与圆有关的最值(范围)问题

x
x
与圆有关的最值（范围）问题
圆是数学中优美的图形，具有丰富的性质．由于其图形的对称性和完美性，很多与圆有关的最值问题都可以运用圆的图形性质，利用数形结合求解．当然，根据《教学要求》的说明，“平面解析几何的重要内容，教学重点是让学生从中感受运用代数方法处理几何问题的思想”，因此在此类问题的求解中，有时也会用到函数思想和基本不等式思想等．本文将就与圆的最值问题有关的题目进行归纳总结,希望能为学生在处理此类问题时提供帮助． 类型一：圆上一点到直线距离的最值问题应转化为圆心到直线的距离加半径，减半径
例1 已知P 为直线y=x +1上任一点，Q 为圆C ：22
(3)1x y -+=上任一点,则PQ 的最小
值为 。

【分析】：这是求解“圆上一动点到直线距离”的常见考题,可以通过平面几何的知识得“圆心到直线的距离减半径”即为最短距离，这一结论在解题时可直接应用．
解：如图1，圆心C
到直线y=x +1的距离d =圆半径1r =，
故1PQ PC r ≥-=
变题1：已知A （0,1），B （2,3）,Q 为圆C 22(3)1x y -+=上任一点，则QAB
S
的最小值
为 。

【分析】本题要求QAB
S
的最大值，因为线段AB 为定长，由三角形面积公式可知，只需求
“Q 到AB l 的最小值"，因此问题转化为“圆上一动点到直线的最小距离”，即例1． 解:如图2，设Q h 为Q 到AB l 的距离，
则1
1)42
QAB
Q Q S
AB h =
⋅===+
图1 图2
变题2：由直线y=x +1上一点向圆C :2
2
(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为 【分析】一般地，当直线和圆相切时，应连接圆心和切点,构造直销三角形进行求解．因为
222PA PC r =-，故即求PC 的最小值，即例1．
解：如图3，22221PA PC r PC =
-=-，∵min PC
=∴min PA
变题3：已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：2
2
(3)1x y -+=的切线PA ，PB ，A 、B 为切点,则当PC= 时，APB ∠最大．
【分析】APB APC ∠=∠，故即求角APC ∠的最大值，利用其正弦值即可转化为求PC 的
最小值，即例1．
解：如图4，∵APB APC ∠=∠，
1
sin APC PC
∠=
,∵
min PC =,∴PC =APC ∠最大，即APB ∠最大．
图3 图4
变题4：已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：2
2
(3)1x y -+=的切线PA ，PB,A 、B 为切点，则四边形PACB 面积的最小值为 .
【分析】将四边形面积转化为两个全等的三角形的面积，从而转化为PA 的最小值，问题又转化为求切线段的最小值问题．
解：如图4，1
222
PAC PAB PAB S S S S PA AC PA ∆∆∆=+==⨯
⋅
⋅=四边形PACB ，由变式2
可知，min PA =PACB
【解题回顾】在上面例1及几个变试题的解题过程中，我们可以总结一句“万变不离其宗”，一般地，求“圆上一动点到直线距离”的常见考题，可以通过平面几何的知识得“圆心到直线的距离减半径”即为最短距离，“圆心到直线的距离加半径”即为最大距离，这一结论在解题时可直接应用．另:和切线段有关的问题常利用“连接圆心和切点,构造直销三角形“进行求解．也即将“ 两个动点的问题转化为一个动点的问题”．如下例．
例2已知圆C:22
2430x y x y ++-+=，从圆C 外一点11(,)P x y 向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有PM=PO ,求使得PM 取得最小值的点P 坐标．
【分析】本题中，由于点P 和点M 均在动，故直接做很难求解．联系到PM 是切线段，因此可利用222
PM PC r =-将条件PM=PO 转化为只含有一个变量P 的式子即可求解．
解：由题意，令(,)P x y ，∵222PM PC =-，∴222PC PO -=，
即2222
(1)(2)2x y x y ++--=+,化简得：2430x y -+=．
∵PM=PO ，∴即求直线2430x y -+=到原点O （
0，0)的最小距离．
d
=
=
PM
x
类型二：利用圆的参数方程转化为三角函数求最值
例3若实数x 、y 满足2
2
240x y x y ++-=，求x-2y 的最大值．
【分析】本题是典型的用圆的参数方程解决的题型，利用圆的参数方程将所求式转化为三角函数求最值，利用辅助角公式即得最大值．
解：2
2
(1)(2)5x y ++-=
，令1()2x R y θ
θθ
⎧=-+⎪∈⎨
=+⎪⎩，
则255cos()5x y θθθϕ-=-+-=+-(
其中cos ϕϕ=
=
) ∴当cos()1θϕ+=时，max (2)550x y -=-=，故x —2y 的最大值为0．
【解题回顾】和圆有关的一次式的求解，利用圆的参数方程可以比较方便的求到最值．
类型三:抓住所求式的几何意义转化为线性规划问题求最值
若所求式子具有较明显的几何意义,值．比如例2，除了用圆的参数方程求解,这类题通常转化为直线方程的纵截距求解． 解法二：令2x y z -=,则11
22
y x z =
-,由题意，当直线的纵截距最小时,z 最大，此时直线和圆相切，故圆心到直线的距离
d =
=
故010z =-或，由题意，max 0z =，即x-2y 的最大值为0．
除了转化为直线的截距求解，还有一些式子具有明显的几何意义，比如斜率、两点间距离、点到直线的距离等．比如在上例中，改为求12
y x --，22
(2)(1)x y -+-，1x y --的取值范围,则可以分别用如下方法求解： 对
1
2
y x --，转化为圆上任意一点P 到点(2,1)A 连线斜率的最大值,可设过点(2,1)A 的直线为1(2)y k x -=-，直线和圆相切时，即圆心到直线的距离
d =
=，可得
122k =-或,故1
[2,)(,2
k ∈+∞⋃-∞-．
对22
(2)(1)x y -+-,转化为圆上任意一点P 到点(2,1)A 距离的平方的取值范围,由例
1
易得
[PA CA CA ∈+
，即222(2)(1)[50PA x y =-+-∈-+
对1x y --，联想到点到直线的距离公式中有类似的元素．可将问题转化为圆上任意一点P 到直线10x y --
=的距离的问题，易得，圆心到直线的距离为P （x ，
y）到直线10
x y
--=
,
即1[4
x y
--∈.
【解题回顾】当所求式子含有明显的几何意义时，注意联系线性规划，用线性规划的思路求解可将问题简单化和直观化．
类型四：向函数问题转化
平面解析几何的重要内容，教学重点是让学生从中感受运用代数方法处理几何问题的思想．有些问题，单纯利用圆的几何性质无法求解．此时应考虑如何利用代数思想将问题转化为函数问题．
例4(2010年高考全国卷I理科11）已知圆O：221
x y
+=，P A、PB
为该圆的两条切线,A、B为两切点，则PA PB
⋅的最小值为
【分析】本题中,由于A、B都是动点，故将PA PB
⋅转化为坐标形式
较难求解．此时考虑到向量数量积的定义，令2
APBα
∠=，cos2
PA PB PA PBα
⋅=，而切线段PA=PB也可用α表示,故所求式可转化为关于α的三角函数求解．
解:令2((0,))
2
APB
π
αα
∠=∈，cos2
PA PB PA PBα
⋅=，
1
tan
PA PB
α
==，
∴
222
222
cos2cos cos2(1sin)(12sin)
tan sin sin
PA PB
ααααα
ααα
⋅--
⋅===，
令2
sin(0)
t t
α=>，则
(1)(12)1
233
t t
PA PB t
t t
--
⋅==+-≥
（当且仅当
2
t=2
sin
2
α=时取等号）
【解题回顾】本题以向量定义为载体，巧妙地利用了设角为变量，将与圆有关的问题转化为三角函数的问题求解．将几何问题代数化，利用函数思想求解．同时运用了换元思想，基本不等式思想等解题方法，是一道综合题．
类型五：向基本不等式问题转化
例5已知圆C：22
+24
x y
+=
（），过点(1,0)
A-做两条互相垂直的直线
12
l l
、，
1
l交圆C 与E、F两点，2l交圆C与G、H两点，
（1）EF+GH的最大值．
(2）求四边形EGFH面积的最大值．
【分析】由于EF和GH都是圆的弦长，因此可利用
222
=+
半径半弦长弦心距将EF+GH转化，
用基本不等式的相关知识点．
解:（1）令圆心C 到弦EF 的距离为1d ，到弦GH 的距离为2d ,则
EF +GH =，又222
121d d CA +==,
2
≤==
(当且仅当122
d d ==
取等号)
故EF +GH ≤=（2)∵EF GH ⊥，
∴22128()12722
d d S EF GH -+=⋅=≤⋅=四边形EFGH
(当且仅当122
d d ==
取等号）
【解题回顾】本题(1）是利用2a b +≤
（2)2a b +．基本不等式是求最值的基本方法．在利用基本不等式求最值时应注意如何构造“定量”．
由于圆的对称性，在与圆有关的最值问题中,应把握两个“思想"：几何思想和代数思想．所谓几何思想，即利用圆心,将最值问题转化为与圆心有关的问题．所谓代数思想,即利用圆的参数方程．同时，由于最值问题从代数意义上讲和函数的最值联系紧密，因此在解题过程中灵活的应用函数、不等式等代数思想使问题代数化、简单化也是需要注意的．。