2024年山东省泰安市宁阳第二实验中学中考数学一模试卷(含解析)

2024年山东省泰安市宁阳第二实验中学中考数学一模试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列各数中，绝对值最小的数为( )
B. π0
C. −2−1
D. −1
A. 1
3
2.下列各式计算不正确的是( )
A. x2⋅x4=x6
B. (x+y)2=x2+y2
C. x7÷x4=x3
D. 3x4−x4=2x4
3.如图是由几个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体的俯视图，小正方形中的数字
表示该位置小正方体的个数，则该几何体的主视图是( )
A. B. C. D.
4.如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A=60°，∠B=40°，则∠ECD等于( )
A. 40°
B. 45°
C. 50°
D. 55°
5.某校男子足球队的年龄分布如图所示，则根据图中信息可知这些队员年龄的平均数，中位数分别是( )
A. 15.5，15.5
B. 15.5，15
C. 15，15.5
D. 15，15
6.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，∠BCA=65°，作CD//AB，并与
⊙O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为( )
A. 15°
B. 35°
C. 25°
D. 45°
7.如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A(m,3)，则不等式
2x≥ax+4的解集为( )
A. x≥3
2
B. x≤3
C. x≤3
2
D. x≥3
8.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，
分别交BA，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于1
MN的长为半径画弧，
2
两弧交于点P，作射线BP交AC于点D.若AC=12，则在△ABD中AB边上的高为( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
9.如图1，在△ABC中，∠ABC=60°，点D是BC边上的中点，点P从△ABC的顶点A出发，沿A→B→D的路径以每秒1个单位长度的速度匀速运动到点D.线段DP的长度y随时间x变化的关系图象如图2所示，点N是曲线部分的最低点，则△ABC的面积为( )
A. 4
B. 43
C. 8
D. 83
10.如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A ，B ，P ，Q 四点均在正方形网格的格点上，线段AB ，PQ 相交于点M ，则图中∠QMB 的正切值是( )
A. 12
B. 1
C. 3
D. 2
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

11.因式分解：x 2+2x +1= ．
12.如图，小明向图中的格盘中随意投掷一枚棋子，该棋子落在三角形内的概率是
______．
13.已知正多边形的一个外角等于60°，则这个正多边形的内角和的度数为______．
14.已知关于x 的一元二次方程x 2+kx−6=0的一个根是2，则另一个根是______．
15.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦(点C 不与点A ，点B 重合，且点C 与点D 位于直
径AB 两侧)，若∠AOD =110°，则∠BCD 等于______．
16.将一张以AB 为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形(剪掉的两个直角三角形相似)，剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD ，其中∠A =90°，AB =9，BC =7，CD =6，AD =2，则剪掉的两个直角三角形的斜边长可能是①
252
；②454；③10；④354，其中正确的序号是 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题8分)
(1)化简：(3x+4
x2−1−2
x−1
)÷x+2
x2−2x+1
；
(2)解不等式组{2(x−1)<7−x
3+2x≥2x+1
3
，并写出不等式组的最小整数解．18.(本小题8分)
如图，直线y=kx+b(k≠0)与双曲线y=m
x
(m≠0)交于点A(−1
2
,2)，B(n,−1)．
(1)求直线与双曲线的解析式．
(2)点P在x轴上，如果S△ABP=3，求点P的坐标．
19.(本小题8分)
如图，已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：M是BE的中点．
20.(本小题8分)
阅读材料，解答问题．
例：用图象法解一元二次不等式：x2−2x−3>0
解：设y=x2−2x−3，则y是x的二次函数．∵a=1>0，∴抛物线开口向上．
又∵当y=0时，x2−2x−3=0，解得x1=−1，x2=3．
∴由此得抛物线y=x2−2x−3的大致图象如图所示．
观察函数图象可知：当x<−1或x>3时，y>0．
∴x2−2x−3>0的解集是：x<−1或x>3．
(1)观察图象，直接写出一元二次不等式：x2−2x−3≤0的解集是______；
(2)仿照上例，用图象法解一元二次不等式：x2−1>0．
21.(本小题8分)
2021年，成都将举办世界大学生运动会，这是在中国西部第一次举办的世界综合性运动会．目前，运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定．某校体育社团随机调查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿，并根据调查结果绘制成了如图两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)这次被调查的同学共有______人；
(2)扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为______；
(3)现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大运会志愿者，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
22.(本小题8分)
某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元，规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y(件)与每件的售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价x(元/件)606570
销售量y(件)140013001200
(1)求出y与x之间的函数表达式；(不需要求自变量x的取值范围)
(2)该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，该如何给这种衬衫定价？
23.(本小题8分)
如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG//CD交AF于点G，连接DG．
(1)求证：四边形EFDG是菱形；
(2)求证：EG2=1
AF⋅GF；
2
(3)若AG=6，EG=25，求BE的长．
24.(本小题8分)
已知△ABC为等腰三角形，AB=AC，点D为直线BC上一动点(点D不与点B、点C重合).以AD为边作
△ADE，且AD=AE，连接CE，∠BAC=∠DAE．
(1)如图1，当点D在边BC上时，试说明：①△ABD≌△ACE；②BC=DC+CE；
(2)如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，探究线段BC、DC、CE之间存在的数量关系，并
说明理由．
25.(本小题8分)
若抛物线L：y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，且abc≠0)与直线l都经过y轴上的同一点，且抛物线L的顶点在直线l上，则称此抛物线L与直线l具有“一带一路”关系，并且将直线l叫做抛物线L的“路线”，抛物线L 叫做直线l的“带线”．
(1)若“路线”l的表达式为y=−x+2，它的“带线”L的顶点在反比例函数y=1
的图象上，求“带线”L
x
的表达式；
(2)如果抛物线y=mx2−2mx+m−1与直线y=nx+1具有“一带一路”关系，求m，n的值；
(3)设(2)中的“带线”L与它的“路线”l在y轴上的交点为A.已知点P为“带线”L上的点，当以点P为圆心的圆与“路线”l相切于点A时，求出点P的坐标
答案和解析1.【答案】A
【解析】解：|1
3|=1
3
，
|π0|=1，
|−2−1|=|−1
2|=1
2
，
|−1|=1，
∵1 3<1
2
<1，
∴绝对值最小的数是1
3
，
故选：A．
根据绝对值的概念，零指数幂，负整数指数幂，分别求出每个选项中数的绝对值，即可确定答案．
本题考查了负整数指数幂，零指数幂，绝对值等，熟练掌握这些知识是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：x2⋅x4=x6，
故A不符合题意；
(x+y)2=x2+2xy+y2，
故B符合题意；
x7÷x4=x3，
故C不符合题意；
3x4−x4=2x4，
故D不符合题意，
故选：B．
根据同底数幂的乘法，完全平方公式，同底数幂的除法，合并同类项分别判断即可．
本题考查了同底数幂的乘法，完全平方公式，同底数幂的除法，合并同类项，熟练掌握这些知识是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：观察图形可知，该几何体的主视图为：，
故选：A．
由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方形数目分别为2，3，1，据此可得出图形，从而求解．
本题考查由三视图判断几何体，简单组合体的三视图．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了角平分线定义和三角形外角性质，能熟记三角形外角性质的内容是解此题的关键．
根据三角形外角性质求出∠ACD，根据角平分线定义求出即可．
【解答】
解：∵∠A=60°，∠B=40°，
∴∠ACD=∠A+∠B=100°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD=∠ACE=50°．
故选C．
5.【答案】D
【解析】解：根据图中信息可知这些队员年龄的平均数为：
13×2+14×6+15×8+16×3+17×2+18×1
=15(岁)，
2+6+8+3+2+1
该足球队共有队员2+6+8+3+2+1=22(人)，
则第11名和第12名的平均年龄即为年龄的中位数，即中位数为15岁，
故选：D．
根据年龄分布图和平均数、中位数的概念求解．
本题考查了确定一组数据的平均数，中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
6.【答案】A
【解析】解：∵AB=AC、∠BCA=65°，
∴∠CBA=∠BCA=65°，∠A=50°，
∵CD//AB，
∴∠ACD=∠A=50°，
又∵∠ABD=∠ACD=50°，
∴∠DBC=∠CBA−∠ABD=15°，
故选：A．
根据等腰三角形性质知∠CBA=∠BCA=65°，∠A=50°，由平行线的性质及圆周角定理得
∠ABD=∠ACD=∠A=50°，从而得出答案．
本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、圆周角定理、平行线的性质．7.【答案】A
【解析】解：将点A(m,3)代入y=2x得，2m=3，
解得，m=3
，
2
,3)，
∴点A的坐标为(3
2
∴由图可知，不等式2x≥ax+4的解集为x≥3
．
2
故选：A．
将点A(m,3)代入y=2x得到A的坐标，再根据图形得到不等式的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，要注意数形结合，直接从图中得到结论．
8.【答案】B
【解析】解：作DE⊥AB于E.如图：
由作图可知，BD是△ABC的角平分线，
∴DE=CD，
∵∠A=30°，∠AED=90°，
∴AD=2DE，
∵AC=12，
∴AD+DC=2DE+DE=12，
∴DE=4．
故选：B．
作DE⊥AB于E，利用BD是角平分线以及直角三角形30°所对的直角边是斜边的一半即可求解．
本题主要考查了含30°角的直角三角形的性质及角平分线的性质，解答本题的关键在于利用其性质进行解答．
9.【答案】D
【解析】解：由函数图象可知，当x=0时，y=4；当x=23时，y最小，即DP⊥AC，
∴AD=4，AP=23，
∴DP=42−(23)2=2，
∴∠ADP=30°，∠DAP=60°，
∵∠B=60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴点P是AB的中点，
∵点D是BC的中点，
∴DP是△ABC的中位线，
∴S△ABC=4S△BDP=83．
故选：D．
由函数图象可知AD=4，当DP⊥AC时，AP=23，然后利用勾股定理求得DP长的最小值，可得
∠BAD=60°，进而结合∠B=60°，得△ABD是等边三角形，然后得点P是AB的中点，最后结合点D是BC的中点求△ABC的面积．
本题考查了垂线段最短、勾股定理、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形的中位线，解题的关键是数形结合．
10.【答案】D
【解析】【分析】
此题主要考查了勾股定理逆定理以及锐角三角函数定义，正确得出△QPB′是直角三角形是解题关键．
，根据题意平移AB使A点与P点重合，进而得出，△QPB′是直角三角形，再利用tan∠QMB=tan∠P=QB′
PB′
进而求出答案．
【解答】
解：如图所示：平移AB到PB′位置，使A点与P点重合，B至B′位置，连接B′Q，
可得∠QMB=∠P，
∵PB′=22，PQ=210，B′Q=42，∴PB′2+QB′2=PQ2，
∴△QPB′是直角三角形，
∴tan∠QMB=tan∠P=QB′
PB′=42
22
=2．
故选D．
11.【答案】(x+1)2
【解析】解：x2+2x+1=(x+1)2，
故答案为：(x+1)2．
【分析】本题运用完全平方公式进行因式分解即可．
本题考查运用公式法进行因式分解，掌握公式法的基本形式并能熟练应用是解题的关键．12.【答案】1
3
【解析】解：三角形面积为3×2÷2=3，
正方形面积为3×3=9，
故该棋子落在三角形内的概率是3
9=1
3
．
故答案为：1
3
．
利用面积公式分别表示出阴影部分和大正方形的面积，再利用面积比求概率即可．
本题主要考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．
13.【答案】720
【解析】解：∵正多边形的一个外角等于60°，
∴这个正多边形的边数是：360°÷60°=6(条)，
∴这个正多边形的内角和的度数为(6−2)×180=720°．
故答案为：720．
根据正多边形的外角和定理可求解多边形的边数，再由多边形的内角和定理可求解．
本题主要考查多边形的内角和外角，掌握定理是解题的关键．
14.【答案】−3
【解析】解：设另一个根为m，由根与系数之间的关系得，
m×2=−6，
∴m=−3，
故答案为−3，
利用根与系数之间的关系求解
本题主要考查一元二次方程根与系数之间的关系，解题的关键是学生对公式的理解和熟练使用．15.【答案】35°
【解析】解：∵∠AOD=110°，
∴∠BOD=180°−∠AOD=180°−110°=70°，
∴∠BCD=1
2∠BOD=1
2
×70°=35°，
故答案为：35°．
首先可求得∠BOD的度数，再根据圆周角定理，即可求解．
本题考查了圆周角定理以及圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握和运用圆周角定理是解决本题的关键．16.【答案】②③④
【解析】解：∵AB2+AD2=85=CD2+BC2，
∴∠BCD=90°，
由题意知，分两种情况求解，
①如图1，△DEF∽△FCB，四边形ABFE是矩形，所求两斜边为DF，BF，
∴DE CF =DF
BF
=EF
BC
，即BF−2
DF−6
=DF
BF
=9
7
，
∴{7(BF−2)=9(DF−6) 7DF=9BF，
解得{
DF =454BF =354，②如图2，△DEC ∽△EBF ，四边形ABFE 是矩形，所求两斜边为DE ，BE ，
∴DE BE =EC BF =DC EF ，即DE BE =BE−7DE +2=69，
∴{9DE =6BE 9(BE−7)=6(DE +2)，
解得{DE =10BE =15，
∴剪掉的两个直角三角形的斜边长可能是454，354，10，15，
故答案为：②③④．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，相似三角形的判定与性质，矩形的性质等知识．解题的关键在于分情况求解．
由AB 2+AD 2=85=CD 2+BC 2，可得∠BCD =90°，由题意知，分两种情况求解，①△DEF ∽△FCB ，四边形ABFE 是矩形，所求两斜边为DF ，BF ，则DE CF =DF BF =EF BC ，即BF−2DF−6=DF BF =97，根据{7(BF−2)=9(DF−6)7DF =9BF
计算求解即可；②△DEC ∽△EBF ，四边形ABFE 是矩形，所求两斜边为DE ，BE ，则DE BE =EC BF =DC EF
，即DE BE =BE−7DE +2=69，根据{9DE =6BE 9(BE−7)=6(DE +2)计算求解即可．17.【答案】解：(1)原式=x +2(x +1)(x−1)⋅
(x−1)2x +2=x−1x +1．
(2){
2(x−1)<7−x①3+2x ≥2x +13
②，由①得：x <3，
由②得：x ≥−2，
∴不等式组的解集为：−2≤x <3，
∴最小整数解为−2．
【解析】(1)根据分式的运算法则即可求出答案．
(2)根据不等式组的解法即可求出答案．
本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
18.【答案】解：(1)∵双曲线y =
m x (m ≠0)经过点A (−12
,2)，∴m =−1．
∴双曲线的解析式为y =−1x ．∵点B (n ,−1)在双曲线y =−1x 上，
∴点B 的坐标为(1,−1)．
∵直线y =kx +b 经过点A (−12,2)，B (1,−1)，
∴{−12k +b =2k +b =−1，解得{
k =−2b =1，∴直线的解析式为y =−2x +1；
(2)当y =−2x +1=0时，x =12，
∴点C (12,0)．
设点P 的坐标为(x ,0)，
∵S △ABP =3，A (−12,2)，B (1,−1)，
∴12×3|x−12|=3，即|x−12|=2，
解得：x 1=−32，x 2=52．
∴点P 的坐标为(−32,0)或(52,0)．
【解析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次(反比例)函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式以及三角形的面积，解题的关键是：(1)根据点的坐标利用待定系数法求出函数的解析式；(2)根据三角形的面积公式以及S △ABP =3，得出|x−12|=2．
(1)把A 的坐标代入可求出m ，即可求出反比例函数解析式，把B 点的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n ，把A ，B 的坐标代入一次函数解析式即可求出一次函数解析式；
(2)利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C 的坐标，设点P 的坐标为(x ,0)，根据三角形的面积公式结合S △ABP =3，即可得出|x−12|=2，解之即可得出结论．
19.【答案】证明：连接BD ，
∵在等边△ABC ，且D 是AC 的中点，
∴∠DBC =12∠ABC =12×60°=30°，∠ACB =60°，
∵CE =CD ，
∴∠CDE =∠E ，
∵∠ACB =∠CDE +∠E ，
∴∠E =30°，
∴∠DBC =∠E =30°，
∴BD =ED ，△BDE 为等腰三角形，
又∵DM ⊥BC ，
∴M 是BE 的中点．
【解析】本题考查了等腰三角形顶角平分线、底边上的中线和高三线合一的性质、等腰三角形的判定以及等边三角形每个内角为60°的知识．正确添加辅助线是解答本题的关键．
连接BD ，先证明∠DBC =∠E =30°，得出△BDE 为等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一即可得证．20.【答案】解：(1)−1≤x ≤3
(2)设y =x 2−1，则y 是x 的二次函数，
∵a =1>0，
∴抛物线开口向上．
又∵当y =0时，x 2−1=0，
解得x 1=−1，x 2=1，
∴由此得抛物线y =x 2−1的大致图象如图所示，
观察函数图象可知：当x<−1或x>1时，y>0．
∴x2−1>0的解集是：x<−1或x>1．
【解析】【分析】
此题主要考查了二次函数与一元二次不等式，正确数形结合是解题关键．
(1)直接利用x2−2x−3≤0即y≤0得出对应的x的值；
(2)画出y=x2−1的函数图象，进而得出答案．
【解答】
解：(1)一元二次不等式x2−2x−3≤0的解集是：−1≤x≤3；
故答案为：−1≤x≤3；
(2)见答案．
21.【答案】解：(1)180；
(2)126°；
(3)列表如下：
甲乙丙丁
甲一(乙，甲)(丙，甲)(丁，甲)
乙(甲，乙)一(丙，乙)(丁，乙)
丙(甲，丙)(乙，丙)一(丁，丙)
丁(甲，丁)(乙，丁)(丙，丁)一
∵共有12种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有2种，
∴P(选中甲、乙)=2
12=1
6
，
所以恰好选中甲、乙两位同学的概率为1
6
．
【解析】【分析】
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
(1)根据跳水的人数和跳水所占的百分比即可求出这次被调查的学生数；
(2)用360°乘以篮球的学生所占的百分比即可；
(3)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中甲、乙两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】
解：(1)根据题意得：
54÷30%=180(人)，
答：这次被调查的学生共有180人；
故答案为：180；
(2)根据题意得：
360°×(1−20%−15%−30%)=126°，
答：扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为126°，
故答案为：126°；
(3)见答案．
22.【答案】解：(1)设y与x之间的函数表达式为y=kx+b(k≠0)，
将(60,1400)，(65,1300)代入y=kx+b得：{60k+b=1400
65k+b=1300，
解得：{k=−20
b=2600，
∴y与x之间的函数表达式为y=−20x+2600．
(2)依题意得：(x−50)(−20x+2600)=24000，
整理得：x2−180x+7700=0，
解得：x1=70，x2=110．
答：这种衬衫应定价为每件70元或110元．
【解析】(1)根据表格中的数据，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数表达式；
(2)利用总利润=每件的销售利润×销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：(1)利用待定系数法求出y与x之间的函数表达式；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23.【答案】(1)证明：∵GE//DF，
∴∠EGF=∠DFG．
∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，
∴∠DGF=∠DFG．
∴GD=DF．
∴DG=GE=DF=EF．
∴四边形EFDG为菱形．
(2)证明：如图1所示：连接DE，交AF于点O．
∵四边形EFDG为菱形，
∴GF⊥DE，OG=OF=1
2
GF．
∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，
∴△DOF∽△ADF．
∴DF AF =FO
DF
，即DF2=FO⋅AF．
∵FO=1
2
GF，DF=EG，
∴EG2=1
2
GF⋅AF．
(3)如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H．
∵EG2=1
2
GF⋅AF，AG=6，EG=25，
∴20=1
2
FG(FG+6)，整理得：FG2+6FG−40=0．解得：FG=4，FG=−10(舍去)．
∵DF=GE=25，AF=10，
∴AD=AF2−DF2=45．
∵GH⊥DC，AD⊥DC，
∴GH//AD．
∴△FGH∽△FAD．
∴GH AD =FG AF ，即GH 4 5=4
10．∴GH =8 55
．∴BE =AD−GH =4 5−8 55=12 55
． 【解析】本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到DF 2=FO ⋅AF 是解题答问题(2)的关键，依据相似三角形的性质求得GH 的长是解答问题(3)的关键．
(1)先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF =∠DFG ，从而得到GD =DF ，接下来依据翻折的性质可证明DG =GE =DF =EF ；
(2)连接DE ，交AF 于点O .由菱形的性质可知GF ⊥DE ，OG =OF =1
2GF ，接下来，证明△DOF ∽△ADF ，由相似三角形的性质可证明DF 2=FO ⋅AF ，于是可得到GE 、AF 、FG 的数量关系；
(3)过点G 作GH ⊥DC ，垂足为H .利用(2)的结论可求得FG =4，然后再△ADF 中依据勾股定理可求得AD 的长，然后再证明△FGH ∽△FAD ，利用相似三角形的性质可求得GH 的长，最后依据BE =AD−GH 求解即可．24.【答案】解：(1)①∵∠BAC =∠DAE ，
∴∠BAC−∠CAD =∠DAE−∠CAD ，
∴∠BAD =∠CAE ，
在△ABD 和△ACE 中，{
AB =AC
∠BAD =∠CAE AD =AE
，∴△ABD ≌△ACE ；②由①知，△ABD ≌△ACE ，
∴BD =CE ，
∴BC =BD +CD =CE +CD ；
(2)∵∠BAC =∠DAE ，
∴∠BAC +∠CAD =∠DAE +∠CAD ，
∴∠BAD =∠CAE ，
在△ABD 和△ACE 中，{
AB =AC
∠BAD =∠CAE AD =AE ，
∴△ABD ≌△ACE ；
∴BD =CE ，
∴BC =BD−CD =CE−CD ．
【解析】(1)先判断出∠BAD =∠CAE ，进而用SAS 判断出△ABD ≌△ACE ，即可得出结论；
(2)同(1)的方法即可得出结论．
此提是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判断和性质，判断出∠BAD =∠CAE 是解本题的关键．
25.【答案】解：(1)解方程组{y =−x +2y =1x 得{
x =1y =1，则带线”L 的顶点坐标为(1,1)，当x =0时，y =−x +2=2，则“路线”l 与y 轴的交点坐标为(0,2)，
根据题意”带线”L 经过点(0,2)，
设“带线”L 的解析式为y =a (x−1)2+1，
把(0,2)代入得a +1=2，解得a =1，
∴“带线”L 的解析式为y =(x−1)2+1，即y =x 2−2x +2；
(2)当x =0时，y =nx +1=1，则直线y =nx +1与y 轴的交点坐标为
(0,1)，
把(0,1)代入y =mx 2−2mx +m−1得m−1=1，解得m =2，
∴抛物线解析式为y =2x 2−4x +1，
∵y =(x−1)2−1，
∴抛物线的顶点坐标为(1,−1)，
把(1,−1)代入y =nx +1得n +1=−1，解得n =−2，
即m 、n 的值分别为2，−2；
(3)由(2)得A (0,1)，
作PA ⊥直线y =−2x +1交抛物线与P ，如图，
设直线PA 的解析式为y =12
x +t ，把A (0,1)代入得t =1，
∴直线PA 的解析式为y =12
x +1，解方程组{y =12x +1y =2x 2−4x +1得{x =0y =1或{x =94y =178，∴P 点坐标为(94,178).
【解析】(1)根据新定义，通过解方程组{y=−x+2
y=1
x
得带线”L的顶点坐标为(1,1)，再求出“路线”l与y轴的交点坐标为(0,2)，根据题意”带线”L经过点(0,2)，然后利用待定系数法求带线”L的解析式；
(2)先确定直线y=nx+1与y轴的交点坐标为(0,1)，利用新定义把(0,1)代入y=mx2−2mx+m−1可得
m=2，再利用二次函数的性质得到抛物线的顶点坐标为(1,−1)，
然后把顶点坐标代入y=nx+1中可得到n的值；
(3)由(2)得A(0,1)，作PA⊥直线y=−2x+1交抛物线与P，如图，利用两一次函数垂直一次项系数的关系
得到直线PA的解析式为y=1
2x+1，然后通过解方程组{y=12x+1
y=2x2−4x+1
得P点坐标．
本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和切线的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质．。