高考数学压轴专题新备战高考《函数与导数》知识点总复习附解析

【最新】高考数学《函数与导数》专题解析
一、选择题
1．函数()1sin cos 1sin cos 1tan 01sin cos 1sin cos 32x x x x f x x x x x x x π+-++⎛⎫=
++<< ⎪+++-⎝⎭的最小值为（ ）
A
B
C
D
【答案】B
【解析】
【分析】
利用二倍角公式化简函数()f x ，求导数，利用导数求函数的最小值即可.
【详解】
2
2222sin 2sin cos 2cos 2sin cos 1sin cos 1sin cos 2222221sin cos 1sin cos 2cos 2sin cos 2sin 2sin cos 222222x x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x +++-+++=++++-++ 2sin sin cos 2cos sin cos sin cos 222222222sin cos sin 2cos sin cos 2sin sin cos 22222222x x x x x x x x
x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=+=⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 则()21tan 0sin 32f x x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝
⎭， 32222221sin 2cos 16cos cos 1()sin 3cos sin 3cos 3sin cos x x x x f x x x x x x x '''
--+⎛⎫⎛⎫=+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 令()cos 0,1t x =∈，()3261g t t t =--+为减函数，且102g ⎛⎫= ⎪⎝⎭
， 所以当03x π<<时，()11,02t g t <<<，从而()'0f x <； 当32x ππ
<<时，()10,02t g t <<
>，从而()'0f x >. 故(
)min 33f x f π⎛⎫==
⎪⎝⎭
. 故选：A
【点睛】 本题主要考查了三角函数的恒等变换，利用导数求函数的最小值，换元法，属于中档题.
2．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于点(1,0)对称.以下关于()f x 的结论：
①()f x 是周期函数；②()f x 满足()(4)f x f x =-；③()f x 在(0,2)单调递减；④()cos 2x f x π=是满足条件的一个函数.其中正确结论的个数是( ) A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
【答案】B
【解析】
【分析】
题目中条件：(2)()f x f x +=-可得(4)()f x f x +=知其周期，利用奇函数图象的对称性，及函数图象的平移变换，可得函数的对称中心，结合这些条件可探讨函数的奇偶性，及单调性．
【详解】
解：对于①：()()f x f x -=Q ，其图象关于点(1,0)对称(2)()f x f x +=-
所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=， ∴函数()f x 是周期函数且其周期为4，故①正确；
对于②：由①知，对于任意的x ∈R ，都有()f x 满足()(4)f x f x -=-，
函数是偶函数，即()(4)f x f x =-，故②正确．
对于③：反例：如图所示的函数，关于y 轴对称，
图象关于点(1,0)对称，函数的周期为4，但是()f x 在(0,2)上不是单调函数，故③不正确；
对于④：()cos
2x f x π=是定义在R 上的偶函数，其图象关于点(1,0)对称的一个函数，
故④正确．
故选：B ．
【点睛】 本题考查函数的基本性质，包括单调性、奇偶性、对称性和周期性，属于基础题．
3．已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()ln 1f x x x =+，则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为（ ）
A ．y x =-
B ．2y x =-+
C ．y x =
D ．2y x =-
【答案】A
【解析】
【分析】 首先根据函数的奇偶性，求得当0x <时，()f x 的解析式，然后求得切点坐标，利用导数求得斜率，从而求得切线方程.
【详解】
因为0x <，()()ln()1f x f x x x =-=--+，()11f -=，()ln()1f x x '=---，(1)1f '-=-，所以曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为()11y x -=-+，即y x =-. 故选：A
【点睛】
本小题主要考查根据函数奇偶性求函数解析式，考查利用导数求切线方程，属于基础题.
4．函数f （x ）＝x ﹣g （x ）的图象在点x ＝2处的切线方程是y ＝﹣x ﹣1，则g （2）+g '（2）＝（ ）
A ．7
B ．4
C ．0
D ．﹣4
【答案】A
【解析】 ()()()(),'1'f x x g x f x g x =-∴=-Q ，因为函数()()f x x g x =-的图像在点2x =处的切线方程是1y x =--，所以()()23,'21f f =-=-，
()()()()2'2221'27g g f f ∴+=-+-=，故选A ．
5．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭，()2log 4.1b f =，()0.82c f =，则,,a b c 的大小关系为( )
A ．a b c <<
B ．b a c <<
C ．c b a <<
D ．c a b << 【答案】C
【解析】 由题意：()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭
， 且：0.822log 5log 4.12,12
2>><<， 据此：0.822log 5log 4.12>>，
结合函数的单调性有：()()()0.8
22log 5log 4.12
f f f >>， 即,a b c c b a >><<.
本题选择C 选项.
【考点】 指数、对数、函数的单调性
【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.
6．已知函数f （x ）＝（k ＋4k ）lnx ＋2
4x x
－，k ∈[4，＋∞），曲线y ＝f （x ）上总存在两点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），使曲线y ＝f （x ）在M ，N 两点处的切线互相平行，则x 1＋x 2的取值范围为
A ．（
85
，＋∞） B ．（165，＋∞） C ．[85，＋∞） D ．[165，＋∞） 【答案】B
【解析】
【分析】 利用过M 、N 点处的切线互相平行，建立方程，结合基本不等式，再求最值，即可求x 1+x 2 的取值范围．
【详解】
由题得f′（x ）=
4k k x +﹣24x ﹣1=﹣2244x k x k x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=﹣()2
4x k x k x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，（x ＞0，k ＞0） 由题意，可得f′（x 1）=f′（x 2）（x 1，x 2＞0，且x 1≠x 2）， 即21144k k x x +
-﹣1=24k k x +﹣224x ﹣1， 化简得4（x 1+x 2）=（k+
4k ）x 1x 2， 而x 1x 2＜212()2
x x +， 4（x 1+x 2）＜（k+
4k ）21
2()2x x +， 即x 1+x 2＞16
4k k
+对k ∈[4，+∞）恒成立，
令g （k ）=k+4k
， 则g′（k ）=1﹣
24k =()()222k k k +-＞0对k ∈[4，+∞）恒成立， ∴g （k ）≥g （4）=5，
∴164k k
+≤165， ∴x 1+x 2＞
165， 故x 1+x 2的取值范围为（
165
，+∞）. 故答案为B
【点睛】 本题运用导数可以解决曲线的切线问题，函数的单调性、极值与最值，正确求导是我们解题
的关键，属于中档题.
7．设复数z a bi =+（i 为虚数单位，,a b ∈R ），若,a b 满足关系式2a b t =-，且z 在复平面上的轨迹经过三个象限，则t 的取值范围是( )
A ．[0,1]
B ．[1,1]-
C ．(0,1)(1,)⋃+∞
D ．(1,)-+∞
【答案】C
【解析】
【分析】
首先根据复数的几何意义得到z 的轨迹方程2x y t =-，再根据指数函数的图象，得到关于t 的不等式，求解.
【详解】
由复数的几何意义可知，设复数对应的复平面内的点为(),x y ，
2a x a y b t
=⎧⎨==-⎩ ，即2x y t =- ， 因为z 在复平面上的轨迹经过三个象限，
则当0x =时，11t -< 且10t -≠ ，
解得0t >且1t ≠ ，
即t 的取值范围是()()0,11,+∞U .
故选：C
【点睛】
本题考查复数的几何意义，以及轨迹方程，函数图象，重点考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型.
8．已知定义在R 上的函数()f x 满足()01f =，且()f x 的导函数
'()f x 满足'()1f x >，
则不等式()()ln ln f x ex <的解集为（ ）
A ．()0,1
B ．()1,e
C ．()0,e
D ．(),e +∞
【解析】
【分析】
设()()g x f x x =-，由题得()g x 在R 上递增，求不等式()()ln ln f x ex <的解集，即求不等式(ln )(0)g x g <的解集，由此即可得到本题答案.
【详解】
设()()g x f x x =-，则(0)(0)01g f =-=，()()1g x f x '='-，
因为()1f x '>，所以()0g x '>，则()g x 在R 上递增，
又(ln )ln()1ln f x ex x <=+，所以(ln )ln 1f x x -<，即(ln )(0)g x g <，
所以ln 0x <，得01x <<.
故选：A
【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，以及利用函数的单调性解不等式，其中涉及到构造函数.
9．若关于x 的不等式220x ax -+>在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是（ ）
A ．)+∞
B ．(,-∞
C ．(,3)-∞
D ．27(,)5-∞ 【答案】D
【解析】
【分析】
把220x ax -+>在区间[]1,5上有解，转化为存在一个[]
1,5x ∈使得22x 2ax x a x
+>⇒+
>，解出()f x 的最大值． 【详解】 220x ax -+>在区间[]1,5上有解，转化为存在一个[]1,5x ∈使得
22x 2ax x a x +>⇒+
>，设()2f x x x =+，即是()f x 的最大值a >，()f x 的最大值275
=，当5x =时取得，故选D 【点睛】
10．设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，x R ∀∈有()()2
2f x f x x +-=，在()0+∞，上()2f x x '<，若()()4168f m f m m --≥-，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．[)2+∞，
B ．[)0+∞，
C ．[]22-，
D ．(][)22-∞-⋃+∞，
，
【解析】
【分析】
通过x R ∀∈有()()22f x f x x +-=，构造新函数()()2
g x f x x =-，可得()g x 为奇函数；利用()2f x x '<，求()g x 的导函数得出()g x 的单调性，再将不等式
()()4168f m f m m --≥-转化，可求实数m 的取值范围.
【详解】
设()()2
g x f x x =-， ∵()()()()22
0g x g x f x x f x x +-=-+--=， ∴函数()g x 为奇函数，
∵在()0,x ∈+∞上，()2f x x '<，即()20f x x '-<，
∴()()20g x f x x ''=-<，
∴函数()g x 在()0,x ∈+∞上是减函数，
∴函数()g x 在(),0x ∈-∞上也是减函数，
且()00g =，
∴函数()g x 在x ∈R 上是减函数，
∵()()4168f m f m m --≥-，
∴()()()2244168g m m g m m m ⎡⎤⎡⎤-+--+≥-⎣
⎦⎣⎦， ∴()()4g m g m -≥，
∴4m m -≤，
即2m ≥.
故选：A.
【点睛】
本题考查函数的奇偶性、单调性的应用，考查运算求解能力、转化与化归的数学思想，是中档题.
11．若函数f （x ）=()x 12
22a x 1log x 1x 1⎧++≤⎪⎨+⎪⎩，，＞有最大值，则a 的取值范围为（ ） A ．()5,∞-+
B ．[)5,∞-+
C ．(),5∞--
D ．(]
,5∞-- 【答案】B
【解析】
【分析】
分析函数每段的单调性确定其最值，列a 的不等式即可求解.
【详解】
由题()x
f x 22a,x 1=++≤,单调递增，故()()f x f 14a,;≤=+ ()()12
f x lo
g x 1,x 1,=+>单调递减，故()()f x f 11>=-,因为函数存在最大值，所以
4a 1+≥-，
解a 5≥-. 故选B.
【点睛】
本题考查分段函数最值，函数单调性，确定每段函数单调性及最值是关键，是基础题.
12．函数()32x
y x x =-⋅的图象大致是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】
【分析】
排除法：根据函数()32x y x x =-⋅为奇函数，故图象关于原点对称；函数有1-，0，1三个零点；当2x =时，函数值为正数，进行选项排除即可.
【详解】
函数()32x
y x x =-⋅为奇函数，故图象关于原点对称，故排除D ；
函数有1-，0，1三个零点，故排除A ；
当2x =时，函数值为正数，故排除B .
故选：C .
【点睛】
本题考查函数的图象，根据解析式求图像通常利用排除法，依据有函数奇偶性、单调性、零点、定义域、值域、特殊值等，属于中等题.
13．已知函数()()2f x x +∈R 为奇函数，且函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，当[]0,1x ∈时，()2020x f x =
，则()2020f =（ ） A ．2020
B ．12020
C ．11010
D ．0
【答案】D
【解析】
【分析】 根据题意，由函数()f x 的对称性可得()()42f x f x +=-+，即()()2f x f x +=-，进而可得()()4f x f x +=，即函数()f x 是周期为4的周期函数，据此可得()()20200f f =，由函数的解析式计算可得答案．
【详解】
解：根据题意，函数()2f x +为奇函数，即函数()f x 的图象关于点()2,0对称，则有()()4f x f x -=-+，
函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，则()()2f x f x -=+，
变形可得：()()42f x f x +=-+，即()()2f x f x +=-，
则有()()4f x f x +=，即函数()f x 是周期为4的周期函数，
()()()20200505400f f f ∴=+⨯==；
故选：D ．
【点睛】
本题考查函数的奇偶性、对称性、周期性的综合应用，难度一般.一般地，若一个奇函数有对称轴（或一个偶函数有对称中心），可分析出函数具有周期性.
14．已知定义在R 上的函数(f x ），其导函数为()f x '，若()()3f x f x '-<-，()04f =，则不等式()3x f x e >+的解集是（ ）
A ．(),1-∞
B ．(),0-∞
C ．()0,+∞
D ．()1,+∞ 【答案】B
【解析】
不等式()3x f x e >+得()
()3311x x x f x f x e e e
->+∴>， ()()()()()33
0x x f x f x f x g x g x e e --+=∴='<'设，
所以()g x 在R 上是减函数，因为()()()4301001
g g x g x -=
=∴>∴<． 故选B ． 点睛：本题的难点在于解题的思路． 已知条件和探究的问题看起来好像没有分析联系，这里主要利用了分析法，通过分析构造函数，利用导数的知识解答．
15．已知函数()2
814f x x x =++，()()2log 4g x x =，若[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，则a 的最大值为（ ）
A ．-4
B ．-3
C ．-2
D ．-1 【答案】C
【解析】
【分析】
由[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立得：()f x 的值域为()g x 的值域的子集，从而28142a a ++≤，故可求a 的最大值为2-.
【详解】
由[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，
得：()f x 的值域为()g x 的值域的子集，
由()()2log 4g x x =(]20,1x ∈()2g x ⇒≤ ，所以(](),2g x ∈-∞
当43a --≤≤ 时，()21f x -＃-，
此时()f x 的值域为()g x 的值域的子集成立.
当3a >-时，()22814f x a a -≤≤++，须满足()f x 的值域为()g x 的值域的子集，
即28142a a ++≤，得62a -≤≤-
所以a 的最大值为2-.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查恒成立和存在性问题，注意把两类问题转化为函数值域的包含关系，此问题属于中档题目.
16．已知函数()f x 的导函数为()f x '，在()0,∞+上满足()()xf x f x '>，则下列一定成立的是（ ）
A ．()()2019202020202019f f >
B ．()()20192020f f >
C ．()()2019202020202019f f <
D ．()()20192020f f < 【答案】A
【解析】
【分析】
构造函数()()f x g x x
=，利用导数判断函数()y g x =在()0,∞+上的单调性，可得出()2019g 和()2020g 的大小关系，由此可得出结论.
【详解】
令()()()0f x g x x x =>，则()()()2xf x f x g x x
'-'=. 由已知得，当0x >时，()0g x '>.
故函数()y g x =在()0,∞+上是增函数，所以()()20202019g g >，
即
()()2020201920202019
f f >，所以()()2019202020202019f f >. 故选：A.
【点睛】 本题考查利用构造函数法得出不等式的大小关系，根据导数不等式的结构构造新函数是解答的关键，考查推理能力，属于中等题.
17．一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄a 元一年定期，若年利率为r 保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为( )
A ．17(1)a r +
B ．17[(1)(1)]a r r r +-+
C ．18(1)a r +
D ．18[(1)(1)]a r r r
+-+ 【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可得：孩子18岁生日时将所有存款（含利息）全部取回，可以看成是以(1)a r +为首项，(1)r +为公比的等比数列的前17项的和，再由等比数列前n 项和公式求解即可.
【详解】
解：根据题意，
当孩子18岁生日时，孩子在一周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为17(1)a r +， 同理：孩子在2周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为16(1)a r +，
孩子在3周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为15(1)a r +， ⋯⋯
孩子在17周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为(1)a r +，
可以看成是以(1)a r +为首项，(1)r +为公比的等比数列的前17项的和，
此时将存款（含利息）全部取回，
则取回的钱的总数：
171716
18(1)[(1)1](1)(1)(1)[(1)(1)]11a r r a S a r a r a r r r r r ++-=++++⋯⋯++==+-++-； 故选：D ．
【点睛】
本题考查了不完全归纳法及等比数列前n 项和，属中档题.
18．若函数()f x 的定义域为R ，其导函数为()f x '．若()3f x '<恒成立，
()20f -=，则()36f x x <+ 解集为（ ）
A ．(),2-∞-
B ．()2,2-
C ．(),2-∞
D ．()2,-+∞
【答案】D
【解析】
【分析】
设()()36g x f x x =--，求导后可得()g x 在R 上单调递减，再结合()20g -=即可得解.
【详解】
设()()36g x f x x =--， Q ()3f x '<，∴()()30g x f x ''=-<，∴()g x 在R 上单调递减，
又()()22660g f -=-+-=，不等式()36f x x <+即()0g x <，
∴2x >-，∴不等式()36f x x <+的解集为()2,-+∞.
故选：D.
【点睛】
本题考查了导数的应用，关键是由题意构造出新函数，属于中档题.
19．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥，3()3f x x x =+，则
3
2(2)a f =,3
1(log )27b f =，c f =的大小关系为（ ） A ．a b c >>
B ．a c b >>
C ．b a c >>
D ．b c a >>
【答案】C
【解析】
【分析】 利用导数判断3
()3f x x x =+在[0,)+∞上单调递增，再根据自变量的大小得到函数值的大小.
【详解】 Q 函数()f x 是定义在R 上的偶函数，
31(log )(3)(3)27
b f f f ∴==-=， 3
2022223<<=<Q ，
当0x ≥，'2
()330f x x =+>恒成立，
∴3()3f x x x =+在[0,)+∞上单调递增，
3231(log )(2)(2)27
f f f ∴>>，即b a c >>. 故选：C.
【点睛】 本题考查利用函数的性质比较数的大小，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将自变量化到同一个单调区间中.
20．科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到，任画一条线段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每条小线段重复上述步骤，得到16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”，…，如此进行“n 次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度达到初始线段的1000倍，则至少需要通过构造的次数是（ ）.（取
lg30.4771≈，lg 20.3010≈）
A ．16
B ．17
C ．24
D ．25 【答案】D
【解析】
【分析】
由折线长度变化规律可知“n 次构造”后的折线长度为43n a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由此得到410003n ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭
，利用运算法则可知32lg 2lg 3n ≥
⨯-，由此计算得到结果. 【详解】
记初始线段长度为a ，则“一次构造”后的折线长度为
43a ，“二次构造”后的折线长度为243a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，以此类推，“n 次构造”后的折线长度为43n a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
若得到的折线长度为初始线段长度的1000倍，则410003n a a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，即410003n
⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， ()()44lg lg lg 4lg32lg 2lg3lg1000333n n n n ⎛⎫∴==-=-≥= ⎪⎝⎭
， 即324.0220.30100.4771
n ≥
≈⨯-，∴至少需要25次构造. 故选：D .
【点睛】 本题考查数列新定义运算的问题，涉及到对数运算法则的应用，关键是能够通过构造原则得到每次构造后所得折线长度成等比数列的特点.。