二重积分的计算法2

D
D
及坐标轴所围成的在第一象限内的区域. 2. ( x 2 y 2 )d 其中 D 是由直线

D
y x , y x a, y a, y 3a(a 0)所围成的区域. 3. R2 x 2 y 2 d ,其中 D 是由圆周

D
x 2 y 2 Rx 所围成的区域. 2 2 2 2 4. , 其中 D : x y 3. x y 2 d

三、设平面薄片所占的闭区域 D 是由螺线 r 2 上一段
弧( 0 )与直线 所围成,它的面密度为 2 2
( x , y ) x 2 y 2 ,求这薄片的质量.
四、 计算以 xOy 面上的圆周 x 2 y 2 ax 围成的闭区域为底， 而以曲面 z x 2 y 2 为顶的曲顶柱体的体积.
D1
(1 x y )
R
D1
(1 r )
r 2 1 (1 R ) 1 d d r 2 1 0 (1 r ) 0
I lim I ( R) lim
R
2 1 (1 R ) R 1
2

, 当 1 1 1 当 1 ,
d e r rdr
2
2 0
a
a x
0
D

2
0
1 r2 a ( e ) 0 d 2

2
0
1 a2 a2 (1 e )d (1 e ). 2
通常当积分区域的边界由圆弧、射线组成且被积函数 y 含有x y ， 等形式时，用极坐标计算较为简单. x
2 2
例 2 计算 ( x 2 y 2 )dxdy，其 D 为由圆 x 2 y 2 2 y ，
x 2 y 2 4 y 及直线 x 3 y 0， y 3x 0围成.
D
解 ( x 2 y 2 )dxdy 2sin 6
D D
极坐标下的面积元素
2、极坐标下二重积分转化为二次积分
根据极点与区域D的位置，分三种情况进行讨论：
（1）极点 O 在区域 D 的外部
r1 ( ) r r2 ( ) D:
f ( r cos , r sin ) r dr d D
r r1 ( )
五、计算广义二重积分
2 2 d ,其中 D {( x, y ) | x y 1} 2 2 p ( x y ) D
一、1. 2. 3.
d
2

练习题答案
2cos 0
f ( r cos , r sin )rdr ；


2
2 0
d
3 4

d
o
x
一、利用极坐标计算二重积分
什么是极坐标系？
在直角坐标系下M ( x, y ) 在极坐标系下M (r , )
关系： x r cos y r sin 曲线： f ( x , y ) 0 f ( r cos , r sin ) 0
y
极径 r
o
.
M ( x, y) ( r , )
e
D
x2 y 2
d lim lim
R
e
D1 D1
x2 y 2
dxdy
R
r e rdrd
2
o

R
x
lim
R
0 d 0 e
2
R
r2
rdr
取D2为中心在原点，边长为2R的正方形， y 当R +时，D2 D
y
例 3 求 x 2 y 2 d ,其中D {( x , y ) ( x a )2 y 2 a 2 }
D
解

D
x y d r rdrd
2 2
y
( x a )2 y 2 a 2

2 2

D
d
2a cos
0
r dr
8 3 3 a cos d ) d 3 2
三、小结
1.二重积分在极坐标下的计算公式(三种情形)
（在积分中注意使用对称性）
2.广义二重积分基本解法：
先在有界区域内积分，然后令有界区 域趋于原无界区域时取极限求解.
练习题
一、 填空题: 1. 将 f ( x , y )dxdy , D 为 x 2 y 2 2 x , 表示为极坐
次积分为______________________. 4. 将 dx
0 1 x2 0
f ( x , y )dy 化为极坐标形式的二次积
分为______________________.
5. 将

1
0
dx 2 ( x y ) dy 化为极坐标形式的二次积分
2 2 1 2 x
x
为_______________,其值为_______________. 二、 计算下列二重积分: 2 2 2 2 1. , 其中 D 是由圆周 x y 1 ln(1 x y )d
D

r 3dr


3
6
1 4 ( r 4

3 6
4sin 2sin
4
)d
60 sin d
15 3 ( ) 4 2
x2 y2 4 y r 4sin y 3 x 0 2 2 x y 2y r 3 r 2sin x 3y 0 6 o x
ri ri ri
于是f ( i ,i ) f ( ri cos i , ri sin i )
f ( x , y )d lim f ( i ,i ) i
D
0
i i
i
i 1
lim f ( ri cos i , ri sin i )ri ri i
D
标形式的二次积分,为 _____________________. 2. 将 f ( x , y )dxdy , D 为 0 y 1 x , 0 x 1 ,表

D
示为极坐标形式的二次积分为______________. 3. 将

2
0
dx
3x x
f ( x 2 y 2 )dy 化为极坐标形式的二
界区域时取极限求解.
f ( x, y )d lim f ( x, y )d
D D1 D D1
例1 计算概率积分 e


x2
dx．
证：考虑二重积分 e
D
x2 y 2
d , 其中D是xoy平面
y
rR
取D1为圆心在原点，半径为R的圆， 当R +时，D1 D
ri ri ri
i i
i
D
ri ri i
o
.
i
x
在小区域内取圆周r ri 上点( ri , i ), 该点对应的直角坐
标设为( i ,i )，则由两坐标系之间的关系有
i ri cos i ,
n
i ri sin i
D
r r2 ( )
o




r2 ( ) d r1 ( )

f ( r cos , r sin ) r dr
（2）极点 O 在区域 D 的边界上 0 r r ( ) D: f (r cos , r sin ) r dr d
y
2
dy e
R
2
R
x
dx lim

R

R
R
e x dx
2

2


e x dx
2

2



e
x
dx
，从而
e
x2
dx
d 例 2 求广义二重积分 I , 1. 2 2 (1 x y ) D y D 是整个 xOy 平面 rR 2 2 2 解 先考虑圆域 D1 {( x, y) | x y R } x 1 d o R r d rd I ( R) 2 2 2
x 极轴
极角
极点
1、二重积分从直角坐标到极坐标的变换公式
在直角坐标系下 f ( x , y )d lim f ( i , i ) i
D
n
0
i 1
假定有界闭区域D满足：从极点O出发的半直线与D的边 界的交点不多于两点. 用r ri (常数), = i (常数)两组曲线把 D分成n个小区域 i， 面积记 i 1 1 i ( ri ri )2 i ri 2 i 2 2 1 (2ri ri )ri i 2
(cos sin )1
0
f ( r cos , r sin )rdr ；
2sec
0
f ( r )rdr ；
4. 5.



4 0
d
d
sec
4 0
sec tan sin cos 2
f ( r cos , r sin )rdr ；
0
二、1. ( 2 ln 2 1) ； 4
第二节 二重积分的计算法（2）
一、利用极坐标系计算二重积分 二、广义二重积分
三、小结
思考题
在某些情况 在直角坐标系下计算二重积分时，
下非常烦琐，
y
如积分区域为a 2 x 2 y 2 b2
必须化为四个小区域来计算，
相当麻烦。 因此，有必要学习在其他坐标系下 (如极坐标系下)计算二重积分.
D
r r ( )
D



r ( ) d 0
o


f ( r cos , r sin ) r dr
r r ( )
D
（3）极点 O 在区域 D 的内部
D
0 r r ( ) D: 0 2 f ( r cos , r sin ) r dr d
2
2
o


r 2a cos
x
1 3 2 ( r 2 3
2 a cos 0
32 3 16 3 3 2 a cos d a 0 9 3
二、无界区域上的广义二重积分
f ( x, y )d , 其中D为无界区域
D
基本解法：
先在有界区域内积分，然后令有界区域趋于原无


o
0 d 0
2
r ( )
f ( r cos , r sin ) r dr
例 1 计算
e
D
x2 y2
dxdy ，其中 D 是由中心在
y
原点，半径为 a 的圆周所围成的闭区域.
解 : e
D
x2 y2
dxdy = e
D
r2
rdrd
o
r =a

r
e
D
x2 y 2
d lim
R
e
D2
y2
x2 y 2
dxdy
R
lim
lim
R R

R
R R

R
e
e
2
dx e
R
x2
R
x2 y 2
dy
dy dx
2
o
R
x

R
R
e

lim
即
R R

R
1 rd r , 2 1 . r
4 14 a 2. ；
R3 4 3. ( )； 3 3 5 三、 . 40 3 4 a. 四、 32
五、 p 1时收敛于
5 4. . 2

p1
, p 1 时发散
0
i 1
n
f ( r cos , r sin )rdrd
D
D
o
.
i
ri
x
即 f ( x , y )d f ( r cos , r sin )rdrd
D D
二重积分从直角坐标到极坐标的变换公式
f ( x, y )dxdy f (r cos , r sin )rdrd