2010全国2卷文科数学(最完整版)

2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ）
文科数学
本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第 Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1页至第2页，第 Ⅱ卷第3页至第4页。

考试结束后，将本试卷和答题Ⅰ、Ⅱ交回，全卷满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）
选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在，每小题给出的四个选项中， 参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 P （A+B ）=P(A)+P(B) S=4πR 2 如果事件A 、B 相互独立，那么 P （A-B ）=P(A)-P(B) 一. 选择题
1.（1）设全集U={}
*|6x N x ∈<，集合A={1,3}。

B={3,5},则()u C A
B =（ ）
（A ）{}1,4 （B ）{}1,5 （C ）{}2,4 （D ）{}2,5 （2）不等式
3
2
x x -+＜0的解集为 （A ）{}
23x x -<< （B ）{}
2x x <- （C ）{}23x x x <->或 （D ）{}
3x x > （3）已知2
sin 3
α=
，则cos(2)πα-= （A
）3-
（B ）19- （C ）1
9
（D
）3 （4）函数()1ln 1y x =+-()1x >的反函数是 (A) ()1
10x y e x +=-> (B) ()110x y e x +=+> (C) ()1
1x y e
x R +=-∈ (D) ()11x y e x R +=+∈
(5)若变量x,y 满足约束条件1
325x y x x y ≥-⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩
则z=2x+y 的最大值为
（A ）1 (B)2 (C)3 (D)4 (6)如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么1a +2a +•…+7a =
（A ）14 (B) 21 (C) 28 (D) 35 （7）若曲线2
y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则
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（A ）1,1a b == (B) 1,1a b =-= (C) 1,1a b ==- (D) 1,1a b =-=-
（8）已知三棱锥S ABC -中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面
ABC ，SA =3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为
（A ）
4
(B) 4
(C) 4 (D) 34
（9）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有
（A ） 12种 (B) 18种 (C) 36种 (D) 54种 （10）△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB = a , CA = b , a = 1 ，b = 2, 则CD = （A ）
13a + 23b （B ）23a +13b （C ）35a +45b （D ）45a +35
b （11）与正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的三条棱AB 、CC 1、A 1D 1所在直线的距离相等的点 （A ）有且只有1个 （B ）有且只有2个 （C ）有且只有3个 （D ）有无数个
（12）已知椭圆C ：22
221x y a b
+=（a>b>0
）的离心率为2，过右焦点F 且斜率为k （k>0）
的直线于C 相交于A 、B 两点，若3AF FB =。

则k = （A ）1 （B
（C
（D ）2
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上。

（13）已知α是第二象限的角,1
tan 2
α=
，则cos α==__________. (14)9
1x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中，3
x 的系数是_________.
(15)已知抛物线C ：()2
20y px p =>的准线l ，过()1,0M
l 相交
于A ，与C 的一个交点为B ，若AM MB =，则p = .
（16）已知球O 的半径为4，圆M 与圆N 为该球的两个小圆，AB 为圆M 与圆N 的公共
弦，4AB =，若3OM ON ==，则两圆圆心的距离MN = .
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三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分10分）
ABC ∆中，D 为边BC 上的一点，33BD =，5sin 13B =
，3
cos 5
ADC ∠=，求AD 。

（18）（本小题满分12分）
已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且1212
11
2(
)a a a a +=+，345345
11164(
)a a a a a a ++=++ （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设2
1()n n n
b a a =+
，求数列{}n b 的前n 项和n T 。

（19）（本小题满分12分）
如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，1AA AB =，D 为1BB 的中点，E 为
1AB 上的一点，13AE EB =
（Ⅰ）证明：DE 为异面直线AB 1与CD 的公垂线；
（Ⅱ）设异面直线AB 1与CD 的夹角为45°,求二面角111A AC B --的大小
（20）（本小题满分12分）
如图，由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为T 1，T 2，T 3，T 4，电源能通过T 1，T 2，T 3的概率都是P ，电源能通过T 4的概率是0.9，电源能否通过各元件相互独立。

已知T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流的概率为0.999。

（Ⅰ）求P ；
（Ⅱ）求电流能在M 与N 之间通过的概率。

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（21）（本小题满分12分）
已知函数()32331f x x ax x =+++ （Ⅰ）设2a =，求()f x 的单调期间；
（Ⅱ）设()f x 在区间()2,3中至少有一个极值点，求a 的取值范围。

（22）（本小题满分12分）
已知斜率为1的直线1与双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>相交于B 、D 两点，且
BD 的中点为M （1.3）
（Ⅰ）求C 的离心率；
（Ⅱ）设C 的右顶点为A ，右焦点为F ，17DF BF =证明：过A B D 、、三点的
圆与x 轴相切。

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