《运筹学》胡运权清华版-2-01对偶问题
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第一节 线性规划的对偶问题
一、对偶问题的提出
二、原问题与对偶问题的数学模型
继续
三、原问题与对偶问题的对应关系
返回
一、对偶问题的提出
题对
偶 问
实例：某家电厂家利用现有资源生产两种
产品， 有关数据如下表：
上页 下页 返回
设备A 设备B 调试工序
产品Ⅰ 产品Ⅱ
0
5
6
2
1
1
利润（元） 2
1
D
15时 24时 5时
a11x1 a12x2 ... a1n xn b1 .a..21x1 a22x2 ... a2n xn b2 am1x1 am2 x2 ... amn xn bm xi 0,i 1,2,..., n
题对 偶 问
上页 下页 返回
对偶问题
min w b1 y1 b2 y2 ... bm ym
y 调试工序 –––– 元／3时
付出的代价最小， 且对方能接受。
厂家觉得比
收
自己生产有利。
购
题对 偶 问
上页 下页 返回
厂家能接受的条件：
出 用同让等代6 y数价2量应的不y资低3 源于 2 5 y自1己生2产y的2 利润y3。 1
收购方的意愿：
单位产品Ⅰ出租 收入不低于2元
单位产品Ⅱ出租 收入不低于1元
y1 a11
a12...
a1n ≤ b1
偶 问
y2 a21 ... ...
a22... ...
a2n
≤
... b2
... ...
题
ym am1 am2 ... amn ≤ bm
≥ ≥ ≥
max c1 c2 ... cn
题对 偶 问
上页 下页 返回
原问题
max z c1x1 c2 x2 ... cn xn
w Yb YA C
Y0
Y y1, y2,..., ym — 行向量
题对 偶 问
上页 下页 返回
特点：
1． max min 2．限定向量b 价值向量C
其它形式 的对偶
?
（资源向量）
3．一个约束 一个变量。
4． max z的LP约束“ ” min z 的
LP是“ ”的约束。
5．变量都是非负限制。
y1
5x2 15
y'2 y' '2
6 6
x1 x1
2 x2 2 x2
24 24
y3
x1 x2 5
x1, x2 0
题对 偶 问
上页 下页 返回
对偶问题
min w 15 y1 24 y'2 24 y' '2 5 y3
6 y'2 6 y' '2 y3 2
5 y1 2 y'2 2 y' '2 y3 1
y1, y'2 , y' '2 , y3 0
令y2 y'2 y' '2
题对 偶 问
上页 下页 返回
对偶问题
min w 15 y1 24 y2 5 y3
6 y2 y3 2
5 y1 2 y2 y3 1
y1, y3 0, y2无约束
题对 偶 问
上页 下页 返回
原问题
x1 x2
min
对 偶
y1
0 5 ≤ 15
问 题
无约束 y2
6 2 = 24
y3
1 1 ≤5
≥ ≥
max
21
结论：等式约束 对偶变量无约束
？原问题（max）的约束条件是≥
题对 偶 问
上页
例： max z 2x1 x2
max z 2x1 x2
5x2 15 6x1 2x2 24
x1, x2 0
对偶问题的对偶是原问题
题对 偶 问
上页 下页 返回
三、非对称形式的对偶
1 若原问题的约束条件中有等式 例：求LP问题的对偶问题
max z 2x1 x2
s.t.
5x2 15
6x1 2x2 24
第二个约束x1 x2 5
是等式
x1, x2 0
题对 偶 问
上页 下页 返回
解： 原问题
max z 2x1 x2
四、原问题与对偶问题的对应关系
题对 偶 问
上页 下页 返回
原问题（或对偶问题） 对偶问题（或原问题）
目标函数 max z
目标函数 min w
n 个约束
n个变量
约束 max z 变量 0
约束
变量 0
约束
自由变量
m个变量 变量 0
min z
m个约束 约束
变量 0
约束
自由变量
约束
目标函数的价值向量 约束条件的限定向量
min w 15 y 24 y 5 y
1
2
3
Ⅰ
Ⅱ
D
设备A y1
0
设备B y2
6
调试工序y3 1
5
15时
2
24时
1
5时
利润（元） 2
1
max z 2x1 x2
题对
偶
原
问
问
题
s.t.
5x2 15
厂
6x1 2x2 24 家
x1 x2 5
x1, x2 0
一对对偶问题
上页
min w 15 y 24 y 5y
5x2 15 -6x1 2x2 24
x1, x2 0
下页 min w 15 y1 24 y2 min w 15 y1 24 y '2
返回
6 y2 2 5 y1 2 y2 1
y1, y2 0
6 y '2 2 5 y1 2 y '2 1
y1
0,
y '2
0
(y2’= - y2)
1
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
下页
s.t
6y y 2
2
3
对 偶
返回
收 购
5y 2y y 1 问
1
2
3
y ,y ,y 0
1
2
3
厂题
家
原问题
题对 偶 问
上页 下页 返回
x1 x2
min
对 偶
y1
0 5 ≤ 15
问 题
y2
6 2 ≤ 24
y3
1 1 ≤5
≥ ≥
max
21
原问题
对偶问题
题对 偶 问
max
s.t.
a11 a12 ... a1n
s.t.
y1 ,
y2Y,...,
ym
a21
a22 ...
... ...
a2
n
am1 am2 ... amn
c1, c2 ,..., cm
题对 偶 问
上页 下页 返回
用矩阵表示
原问题
max
s.t.
z CX AX b
X 0
对偶问题
ms.itn.
约束条件的限定向量 目标函数的价值向量
例:
题对
偶 问
max z 5x1 3x2 2x3 4x4
5x1 x2 x3 8x4 8
上页
s.t 2x1 4x2 3x3 2x4 10
下页
x1,x2 0 x3,x4无约束
返回
对偶问题为
题对
偶 问
min w 8y1 10y2
5 y1 2 y2 5
上页
s.t.
y1 4 y2 3 y1 3y2 2
下页
8 y1 2 y 2 4
返回
y1
0,
y2无约束
第一节 线性规划的对偶问题
返回
题对 偶 问
上页 下页 返回
x 设 Ⅰ产量––––– 1
x Ⅱ产量––––– 2
如何安排生产， 使获利最多？
max z 2 x1 x2
s.t.
5x2 15
6x1 2x2 24
x1 x2 5
x1, x2 0
厂 家
题对 偶 问
上页 下页 返回
y 设：设备A —— 元／1 时 y 设备B –––– 元／时2
z CX AX b
ms.itn.
w Yb YA C
X 0
Y0
律一 上页 般
规
下页
3个约 束 2个变
量C (c1, c2 )
2个约束 3个变量
Y (y1,y2,y3 )
返回
A (aij )
X
x1 x2
b1
b
b2 b3
二、对称形式的对偶问题
题对 偶 问
上页 下页 返回
原问题 x1 x2 ... xn min 对
.aa..1121
y1 y1
a21 y2 a22 y2
... ...
am1 ym am2 ym
c1 c2
a1n y1 a2n y2 ... amn ym cn
y j 0, j 1,2,...m
题对 偶 问
上页 下页 返回
可写成
min w y1, y2Y,..., ym b1,b2 ,..., bm T
一、对偶问题的提出
二、原问题与对偶问题的数学模型
继续
三、原问题与对偶问题的对应关系
返回
一、对偶问题的提出
题对
偶 问
实例：某家电厂家利用现有资源生产两种
产品， 有关数据如下表：
上页 下页 返回
设备A 设备B 调试工序
产品Ⅰ 产品Ⅱ
0
5
6
2
1
1
利润（元） 2
1
D
15时 24时 5时
a11x1 a12x2 ... a1n xn b1 .a..21x1 a22x2 ... a2n xn b2 am1x1 am2 x2 ... amn xn bm xi 0,i 1,2,..., n
题对 偶 问
上页 下页 返回
对偶问题
min w b1 y1 b2 y2 ... bm ym
y 调试工序 –––– 元／3时
付出的代价最小， 且对方能接受。
厂家觉得比
收
自己生产有利。
购
题对 偶 问
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厂家能接受的条件：
出 用同让等代6 y数价2量应的不y资低3 源于 2 5 y自1己生2产y的2 利润y3。 1
收购方的意愿：
单位产品Ⅰ出租 收入不低于2元
单位产品Ⅱ出租 收入不低于1元
y1 a11
a12...
a1n ≤ b1
偶 问
y2 a21 ... ...
a22... ...
a2n
≤
... b2
... ...
题
ym am1 am2 ... amn ≤ bm
≥ ≥ ≥
max c1 c2 ... cn
题对 偶 问
上页 下页 返回
原问题
max z c1x1 c2 x2 ... cn xn
w Yb YA C
Y0
Y y1, y2,..., ym — 行向量
题对 偶 问
上页 下页 返回
特点：
1． max min 2．限定向量b 价值向量C
其它形式 的对偶
?
（资源向量）
3．一个约束 一个变量。
4． max z的LP约束“ ” min z 的
LP是“ ”的约束。
5．变量都是非负限制。
y1
5x2 15
y'2 y' '2
6 6
x1 x1
2 x2 2 x2
24 24
y3
x1 x2 5
x1, x2 0
题对 偶 问
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对偶问题
min w 15 y1 24 y'2 24 y' '2 5 y3
6 y'2 6 y' '2 y3 2
5 y1 2 y'2 2 y' '2 y3 1
y1, y'2 , y' '2 , y3 0
令y2 y'2 y' '2
题对 偶 问
上页 下页 返回
对偶问题
min w 15 y1 24 y2 5 y3
6 y2 y3 2
5 y1 2 y2 y3 1
y1, y3 0, y2无约束
题对 偶 问
上页 下页 返回
原问题
x1 x2
min
对 偶
y1
0 5 ≤ 15
问 题
无约束 y2
6 2 = 24
y3
1 1 ≤5
≥ ≥
max
21
结论：等式约束 对偶变量无约束
？原问题（max）的约束条件是≥
题对 偶 问
上页
例： max z 2x1 x2
max z 2x1 x2
5x2 15 6x1 2x2 24
x1, x2 0
对偶问题的对偶是原问题
题对 偶 问
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三、非对称形式的对偶
1 若原问题的约束条件中有等式 例：求LP问题的对偶问题
max z 2x1 x2
s.t.
5x2 15
6x1 2x2 24
第二个约束x1 x2 5
是等式
x1, x2 0
题对 偶 问
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解： 原问题
max z 2x1 x2
四、原问题与对偶问题的对应关系
题对 偶 问
上页 下页 返回
原问题（或对偶问题） 对偶问题（或原问题）
目标函数 max z
目标函数 min w
n 个约束
n个变量
约束 max z 变量 0
约束
变量 0
约束
自由变量
m个变量 变量 0
min z
m个约束 约束
变量 0
约束
自由变量
约束
目标函数的价值向量 约束条件的限定向量
min w 15 y 24 y 5 y
1
2
3
Ⅰ
Ⅱ
D
设备A y1
0
设备B y2
6
调试工序y3 1
5
15时
2
24时
1
5时
利润（元） 2
1
max z 2x1 x2
题对
偶
原
问
问
题
s.t.
5x2 15
厂
6x1 2x2 24 家
x1 x2 5
x1, x2 0
一对对偶问题
上页
min w 15 y 24 y 5y
5x2 15 -6x1 2x2 24
x1, x2 0
下页 min w 15 y1 24 y2 min w 15 y1 24 y '2
返回
6 y2 2 5 y1 2 y2 1
y1, y2 0
6 y '2 2 5 y1 2 y '2 1
y1
0,
y '2
0
(y2’= - y2)
1
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
下页
s.t
6y y 2
2
3
对 偶
返回
收 购
5y 2y y 1 问
1
2
3
y ,y ,y 0
1
2
3
厂题
家
原问题
题对 偶 问
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x1 x2
min
对 偶
y1
0 5 ≤ 15
问 题
y2
6 2 ≤ 24
y3
1 1 ≤5
≥ ≥
max
21
原问题
对偶问题
题对 偶 问
max
s.t.
a11 a12 ... a1n
s.t.
y1 ,
y2Y,...,
ym
a21
a22 ...
... ...
a2
n
am1 am2 ... amn
c1, c2 ,..., cm
题对 偶 问
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用矩阵表示
原问题
max
s.t.
z CX AX b
X 0
对偶问题
ms.itn.
约束条件的限定向量 目标函数的价值向量
例:
题对
偶 问
max z 5x1 3x2 2x3 4x4
5x1 x2 x3 8x4 8
上页
s.t 2x1 4x2 3x3 2x4 10
下页
x1,x2 0 x3,x4无约束
返回
对偶问题为
题对
偶 问
min w 8y1 10y2
5 y1 2 y2 5
上页
s.t.
y1 4 y2 3 y1 3y2 2
下页
8 y1 2 y 2 4
返回
y1
0,
y2无约束
第一节 线性规划的对偶问题
返回
题对 偶 问
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x 设 Ⅰ产量––––– 1
x Ⅱ产量––––– 2
如何安排生产， 使获利最多？
max z 2 x1 x2
s.t.
5x2 15
6x1 2x2 24
x1 x2 5
x1, x2 0
厂 家
题对 偶 问
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y 设：设备A —— 元／1 时 y 设备B –––– 元／时2
z CX AX b
ms.itn.
w Yb YA C
X 0
Y0
律一 上页 般
规
下页
3个约 束 2个变
量C (c1, c2 )
2个约束 3个变量
Y (y1,y2,y3 )
返回
A (aij )
X
x1 x2
b1
b
b2 b3
二、对称形式的对偶问题
题对 偶 问
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原问题 x1 x2 ... xn min 对
.aa..1121
y1 y1
a21 y2 a22 y2
... ...
am1 ym am2 ym
c1 c2
a1n y1 a2n y2 ... amn ym cn
y j 0, j 1,2,...m
题对 偶 问
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可写成
min w y1, y2Y,..., ym b1,b2 ,..., bm T