的值最大？最大值是多少？
解：〔1〕∵BC ∥AD ，
∴△EBC ∽△EAF ．∴
EB
BC ． EA
AF
又AB ＝x ，BE ＝40－x ，
∴40x
BC ．∴BC ＝3
(40－x )． 40
30 4
∴ AD ＝BC ＝3
(40－x )＝30－3
x ． （ 4 4
2〕y ＝AB ·AD ＝x (30－3x )＝－3
x 2＋30x
4 4
3
2
＝－ 〔x －40x ＋400－400〕
3
2
＝－ 〔x －40x ＋400〕＋300 ＝－3
〔x －20〕2＋300．
4
当x ＝20时，y 最大＝300．
即当x 取20m 时，y 的值最大，最大值是
2
300m ．
办理方式：学生议论沟通，在导教案上达成后，学生之间相互展现结果议论增补 合时评论，并在多媒体上展现正确结果 .
F
教师
设计企图：从矩形的面积公式下手，利用相像三角形的性质表示出此外一条边，
才能列
出函数表达式，这一过程先由学生独立思虑后，分组合作研究、沟通，帮助个别存在困难的
同学解决．本题的思路也是解决矩形最大面积问题最常用的方法．
问题二：研究一边在直角三角形斜边上内接矩形的最大面积
〔多媒体展现〕
如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形
ABCD ，此中BC 在斜边上，A,D 在直角边
上．假如设矩形的一边AD xm ，那么AB 边的长度如何表示？当
x 取何值时，矩形面积y
的值最大？最大值是多少？
E
解：设矩形的一边AD
xm ，
C
N
30m D
B
M
F
G
A
40m
由GAD
GFD ，得
AD
GM ，
EF
GN
即xGM ，5024 ∴GM
12x ．
25
24
12
x ． ∴AB
MNGN
GM
25
S 矩形
ABCD
ADAB
x(24 12x)
12x 2 24x ．
25
25
当x
b
24 25
时，y 有最大值，最大值为
y
最大值
24 2
2a
12
300
12
2()
4(
)
25
25
办理方式：在有了前面解答问题的经验以后，
让学生自主研究，追求变量与不变量之间
的关系，模仿第一种状况，再一次体验解决此类问题的步骤和方法，本环节相当于对问题 1
的牢固练习，学生在仔细听讲的前提下达成应当没有问题，提示学生计算要仔细．
设计企图：在上一道题的根基上，
利用相像三角形的性质表示出矩形的另一条边长，
列
出二次函数表达式，但本题上了难度，难度在于利用的是相像三角形对应高的比等于相像比
这一性质，并且还要用到等积法求直角三角形斜边上的高．充足发挥学生的主动研究能力，
并由个别程度较好的学生解说，最后再板书进行反省总结．
三、例题分析,新知应用
活动内容：〔多媒体出比如题〕
某建筑物的窗户以下列图，它的上半部是半圆，下半部是矩形，
制造窗框的资料总长 (图中全部黑线的长度和)为15m ．当x 等于多少
时，窗户经过的光芒最多 (结果精准到 0.01m)？此时，窗户的面积是
多少？
解：∵7 ＋4 y ＋π x
＝15，
x
∴y ＝
15
7x x ．
4
设窗户的面积是
2
(m)，那么
S
S ＝
1
2
＋ xy
2 πx
2
＝1
πx 2
＋2x ·157x
x
2
4
＝1πx 2
＋x(15
7x
x)
2
2
＝－3.5x 2＋7.5x
2
15
＝－3.5(x － x )
＝－3.5(x －15)2＋1575
． 14
392
∴当x ＝
15
≈1.07时， 14
1575
S 最大＝
≈4.02．
2
即当x ≈1.07m 时，S 最大≈4.02m ，此时，窗户经过的光芒最多．
答案：
2
x
时，
.
mS 最大
m
办理方式：本题含有两个图形的面积计算， 主假如想进一步提高学生剖析问题和解决问
题的能力，牢固训练列二次函数表达式和求最值的方法． 让学生理解经过窗户光芒多少与窗
户面积大小相关．本题办理起来比较繁琐，教师要赐予学生实时的指导和帮助， 同时也告诉
学生数学根本运算也是培育大家做事谨慎、有耐心的一个很好的门路．
设计企图：在学生已有的研究“面积最大值〞经验获取的领会中，让学生连续沿着这条
研究路线走下去，既能牢固前面的研究方法，又能让学生再次感觉“数学根源于生活〞
.
方法提炼：
我们已经做了许多用二次函数知识解决实质问题的例子， 此刻大家可否依据前面的例子
作一下总结，解决此类问题的根本思路是什么呢？与伙伴进行沟通．
〔学生议论，教师多媒
体展现〕 理解问题；
剖析问题中的变量和常量以及它们之间的关系； 用数学的方式表示它们之间的关系； 做函数求解；
查验结果的合理性，拓展等．
设计企图：一鼓作气，实时进行小结，总结做题的方法及思路，抓住这类题目的实质， 抵达贯通融会的目的和成效． 四、拓展提高 ,学致使用
一养鸡专业户方案用 116m 长的篱笆笆靠墙围成一个长方形鸡舍，
如何设计才能使围成的长方形鸡舍的面积最大？最大为多少？
2
解：设AB 长为x m ，那么BC 长为(116－2x )m ，长方形面积为 S m ．
依据题意得 S ＝x (116－2x ) ＝－2x 2＋116x
＝－2(x 2－58x ＋292－292)
＝－2(x－29)2＋1682．
当x＝29时，S有最大值1682，这时116－2x＝58．
即设计成长为58m，宽为29m的长方形时，能使围成的长方形鸡舍的面积最大，最大面
2
积为1682m．
办理方式：学生经过思虑并沟通议论，研究出需要利用本节课学的知识解决题目，教师
利用多媒体展现答案.活动的设计意在经过问题的变式促进学生灵巧运用知识，在解决实质
问题中,重视知识的展开,有利于后续学习兴趣的培育.
设计企图：让同学们经过刚才的学习和体验后进行练习，深入浅出地对题目进行剖析和
理解并解决问题，固然其实不要求他们在此后都用这样的方法解题，但对于培育他们形成优异
的心理素质和培育他们剖析问题、解决问题的能力是很有帮助的．
五、回想反省，提炼升华
师：同学们，经过这节课的学习，你有哪些收获？那些迷惑？有何感想？学会了哪些方
法？先想想，再分享给大家．
1〕经过本节课掌握了利用相像三角形的性质表示矩形的另一边，是列矩形面积函数关系式的要点．
2〕图形最大面积问题，实质上是二次函数的最值问题．
3〕解决此类问题，第一要理解问题，剖析问题中的变量和常量，以及它们之间的关
系是难点，用数学的方式表示它们间的关系是要点，化归为二次函数运用公式求解是易错点，要做对做全需要我们必定根本功扎实，养成优异的数学修养！
办理方式：学生畅聊自己的收获，教师增补.
设计企图：讲堂总结是知识积淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反省与总
结的习惯，进一步培育学生总结概括的能力与合作互帮的意识.
六、达标检测，反响提高
师：经过本节课的学习，同学们的收获真多！收获的质量如何呢？请达成导教案中的达
标检测题．〔同时多媒体出示〕
如图,△ABC是一等腰三角形铁板余料,此中AB=AC=20cm,BC=24cm假定.在△ABC上截出一矩形部件DEFG,使EF在BC
上,点D、G分别在边AB、AC上.
A
问矩形DEFG的最大面积是多少?
D G
C
B E F C
如图,△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=12cm点.P从点A开始,沿AB
边向点B以每秒1cm的速度挪动;点Q从点B开始,沿着BC边向
Q
A P B
点C 以每秒2cm 的速度挪动.假如P,Q 同时出发,问经过几秒钟△PBQ 的面积最大?最大面积是多少?
参照答案
1.过A 作AM ⊥BC 于M,交DG 于N,那么AM=202
122=16cm.
设DE=x cm,S 矩形=y cm 2,那么由△ADG ∽△ABC,
故
AN DG 16x
DG 3 AM
,即
,故DG=(16-x ).
BC
16
24
2
∴y =DG ·DE=
3
(16-x )x =-
2
2
3
(x-16x)=- 3
(x-8)+96,
2
2 2
进而当x =8时,y 有最大值
96.即矩形DEFG 的最大面积是96cm 2.
2.设第t 秒时,△PBQ 的面积为y cm 2.那么∵AP=t cm,∴PB=(6-t )cm;
又BQ=2t.∴y =1PB ·BQ=1
(6-t )·2t =(6-t )t =-t 2+6t =-(t -3)2+9,
2
2
当t =3时,y 有最大值9.
2
故第3秒钟时△PBQ 的面积最大,最大值是 9cm.
办理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校正，并统计学生答题状况．学生依据答案进行纠错．
设计企图：学致使用，当堂检测实时获知学生对所学知识掌握状况，并最大限度地调换全体学生学习数学的踊跃性，使每个学生都能有所利润、有所提高，明确哪些学生需要在课后增强指导，抵达全面提高的目的．
七、部署作业，讲堂延长
必做题：课本47页，习题第1、2、3题． 选做题：课本48页，习题第4题．
结束语：
师：同学们，本节课的学习你们给我留下了深刻的印象， 同时也给了我太多的感人与惊 喜，感谢你们！就让我把这份感人与欣喜埋在心底“一世一世〞， 相信你们的明日会更美好！
祝福同学们：象雄鹰同样飞的更高，飞的更远！
〔多媒体播放歌曲“飞的更高〞结束本课〕
学习不是一时半刻的事情，需要平常累积，需要平常的好学苦练。

有个故事：古希腊大哲学家苏格拉底在开学第一天对他的学生们说： “今日你们只学一件最简单也是最简单的事儿。

每人把胳
膊尽量往前甩，而后再尽量今后甩。

〞说着，苏格拉底示范做了一遍，“从今日开始，每日做300下，大家能做到吗？〞学生们都笑了，这么简单的事，有什么做不到的？过了一个月，苏格拉
底问学生：每日甩手300下，哪个同学坚持了，有90％的学生骄傲的举起了手，又过了一个月，苏格拉底又问，这回，坚持下来的学生只剩下了80％。

一年事后，苏格拉底再一次问大家：“请
告诉我，最简单的甩手运动。

还有哪几个同学坚持了？〞这时，整个教室里，只有一个人举起了手，这个学生就是此后成为古希腊另一位大哲学家的柏拉图。

同学们，柏拉图之所以能成为大
哲学家，此中一个重要原由，就是，柏拉图有一种持之以恒的优异质量。

要想成就一番事业，一定有持之以恒的精神，大家都熟习愚公移山的故事，愚公之所以能够感人天帝，移走太行、王
屋二山。

正是由于他拥有持之以恒的精神。

戎马一世，他前十次革命均告失败，但他不屈不挠，终于在第十一次革命的时候，颠覆了清王朝的统治，成立了中华民国。

这些故事，情节不一样，
但意义都是同样的，它告诉无们，做事要有恒心。

旬子讲：“持之以恒，朽木不折；锲而舍之，金石可镂。

〞这句话充足说了然一个人假如有恒心，一些困难的事情便能够做到，没有恒心，再
简单的事也做不行。

学习是一条慢长而艰辛的道路，不可以靠一时激情，也不是熬几日几夜就能学好的，一定养成平常努力学习的习惯。

所以我说：学习贵在坚
持！当下市道上对于教授学习
方法的书本许多，其所载内容也的确很有道理，但是当读者实质应用时，好多看似适用的方法用来成效却其实不显然，以后的结果不过是两种：要么以为自己没有掌握其精华要领，要么诉苦那
本书的脆而不坚，但最后必定仍是会回归到当初的原点。

这本?学会学习?在一开始并无急于兜销自己的方法，而是经过测试让读者真实认识自己，进而找到合适自己思想方式的学习方法，
书的第一局部就是左脑仍是右脑思想测试和视觉、听觉和动觉学习模式测试，经过有效分类后，针对不一样读者对不一样思虑和接收接受学习的特色，有针对性的分别给出建议，进而不停增强自
己的优势。

在此后书中的全部介绍详细学习方法章节的最开始，都是依据不一样学习模式给出各样学习方法不一样的建议，这是此书差别于其余学习方法类书本的最大特色，这类“因材施教〞的
方式能让读者有种豁然爽朗的感觉，除了能够获取最合适自己的有效的学习方法也能更深入的认识客观的自己，不论对学习仍是生活都有帮助。

除了“针对性〞强外，本书第二大特色就是“全面〞，全书都是由一篇篇短文、图表集成，更像是一本博文或许PPT课件合集，每个学习方法的题目清楚了然十分便于查找，但也所以有些章节内容安排的比较杂乱，所幸每一章节关系性其实不
太强，每个章节都合适独立检索来阅读学习。

其内容从“时间规划〞、“笔录〞“阅读〞直到“考试〞几乎波及了全部学习中的常遇问题，文中文字精华没有过分的衬着，完整部是纯纯的“干货〞，能够身临其境的想象：当自己面对学海之中惊慌失措之时，长篇大论的方法必定会没心查察，了然的编排，让人从目录中就能了如指掌的找到自己想要的，一篇篇短文尽可能在最少的时间让
读者获取最实用的信息，是一部值得学习的人们不停自我提高的有力武器。

以前看到一个存心思的心理测试:用“正确的方法〞、“错误的方法〞和“踊跃的行为〞、“悲观的行为〞，来自由搭配，
看如何搭配出最好和最坏的结果，“正确方法〞配合“踊跃的行为〞无疑是最好的结果，但是我们会很“惯性〞想自然的以为，“错误的方法〞和“悲观的行为〞搭配是最坏的结果，其实“错
误的方法〞加上“踊跃的行为〞才是最坏的结果，这会让人在错误的路上越走越远，学习也是同理，一味钻牛角尖般的生搬硬套不合适自己的方法不论多努力都只会离成功愈来愈远，而好的
学习方法加上踊跃的学习态度无疑会让你如虎生翼。

这是每一个人都需要的，最少在学生的时候假如碰到，或许人生会少一些遗憾，我只恨我遇到的晚了点，但是此刻已经是终生学习的年月，
错
过了最合适的时候，但只需居心又怎会嫌晚呢？本书归类为学习方法-青年读物，是本工具书，学习手册，但不可以阻挡她成为经典。

这本书的副标题为“增添学习技术与脑力〞，正是本书的宗旨，本书系统化地论述了学习技术提高的各个方面，堪称事无巨细的令人切齿啊。

整体来讲主要包含7个方面，分别是学习模式，时间管理和学习技巧规划，笔录记录技巧，阅读技巧，记忆，
应试技巧，拾遗。

全书的构造采纳的是总分的形式，前三个方面是总的局部，算是增添学习技术的准备，从认识自己的学习模式开始，而后采纳任何事都需要的时间管理技巧，再整体地讲一
放学习技巧规划的事项。

而后底下是分的局部，将学习的包含的各个方面的技巧进行分开论述，分别有笔录记录，阅读，记忆，应试以及最后的拾遗。

系统地叙述了学习的几乎全部方面。

让
读到她的人假如实践的话不单能在学习上获取提高，在脑力上或许说理解力上必定会得益匪浅。

在此，说句题外话，我向来感觉日自己写书在细节上做的是无与伦比的，但是这本书让我对这
个见解有了必定的摇动，由于她里面的叙述局部让我感觉美国是个应试教育的国家吗，几乎比我们中国还要应试。

那个考试应付细节的局部放在中国，一点也没有违和感的，好吗？所以他们
能出现这样的状况，从没到过日本的人能够写出描绘日自己的书，而后让日自己都感觉是经典的，没有在公司里做过实务管理的德鲁克能成为管理上的大师，其理念影响了全球不得不
说，美国的教育真不是盖的。

细节上，我印象比较深的是，作者开篇开始教授如何应当认识自己的学习模式，运用了一些测试题目，而后依据结果找出与自己近来似的学习模式，她把学习模
式分为几种状况，分别有左脑型，右脑型，还有此外的分法，为视觉的，听觉的，动作的。

我看了一下，的确有跟自己近的种类，我就是视觉的，对号入坐后就能够比较直接的去扬长避短了。

而后，作者说了，做任何事情，时间管理技巧都是不行缺乏的，她不单教育的是学习的技术，还有好多其余的道理，对我们人生都是有利的，我相信，假如我们的孩子从小就学习这些，将会
受用平生。

还有，作者提到了学习技巧规划里的家庭档案系统，将我们此刻工作中的管理引进了学习中，这是一个特别好的学习习惯，假如孩子连续的做，严格地做，获取的利润将没法估计，
由于，这在我们此刻工作中都一定要用的管理信息的技术，实在是太难得了，孩子将这类技术与阅读联合起来，保存好自己思想历程，能够获取连续的提高，直到最后展翅遨游，他最难得的
是，能够系统地提高自己，进而抵达书中简介里提到的那样，碰到不会的领域的时候，能够很快的用这些方法，工具成立起模型，系统，应付自如地攻陷自己以前没接触的领域，提高自己的
理解力，我想这正是我们学习的比较重要的一个目的吧。

最后，我影响比较深的就是作者供给的那些小工具了，包含笔录的表格，协助记忆的表格，帮助整理文档的夹子，应付考试的技巧，
缓解紧张的方法我感觉全书对于如何增添学习技术和脑力的叙述是有道理的，我也相信经过实践作者在书上所提到的方法，定能在学习中获取提高。

但是，那也不是一时半刻的事情，就
像我们大家都知道的那个故事，在美国获取诺贝尔奖的科学家说，自己得奖最大的原由都是在幼儿园里学习的最根本的道理，就是说要和郭靖同样，不要贪多吃不烂，认定他就要好好地坚持
去做，不要停。

我自己喜爱的是家庭归档系统，固然不是学习过程中的技术，只属于学习准备的东西，但是假如坚持有条不紊的那样整理自己的学习思想，对自己的利润将难以估计。

稍显不
足的地方是，第一，本书的语言太甚精练，感觉就像没有主观感情同样，要命的是有好多词语或许看法读的时候甚至不知道什么意思，书中也没做解说，原来就看的比较费劲，此刻好了，作
者也不等你，直接把你撂那。

第二，作者好多地方就像立一个纲要同样，直接让你自己去参照多少多少页，这个太不习惯了。

第三，作者在书中提到各样学习的种类，但是并无就这类种类
适合他们的学习方法做展开或许介绍，比方，将学习分为好几种种类的那个局部，有自察的，有外联的之类，但是并无对各样种类进行针对性的指导。

进而她的有些看法就不太合用，像成
立学习小组的，这个对于内向的人，在我国这样的学习环境中是比较的困难，但作者没有就如何做提出建议，不过告诉读者这么做，会显得不够全面或许落空。