高考数学一轮复习 第8章 立体几何 第4讲 直线、平面平行的判定及性质课件

D．4
答案
解析 因为矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，所以 O 为 BD 的 中点．在△PBD 中，因为 M 为 PB 的中点，所以 OM 为△PBD 的中位线， OM∥PD，所以 PD∥平面 AMC，OM∥平面 PCD，且 OM∥平面 PDA.因为 M∈PB，所以 OM 与平面 PBA，平面 PBC 相交．
12/11/2021
证明 在直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，因为 BB1∥CC1，BB1⊂平面 BB1D，CC1⊄平面 BB1D，
所以 CC1∥平面 BB1D. 又因为 CC1⊂平面 CEC1，平面 CEC1 与平面 BB1D 交于 FG， 所以 CC1∥FG. 因为 BB1∥CC1，所以 BB1∥FG. 而 BB1⊂平面 AA1B1B，FG⊄平面 AA1B1B， 所以 FG∥平面 AA1B1B.
平行于同一条直线，则 α 与 β 可以平行也可以相交；若 α，β 垂直于同一平
面，则 α 与 β 可以平行也可以相交，故 A，C，D 均不是充要条件．根据平
面与平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面
平行，则这两个平面平行，反之也成立．因此 B 中的条件是 α∥β 的充要条
件．故选 B.
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解析
2
PART TWO
核心考向突破
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考向一 有关平行关系的判断
例 1 (1)(2019·福建厦门第二次质量检查)如图，在正 方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M，N，P 分别是 C1D1，BC， A1D1 的中点，则下列命题正确的是( )
A．MN∥AP B．MN∥BD1 C．MN∥平面 BB1D1D D．MN∥平面 BDP
∴O 是 AC 的中点，又 M 是 PC 的中点，∴AP∥OM.
又 MO⊂平面 BMD，PA⊄平面 BMD，
∴PA∥平面 BMD.
∵平面 PAHG∩平面 BMD＝GH，
且 PA⊂平面 PAHG，∴PA∥GH.
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解析
1．判断或证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点)． (2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)． (3)利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)． (4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)． 2．证明线线平行的 3 种方法 (1)利用平行公理(a∥b，b∥c⇒a∥c)． (2)利用线面平行的性质定理(a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b)． (3)利用面面平行的性质定理(α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b)．
一条直线与一个平
性质 定理
面平行，则过这条 直线的任一平面与 此平面的交线与该
直线平行
图形语言
符号语言 ⇒a∥b
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2．平面与平面平行 (1)判定定理
文字语言
图形语言
一个平面内的两条 07 __相__交__直__线____ 与 另 一 判定 个平面平行，则这两 定理 个 平 面 平 行 ( 简 记 为 “线面平行⇒面面平 行”)
A．直线 BQ∥平面 EFG B．直线 A1B∥平面 EFG C．平面 APC∥平面 EFG D．平面 A1BQ∥平面 EFG
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答案
解析 过点E，F，G的截面如图所示(其中H，I分 别为AA1，BC的中点)．
∵A1B∥HE，A1B⊄平面EFG，HE⊂平面EFG， ∴A1B∥平面EFG，故选B.
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解析 ①若直线与平面有两个公共点，由公理 1 可得直线在平面内， 故①正确；②若直线 l 上有无数个点不在平面 α 内，则 l∥α 或 l 与 α 相交， 故②错误；③若直线 l 与平面 α 相交，则 l 与平面 α 内的任意直线可能是异 面直线或相交直线，故③错误；④如果两条异面直线中的一条与一个平面 平行，则另一条直线可能与该平面平行或相交或在平面内，故④错误；⑤ 若直线 l 与平面 α 平行，则 l 与平面 α 内的直线无公共点，即平行或异面， 故⑤正确；⑥若平面 α∥平面 β，直线 a⊂α，直线 b⊂β，则 a∥b 或 a，b 异面，故⑥错误．
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解析 答案
精准设计考向，多角度探究突破
考向二 直线与平面平行的判定与性质
角度 1 用线线平行证明线面平行 例 2 (1)(2019·豫东名校联考)如图，在直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，E 为线段 AD 上的任意一点(不包 括 A，D 两点)，平面 CEC1 与平面 BB1D 交于 FG. 证明：FG∥平面 AA1B1B.
C．1
D．0
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答案
解析 若 a∥α，b⊂α，则 a 与 b 平行或异面，故①错误；若 a∥α，b ∥α，则 a 与 b 平行、相交或异面，故②错误；若 α∥β，a⊂α，则 a 与 β 没 有公共点，即 a∥β，故③正确；若 α∥β，a⊂α，b⊂β，则 a 与 b 无公共点， 得 a，b 平行或异面，故④错误．∴正确的个数为 1.故选 C.
第八章 立体几何 第4讲 直线、平面平行的判定及性
质
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1
PART ONE
基础知识整合
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1．直线与平面平行 (1)判定定理
文字语言 平面外一条直 线与此平面内 判定 的一条直线平 定理 行，则该直线 与此平面平行
图形语言
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符号语言 ⇒a∥α
(2)性质定理 文字语言
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解析 答案
2．(2019·全国卷Ⅱ)设 α，β 为两个平面，则 α∥β 的充要条件是( )
A．α 内有无数条直线与 β 平行
B．α 内有两条相交直线与 β 平行
C．α，β 平行于同一条直线
D．α，β 垂直于同一平面
解析 若 α∥β，则 α 内有无数条直线与 β 平行，反之不成立；若 α，β
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解析 答案
3．如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N， Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的 是( )
12/11/2021
答案
解析 A 项，作如图①所示的辅助线，其中 D 为 BC 的中点，则 QD∥ AB.∵QD∩平面 MNQ＝Q，∴QD 与平面 MNQ 相交，∴直线 AB 与平面 MNQ 相交．B 项，作如图②所示的辅助线，则 AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ. 又 AB⊄平面 MNQ，MQ⊂平面 MNQ，∴AB∥平面 MNQ.
因为 HM⊂平面 FGH，BD⊄平面 FGH，所以 BD∥平面 FGH. 证法二：在三棱台 DEF－ABC 中，由 BC＝2EF，H 为 BC 的中点，可 得 BH∥EF，BH＝EF， 所以四边形 HBEF 为平行四边形，BE∥HF.
12/11/2021
解析
在△ABC 中，因为 G 为 AC 的中点，H 为 BC 的中点， 所以 GH∥AB. 又因为 GH∩HF＝H，所以平面 FGH∥平面 ABED. 因为 BD⊂平面 ABED，所以 BD∥平面 FGH.
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答案
解析 取 B1C1 的中点为 Q，连接 MQ，NQ，由三角形中位线定理，得 MQ∥B1D1，∴MQ∥平面 BB1D1D，由四边形 BB1QN 为平行四边形，得 NQ ∥BB1，∴NQ∥平面 BB1D1D，∴平面 MNQ∥平面 BB1D1D，又 MN⊂平面 MNQ，∴MN∥平面 BB1D1D，故选 C.
12/11/2021
解析
例 3 如图所示，四边形 ABCD 是平行四边形，点 P
是平面 ABCD 外一点，M 是 PC 的中点，在 DM 上取一点
G，过 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH.
求证：AP∥GH.
证明 如图所示，连接 AC 交 BD 于点 O，连接 MO，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
12/11/2021
解析
解决有关线面平行、面面平行的基本问题的注意点 (1)判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的判定定理中， 条件“线在面外”易忽视．
(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断． (3)举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确．
12/11/2021
[即时训练] 1.(2019·安徽江南十校综合素质检测) 如图所示，正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，点 E，F，G， P，Q 分别为棱 AB，C1D1，D1A1，D1D，C1C 的中点．则 下列叙述中正确的是( )
解析
6．已知下列命题： ①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内； ②若直线 l 上有无数个点不在平面 α 内，则 l∥α； ③若直线 l 与平面 α 相交，则 l 与平面 α 内的任意直线都是异面直线； ④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该 平面相交； ⑤若直线 l 与平面 α 平行，则 l 与平面 α 内的直线平行或异面； ⑥若平面 α∥平面 β，直线 a⊂α，直线 b⊂β，则 a∥b. 上述命题正确的是___①__⑤___．
12/11/2021
解析
2．(2019·湖南联考)已知 m，n 是两条不同的直线，α，β，γ 是三个不同 的平面，下列命题中正确的是( )
A．若 m∥α，n∥α，则 m∥n B．若 m∥α，m∥β，则 α∥β C．若 α⊥γ，β⊥γ，则 α∥β D．若 m⊥α，n⊥α，则 m∥n
解析 A 中，两直线可能平行、相交或异面；B 中，两平面可能平行 或相交；C 中，两平面可能平行或相交；D 中，由线面垂直的性质定理可 知结论正确，故选 D.
12/11/2021
解析
5．如图，平面 α∥平面 β，△PAB 所在的平面与 α，
β 分别交于 CD，AB，若 PC＝2，CA＝3，CD＝1，则 AB 5
＝_____2___.
解析 ∵平面 α∥平面 β，∴CD∥AB，∴PPAC＝CADB， ∴AB＝PAP·CCD＝5×2 1＝52.
12/11/2021
12/11/2021
7．两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． 8．如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条 直线，那么这两个平面平行．
12/11/2021
1．已知直线 l 和平面 α，若 l∥α，P∈α，则过点 P 且平行于 l 的直线( ) A．只有一条，不在平面 α 内 B．只有一条，且在平面 α 内 C．有无数条，一定在平面 α 内 D．有无数条，不一定在平面 α 内 解析 过直线外一点作该直线的平行线有且只有一条，因为点 P 在平 面 α 内，所以这条直线也应该在平面 α 内．
12/11/2021
解析
4．如图所示，P 为矩形 ABCD 所在平面外一点，矩形对角线的交点为 O，
M 为 PB 的中点，给出下列五个结论：
①PD∥平面 AMC；
②OM∥平面 PCD；
③OM∥平面 PDA；
④OM∥平面 PBA；源自⑤OM∥平面 PBC.其中正确的个数是( )
A．1
B．2
C．3
12/11/2021
12/11/2021
符号语言 ⇒α∥β
(2)性质定理 文字语言
图形语言
如果两个平行平 面同时和第三个 性质 平面 13 _相__交___， 定理 那 么 它 们 的 14 __交__线__平行
符号语言 ⇒a∥b
12/11/2021
1．垂直于同一条直线的两个平面平行，即若 a⊥α，a⊥β，则 α∥β. 2．垂直于同一个平面的两条直线平行，即若 a⊥α，b⊥α，则 a∥b. 3．平行于同一个平面的两个平面平行，即若 α∥β，β∥γ，则 α∥γ. 4．两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平 面． 5．夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等． 6．经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
12/11/2021
解析
(2)(2019·广东揭阳期末)已知两条不同的直线 a，b，两个不同的平面 α，
β，有如下命题：
①若 a∥α，b⊂α，则 a∥b；
②若 a∥α，b∥α，则 a∥b；
③若 α∥β，a⊂α，则 a∥β；
④若 α∥β，a⊂α，b⊂β，则 a∥b.
以上命题正确的个数为( )
A．3
B．2
12/11/2021
解析
(2)(2019·山东日照模拟)如图，在三棱台 DEF－ABC 中，AB＝2DE，G， H 分别为 AC，BC 的中点．
求证：BD∥平面 FGH.
12/11/2021
证明 证法一：连接 DG，CD，设 CD∩GF＝M， 连接 MH.在三棱台 DEF－ABC 中，由 AB＝2DE，G 为 AC 的中点，可得 DF∥GC，DF＝GC，所以四边形 DFCG 为平行四边形，则 M 为 CD 的中点，又因为 H 为 BC 的 中点，所以 HM∥BD.