§1.10 多元多项式
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→ 作映射: c1 , , cn ) f ( c1 , , cn ) (
这个映射就确定一个由 F n 到F的函数,
f ( c1 ,, cn ) 称为多项式 f ( x1 ,, xn ) 在
xi = ci , (1 ≤ i ≤ n ) 的值.
第一章 多项式
设 f ( x1 , , xn ) , g ( x1 , , xn ) ∈ F [ x1 , , xn ] , 如果 f ( x1 ,, xn ) = g ( x1 ,, xn ) 则对 ( c1 , , cn ) ∈ F n , 都有 f ( c1 ,, cn ) = g ( c1 , , cn ) 这说明相等的多项式确定相同的多项式函数. 下面证明其反面也成立. 设 定理1.10.3: f ( x1 ,, xn ) ∈ F [ x1 ,, xn ] , 如果对任意 ( c1 , , cn ) ∈ F n , 都有 f ( c1 ,, cn ) = 0, 则 f ( x1 , , xn ) = 0.
这证明 abx1p1 + q1 x2p2 + q2 xnpn + qn 在乘积fg的首项.
第一章 多项式
推论1.10.1:如果 fi ≠ 0, i = 1, 2, , m, 则 f1 f 2 f m 的首项等于每个 fi 的首项的乘积. 推论1.10.2: 如果 f ( x1 , , xn ) ≠ 0, g ( x1 ,, xn ) ≠ 0, 则 f ( x1 , , xn ) g ( x1 , , xn ) ≠ 0. 现在回到两个n元多项式的乘积的次数上来, 设 f ( x1 , , xn ) 是一个n元多项式, 如果 f ( x1 , , xn ) 中各项都有同一次数k, 则称f是一个k次齐次多项式,简称k次齐次.
第一章 多项式
2 3 2 3 f ( x1 , x2 , x3 ) = x13 + 3x12 x2 2 x1 x2 + x2 x3 + x3 例如:设
2 3 2 3 g ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x12 x2 + 3x1 x2 3x2 x3 2 x3
则f与g的和是
2 3 2 3 f ( x1 , x2 , x3 ) + g ( x1 , x2 , x3 ) = x13 + 5 x12 x2 + x1 x2 2 x2 x3 x3
同一元多项式一样,也可以谈论n元多项式的次数. 设 f ( x1 , x2 , , xn ) =
∑
k1 ,, kn
k ak1kn x1k1 xnn ,
k ak1kn x1k1 xn n 的次数, k1 + k2 + + kn 称为单项式
对f来说其中系数不为零的单项式的最高次数就 称为这个多项式f的次数,记为 ( f ) . 设f,g是F上两个不等于零的n元多项式,则f与 g的和与积的次数与f,g的次数有如下关系: 1, ( f + g ) ≤ max ( f , g ) , 2, ( f g ) = f + g.
第一章 多项式
考虑 ki li , i = 1, 2, , n. 如果有 j ≤ n, 使
k1 l1 = 0, , k j 1 l j 1 = 0.
而 kj lj > 0
则称n元数组 ( k1 , , kn ) 先于数组 ( l1 ,, ln ) 记为 ( k1 , , kn ) > ( l1 ,, ln ) 于是对应于 ( k1 , , kn ) 的单项式就排在对应于
第一章 多项式
f ( x1 , , xn ) 的首项为ax1p1 x2p2 xnpn , a ≠ 0 证明:设
q q g ( x1 , , xn ) 的首项为 bx1q1 x2 2 xn n , b ≠ 0
为了证明它们的积
abx1p1 + q1 x2p2 + q2 xnpn + qn , 为fg的首项,
第一章 多项式
这样定义的多项式的加法和乘法与中学代数里 多项式的运算一致,n元多项式的运算满足以下运 算律:设 f , g , h ∈ F [ x1 , x2 ,, xn ] , 则 ⑴ ( f + g ) + h = f + ( g + h ) (加法结合律) ⑵ f +g=g+ f ⑶ (加法交换律) (乘法结合律) (乘法交换律) (乘法分配律)
② ③
( l1 + q1 , l2 + q2 ,, ln + qn )
( l1 + k1 , l2 + k2 ,, ln + kn )
其中 ( p1 , p2 ,, pn ) > ( l1 , l2 ,, ln ) ,
于是
( q1 , q2 ,, qn ) > ( k1 , k2 ,, kn ) . ( p1 + q1 ,, pn + qn ) > ( p1 + k1 ,, pn + kn ) , ( p1 + q1 ,, pn + qn ) > ( l1 + q1 ,, ln + qn ) , ( p1 + q1 ,, pn + qn ) > ( l1 + k1 ,, ln + kn ) .
第一章 多项式
结论1是显然的,但要证明结论2,还得先考虑 多元多项式的排列顺序,在一元多项式中,我们看 到多项式的升幂(或降幂)排列对许多问题的讨论 是方便的.为此,对多元多项式也引入一种排列顺 序的方法,这种方法是模仿字典排列的原则得出的, 因而称为字典排列法. 每一类单项式(1)都对应一个n元数组 ( k1 , k2 , , kn ) 其中 ki 为非负整数,这个对应是1-1的, 为了给单项式之间一个排列顺序的方法,我们 只要对n元数但定义一个先后顺序就可以了. 设两个单项式分别对应n元数组 ( k1 , , kn ) 和 ( l1 , , ln )
于是 f g = f 0 g 0 + f 0 g1 + + f 0 g s + + f m g s
第一章 多项式
由推论1.10.2:f m g s ≠ 0, 且是一个m+s次齐式, 其余各项 f i g j 或者等于零,或者是一个次数低于m+s的齐式. 因此 ( f g ) = m + s = ( f ) + ( g ) . 同一元多项式一样,F上n元多项式与多项式函 数是相同的. 对于数域F上一个n元多项式 f ( x1 , , xn ) 对F中任意n个数 c1 , c2 , , cn 如果在 f ( x1 , , xn ) 中,用 ci 代替 xi 就得到数域F中一个确定的数,称为 xi = ci ,
( l1 ,, ln ) 的单项式前面.
3 3 2 2 例如,对多项式 f = 3 x12 x2 x3 x12 x2 x4 + x14 + x3 x4 2
按字典排列法写出来就是:
3 3 2 2 f ( x1 , , x4 ) = x14 + 3x12 x2 x3 x12 x2 x4 + x3 x4 2
§1.10 多元多项式
前面介绍了一元多项式的基本性质,但是除了 一元多项式外;还有含多个文字的多项式,即多元 多项式,如 x 2 y 2 + 2 xy, x3 + y 3 + 3x 2 y + 3xy 2 , 下面简单介绍有关多元多项式的一些概念.
x 设F是一个数域,1 , x2 , , xn 是n个文字,
2 2 2 2 例如 f ( x1 , x2 , x3 ) = x14 + x13 x2 + x12 x2 + x1 x2 x3 + x2 x3
就是一个4次齐次多项式.
第一章 多项式
两个齐次多项式的乘积仍是齐次多项式,它的 次数就等于这两个多项式的次数之和. 任何一个m次多项式 f ( x1 , , xn ) 都可以唯一地表成几组齐次多项式的和,即
证明: 设 f , g ∈ F [ x1 , , xn ] , 且 f ≠ 0, g ≠ 0, 它们的次数分别为m和s,把f与g分别写成齐次 多项式的和:
f = f 0 + f1 + f m
g = g 0 + g1 + g s
这里 fi , g j 或者等于零,或者分别是i次或j次齐式
( i = 0,1,, m; j = 0,1,, s ) , 并且 f m ≠ 0, g s ≠ 0.
2 f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x12 x2 x3 + x1 x2 x2 x3
g ( x1 , x2 , x3 ) = x x + 3x x x2 x3
3 1 2 2 3 1 2 2
则
2 2 2 2 4 2 3 2 4 f g = 2 x15 x2 x3 + 6 x14 x2 x3 2 x12 x2 x3 + x14 x2 + 3x13 x2 x3 x1 x2 x3 2 2 2 3 2 x13 x2 x3 3 x12 x2 x3 + x2 x3
只要证明数组 ( p1 + q1 , p2 + q2 ,, pn + qn ) 先于乘积中其他单项式所对应的有序数组就行了.
f ( x1 , , xn ) g ( x1 , , xn ) 中其他单项式所对应
的有序数组有三类: ①
( p1 + q1 , p2 + q2 ,, pn + qn )
第一章 多项式
f ( x1 , , xn ) = ∑ f i ( x1 , , xn )
fi ( x1 ,, xn ) 是i次齐次多项式,
i= i =0 m
若 fi ≠ 0,
f i 就是f的一个i次齐次成分.
定理1.10.2: 数域F上两个不等于零的n元多项式的 乘积的次数等于这两个多项式次数的和.
第一章 多项式
( fg ) h = f ( gh )
⑷ fg = gf ⑸ ( f + g ) h = fh + gh
我们把F上一切n个文字 x1 , x2 , , xn 的多项式所成 的集合,连同以上定义的加法和乘法叫做F上n个文字
第一章 多项式
x1 , x2 , , xn 的多项式环,记作 F [ x1 , x2 , , xn ] .
第一章 多项式
就称为n元多项式,简称多项式, 记为 f ( x1 , x2 ,, xn ) —(2) 和一元多项式一样,n元多项式也可以定义相 等,相加,相减,相乘. 1. 相等:如果F上两个n元多项式有完全相同的项 (或者只差一些系数为零的项),则称 这两个多项式是相等的. 2. 相加:F上两个n元多项式 f ( x1 , x2 , , xn ) 与 g ( x1 , x2 , , xn ) 的和指的是把分别出现 在这两个多项式中对应的同类项的系数相 加多得的n元多项式.
—(1)的式子, 其中 a ∈ F , k1 , k2 , , kn 是非负整数,称为一个单项式.
1 2 n
k k 形如 ax1k x2 xn
如果两个单项式中相同文字的幂全一样,那么 它们就称为同类项.一些单项式的和
∑
k1 , k2 ,, kn
ak1k2 kn x x x
k1 k2 1 2
kn n
3. 相减:f g = f + ( g ) . 设 g ∈ F [ x1 , x2 ,, xn ] , 把g的系数都换成各自的相反数,所得多项式 叫做g的负多项式,记为 g ,
g ∈ F [ x1 , x2 , , xn ] .
第一章 多项式
4. 相乘:F上两个n元多项式 f ( x1 , x2 , , xn ) 与 g ( x1 , x2 , , xn ) 的乘积指的是,先把f的每一项 与g的每一项相乘,然后把这些乘积相加 (合并同类项)所得的多项式称为f与g的 积,记为fg. 例如
第一章 多项式
应该注意的是, 把一个多项式按字典排列法书写后,次数较 高的项并不一定排在次数较低的项的前面,例如 上面的首项次数为4,第二项的次数为6,而f = 7. 关于多项式的首项有以下定理,这个定理在下 一节讨论对称多项式时将要用到 定理1.10.1: 数域F上两个非零的n元多项式 f ( x1 , , xn ) 和 g ( x1 , , xn ) 的乘积的首项等于这两个多项式首项 的乘积.
第一章 多项式
i = 1, 2, , n 时多项式 c1 ,, cn ) 来表示. 如果 f ( c1 ,, cn ) = 0, 则数组 ( c1 ,, cn ) 叫做 f ( x1 , , xn ) 的一个零点. 由此一个n元多项式就确定一个n元多项式函数. 对 ( c1 , , cn ) ∈ F n = {( c1 , , cn ) ci ∈ F , i = 1, , n} ,
这个映射就确定一个由 F n 到F的函数,
f ( c1 ,, cn ) 称为多项式 f ( x1 ,, xn ) 在
xi = ci , (1 ≤ i ≤ n ) 的值.
第一章 多项式
设 f ( x1 , , xn ) , g ( x1 , , xn ) ∈ F [ x1 , , xn ] , 如果 f ( x1 ,, xn ) = g ( x1 ,, xn ) 则对 ( c1 , , cn ) ∈ F n , 都有 f ( c1 ,, cn ) = g ( c1 , , cn ) 这说明相等的多项式确定相同的多项式函数. 下面证明其反面也成立. 设 定理1.10.3: f ( x1 ,, xn ) ∈ F [ x1 ,, xn ] , 如果对任意 ( c1 , , cn ) ∈ F n , 都有 f ( c1 ,, cn ) = 0, 则 f ( x1 , , xn ) = 0.
这证明 abx1p1 + q1 x2p2 + q2 xnpn + qn 在乘积fg的首项.
第一章 多项式
推论1.10.1:如果 fi ≠ 0, i = 1, 2, , m, 则 f1 f 2 f m 的首项等于每个 fi 的首项的乘积. 推论1.10.2: 如果 f ( x1 , , xn ) ≠ 0, g ( x1 ,, xn ) ≠ 0, 则 f ( x1 , , xn ) g ( x1 , , xn ) ≠ 0. 现在回到两个n元多项式的乘积的次数上来, 设 f ( x1 , , xn ) 是一个n元多项式, 如果 f ( x1 , , xn ) 中各项都有同一次数k, 则称f是一个k次齐次多项式,简称k次齐次.
第一章 多项式
2 3 2 3 f ( x1 , x2 , x3 ) = x13 + 3x12 x2 2 x1 x2 + x2 x3 + x3 例如:设
2 3 2 3 g ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x12 x2 + 3x1 x2 3x2 x3 2 x3
则f与g的和是
2 3 2 3 f ( x1 , x2 , x3 ) + g ( x1 , x2 , x3 ) = x13 + 5 x12 x2 + x1 x2 2 x2 x3 x3
同一元多项式一样,也可以谈论n元多项式的次数. 设 f ( x1 , x2 , , xn ) =
∑
k1 ,, kn
k ak1kn x1k1 xnn ,
k ak1kn x1k1 xn n 的次数, k1 + k2 + + kn 称为单项式
对f来说其中系数不为零的单项式的最高次数就 称为这个多项式f的次数,记为 ( f ) . 设f,g是F上两个不等于零的n元多项式,则f与 g的和与积的次数与f,g的次数有如下关系: 1, ( f + g ) ≤ max ( f , g ) , 2, ( f g ) = f + g.
第一章 多项式
考虑 ki li , i = 1, 2, , n. 如果有 j ≤ n, 使
k1 l1 = 0, , k j 1 l j 1 = 0.
而 kj lj > 0
则称n元数组 ( k1 , , kn ) 先于数组 ( l1 ,, ln ) 记为 ( k1 , , kn ) > ( l1 ,, ln ) 于是对应于 ( k1 , , kn ) 的单项式就排在对应于
第一章 多项式
f ( x1 , , xn ) 的首项为ax1p1 x2p2 xnpn , a ≠ 0 证明:设
q q g ( x1 , , xn ) 的首项为 bx1q1 x2 2 xn n , b ≠ 0
为了证明它们的积
abx1p1 + q1 x2p2 + q2 xnpn + qn , 为fg的首项,
第一章 多项式
这样定义的多项式的加法和乘法与中学代数里 多项式的运算一致,n元多项式的运算满足以下运 算律:设 f , g , h ∈ F [ x1 , x2 ,, xn ] , 则 ⑴ ( f + g ) + h = f + ( g + h ) (加法结合律) ⑵ f +g=g+ f ⑶ (加法交换律) (乘法结合律) (乘法交换律) (乘法分配律)
② ③
( l1 + q1 , l2 + q2 ,, ln + qn )
( l1 + k1 , l2 + k2 ,, ln + kn )
其中 ( p1 , p2 ,, pn ) > ( l1 , l2 ,, ln ) ,
于是
( q1 , q2 ,, qn ) > ( k1 , k2 ,, kn ) . ( p1 + q1 ,, pn + qn ) > ( p1 + k1 ,, pn + kn ) , ( p1 + q1 ,, pn + qn ) > ( l1 + q1 ,, ln + qn ) , ( p1 + q1 ,, pn + qn ) > ( l1 + k1 ,, ln + kn ) .
第一章 多项式
结论1是显然的,但要证明结论2,还得先考虑 多元多项式的排列顺序,在一元多项式中,我们看 到多项式的升幂(或降幂)排列对许多问题的讨论 是方便的.为此,对多元多项式也引入一种排列顺 序的方法,这种方法是模仿字典排列的原则得出的, 因而称为字典排列法. 每一类单项式(1)都对应一个n元数组 ( k1 , k2 , , kn ) 其中 ki 为非负整数,这个对应是1-1的, 为了给单项式之间一个排列顺序的方法,我们 只要对n元数但定义一个先后顺序就可以了. 设两个单项式分别对应n元数组 ( k1 , , kn ) 和 ( l1 , , ln )
于是 f g = f 0 g 0 + f 0 g1 + + f 0 g s + + f m g s
第一章 多项式
由推论1.10.2:f m g s ≠ 0, 且是一个m+s次齐式, 其余各项 f i g j 或者等于零,或者是一个次数低于m+s的齐式. 因此 ( f g ) = m + s = ( f ) + ( g ) . 同一元多项式一样,F上n元多项式与多项式函 数是相同的. 对于数域F上一个n元多项式 f ( x1 , , xn ) 对F中任意n个数 c1 , c2 , , cn 如果在 f ( x1 , , xn ) 中,用 ci 代替 xi 就得到数域F中一个确定的数,称为 xi = ci ,
( l1 ,, ln ) 的单项式前面.
3 3 2 2 例如,对多项式 f = 3 x12 x2 x3 x12 x2 x4 + x14 + x3 x4 2
按字典排列法写出来就是:
3 3 2 2 f ( x1 , , x4 ) = x14 + 3x12 x2 x3 x12 x2 x4 + x3 x4 2
§1.10 多元多项式
前面介绍了一元多项式的基本性质,但是除了 一元多项式外;还有含多个文字的多项式,即多元 多项式,如 x 2 y 2 + 2 xy, x3 + y 3 + 3x 2 y + 3xy 2 , 下面简单介绍有关多元多项式的一些概念.
x 设F是一个数域,1 , x2 , , xn 是n个文字,
2 2 2 2 例如 f ( x1 , x2 , x3 ) = x14 + x13 x2 + x12 x2 + x1 x2 x3 + x2 x3
就是一个4次齐次多项式.
第一章 多项式
两个齐次多项式的乘积仍是齐次多项式,它的 次数就等于这两个多项式的次数之和. 任何一个m次多项式 f ( x1 , , xn ) 都可以唯一地表成几组齐次多项式的和,即
证明: 设 f , g ∈ F [ x1 , , xn ] , 且 f ≠ 0, g ≠ 0, 它们的次数分别为m和s,把f与g分别写成齐次 多项式的和:
f = f 0 + f1 + f m
g = g 0 + g1 + g s
这里 fi , g j 或者等于零,或者分别是i次或j次齐式
( i = 0,1,, m; j = 0,1,, s ) , 并且 f m ≠ 0, g s ≠ 0.
2 f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x12 x2 x3 + x1 x2 x2 x3
g ( x1 , x2 , x3 ) = x x + 3x x x2 x3
3 1 2 2 3 1 2 2
则
2 2 2 2 4 2 3 2 4 f g = 2 x15 x2 x3 + 6 x14 x2 x3 2 x12 x2 x3 + x14 x2 + 3x13 x2 x3 x1 x2 x3 2 2 2 3 2 x13 x2 x3 3 x12 x2 x3 + x2 x3
只要证明数组 ( p1 + q1 , p2 + q2 ,, pn + qn ) 先于乘积中其他单项式所对应的有序数组就行了.
f ( x1 , , xn ) g ( x1 , , xn ) 中其他单项式所对应
的有序数组有三类: ①
( p1 + q1 , p2 + q2 ,, pn + qn )
第一章 多项式
f ( x1 , , xn ) = ∑ f i ( x1 , , xn )
fi ( x1 ,, xn ) 是i次齐次多项式,
i= i =0 m
若 fi ≠ 0,
f i 就是f的一个i次齐次成分.
定理1.10.2: 数域F上两个不等于零的n元多项式的 乘积的次数等于这两个多项式次数的和.
第一章 多项式
( fg ) h = f ( gh )
⑷ fg = gf ⑸ ( f + g ) h = fh + gh
我们把F上一切n个文字 x1 , x2 , , xn 的多项式所成 的集合,连同以上定义的加法和乘法叫做F上n个文字
第一章 多项式
x1 , x2 , , xn 的多项式环,记作 F [ x1 , x2 , , xn ] .
第一章 多项式
就称为n元多项式,简称多项式, 记为 f ( x1 , x2 ,, xn ) —(2) 和一元多项式一样,n元多项式也可以定义相 等,相加,相减,相乘. 1. 相等:如果F上两个n元多项式有完全相同的项 (或者只差一些系数为零的项),则称 这两个多项式是相等的. 2. 相加:F上两个n元多项式 f ( x1 , x2 , , xn ) 与 g ( x1 , x2 , , xn ) 的和指的是把分别出现 在这两个多项式中对应的同类项的系数相 加多得的n元多项式.
—(1)的式子, 其中 a ∈ F , k1 , k2 , , kn 是非负整数,称为一个单项式.
1 2 n
k k 形如 ax1k x2 xn
如果两个单项式中相同文字的幂全一样,那么 它们就称为同类项.一些单项式的和
∑
k1 , k2 ,, kn
ak1k2 kn x x x
k1 k2 1 2
kn n
3. 相减:f g = f + ( g ) . 设 g ∈ F [ x1 , x2 ,, xn ] , 把g的系数都换成各自的相反数,所得多项式 叫做g的负多项式,记为 g ,
g ∈ F [ x1 , x2 , , xn ] .
第一章 多项式
4. 相乘:F上两个n元多项式 f ( x1 , x2 , , xn ) 与 g ( x1 , x2 , , xn ) 的乘积指的是,先把f的每一项 与g的每一项相乘,然后把这些乘积相加 (合并同类项)所得的多项式称为f与g的 积,记为fg. 例如
第一章 多项式
应该注意的是, 把一个多项式按字典排列法书写后,次数较 高的项并不一定排在次数较低的项的前面,例如 上面的首项次数为4,第二项的次数为6,而f = 7. 关于多项式的首项有以下定理,这个定理在下 一节讨论对称多项式时将要用到 定理1.10.1: 数域F上两个非零的n元多项式 f ( x1 , , xn ) 和 g ( x1 , , xn ) 的乘积的首项等于这两个多项式首项 的乘积.
第一章 多项式
i = 1, 2, , n 时多项式 c1 ,, cn ) 来表示. 如果 f ( c1 ,, cn ) = 0, 则数组 ( c1 ,, cn ) 叫做 f ( x1 , , xn ) 的一个零点. 由此一个n元多项式就确定一个n元多项式函数. 对 ( c1 , , cn ) ∈ F n = {( c1 , , cn ) ci ∈ F , i = 1, , n} ,