宁波市十五中九年级数学下册第三单元《锐角三角函数》检测(包含答案解析)

一、选择题
1．若菱形的边长为2cm ，其中一内角为60°，则它的面积为（ ）
A ．232cm
B ．23cm
C ．22cm
D ．223cm 2．在正方形网格中，小正方形的边长均为1，∠ABC 如图放置，则sin ∠ABC 的值为（ ）
A ．52
B ．55
C ．33
D ．1
3．小明在学完《解直角三角形》一章后，利用测角仪和校园旗杆的拉绳测量校园旗杆的高度，如图，旗杆PA 的高度与拉绳PB 的长度相等，小明先将PB 拉到'PB 的位置，测得(''PB C a B C ∠=为水平线），测角仪/B D 的高度为1米，则旗杆PA 的高度为（ ）
A ．11sin a +米
B ．11cos a -米
C ．11sin a -米
D ．11cos a +米 4．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是（ ）
A ．2
B 25
C 5
D ．12
5．如图，四边形 ABCD 中，BD 是对角线，AB=BC ，∠ABC=60°，CD=4，∠ADC=60°，则△BCD 的面积为（ ）
A ．43
B ．8
C ．23+4
D ．36 6．如图，
O 是ABC 的外接圆，60BAC ∠=︒，若O 的半径OC 为1，则弦BC 的长
为（ ）
A ．12
B ．32
C ．1
D ．3
7．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD 的对角线AC 在x 轴上，点A 的坐标是()1,0，把正方形ABCD 绕原点O 旋转180︒，则点B 的对应点B '的坐标是（ ）
A ．(-1,-1)
B ．()2,1
C ．()2,1--
D ．()2,1-- 8．在ABC 中，(2sinA-1)2+1cos 2B -
=0，则ABC 是（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．无法确定 9．如图，在Rt ABC ∆中，BC=4，AC=3，90C ∠=︒，则sinB 的值为（ ）
A ．45
B ．34
C ．35
D ．43
10．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，D 为BC 的中点，点E 在AB 上，AD ，CE 交于点F ，AE ＝EF ＝4，FC ＝9，则cos ∠ACB 的值为（ ）
A ．35
B ．59
C ．512
D ．45
11．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2AC ，则cos A ＝（ ）
A ．12
B ．52
C ．255
D ．55
12．如图，等边ABC 边长为a ，点O 是ABC 的内心，120FOG ∠=︒，绕点O 旋转FOG ∠，分别交线段AB 、BC 于D 、E 两点，连接DE ，给出下列四个结论：①ODE 形状不变；②ODE 的面积最小不会小于四边形ODBE 的面积的四分之一；③四边形ODBE 的面积始终不变；④BDE 周长的最小值为1.5a ．上述结论中正确的个数是（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
二、填空题
13．已知ABC 与ABD △不全等，且3AC AD ==，30ABD ABC ∠=∠=︒，60ACB ∠=︒，则CD =________．
14．如图，矩形ABCD 中，1AB =，3BC =，以B 为圆心，BD 为半径画弧，交BC 延长线于M 点，以D 为圆心，CD 为半径画弧，交AD 于点N ，则图中阴影部分的面积是________．
15．如图，一艘船由A 港沿北偏东65°方向航行
302km 至B 港，然后再沿北偏西
40°方向航行至C 港，C 港在A 港北偏东20°方向，则A ，C 两港之间的距离为______km ．
16．某人沿坡度是1:2的斜坡走了100米，则他上升的高度是_____米.
17．已知ABC 中，16,3
AB AC cosB ===，则边BC 的长度为____________． 18．如图，在半径为3的⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点E ，连接AC ，BD ，若AC=2，则tanD=__．
19．如图，已知四边形ABCD ，AC 与BD 相交于点O ，∠ABC =∠DAC =90°，
14tan ,23BO ACB OD ∠==，则ABD
CBD S S =___．
20．如图，已知平行四边形ABCO ，以点O 为原点，OC 所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，AB 交y 轴于点D ，AD=4，OC=10，∠A=60°，线段EF 垂直平分OD ，点P 为线段EF 上的动点，PM ⊥x 轴于点M 点，点E 与E'关于x 轴对称，连接BP 、E'M ，则BP+PM+ME'的长度的最小值为______．
三、解答题
21．sin 30tan 452cos 45sin 60tan 60︒⋅︒+⋅︒+︒⋅︒
22．先化简，再求值：2311422a a a a -⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭，其中10cos302tan 45a ︒=+︒． 23．如图，C 地在A 地的正东方向，因有大山阻隔，由A 地到C 地需绕行B 地．已知B 地位于A 地北偏东67︒方向，距离A 地390km ，C 地位于B 地南偏东30方向．若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A 地到C 地之间高铁线路的长．（结果保留整数，参考数据：12sin 6713︒≈，5cos6713︒≈，12tan 675
︒≈，3 1.73≈）．
24．解答下列各题：
（1）计算：(1012sin 6032202032-⎛⎫︒+-+ ⎪⎝⎭． （2）解方程：
21133x x x
-=--． 25．计算 （1）计算：()1013.1484sin 453π-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
（2）已知tan （α＋15°3α的度数． 26．平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +3交x 轴于A ，B 两点，点A ，B 的坐标分别为（﹣3，0），（1，0），与y 轴交于点C ，点D 为顶点．
（1）求抛物线的解析式和tan ∠DAC ；
（2）点E 是直线AC 下方的抛物线上一点，且S △ACE ＝2S △ACD ，求点E 的坐标；
（3）如图2，若点P 是线段AC 上的一个动点，∠DPQ ＝∠DAC ，DP ⊥DQ ，则点P 在线段AC 上运动时，D 点不变，Q 点随之运动．求当点P 从点A 运动到点C 时，点Q 运动的路径
长．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
连接AC ，过点A 作AM ⊥BC 于点M ，根据菱形的面积公式即可求出答案．
【详解】
连接AC ，过点A 作AM ⊥BC 于点M ，
∵菱形的边长为2cm ，
∴AB=BC=2cm ，
∵有一个内角是60°，
∴∠ABC=60°，
∴AM=ABsin60°3，
∴此菱形的面积为：323 2cm )．
故选：D ．
【点睛】
本题考查菱形的性质，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练运用菱形的性质． 2．B
解析：B
【分析】
作AD⊥BC于D，由勾股定理得出BC＝22
31
+=10，AB＝22
11
+＝2，由△ABC
的面积求出AD＝10
5
，由三角函数定义即可得出答案．
【详解】
解：作AD⊥BC于D，如图所示：
由勾股定理得：BC22
31
+10，AB22
11
+2，
∵△ABC的面积＝1
2BC×AD＝
1
2
×3×1−
1
2
×1×1，
∴1
210×AD＝
1
2
×3×1−
1
2
×1×1，
解得：AD＝10
5
，
∴sin∠ABC＝AD
AB
10
5
2
5
；
故选：B．
【点睛】
本题考查了解直角三角形、勾股定理以及三角函数定义；熟练掌握勾股定理和三角函数定义是解题的关键．
3．C
解析：C
【分析】
设PA=PB=PB′=x，在RT△PCB′中，根据sinα
PC
PB
=
＇
，列出方程即可解决问题．
【详解】
解：设PA=PB=PB′=x，
在RT△PCB′中，sinα
PC PB =
＇
∴1sin αx x
-=
∴x 1xsin α-=， ∴（1-sin α）x=1，
∴x=
11sin α
-． 故选C ．
【点睛】 本题考查解直角三角形、三角函数等知识，解题的关键是设未知数列方程，属于中考常考题型．
4．D 解析：D
【分析】
连接AC ，根据网格图不难得出=90CAB ∠︒，求出AC 、BC 的长度即可求出ABC ∠的正切值．
【详解】
连接AC ，
由网格图可得：=90CAB ∠︒，
由勾股定理可得：AC 2AB =2
∴tan ABC ∠=
21222AC AB ==． 故选：D ．
【点睛】
本题主要考查网格图中锐角三角函数值的求解，根据网格图构造直角三角形是解题关键． 5．A
解析：A
【分析】
先证明△ABC 是等边三角形，以C 为圆心，CD 为半径作圆，交AD 边与点M ，可得△CDM
是等边三角形，进而得到∆BCM ≅
∆ACD ，可得到60BMC ∠=︒，得到BM ∥CD ，过点M 作MH CD ⊥，根据△BCD 的面积等于△CDM 的面积求解即可；
【详解】
∵BD 是对角线，AB=BC ，∠ABC=60°，
∴△ABC 是等边三角形，
以C 为圆心，CD 为半径作圆，交AD 边与点M ，延长BC ，交C 于点N ，如图所示，
∵∠ADC=60°，CM=CD ，
∴△CDM 是等边三角形，
∴60MCD ∠=︒，
∴∠ACB+∠ACM=∠MCD+∠ACM ，
即：∠BCM=∠ACD ，
∴∆BCM ≅∆ACD ，
∴∠BMC=∠ADC=60°，
∴∠BMC=∠MCD ，
∴BM ∥CD ，
根据平行线间的距离相等得到△BCD 的面积等于△CDM 的面积，
过点M 作MH CD ⊥，
∵CD=4，
∴2==CH HD ， ∴tan 602
MH MH DH ︒==， ∴23MH =， ∴△△1423432BDC CDM S S ==
⨯⨯= 故答案选A ．
【点睛】
本题主要考查了四边形综合，结合等边三角形性质，构造等边△CDM 是解题的关键． 6．D
解析：D
【分析】
先作OD ⊥BC 于D ，由于∠BAC ＝60°，根据圆周角定理可求∠BOC ＝120°，又OD ⊥BC ，根据垂径定理可知∠BOD ＝60°，BD ＝
12
BC ，在Rt △BOD 中，利用特殊三角函数值易求BD ，进而可求BC ．
【详解】
解：如右图所示，作OD⊥BC于D，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝120°，
又∵OD⊥BC，
∴∠BOD＝60°，BD＝1
BC，
2
∴BD＝sin60°×OB＝3，
∴BC＝2BD＝23，
故答案是23．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、垂径定理、特殊三角函数计算，解题的关键是作辅助线
OD⊥BC，并求出BD．
7．D
解析：D
【分析】
根据题意，画出图形，连接BD，交x轴于E，根据正方形的性质可得AB=2，BD⊥x 轴，AE=BE，∠BAE=45°，利用锐角三角函数即可求出AE和BE，从而求出OE，即可求出点B的坐标，然后根据关于原点对称的两点坐标关系即可求出结论．
【详解】
解：把正方形ABCD绕原点O旋转180︒，如图所示，连接BD，交x轴于E
∵四边形ABCD2
∴2，BD⊥x轴，AE=BE，∠BAE=45°
∴AE=BE=AB·sin∠BAE=1
∴OE=OA＋AE=2
∴点B的坐标为（2,1）
∴点B绕点O旋转180°的对应点B'的坐标（-2，-1）
故选D．
【点睛】
此题考查的是正方形的性质，锐角三角函数和关于原点对称的两点坐标关系，掌握正方形的性质，锐角三角函数和关于原点对称的两点坐标关系是解题关键．
8．C
解析：C
【分析】
根据非负数的性质可得sinA 和cosB 的值，进而可得∠A 和∠B 的度数，即可知△ABC 的形状．
【详解】
解：∵(2sinA-1)2=0， ∴2sinA-1=0，cosB-
12=0， ∴sinA=12，cosB=12
， ∴∠A=30°，∠B=60°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=90°，
故△ABC 为直角三角形．
故选C ．
【点睛】
本题主要考查了非负数的性质和特殊角的三角函数值，根据两个非负数的和为零，则这两个数都为零求出sinA 和cosB 的值是解决此题的关键．
9．C
解析：C
【分析】
由勾股定理求出AB 的长度，即可求出sinB 的值．
【详解】
解：在Rt ABC ∆中，BC=4，AC=3，90C ∠=︒，
∴5AB =， ∴35
AC sinB AB =
=， 故选：C ．
【点睛】 本题考查了求角的正弦值，以及勾股定理，解题的关键是正确求出AB 的值．
10．D
解析：D
【分析】
如图，延长AD 到M ，使得DM=DF ，连接BM ．利用全等三角形的性质证明BM=CF=9，
AB=BM ，利用勾股定理求出BC ，AC 即可解决问题．
【详解】
解：如图，延长AD 到M ，使得DM=DF ，连接BM ．
∵BD=DC ，∠BDM=∠CDF ，DM=DF ，
∴△BDM ≌△CDF （SAS ），
∴CF=BM=9，∠M=∠CFD ，
∵CE ∥BM ，
∴∠AFE=∠M ，
∵EA=EF ，
∴∠EAF=∠EFA ，
∴∠BAM=∠M ，
∴AB=BM=9，
∵AE=4，
∴BE=5，
∵∠EBC=90°，
∴2222135EC BE -=-，
∴2222912AB BC ++，
∴cos ∠ACB=
124155
BC AC == ， 故选：D ．
【点睛】
此题考查解直角三角形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 11．D
解析：D
【分析】
此题根据已知可设AC ＝x ，则BC ＝2x ，根据三角函数的定义即可得到结论．
【详解】
解：∵BC ＝2AC ，
∴设AC ＝a ，则BC ＝2a ，
∵∠C ＝90°，
∴AB
=， ∴cosA
＝5AC AB ==， 故选：D ．
【点睛】
此题考查的知识点是锐角三角函数的定义，勾股定理，关键是熟练掌握锐角三角函数的定义．
12．A
解析：A
【分析】
连接OB 、OC ，利用SAS 证出△ODB ≌△OEC ，从而得出△ODE 是顶角为120°的等腰三角形，即可判断①；过点O 作OH ⊥DE ，则DH=EH ，利用锐角三角函数可得OH=
12OE 和
OE ，然后三角形的面积公式可得S △ODE
2，从而得出OE 最小时，S △ODE 最小，根据垂线段最短即可求出S △ODE 的最小值，然后证出S 四边形ODBE =S △OBC
2即可判断②和③；求出BDE 的周长=a ＋DE ，求出DE 的最小值即可判断④．
【详解】
解：连接OB 、OC
∵ABC 是等边三角形，点O 是ABC 的内心，
∴∠ABC=∠ACB=60°，BO=CO ，BO 、CO 平分∠ABC 和∠ACB ∴∠OBA=∠OBC=
12∠ABC=30°，∠OCA=∠OCB=12∠ACB=30° ∴∠OBA=∠OCB ，∠BOC=180°－∠OBC －∠OCB=120°
∵120FOG ∠=︒
∴∠=FOG ∠BOC
∴∠FOG －∠BOE=∠BOC －∠BOE
∴∠BOD=∠COE
在△ODB 和△OEC 中
BOD COE BO CO
OBD OCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴△ODB ≌△OEC
∴OD=OE
∴△ODE 是顶角为120°的等腰三角形，
∴ODE 形状不变，故①正确；
过点O 作OH ⊥DE ，则DH=EH
∵△ODE 是顶角为120°的等腰三角形
∴∠ODE=∠OED=12（180°－120°）=30° ∴OH=OE·sin ∠OED=
12OE ，EH= OE·cos ∠OED=3OE ∴DE=2EH=3OE
∴S △ODE =12DE·OH=3OE 2 ∴OE 最小时，S △ODE 最小， 过点O 作OE′⊥BC 于E′，根据垂线段最短，OE′即为OE 的最小值
∴BE′=12BC=12
a 在Rt △OBE′中 OE′=BE′·tan ∠OBE′=12a 336a ∴S △ODE 3223 ∵△ODB ≌△OEC ∴S 四边形ODBE =S △ODB ＋S △OBE = S △OEC ＋S △OBE =S △OBC =
1223 ∵23=1423 ∴S △ODE ≤14
S 四边形ODBE 即ODE 的面积最小不会小于四边形ODBE 的面积的四分之一，故②正确； ∵S 四边形ODBE 23 ∴四边形ODBE 的面积始终不变，故③正确；
∵△ODB ≌△OEC
∴DB=EC
∴
BDE 的周长=DB ＋BE ＋DE= EC ＋BE ＋DE=BC ＋DE=a ＋DE
∴DE 最小时BDE 的周长最小
∵DE=3OE ∴OE 最小时，DE 最小
而OE 的最小值为OE′=
3a ∴DE 的最小值为3×
36a =12a ∴BDE 的周长的最小值为a ＋12
a =1.5a ，故④正确； 综上：4个结论都正确，
故选A ．
【点睛】
此题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数、三角形的面积公式和垂线段最短的应用，掌握等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数、三角形的面积公式和垂线段最短是解决此题的关键．
二、填空题
13．或3【分析】如图△ABC ≌△ABP 当D′是PB 中点或点D″是BC 的中点时满足条件分别求解即可【详解】解：如图△ABC ≌△ABP ∴∴CAP 共线∴△BPC 是等边三角形当D′是PB 中点时AD′=BP=AC
解析：3或3
【分析】
如图，△ABC ≌△ABP ，当D′是PB 中点或点D″是BC 的中点时，满足条件，分别求解即可．
【详解】
解：如图，△ABC ≌△ABP ，3AC AP ==，30ABP ABC ∠=∠=︒，60ACB ∠=︒，
∴60APB ∠=︒，90CAB PAB ∠=∠=︒，
∴C ，A ，P 共线，BC BP AC AP ===，
∴△BPC 是等边三角形，
当D′是PB 中点时，AD′=12
3ABC 与D'AB 满足条件，
∴D'90C P ∠=︒，
∴CD′= PD′tan 60︒
PD′=3，
当点D″是BC 的中点时，此时ABC 与D AB "也满足条件，
∴
，
∴满足条件的CD 的长为3
故答案为：3
【点睛】
本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是画出符合题意的图形，用分类讨论的思想思考问题．
14．【分析】先根据矩形的性质勾股定理可得再利用正弦三角函数可得然后根据即可得【详解】四边形ABCD 是矩形在中则即图中阴影部分的面积是故答案为：【点睛】本题考查了矩形的性质正弦三角函数扇形的面积公式等知识
解析：7122
π- 【分析】
先根据矩形的性质、勾股定理可得1,2,90CD BD ADC BCD ==∠=∠=︒，再利用正弦三角函数可得30CBD ∠=︒，然后根据Rt
BCD DCN BDM S S S S =+-阴影扇形扇形即可得．
【详解】
四边形ABCD 是矩形，1AB =，BC =，
1,2,90CD AB BC ADC BCD ∴====∠=∠=︒，
在Rt BCD 中，1sin 2
CD CBD BD ∠==， 30CBD ∴∠=︒， 则Rt BCD
DCN BDM S S S S =+-阴影扇形扇形， 229013021
13603602
ππ⨯⨯=+-⨯
712π=，
即图中阴影部分的面积是
7122π-
故答案为：
7122
π-． 【点睛】 本题考查了矩形的性质、正弦三角函数、扇形的面积公式等知识点，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．
15．【分析】BE ⊥AC 于点E 根据题意计算可得解直角三角形ABE 可得
BE=AE=30根据平行线性质计算可得解直角三角形CEB 可得AE+CE 的值即是AC 两港之间的距离【详解】解：设过A 点正北方向直线为AD 过 解析：30103+
【分析】
BE ⊥AC 于点E ，根据题意计算可得45EAB ∠=︒，解直角三角形ABE ，可得BE=AE=30，根据平行线性质计算可得60C ∠=°，解直角三角形CEB 可得，103CE =，AE+CE 的值即是AC 两港之间的距离．
【详解】
解：设过A 点正北方向直线为AD ，过B 点正北方向直线为BG ，过B 作BE ⊥AC 于E ，过C 作CF ∥AD ，如图:
∵由题意得：∠CAB =65°﹣20°=45°，∠AEB =∠CEB =90°，AB 2km ．
∴在Rt ABE △中，∠ABE =45°，
∴△ABE 是等腰直角三角形．
∵AB 2km ，
∴AE =BE =22
AB =30（km ）． ∵CF ∥AD ∥BG ，
∴∠ACF =∠CAD =20°，∠BCF =∠CBG =40°，
∴∠ACB =20°+40°=60°， ∵在Rt CBE 中，∠ACB =60°，tan ∠ACB =
BE CE ， ∴CE =tan 603BE ︒=3km ），
∴AC =AE +CE 3km ），
∴A 、C 两港之间的距离为（3km ．
故答案为：（3
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用——方位角问题，添加辅助线构建直角三角形，熟练运用解直角三角形的方法是解题关键．
16．【分析】先画出图形再根据坡度的可得然后设米从而可得米最后利用勾股定理求出x 的值由此即可得出答案【详解】如图由题意得：米设米则米由勾股定理得：即解得（米）则米即他上升的高度是米故答案为：【点睛】本题考 解析：205 【分析】 先画出图形，再根据坡度的可得12AC BC =，然后设AC x =米，从而可得2BC x =米，最后利用勾股定理求出x 的值，由此即可得出答案．
【详解】 如图，由题意得：90C ∠=︒，100AB =米，1tan 2
AC B BC =
=， 设AC x =米，则2BC x =米，
由勾股定理得：22AB AC BC =+，即()222100x x +=， 解得205x =（米），
则205AC =米，
即他上升的高度是205米，
故答案为：205．
【点睛】
本题考查了勾股定理、解直角三角形的应用：坡度问题，掌握理解坡度的概念是解题关键．
17．4【分析】过A 作AD ⊥BC 于点D 则根据等腰三角形的性质和锐角三角函数的定义可以得到解答【详解】解：如图过A 作AD ⊥BC 于点D 则由已知可得△ABC 为等腰三角形BD=DC=∴由cosB=得BC=2BD=
解析：4
【分析】
过A 作AD ⊥BC 于点D ，则根据等腰三角形的性质和锐角三角函数的定义可以得到解答 ．
【详解】
解：如图，过A 作AD ⊥BC 于点D ，则由已知可得△ABC 为等腰三角形，BD=DC=12
BC ，
∴由 cosB=1
3得
111
,62
333
BD
BD AB
AB
===⨯=，BC=2BD=4，
故答案为4 ．
【点睛】
本题考查等腰三角形和锐角三角函数的综合应用，灵活运用等腰三角形的性质和锐角三角函数的定义是解题关键．
18．【分析】连接BC可得∠ACB=90°根据同弧对等角有∠D=∠A在△ABC中根据正切定义可求出tanD【详解】如图所示连接BC因为AB是直径所以
∠ACB=90°在Rt△ABC中BC=tanA=而BC弧
解析：22
【分析】
连接B、C，可得∠ACB=90°，根据同弧对等角有∠D=∠A，在△ABC中根据正切定义可求出tanD.
【详解】
如图所示，连接B、C，因为AB是直径，所以∠ACB=90°
在Rt△ABC中BC=2222
AB AC=62=42
--，tanA=BC42
==22 AC2
，
而BC弧所对的∠D=∠A，所以tanD= tanA=22.
【点睛】
本题考查了三角函数的定义、圆周角定理、勾股定理，连接BC构造直角三角形是解题的关键.
19．【分析】过B 点作BE//AD 交AC 于点E 证明得到再证明利用设利用三角形的面积公式可得答案【详解】解：过B 点作BE//AD 交AC 于点EBE ⊥AD ∴∴由∴设则故答案为： 解析：332
【分析】
过B 点作BE//AD 交AC 于点E ，证明ADO EBO ∽△△，得到3,AO OE =再证明,ABE ACB ∠=∠利用1tan tan ,2
BE AE ACB ABE CE BE ∠=
=∠==设,OE a =利用三角形的面积公式可得答案．
【详解】 解：过B 点作BE//AD 交AC 于点E ，90,DAC ∠=︒
∴ BE ⊥AD ，
ADO EBO ∴∽， ∴,AO DO EO BO
= 43
BO OD = ∴
3,4
AO DO EO BO == 3,4AO OE ∴= 由1tan 2ACB ∠=， 1,2
BE CE ∴= 2,CE BE ∴=
90,,ABC BE AC ∠=︒⊥
90,ABE CBE CBE ACB ∴∠+∠=︒=∠+∠
,ABE ACB ∴∠=∠
1tan tan ,2
AE ACB ABE BE ∴∠=∠== 2,BE AE ∴=
24,CE BE AE ∴==
∴OAB OAD ABD CBD OCB OCD S S S S S S ∆∆+=+
()
()
11
22
11
22
AO AD AO BE AO AD BE AO
OC AD BE OC
OC AD OC BE
•+•+
===
+
•+•
设,
OE a
=则
3
,
4
AO a
=
7
,
4
AE AO OE a
∴=+=7,
CE a
=8.
OC OE CE a
=+=
3
3
4.
832
ABD
CBD
a
S AO
S OC a
∆
∆
===
故答案为：
3
32
20．【分析】连接OP先确定OD的长和B点坐标然后证明四边形OPME是平行四边形可得OP=EM因为PM是定值推出PB+ME=OP+PB的值最小时即当OPB共线时BP+PM+ME的长度最小最后根据两点间的距
解析：22123
+
【分析】
连接OP,先确定OD的长和B点坐标，然后证明四边形OPME'是平行四边形，可得
OP=EM，因为PM是定值，推出PB+ME'=OP+PB的值最小时，即当O、P、B共线时
BP+PM+M E的长度最小，最后根据两点间的距离公式和线段的和差解答即可．
【详解】
解:如图：连接OP
在Rt△ADO中，∠A=60°，AD=4，
∴OD=4tan60°
∴A （-4，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB=OC=10，
∴DB=10-4=6
∴B （6，
∵线段EF 垂直平分OD
∴OE=1
2，∠PEO=∠EOM=∠PM0=90°， ∴四边形OMPE 是矩形，
∴
，
∵OE=0E'
∴PM=OE'，PM//OE'，
∴四边形OPME'是平行四边形，
∴0P=EM ，
∵
是定值，
∴PB+ME'=OP+PB 的值最小时，BP+PM+ME 的长度最小，
∴当0、P 、B 共线时，BP+PM+ME 的长度最小
∴BP+PM+ME
的最小值为=
故答案为
【点睛】
本题属于四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质、垂直平分线的性质、最短路径问题、锐角三角函数等知识，掌握并灵活应用两点之间线段最短是解答本题的关键． 三、解答题
21．3
【分析】
将特殊角的三角函数值代入求解 【详解】
解：sin 30tan 45cos 45sin 60tan 60︒⋅︒︒+︒⋅︒
=
12⨯ =13+1+22
=3
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
22．52a --，33-． 【分析】 先把小括号内的通分，按照分式的减法和分式除法法则进行化简，再把字母的值代入运算即可．
【详解】
310cos302tan 451021532a =+=⨯⨯=︒++︒， ()()()()()()23113132522422222222a a a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤-----⎛⎫-÷=-⋅+=⋅+=-⎢⎥ ⎪--++--+--⎝⎭⎢⎥⎣⎦
当532a =+时，原式35322
=-
=-+-． 【点睛】
考查分式的化简求值，关键是化简，掌握运算顺序是化简的关键． 23．447km
【分析】
过点B 作BD ⊥AC 于点D ，利用锐角三角函数的定义求出AD 及CD 的长，进而可得出A 地到C 地之间高铁线路的长．
【详解】
解：如图所示，过点B 作BD AC ⊥于点D ，则//BD AE ，
由题意得：390km AB =，30CBD ∠=︒，
//BD AE ，则67ABD BAE ∠∠==︒，
BD AC ⊥，∴在Rt △ABD 中，
sin AD ABD AB ∠=，cos BD ABD AB
∠=， 1239036013AD ∴=⨯=，539015013
BD =⨯=， 又在Rt BCD 中，30CBD ∠=︒，12
CD BC ∴=， 由勾股定理得：222CD BD BC +=，
222150(2)CD CD ∴+=，解得：3CD =，
3 1.73≈，50 1.7387CD ∴≈⨯=，
AC AD CD ∴=+36087=+447=，
答：A 地到C 地之间高铁线路长为447km ．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 24．（1）1；（2）4x =-
【分析】
（1）原式利用特殊角的三角函数、绝对值的代数意义、负指数幂法则以及0指数幂的运算法则分别化简，即可得到结果；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，检验后即可得到分式方程的解的结果．
【详解】
解：（1）原式＝2221++＝1； （221133x x x
-=-- 去分母得：()231x x --=-，
去括号得：231x x -+=-，
解得：4x =-，
经检验4x =-是分式方程的解．
【点睛】
此题考查了实数的运算和解分式方程，实数运算的关键是掌握各运算类型的法则，解分式方程时把分式方程转化为整式方程求解，且一定注意要验根．
25．（1）4；（2）15°
【分析】
（1）直接根据零指数幂、二次根式化简、特殊角的三角函数值、负整指数幂即可求解； （2）直接根据特殊角的三角函数值即可求解．
【详解】
解：（1）()1013.144sin 453π-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
13=+ 4=
（2）∵tan （α＋15°∴α＋15°=30° α=15°
【点睛】
此题主要考查实数的运算和特殊角的三角函数值，熟练掌握各概念是解题关键．
26．（1）y ＝﹣x 2﹣2x +3，AC ＝DC ；（2）E （1，0）；（3
【分析】
（1）将点A （﹣3，0），B （1，0）分别代入抛物线y ＝ax 2+bx +3可解的a ，b 的值，从而得到解析式，tan ∠DAC ＝
DC AC
，可根据表达式求出C ，D 的坐标然后计算DC 和AC 的长度计算；
（2）可取一点E ，过E 作EF 平行于x 轴，交AC 于F 此时可表示出S △ACE ，根据类方程S △ACE ＝2S △ACD ，求E 点坐标即可；
（3）根据题能得到Q 的运动轨迹为直线，且当P 在A 处时Q 在C 处，当P 运动到C 处时，可以得到△ADC ∽PQD ，根据形似性质可得到PQ 长度即为Q 的运动路径长．
【详解】
解：（1）将A （﹣3，0），B （1，0）分别代入抛物线y ＝ax 2+bx +3可得： 093303a b a b =-+⎧⎨=++⎩，解得12a b =-⎧⎨=-⎩
； ∴抛物线解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +3，
∴D （﹣1，4），C （0，3）；
∴AC
＝
DC ；
∴tan ∠DAC ＝1=
3
DC AC ． （2）如图1所示，过E 作EF //x 轴交AC 于点F ，设点E （m ，﹣m 2﹣2m +3），直线AC 的表达式为y ＝kx +n ，
将A （﹣3，0），C （0，3）分别代入y ＝kx +n 可得：
033k n n =-+⎧⎨=⎩，解得13k n =⎧⎨=⎩
， ∴直线AC 表达式为y ＝x +3，
∴F （﹣m 2﹣2m ，﹣m 2﹣2m +3），
∴EF ＝m +m 2+2m ＝m 2+3m ，
∴S △ACE ＝
12（x C ﹣x A ）EF ， ∵S △ACD ＝
12AC •CD ＝3， ∴S △ACE ＝
12（x C ﹣x A ）EF ＝2S △ACD ＝6， ∴32
（m 2+3m ）＝6， 解得m 1＝1，m 2＝﹣4（舍），
∴E （1，0）．
（3）如图2所示
当点P与点A重合时，
∵∠ADQ=∠DCA=90°，
∴∠DAC+∠ADC=90°=∠ADC+∠QDC，∴∠DAC=∠QDC，
又∵∠DCA=∠DCQ=90°，
∴△ADC∽△DQC，
∴DC CQ
=，
AC DC
∴222
CQ==，
.
3
32
当点P与点C重合时，
∴∠Q'DC=∠ACD=90°，
∴DQ'∥CQ ，
∵∠DAC=∠Q'P'D ，∠Q'DP'=∠ACD=90°，
∴△ADC ∽△P'Q'D ， ∴DQ DC DC AC
'=，
∴DQ '=， ∴DQ'=CQ ，
∴四边形DQ'QC 是平行四边形，
∴
．
【点睛】
本题综合性比较强，主要考查二次函数点相关知识，解题的关键在于找出变换后的图形，根据已知条件，建立方程求解．。