2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学北京卷pdf版

恒成立，求
k
的最大值．
19．（本小题 14 分）
已知椭圆 C
：x2 a2
+
y2 b2
=
1(a > b > 0) 的离心率为
2 ，点 P(0，1) 和点 A(m，n) (m ≠ 0) 都
2
在椭圆 C 上，直线 PA 交 x 轴于点 M ．
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程，并求点 M 的坐标（用 m ， n 表示）；
已= 知函数 f (x) 2 sin x cos x − 2 sin2 x ．
22
2
(Ⅰ) 求 f (x) 的最小正周期；
(Ⅱ) 求 f (x) 在区间[−π ，0] 上的最小值．
16．（本小题 13 分） A ， B 两组各有 7 位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下： A 组：10，11，12，13，14，15，16 B 组：12，13，15，16，17，14， a 假设所有病人的康复时间互相独立，从 A ， B 两组随机各选 1 人， A 组选出的人记为 甲， B 组选出的人记为乙． (Ⅰ) 求甲的康复时间不少于 14 天的概率； (Ⅱ) 如果 a = 25 ，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率； (Ⅲ) 当 a 为何值时， A ， B 两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）
.
因为 g′(x) >0（0<x<1），所以 g(x) 在区间（0,1）上单调递增。
所以 g(x) > g(0) =0，x∈（0，1），
x3 即当 x∈（0，1）时， f (x) >2(x+ ).
3
x3 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当 k《2 时， f (x) >k(x+ )对 x∈（0，1）恒成立.
3
x3 当 k>2 时，令 h(x) = f (x) - k(x+ )，则
；y=
．
14．设函数
f
(x)
=
4( x
2x − a
− a)(x
‚ −
2a)
‚
x <1‚ x ≥1.
①若 a = 1，则 f ( x) 的最小值为 ；
②若 f ( x) 恰有 2 个零点，则实数 a 的取值范围是 ．
三、解答题（共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 15．（本小题 13 分）
2015 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
理科数学答案
一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） （1）A (2)D（3）B（4）B（5）C（6）C（7）C（8）D 二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）
（9）40
3
11
1
（10）
（11）1 （12）1 （13）
A
F
C
O E
B
18．（本小题 13 分）
已知函数 f ( x) = ln 1+ x ．
1− x
（Ⅰ）求曲线 y = f ( x) 在点 (0，f (0)) 处的切线方程；
（Ⅱ）求证：当
x ∈(0，1)
时，
f
(x)
>
2
x
+
x3 3
；
（Ⅲ）设实数
k
使得
f
(x)
>
k
x
+
x3 3
对
x ∈(0，1)
，an ≤18 ， − 36 ，an > 18
(n
= 1，2，…)
．
{ } 记集合= M an | n ∈ N* ．
（Ⅰ）若 a1 = 6 ，写出集合 M 的所有元素； （Ⅱ）若集合 M 存在一个元素是 3 的倍数，证明： M 的所有元素都是 3 的倍数；
（Ⅲ）求集合 M 的元素个数的最大值．
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．
9．在 (2 + x)5 的展开式中， x3 的系数为
．（用数字作答）
10．已知双曲线
x2 a2
−
y2
=
1(a > 0) 的一条渐近线为
3x + y =0 ，则 a =
．
( ) 11．在极坐标系中，点
2
‚
π 3
=
3 7
（Ⅱ）设时间 C 为“甲的康复时间比乙的康复时间长”.由题意知，
C= A4B1 A5B1 A6B1 A7 B1 A5B2 A6B2 A7 B2 A7 B3 A6B6 A7 B6 .
因此 P(C) = P( A4B1) + P( A5B1) + P( A6B1) + P( A7B1) + P( A5B2 )
2015 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
理科数学
本试卷共 5 页，150 分．考试时长 120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题共 40 分）
一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项．
3
h′(x) =
f
′(x) -k（1+
x2
）=
kx4 + 1−
2− x2
k
.
所以当 0 < x < 4 k − 2 时，h′(x) <0，因此 h(x) 在区间（0， 4 k − 2 ）上单调递减.
k
k
当 0 < x < 4 k − 2 时， h(x) < h(0) =0，即 f (x) < k(x+ x3 ).
因为 BE =（a-2 ， 3 （a-2），0）， OC =（-2， 3 （2-a），0）， 所以 BE ⋅ OC =-2（a-2）-3 (a − 2)2 .
由
BE
⋅
OC
= 0 及
0<a<2，解得
a=
4
，
3
（18）（本小题 13 分）
解：（I）因为 f (x) =ln（1+x）-ln（1-x），所以
（Ⅱ）设 O 为原点，点 B 与点 A 关于 x 轴对称，直线 PB 交 x 轴于点 N ．问： y 轴上是
否存在点 Q ，使得 ∠OQM = ∠ONQ ？若存在，求点 Q 的坐标；若不存在，说明理由．
20．（本小题 13 分）
已知数列 {an }
满足：
a1
∈ N*
，
a1
≤
36
，且
an+1
=
22aann
k
3
x3 所以当 K>2 时， f (x) > k(x+ )并非对 x∈（0，1）恒成立.
3
综上可知，k 的最大值为 2。
（19）（本小题 14 分）
b = 1,
解：（Ⅰ）由题意得
c
a
=
2 2
, 解得 a2 =2.
a=2 b2 + c2.
故椭圆 C 的方程为 x2 + y2 = 1 2
设 M（ xm ，0）.
+P( A6B2 ) + P( A7 B2 ) + P( A7 B3 ) + P( A6B6 ) + P( A7 B6 )
=10 P( A4B1) =10 P( A4 )P(B1)
10
=
49
（Ⅲ）a=11 或 a=18
（17）（本小题 14 分） 解：（I）因为△AEF 是等边三角形，O 为 EF 的中点，
f ′(x) = 1 + 1 ， f ′(0) =2. 1+ x 1− x
又因为 f (0) =0，所以曲线 y= f (x) 在点（0 ， f (0) ）处的切线方程为 y=2x.
x3 （Ⅱ）令 g(x) = f (x) -2(x+ )，则
3
g′(x) =
f
′(x) -2（1+
x2
2x4 ）= 1− x2
令 z=1，则 x= 3 ，y=-1.于是 n=（ 3 ，-1,1）
平面 AEF 是法向量为 p=（0,1,0）
n⋅ p 5
所以 cos（n，p）=
=.
n p −5
由题知二维角 F-AE-B 为钝角，所以它的余弦值为 − 5 5
（Ⅲ）因为 BE⊥平面 AOC，所以 BE⊥OC，即BE ⋅ OC = 0 .
所以 AO⊥EF. 又因为平面 AEF⊥平面 EFCB，AO ⊂ 平面 AEF， 所以 AO⊥平面 EFCB. 所以 AO⊥BE. （Ⅱ）取 BC 中点 G，连接 OG.
由题设知 EFCB 是等腰梯形，
所以 OG⊥EF.
由（I）知 AO⊥平面 EFCB 又 OG ⊂ 平面 EFCB， 所以 OA⊥OG. 如图建立空间直角坐标系 O-xyz，
C．若 0 < a1 < a2 ，则 a2 > a1a3
D．若 a1 < 0 ，则 (a2 − a1 )(a2 − a3 ) > 0
7．如图，函数 f ( x) 的图像为折线 ACB ，则不等式 f ( x)≥ log2 ( x + 1) 的解集是
y 2C
A．{x | −1 < x ≤ 0} C．{x | −1 < x ≤1}
C． (−4 ，− 4)
D． (0 ，− 8)
开始
x=1， y=1， k=0
s=x-y， t=x+y
x=s， y=t
k=k+1
否 k≥ 3
是 输出(x， y)
结束
4．设α ， β 是两个不同的平面， m 是直线且 m⊂α ．“ m∥ β ”是“α ∥ β ”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
A -1 O
B
2
x
B．{x | −1≤ x ≤1} D．{x | −1 < x ≤ 2}
8．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽 车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是
A．消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米 B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C．甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油 D．某城市机动车最高限速 80 千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
由题意可知 P= ( A1)
P= ( B1 )
1
, i=1,2，…，7.
7
（Ⅰ）由题意知，时间“甲的康复时间不少于 14 天”等价于“甲是 A 组的第 5 人，或
者第 6 人，或者第 7 人”，所以甲的康复时间不少于 14 天的概率是
P( A5
A6
A7
)
=
P( A5 )
+
P( A6 )
+
P( A7 )
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是
1
2 正(主)视图
1
1
侧(左)视图
俯视图
A． 2 + 5
B． 4 + 5
6．设{an} 是等差数列. 下列结论中正确的是
C． 2 + 2 5D Nhomakorabea5A．若 a1 + a2 > 0 ，则 a2 + a3 > 0
B．若 a1 + a3 < 0 ，则 a1 + a2 < 0
到直线
ρ
cosθ +
3 sinθ
= 6 的距离为
．
12．在 △ABC 中， a = 4 ， b = 5 ， c = 6 ，则 sin 2A =
．
sin C
13．在 △ABC 中，点 M ， N 满足 AM = 2MC ， BN = NC ．若 M= N x AB + y AC ，则 x =
4
44
当 x + π =− π ，即 x = − 3 π 时， f (x) 取得最小值。
42
4
所以 f (x) 在区间[−π , 0] 上的最小值为 f (− 3 π ) =−1− 2
4
2
（16）（本小题13分）
解：设时间 A1 为“甲是 A 组的第 i 个人”，
时间 B1 为“乙是 B 组的第 i 个人”，i=1,2，…，7.
（14）1， ≤ a <1 或a ≥ 2
3
26
2
三、解答题（共 6 小题，共 80 分） （15）（共13分）
解：（I）因为 f (x=) 2 sin x − 2 (1− cos x)
2
2
= sin(x + π ) − 2 42
所以 f (x) 的最小正周期为2π
（Ⅱ）因为 −π ≤ x ≤ 0 ，所以 − 3π ≤ x + π ≤ π
1．复数 i(2 − i) =
A．1 + 2i
B．1 − 2i
C． −1 + 2i
x − y ≤0，
2．若
x
，
y
满足
x
+
y
≤1，
则
z=
x + 2 y 的最大值为
x ≥ 0 ，
D． −1 − 2i
A．0 B．1
C． 3 2
D．2
3．执行如图所示的程序框图，输出的结果为
A． (−2 ，2)
B． (−4 ，0)
17．（本小题 14 分） 如图，在四棱锥 A − EFCB 中，△AEF 为等边三角形，平面 AEF ⊥ 平面 EFCB ，EF ∥ BC ， BC = 4 ， EF = 2a ， ∠EBC = ∠FCB = 60° ， O 为 EF 的中点． (Ⅰ) 求证： AO ⊥ BE ； (Ⅱ) 求二面角 F − AE − B 的余弦值； (Ⅲ) 若 BE ⊥ 平面 AOC ，求 a 的值．
则 E（a,0,0），A（0，0，3a ）， B（2， 3 （2-a），0）， EA =（-a，0， 3a ）， BE =（a-2， 3 （a-2）,0）.
设平面 ABE的 法向量为 n=（x,y,z）
则：
n
⋅
EA
= 0?
即
n ⋅ BE = 0?
−ax + 3az =0? (a − 2)x + 3(a − 2) y = 0
因为 m≠0，所以-1<n<1.
直线 PA 的方程为 y-1= n −1 x ， m
所以