2017-2018学年甘肃省兰州高二上期末数学试卷(文科)含答案解析

2017-2018学年甘肃省兰州高二（上）期末数学试卷（文科）一、单选题（每小题5分）
1．（5分）在数列1，2，，…中，2是这个数列的（）A．第16项 B．第24项 C．第26项 D．第28项
2．（5分）在△ABC中，若2cosB•sinA=sinC，则△ABC的形状一定是（）A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形D．等边三角形
3．（5分）设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣y的取值范围为（）
A．[2，6]B．（﹣∞，10]C．[2，10] D．（﹣∞，6]
4．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（）
A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10
5．（5分）若a＜b＜0，下列不等式成立的是（）
A．a2＜b2B．a2＜ab C．D．
6．（5分）不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣，），则a+b的值是（）A．10 B．﹣14 C．14 D．﹣10
7．（5分）抛物线y=2x2的焦点到准线的距离为（）
A．B．C．D．4
8．（5分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）
A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n 9．（5分）已知向量=（1，m﹣1），=（m，2），则“m=2”是“与共线”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
10．（5分）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）
的图象最有可能的是（）
A．B．C．D．
11．（5分）已知x，y＞0，且，则x+2y的最小值为（）A．B．C．D．
12．（5分）已知椭圆（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，若椭圆上不存在点P，使得∠F1PF2是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C． D．
二、填空题（每小题5分）
13．（5分）若当x＞2时，不等式恒成立，则a的取值范围是．14．（5分）曲线y=x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为．
15．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若（a2+c2﹣b2）tan B=ac，则角B的值为．
16．（5分）已知F1，F2为椭圆的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=．
三、解答题
17．（10分）在等差数列{a n}中，a2=4，a4+a7=15．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设，求b1+b2+b3+…+b10的值．
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=5，cosB=．
（1）求b的值；
（2）求sinC的值．
19．（12分）已知p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”．若命题p∧q是真命题，求a的取值范围．
20．（12分）已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d的图象经过点P（0，2），且在点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为6x﹣y+7=0．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间．
21．（12分）已知动点M（x，y）到定点A（1，0）的距离与M到直线l：x=4的距离之比为．
①求点M的轨迹C的方程；
②过点N（﹣1，1）的直线与曲线C交于P，Q两点，且N为线段PQ中点，求直线PQ的方程．
22．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣，
0），F2（，0），以椭圆短轴为直径的圆经过点M（1，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点M的直线l与椭圆C相交于A、B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，问：k1+k2是否为定值？并证明你的结论．
2017-2018学年兰州高二（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、单选题（每小题5分）
1．（5分）在数列1，2，，…中，2是这个数列的（）A．第16项 B．第24项 C．第26项 D．第28项
【解答】解：数列1，2，，…就是数列，，，，，…，
∴a n==，
∴=2=，
∴n=26，
故2是这个数列的第26项，
故选：C．
2．（5分）在△ABC中，若2cosB•sinA=sinC，则△ABC的形状一定是（）A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形D．等边三角形
【解答】解析：∵2cosB•sinA=sinC=sin（A+B）⇒sin（A﹣B）=0，
又B、A为三角形的内角，
∴A=B．
答案：C
3．（5分）设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣y的取值范围为（）A．[2，6]B．（﹣∞，10]C．[2，10] D．（﹣∞，6]
【解答】解：根据变量x，y满足约束条件画出可行域，
由⇒A（3，﹣3），
由图得当z=x﹣y过点A（3，﹣3）时，Z最大为6．
故所求z=x﹣y的取值范围是（﹣∞，6]
故选：D．
4．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（）
A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10
【解答】解：∵等差数列{a n}的公差为2，a1，a3，a4成等比数列，
∴（a1+4）2=a1（a1+6），
∴a1=﹣8，
∴a2=﹣6．
故选：B．
5．（5分）若a＜b＜0，下列不等式成立的是（）
A．a2＜b2B．a2＜ab C．D．
【解答】解：方法一：若a＜b＜0，不妨设a=﹣2，b=﹣1代入各个选项，错误
的是A、B、D，
故选C．
方法二：∵a＜b＜0∴a2﹣b2=（a﹣b）（a+b）＞0即a2＞b2，故选项A不正确；∵a＜b＜0∴a2﹣ab=a（a﹣b）＞0即a2＞ab，故选项B不正确；
∵a＜b＜0∴﹣1=＜0即＜1，故选项C正确；
∵a＜b＜0∴＞0即，故选项D不正确；
故选C
6．（5分）不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣，），则a+b的值是（）A．10 B．﹣14 C．14 D．﹣10
【解答】解：不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣，），
∴﹣，是方程ax2+bx+2=0的两个实数根，且a＜0，
∴﹣=﹣+，=﹣×，
解得a=﹣12，b=﹣2，
∴a+b=﹣14
故选：B
7．（5分）抛物线y=2x2的焦点到准线的距离为（）
A．B．C．D．4
【解答】解：根据题意，抛物线的方程为y=2x2，其标准方程为x2=y，
其中p=，
则抛物线的焦点到准线的距离p=，
故选：C．
8．（5分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）
A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n
【解答】解：命题的否定是：∀n∈N，n2≤2n，
故选：C．
9．（5分）已知向量=（1，m﹣1），=（m，2），则“m=2”是“与共线”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：若与共线，则1×2﹣m（m﹣1）=0，
即m2﹣m﹣2=0，得m=2或m=﹣1，
则“m=2”是“与共线”的充分不必要条件，
故选：A
10．（5分）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（）
A．B．C．
D．
【解答】解：由导函数图象可知，
f（x）在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上单调递减，
在（﹣2，0）上单调递增，
故选A．
11．（5分）已知x，y＞0，且，则x+2y的最小值为（）A．B．C．D．
【解答】解：由得，，
∴，当且仅当x=y=
时取等号．
故选：D．
12．（5分）已知椭圆（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，若椭圆上不存在点P，使得∠F1PF2是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C． D．
【解答】解：∵点P取端轴的一个端点时，使得∠F1PF2是最大角．
已知椭圆上不存在点P，使得∠F1PF2是钝角，∴b≥c，
可得a2﹣c2≥c2，可得：a．
∴．
故选：A．
二、填空题（每小题5分）
13．（5分）若当x＞2时，不等式恒成立，则a的取值范围是（﹣∞，2+2] ．
【解答】解：当x＞2时，不等式恒成立，
即求解x+的最小值，x+=x﹣2++2=2+2，当且仅当x=2+时，等号成立．
所以a的取值范围是：（﹣∞，2+2]．
故答案为：（﹣∞，2+2]．
14．（5分）曲线y=x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为x﹣y﹣1=0．【解答】解：由y=x3﹣2x+1，得y′=3x2﹣2．
∴y′|x=1=1．
∴曲线y=x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为y﹣0=1×（x﹣1）．
即x﹣y﹣1=0．
故答案为：x﹣y﹣1=0．
15．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若（a2+c2﹣b2）tan B=ac，则角B的值为或．
【解答】解：∵，∴cosB×tanB=sinB=
∴B=或
故选B．
16．（5分）已知F1，F2为椭圆的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=8．
【解答】解：根据题意，椭圆的方程为，
则a=5，
由椭圆的定义得，|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=10，
两式相加得|AB|+|AF2|+|BF2|=20，
又由|F2A|+|F2B|=12，
则|AB|=8，
故答案为：8．
三、解答题
17．（10分）在等差数列{a n}中，a2=4，a4+a7=15．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设，求b1+b2+b3+…+b10的值．
【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，
由已知得
解得…（4分）
∴a n=3+（n﹣1）×1，即a n=n+2…（6分）
（2）由（1）知，
b1+b2+b3+…+b10=21+22+…+210=…（10分）
=2046…（12分）
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=5，cosB=．
（1）求b的值；
（2）求sinC的值．
【解答】解：（1）由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，
代入数据可得b2=4+25﹣2×2×5×=17，
∴b=；
（2）∵cosB=，∴sinB==
由正弦定理=，即=，
解得sinC=
19．（12分）已知p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”．若命题p∧q是真命题，求a的取值范围．
【解答】解：p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，只要（x2﹣a）min≥0，x∈[1，2]，
又y=x2﹣a，x∈[1，2]的最小值为1﹣a，所以1﹣a≥0，a≤1．
q：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0，所以△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，a≤﹣2或a≥1，
由p且q为真可知p和q为均真，所以a≤﹣2或a=1，
∴a的取值范围是{a|a≤﹣2或a=1}．
20．（12分）已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d的图象经过点P（0，2），且在点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为6x﹣y+7=0．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间．
【解答】解：（Ⅰ）由y=f（x）的图象经过点P（0，2），知d=2，
∴f（x）=x3+bx2+cx+2，f'（x）=3x2+2bx﹣c．
由在点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为6x﹣y+7=0，
知﹣6﹣f（﹣1）+7=0，即f（﹣1）=1，又f'（﹣1）=6．
解得b=c=﹣3．
故所求的解析式是f（x）=x3﹣3x2﹣3x+2．
（Ⅱ）f'（x）=3x2﹣6x﹣3．
令f'（x）＞0，得或；
令f'（x）＜0，得．
故f（x）=x3﹣3x2﹣3x+2的单调递增区间为和，
单调递减区间为．
21．（12分）已知动点M（x，y）到定点A（1，0）的距离与M到直线l：x=4的距离之比为．
①求点M的轨迹C的方程；
②过点N（﹣1，1）的直线与曲线C交于P，Q两点，且N为线段PQ中点，求直线PQ的方程．
【解答】解：①由题意动点M（x，y）到定点A（1，0）的距离与它到定直线l：x=4的距离之比为，
得=，
化简并整理，得+=1．
所以动点M（x，y）的轨迹C的方程为椭圆+=1．
②设P，Q的坐标为（x1，y1），（x2，y2），
∴3x12+4y12=12，3x22+4y22=12，
两式相减可得3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，
∵x1+x2=﹣2，y1+y2=2，
∴﹣6（x1﹣x2）+8（y1﹣y2）=0，
∴k==，
∴直线PQ的方程为y﹣1=（x+1），即为3x﹣4y+7=0．
22．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣，
0），F2（，0），以椭圆短轴为直径的圆经过点M（1，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点M的直线l与椭圆C相交于A、B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，问：k1+k2是否为定值？并证明你的结论．
【解答】解：（1）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣，
0），F2（，0），
以椭圆短轴为直径的圆经过点M（1，0），
∴，解得，b=1，
∴椭圆C的方程为=1．
（2）k1+k2是定值．
证明如下：设过M的直线：y=k（x﹣1）=kx﹣k或者x=1
①x=1时，代入椭圆，y=±，∴令A（1，），B（1，﹣），
k1=，k2=，∴k1+k2=2．
②y=kx﹣k代入椭圆，（3k2+1）x2﹣6k2x+（3k2﹣3）=0
设A（x1，y1），B（x2，y2）．
则x1+x2=，x1x2=，
y1+y2=﹣2k=，
y1y2=k2x1x2﹣k2（x1+x2）+k2=﹣，
k1=，k2=，
∴k1+k2==2．。