2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学I卷(含答案)

2016年普通高等学校招生全国统一考试
(课标全国卷Ⅰ)
理 数
本卷满分150分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合A={x|x 2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则A∩B=( ) A.(-3,-3
2)
B.(-3,3
2
)
C.(1,3
2
)
D.(3
2
,3)
2.设(1+i)x=1+yi,其中x,y 是实数,则|x+yi|=( ) A.1
B.√2
C.√3
D.2
3.已知等差数列{a n }前9项的和为27,a 10=8,则a 100=( ) A.100
B.99
C.98
D.97
4.某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) A.1
3
B.1
2
C.2
3
D.3
4
5.已知方程
x 2
m 2+n -y 2
3m 2-n
=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是( ) A.(-1,3)
B.(-1,√3)
C.(0,3)
D.(0,√3)
6.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3
,则它的表面积
是( )
A.17π
B.18π
C.20π
D.28π
7.函数y=2x 2-e |x|在[-2,2]的图象大致为( )
8.若a>b>1,0<c<1,则( ) A.a c <b c
B.ab c <ba c
C.alog b c<blog a c
D.log a c<log b c
9.执行下面的程序框图,如果输入的x=0,y=1,n=1,则输出x,y 的值满足( )
A.y=2x
B.y=3x
C.y=4x
D.y=5x
10.以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A,B 两点,交C 的准线于D,E 两点.已知|AB|=4√2,|DE|=2√5,则C 的焦点到准线的距离为( ) A.2
B.4
C.6
D.8
11.平面α过正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的顶点A,α∥平面CB 1D 1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB 1A 1=n,则m,n 所成角的正弦值为( ) A.√3
2
B.√2
2
C.√3
3
D.1
3
12.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤π2
),x=-π4
为f(x)的零点,x=π4
为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在(π
18
,
5π36
)单
调,则ω的最大值为( ) A.11
B.9
C.7
D.5
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~24题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分.
13.设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m= .
14.(2x+√x)5的展开式中,x3的系数是.(用数字填写答案)
15.设等比数列{a n}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…a n的最大值为.
16.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c.
(Ⅰ)求C;
,求△ABC的周长.
(Ⅱ)若c=√7,△ABC的面积为3√3
2
18.(本小题满分12分)
如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都
(Ⅰ)证明:平面ABEF⊥平面EFDC;
(Ⅱ)求二面角E-BC-A的余弦值.
19.(本小题满分12分)
某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
(Ⅰ)求X的分布列;
(Ⅱ)若要求P(X≤n)≥0.5,确定n的最小值;
(Ⅲ)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?
20.(本小题满分12分)
设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.
(Ⅰ)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程;
(Ⅱ)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.
21.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=(x-2)e x+a(x-1)2有两个零点.
(Ⅰ)求a的取值范围;
(Ⅱ)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x2<2.
请考生在第22~24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲
如图,△OAB 是等腰三角形,∠AOB=120°.以O 为圆心,1
2OA 为半径作圆.
(Ⅰ)证明:直线AB 与☉O 相切;
(Ⅱ)点C,D 在☉O 上,且A,B,C,D 四点共圆,证明:AB∥CD.
23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =acost ,
y =1+asint (t 为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=4cos θ.
(Ⅰ)说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程;
(Ⅱ)直线C 3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a.
24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|. (Ⅰ)画出y=f(x)的图象; (Ⅱ)求不等式|f(x)|>1的解集.
2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)
一、选择题
1.D 易知A=(1,3),B=(3
2,+∞),∴A∩B=(3
2,3).故选D.
2.B ∵x,y∈R,(1+i)x=1+yi,∴x+xi=1+yi, ∴{x =1,y =1,
∴|x+yi|=|1+i|=√12+12=√2.故选B. 3.C 设{a n }的公差为d,由等差数列前n 项和公式及通项公式,得{S 9=9a 1+9×8
2d =27,
a 10
=a 1+9d =8,
解
得{a 1=-1,d =1,
a n =a 1+(n-1)d=n-2,∴a 100=100-2=98.故选C.
4.B 解法一:7:30的班车小明显然是坐不到了.当小明在8:00前到达,或者8:20之后到达,他等车的时间将不超过10分钟,故所求概率为
10+1040
=12.故选B.
解法二:当小明到达车站的时刻超过8:00,但又不到8:20时,等车时间将超过10分钟,其他时刻到达车站时,等车时间将不超过10分钟,故等车时间不超过10分钟的概率为1-2040=1
2.
5.A ∵原方程表示双曲线,且焦距为4, ∴{m 2+n >0,3m 2-n >0,m 2+n +3m 2-n =4,①
或{m 2+n <0,3m 2-n <0,-(3m 2-n )-(m 2+n )=4,②
由①得m 2
=1,n∈(-1,3).②无解.故选A.
6.A 由三视图可知,该几何体是一个球被截去1
8后剩下的部分,设球的半径为R,则该几何体的体积为78×4
3πR 3
,即283π=78×4
3πR 3
,解得R=2.故其表面积为7
8×4π×22
+3×1
4×π×22
=17π.选A.
7.D 当x∈(0,2]时,y=f(x)=2x 2
-e x
, f '(x)=4x-e x
. f '(x)在(0,2)上只有一个零点x 0,且当0<x<x 0时, f '(x)<0;当x 0<x≤2时, f '(x)>0.故f(x)在(0,2]上先减后增,又f(2)-1=7-e 2
<0,所以f(2)<1.故选D.
8.C 解法一:由a>b>1,0<c<1,知a c
>b c
,A 错;
∵0<c<1,∴-1<c-1<0,∴y=x c-1
在x∈(0,+∞)上是减函数, ∴b c-1
>a c-1
,又ab>0,∴ab·b c-1
>ab·a c-1
,即ab c
>ba c
,B 错; 易知y=log c x 是减函数,∴0>log c b>log c a,∴log b c<log a c,D 错;
由log b c<log a c<0,得-log b c>-log a c>0,又a>b>1>0,∴-alog b c>-blog a c>0,∴alog b c<blog a c,故C 正确.
解法二:依题意,不妨取a=10,b=2,c=1
2.易验证A 、B 、D 均是错误的,只有C 正确. 9.C x=0,y=1,n=1,x=0,y=1,n=2;
x=1
2,y=2,n=3;x=3
2,y=6,此时x 2
+y 2
>36,输出x=3
2,y=6,满足y=4x.故选C.
10.B 不妨设C:y 2
=2px(p>0),A(x 1,2√2),则x 1=(2√2)2
2p
=4
p
,由题意可知|OA|=|OD|,得
(4p )2
+8=(p 2)2
+5,解得p=4.故选B.
11.A 如图,延长B 1A 1至A 2,使A 2A 1=B 1A 1,延长D 1A 1至A 3,使A 3A 1=D 1A 1,连结AA 2,AA 3,A 2A 3,A 1B,A 1D.易证AA 2∥A 1B∥D 1C,AA 3∥A 1D∥B 1C.
∴平面AA 2A 3∥平面CB 1D 1,即平面AA 2A 3为平面α.
于是m∥A 2A 3,直线AA 2即为直线n.显然有AA 2=AA 3=A 2A 3,于是m 、n 所成的角为60°,其正弦值为√3
2.选A.
12.B 依题意,有{ω·(-π
4
)+φ=mπ,
ω·π4
+φ=nπ+
π2
(m 、n∈Z),
∴{ω=2(n -m )+1,φ=2(m+n )+1
4
π. 又|φ|≤π2,∴m+n=0或m+n=-1.当m+n=0时,ω=4n+1,φ=π4,由f(x)在(π18,5π
36)上单调,得πω≥5π36-π18,∴ω≤12,取n=2,得ω=9, f(x)=sin (9x +π
4)符合题意.当m+n=-1时,φ=-π4,ω=4n+3,取n=2,得ω=11, f(x)=sin (11x -π4),此时,当x∈(π18,5
36π)
时,11x-π4∈(1336π,23
18
π), f(x)不单调,不合题意.故选B.
二、填空题 13.答案 -2
解析 由|a+b|2
=|a|2
+|b|2
,知a⊥b,∴a·b=m+2=0,∴m=-2. 14.答案 10
解析 T r+1=C 5r (2x)5-r
·(
√x )r
=25-r
C 5r
·x 5-r
2,令5-r
2=3,得r=4,∴T 5=10x 3
,∴x 3
的系数为10.
15.答案 64
解析 设{a n }的公比为q,于是a 1(1+q 2
)=10,① a 1(q+q 3
)=5,② 联立①②得a 1=8,q=1
2, ∴a n =24-n
,∴a 1a 2…a n =23+2+1+…+(4-n)
=2-12n
2+7
2
n =2-1
2(n -72)
2+49
8
≤26
=64.∴a 1a 2…a n 的最大值为64.
16.答案 216 000
解析 设生产产品A x 件,产品B y 件,依题意,得{x ≥0,y ≥0,
1.5x +0.5y ≤150,
x +0.3y ≤90,5x +3y ≤600,
设生产产品A,产品B 的利润之和为E 元,则E=2 100x+900y.画出可行域(图略),易知最优解为{x =60,y =100,此时E max =216 000. 三、解答题
17.解析 (Ⅰ)由已知及正弦定理得,
2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C,(2分) 2cos Csin(A+B)=sin C. 故2sin Ccos C=sin C.(4分) 可得cos C=1
2
,所以C=π
3
.(6分)
(Ⅱ)由已知,得1
2absin C=
3√3
2
. 又C=π
3,所以ab=6.(8分)
由已知及余弦定理得,a 2
+b 2
-2abcos C=7. 故a 2
+b 2
=13,从而(a+b)2=25.(10分) 所以△ABC 的周长为5+√7.(12分)
18.解析 (Ⅰ)由已知可得AF⊥DF,AF⊥FE,所以AF⊥平面EFDC.(2分)
又AF ⊂平面ABEF,故平面ABEF⊥平面EFDC.(3分) (Ⅱ)过D 作DG⊥EF,垂足为G,由(Ⅰ)知DG⊥平面ABEF.
以G 为坐标原点,GF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向,|GF ⃗⃗⃗⃗⃗ |为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz.(6分)
由(Ⅰ)知∠DFE 为二面角D-AF-E 的平面角,故∠DFE=60°,则|DF|=2,|DG|=√3,可得A(1,4,0),B(-3,4,0),E(-3,0,0),D(0,0,√3). 由已知得,AB∥EF,所以AB∥平面EFDC.(8分) 又平面ABCD∩平面EFDC=CD,故AB∥CD,CD∥EF.
由BE∥AF,可得BE⊥平面EFDC,所以∠CEF 为二面角C-BE-F 的平面角,∠CEF=60°.从而可得C(-2,0,√3).
所以EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,√3),EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,0),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,-4,√3),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,0,0).(10分) 设n=(x,y,z)是平面BCE 的法向量,则 {n ·EC ⃗⃗⃗⃗ =0,n ·EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{x +√3z =0,
4y =0.
所以可取n=(3,0,-√3).
设m 是平面ABCD 的法向量,则{m ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.
同理可取m=(0,√3,4).则cos <n,m>=n ·m |n ||m |
=-
2√19
19
. 故二面角E-BC-A 的余弦值为-2√19
19
.(12分)
19.解析 (Ⅰ)由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2.从而 P(X=16)=0.2×0.2=0.04; P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16;
P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24; P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24;
P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2; P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08; P(X=22)=0.2×0.2=0.04.(4分) 所以X 的分布列为
X 16 17 18 19 20 21 22 P
0.04
0.16
0.24
0.24
0.2
0.08
0.04
(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知P(X≤18)=0.44,P(X≤19)=0.68,故n 的最小值为19.(8分) (Ⅲ)记Y 表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元). 当n=19时,
EY=19×200×0.68+(19×200+500)×0.2+(19×200+2×500)×0.08+(19×200+3×500)×0.04=4 040.(10分) 当n=20时,
EY=20×200×0.88+(20×200+500)×0.08+(20×200+2×500)×0.04=4 080.
可知当n=19时所需费用的期望值小于n=20时所需费用的期望值,故应选n=19.(12分)
20.解析 (Ⅰ)因为|AD|=|AC|,EB∥AC,故∠EBD=∠ACD=∠ADC. 所以|EB|=|ED|,故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.
又圆A 的标准方程为(x+1)2
+y 2
=16,从而|AD|=4,所以|EA|+|EB|=4.(2分)
由题设得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为x 24+y 2
3=1(y≠0).(4分) (Ⅱ)当l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为y=k(x-1)(k≠0), M(x 1,y 1),N(x 2,y 2).
由{y =k (x -1),x 24+y 23=1得(4k 2+3)x 2-8k 2x+4k 2-12=0.
则x 1+x 2=8k 2
4k 2+3,x 1x 2=4k 2-12
4k 2+3. 所以|MN|=√1+k 2|x 1-x 2|=
12(k 2+1)4k 2+3
.(6分)
过点B(1,0)且与l 垂直的直线m:y=-1k (x-1),A 到m 的距离为√k 2+1
,所以
|PQ|=2√42-(
2)2
=4√4k 2+3
k +1.
故四边形MPNQ 的面积
S=12|MN||PQ|=12√1+1
4k 2+3.(10分)
可得当l 与x 轴不垂直时,四边形MPNQ 面积的取值范围为(12,8√3). 当l 与x 轴垂直时,其方程为x=1,|MN|=3,|PQ|=8,四边形MPNQ 的面积为12. 综上,四边形MPNQ 面积的取值范围为[12,8√3).(12分)
21.解析 (Ⅰ)f '(x)=(x -1)e x
+2a(x-1)=(x-1)(e x
+2a).(2分) (i)设a=0,则f(x)=(x-2)e x
, f(x)只有一个零点.(3分)
(ii)设a>0,则当x∈(-∞,1)时, f '(x)<0;当x∈(1,+∞)时, f '(x)>0.所以f(x)在(-∞,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增.
又f(1)=-e, f(2)=a,取b 满足b<0且b<ln a
2,则
f(b)>a 2
(b-2)+a(b-1)2
=a (b 2-32
b)>0,
故f(x)存在两个零点.(4分)
(iii)设a<0,由f '(x)=0得x=1或x=ln(-2a).
若a≥-e
2,则ln(-2a)≤1,故当x∈(1,+∞)时, f '(x)>0,因此f(x)在(1,+∞)单调递增.又当x≤1时f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点.(6分)
若a<-e 2,则ln(-2a)>1,故当x∈(1,ln(-2a))时, f '(x)<0;当x∈(ln(-2a),+∞)时, f
'(x)>0.
因此f(x)在(1,ln(-2a))单调递减,在(ln(-2a),+∞)单调递增.又当x≤1时f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点.
综上,a 的取值范围为(0,+∞).(8分)
(Ⅱ)不妨设x 1<x 2.由(Ⅰ)知,x 1∈(-∞,1),x 2∈(1,+∞),2-x 2∈(-∞,1), f(x)在(-∞,1)单调递减,所以x 1+x 2<2等价于f(x 1)>f(2-x 2),即f(2-x 2)<0.
由于f(2-x 2)=-x 2e 2-x 2+a(x 2-1)2
,而f(x 2)=(x 2-2)e x 2+a(x 2-1)2
=0,
所以f(2-x 2)=-x 2e 2-x 2-(x 2-2)e x 2.(10分) 设g(x)=-xe 2-x
-(x-2)e x
,则g '(x)=(x-1)(e 2-x
-e x
). 所以当x>1时, g '(x)<0,而g(1)=0,故当x>1时,g(x)<0. 从而g(x 2)=f(2-x 2)<0,故x 1+x 2<2.(12分) 22.证明 (Ⅰ)设E 是AB 的中点,连结OE.
因为OA=OB,∠AOB=120°,所以OE⊥AB,∠AOE=60°.(2分)
在Rt△AOE 中,OE=1
2AO,即O 到直线AB 的距离等于☉O 的半径,所以直线AB 与☉O 相切.(5分)
(Ⅱ)因为OA=2OD,所以O 不是A,B,C,D 四点所在圆的圆心.设O'是A,B,C,D 四点所在圆的圆心,作直线OO'.
由已知得O 在线段AB 的垂直平分线上,又O'在线段AB 的垂直平分线上,所以OO'⊥AB.(9分) 同理可证,OO'⊥CD,所以AB∥CD.(10分)
23.解析 (Ⅰ)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2
+(y-1)2
=a 2
.C 1是以(0,1)为圆心,a 为半径的圆.(3分)
将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C 1的普通方程中,得到C 1的极坐标方程为ρ2
-2ρsin θ+1-a 2
=0.(5分)
(Ⅱ)曲线C 1,C 2的公共点的极坐标满足方程组 {ρ2-2ρsinθ+1-a 2=0,ρ=4cosθ.
(6分) 若ρ≠0,由方程组得16cos 2
θ-8sin θcos θ+1-a 2
=0,由tan θ=2,可得16cos 2
θ-8sin θcos θ=0,从而1-a 2
=0,解得a=-1(舍去),或a=1.(8分) a=1时,极点也为C 1,C 2的公共点,在C 3上.(9分) 所以a=1.(10分)
24.解析 (Ⅰ)f(x)={x -4,x ≤-1,
3x -2,-1<x
≤3
2,-x +4,x >3
2,(3分)
y=f(x)的图象如图所示.(5分)
(Ⅱ)由f(x)的表达式及图象,当f(x)=1时,可得x=1或x=3;(6分)
或x=5,(7分)
当f(x)=-1时,可得x=1
3
或x>5}.(9分) 故f(x)>1的解集为{x|1<x<3};f(x)<-1的解集为{x|x<1
3
或1<x<3或x>5}.(10分)
所以|f(x)|>1的解集为{x|x<1
3。