2018-2019年度天津市红桥区初三期末考试数学试题

2018-2019年度天津市红桥区初三期末考试数学试题
一、选择题（每小题3分，共36分） 1、下列说法正确的是（ ）
A ．“打开电视机，正在播《都市报道60分》”是必然事件
B ．“从一个装有6个红球的不透明的袋中摸出一个球是红球”是随机事件
C ．“概率为0.0001的事件”是不可能事件
D ．“经过有信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件 2、下列图形中，可以看做是中心对称图形的是（ ）
3、如图，以A 、B 、C 为顶点的三角形与以D 、E 、F 为顶点的三角形相似，则这两个三角形的相似比为（ ）
A ．2：1
B ．3：1
C ．4：3
D ．3：2
4、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，下列结论中不成立的是（ ） A ．CM =DM B ．弧CB =弧DB C ．∠ACD =∠ADC D ．OM =MD
第3题图 第4题图
5、若正方形的边长为6，则其外接圆的半径为（ ） A ．3 B ．32 C ．6 D ．26
6、如图，AB ∥CD ，AB =6，CD =9，AD =10，则OD 的长为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7
7、在半径为3的圆中，150°的圆心角所对的弧长为（ ）
A ．π415
B ．π215
C ．π45
D ．π2
5
8、如图，AB 是⊙O 的弦，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，BC 经过圆心。

若∠B =25°，则∠C 的大小等于（ ） A ．20° B ．25° C ．40° D ．50°
9、若点A （1x ，－6），B （2x ，2），C （3x ，2）在反比例函数x
m y 1
2+=（m 为常数）的
图象上，则1x 、2x 、3x 的大小关系是（ ）
A ．321x x x <<
B ．312x x x <<
C ．132x x x <<
D ．123x x x <<
10、已知一个直角三角形两直角边之和为20cm ，则这个直角三角形的最大面积为（ ） A ．252cm B ．402cm C ．502cm D ．1002cm 11、如图，直线AB 与半径为2的⊙O 相切于点C ，D 是⊙O 上一点，且∠EDC =30°，弦EF ∥AB ，则EF 的长为（ ）
A ．3
B ．2
C ．22
D ．32
第6题图
第8题图
12、二次函数bx ax y +=2的图象如图所示，若关于x 的一元二次方程02=++m bx ax 有实数根，则m 的最大值为（ ）
A ．－3
B ．3
C ．－6
D ．6
第11题图 第12题图 第16题图 第18题图 二、填空题（每小题3分，共18分）
13、已知1-=m x y ，若y 是x 的反比例函数，则m 的值为_______________
14、不透明袋子中装有7个球，其中有3个红球，4个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机取出1 个球，则它是红球的概率是_____________
15、一个等边三角形的边长的数值是方程01032=--x x 的根，那么这个三角形的周长为________
16、如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，分别交AB 、AC 于点D 、E ，若AD =3，DB =2，BC =6，则DE 的长为_______________
17、若二次函数a x ax y ++=42（a 为常数）的最大值为3，则a 的值为______________ 18、如图，⊙O 的直径AB 长为10，弦AC 长为6，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，则BC 的长为___________，CD 的长为_____________ 三、解答题（本大题共7小题，共66分） 19、（本小题8分）
已知关于x 的一元二次方程012=-++m x x （I ）当m =0时，求方程的实数根；
（II ）若方程有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围 20、（本小题8分）
一个盒中有4个完全相同的小球，把他们分别标号为1，2，3，4，随机摸去一个小球然后放回，再随机摸出一个小球
（I ）请用列表法（或画树状图法）列出所有可能的结果； （II ）求两次取出的小球标号相同的概率；
（III ）求两次取出的小球标号的和大于6的概率
21、（本小题10分）
已知直线12+-=x y 与y 轴交于点A ，与反比例函数x
k
y =
（k 为常数）的图象有一个交点B 的纵坐标是5
（I ）求反比例函数的解析式，并说明其图象所在的象限； （II ）当52<<x 时，求反比例函数的函数值y 的取值范围； （III ）求△AOB 的面积S 22、（本小题10分）
如图，△ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在BC 、AC 上，且BD =CE ，AD 与BE 相交于点F
（I ）证明：△ABD ≌△BCE ； （II ）证明：△ABE ∽△F AE ；
（III ）若AF =7，DF =1，求BD 的长
23、（本小题10分）
在△ABC 中，∠ABC =45°，∠C =60°，⊙O 经过点A 、B 与BC 交于点D ，连接AD （I ）如图①，若AB 是⊙O 的直径，交AC 于点E ，连接DE ，求∠ADE 的大小； （II ）如图②，若⊙O 与AC 相切，求∠ADC 的大小
24、（本小题10分）
在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （3-，0），点B （0，1），把△ABO 绕点O 顺时针旋转，得△O B A ''，点A 、B 旋转后的对应点为'A 、'B ，及旋转角为)3600(︒<<︒αα （I ）如图①，当点'A 、B 、'B 共线时，求'AA 的长；
（II ）如图②，当α=90°时，求直线AB 与''B A 的交点C 的坐标；
（III ）当点'A 在直线AB 上时，求'BB 与'OA 的交点D 的坐标（直接写出结果即可）
25、（本小题10分）
抛物线n mx x y ++-=22
1
与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴
于点D ，已知A （－1，0），C （0，2） （I ）求抛物线的解析式； （II ）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，求出p 的坐标；如果不存在，请说明理由；
（III ）点E 是线段BC 上的一个动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，求四边形CDBF 的面积的最大值及此时点E 的坐标
红桥区 2018~2019 学年度第一学期九年级期末测试
数学参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 3 分，共 36 分．
（1）D （2）A （3）A （4）D （5）B （6）C （7）D
（8）C
（9）B
（10）C
（11）D
（12）B
二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分． （13） 0 （14） 3
7
（15）15
（16） 18
5
（17） -1
（18） 8 ， 7 三、解答题：本大题共 7 个小题，共 66 分．
（19）（本小题 8 分）
解：（Ⅰ）当 m = 0 时，方程为 x 2 + x - 1 = 0 ，
∆ = b 2 - 4ac = 12 - 4 ⨯1⨯ (-1) = 5 > 0 ． ...................... 2 分（公式 1 分，结果 1 分）
方程有两个不等的实数根 x =， ................................... 3 分
2
即x
1=
-1 -
2
5
，x =
-1 +
2
5
．.............................................. 5 分
（Ⅱ）∆=b2 - 4ac =12 - 4 ⨯1⨯ (m -1) = 5 - 4m ．................................... 6 分
根据题意，由∆> 0 ，解得m<5 ．............................................. 8 分4
（20）（本小题8分）
解：（Ⅰ）根据题意，列表如下：
所有等可能的情况有16 种． .................................................. 4 分
（Ⅱ）∵两次取出的小球标号相同的情况有4 种，∴P =4
=
1
．............... 6 分
1 16 4
（Ⅲ）∵两次取出的小球标号的和大于6 的情况共有3 种，∴P2 =
16．………8 分
2
3
（21）（本小题 10 分）
解：（Ⅰ）由-2x + 1 = 5 ，解得 x = -2 ．∴ B (-2 ，5) ．∴
k = -2 ⨯ 5 = -10 < 0 ．
……… 2 分
∴ 反比例函数的解析式为 y = - 10
，其图象在二、四象限． ........................ 4 分
x （Ⅱ）∵ k = -10 < 0 ，
∴ 当2 < x < 5 时，反比例函数的函数值 y 随 x 的增大而增大． ..................... 5 分 当 x = 2 时， y = -5 ；当 x = 5 时， y = -2 ．∴ -5 < y < -2 ． ........................ 8 分
（Ⅲ）当 x = 0 时， y = -2x + 1 = 1 ，∴
A (0 ，1) ．∴ OA = 1 ．
∴ S △AOB = 1 OA ⋅ | x 2 B
| = 1
⨯1⨯ 2 = 1 ． .......................................... 10 分 2 （22）（本小题 10 分）
解：（Ⅰ）∵
△ABC 是等边三角形，∴ AB = BC ， ∠ABC = ∠BAC = ∠C = 60︒ ． …… 2 分
∵ BD = CE ，∴ △ABD ≌△BCE ．......................................... 3 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）， ∠BAD = ∠CBE ． ................................................................................................ 4 分
∵ ∠EAF = ∠BAC - ∠BAD ， ∠ABE = ∠ABC - ∠CBE ，∴ ∠EAF = ∠ABE ．
…… 6 分
∵ ∠AEF = ∠BEA ，∴ △ABE ∽△FAE ． .................................... 7 分
（Ⅲ）∵ ∠BAD = ∠CBE ， ∠BDA = ∠FDB ，
∴ △ABD ∽△BDF ． ∴ AD = BD
． ...................................... 9 分
BD DF ∴ BD 2 = AD ⋅ DF = (AF + FD ) ⋅ DF = 8 ．∴ BD = 2 ． ........................ 10 分
（23）（本小题 10 分）解：（Ⅰ）连接 B E ．
∵ ∠ABC = 45︒ ， ∠C = 60︒ ，∴ ∠BAC = 75︒ ．
……… 1 分
∵ AB 是⊙ O 的直径，∴ ∠AEB = 90︒ ． ................ 2 分 ∴ ∠ABE = 90︒ - ∠BAC = 15︒ ． ........................ 3 分 ∵ ∠ABE = ∠ADE ，∴ ∠ADE = 15︒ ． ................. 4 分
（Ⅱ）连接OA ， OD ．
∵ AC 是⊙ O 的切线，∴ OA ⊥ AC ． ................ 5 分 ∵ ∠ABC = 45︒ ，∴ ∠AOD = 90︒ ． ....................6 分
∴ OD // AC ．∴ ∠ODC = 120︒ ． ..................... 8 分 ∵ OA = OD ，∴ ∠ODA = ∠OAD = 45︒ ．
……… 9 分
C
∴ ∠ADC = ∠ODC - ∠ODA = 75︒ ． ................... 10 分
2 A O E
B
D C
A
O
B
D
3 3 ， ⎨ ⎨ （24）（本小题 10 分） 解：（Ⅰ）由已知， O A =
， O B = 1 ．∴
∠ABO = 60︒ ， ∠BAO = 30︒ ． .................. 1 分
∵ △A 'B 'O 是由△ABO 旋转得到的，
∴ ∠B ' = ∠ABO = 60︒ ，OB = OB ' ，OA = OA ' ． … 2 分
∴ ∠OBB ' = 60︒ ．
∴ ∠BOB ' = α= ∠AOA ' = 60︒ ． ...................... 3 分 ∴ AA ' = OA = ． ............................... 4 分
（Ⅱ）过 C 作CH ⊥ A 'B ，垂足为 H ．
y A ' ∵ α= 90︒ ， ∠OB 'A ' = 60︒ , ∠BAO = 30︒ ,∴ AC ⊥ A 'B ' ．
H C B
∵ A 'B = OA ' - OB = 3 - 1 ， ∠A 'BC = ∠ABO = 60︒ ，
∴ BC = 1 A 'B = 3 -1 ． A O B ' x
∴ CH = 2 2 3 BC = 3 -
3 ， BH = 1
BC =
3 -1 ．∴ OH = 1 + BH = 3 + 3 ． 2
4 2 4 4
∴ 点C 的坐标为(3 - 3 3 + 3
) ． ............................................ 8 分
（Ⅲ）( ， 4 4
1) ． ............................................................. 10 分 6 2 （25）（本小题 10 分）
解：（Ⅰ）∵ 抛物线 y = - 1 x 2 + mx + n 经过 A (-1，0) ， C (0 ，2) ，
2 ⎧- 1 - m + n = 0 ， ⎧
m = 3 ，
∴ ⎪ 2
解得⎪ 2 …………………………………… 2 分 ⎪⎩n = 2 ， ⎪⎩n = 2 ．
∴ 抛物线的解析式为 y = - 1 x 2 + 3
x + 2 ． ....................................... 3 分
2 2
（Ⅱ）∵ y = - 1 x 2 + 3 + 2 = - 1 (x - 3 )2 + 25
，
2 2 2 2 8
∴ 抛物线的对称轴是 x = 3 ． ∴ 2 OD = 3
． .................................... 4 分
2
∵ C (0 ，2) ，∴ OC = 2 ．
在Rt △OCD 中，由勾股定理，得CD = 5
． 2 ∵ △CDP 是以CD 为腰的等腰三角形，
∴ CP = DP = DP = CD ．
1
2
3
作CH ⊥ x 轴于点 H ，∴ HP 1 = HD = 2 ． ∴
DP 1 = 4 ．
∴ P ( 3 ，4) ， P ( 3 5) ， P ( 3 ，- 5
) ． .................................................................................... 7 分
， 1 2 2 2 2 3
2 2
3 y
P 1
C P 2
H
A O
D
B
x
P 3
y
A '
B B '
A
O x
（Ⅲ）当y = 0 时，由-1
x2 +
3
x + 2 = 0 ，解得x =-1 ，或x = 4 ，∴
2 2
B(4，0)．
⎧b = 2 ，
⎧
k =-
1
，
设直线BC 的解析式为y =kx +b ，由图象，得⎨ 解得⎪
2
⎩4k +b = 0 ，⎨
⎪⎩b=2．
∴直线B C 的解析式为y=-1
x + 2 ． .......................................... 8 分2
过点C作CM⊥EF于M，设E(a，-1
a+2)，F(a，-
1
a2 +
3
a+2)，
2 2 2
∴EF =-1
a 2 +
3
a + 2 - (-
1
a + 2) =-
1
a 2 + 2a ．
2 2 2 2
∵S
四边形CDBF =S
△BCD
+S
△CEF
+S
△BEF
=
1
BD ⋅OC +
1
EF ⋅CM +
1
EF ⋅BN
2 2 2
=
1
⨯
5
⨯ 2 +
1
a(-
1
a2 + 2a) +
1
(4 -a)(-
1
a2 + 2a)
2 2 2 2 2 2
=-a2 + 4a +
5
=-(a - 2)2 +
13
2 2
y
C
F
M
E
A O D N
B x
∴根据题意0 ≤a ≤4 ，
∴当a 2 时，S
四边形CDBF
的最大值为
13
，此时点E(2，1)．................................................ 10分2
- 10 -。