电动力学三一(矢势及其微分方程)

15 8
2a2
(z2 a2
)2
取A的旋度，得
B
A z
30Ia 2z
4(z2 a2 )5/ 2
1
O
z
2
2 a
2
45
BZ
1
(
A
)
4( z 2
0I a2 a2)3/2
1
2
z2 a2
15 a2 4(z2 a2
)
3
O
2
z2 a2
2
上式对任意z处的近轴场成立。若求 近原点处的场,z<<a ，可把上式再 对z/a展开，得
]
此式的适用范围是 2Ra sin R2 a2
包括远场 R a
和近轴场 Rsin a
44
我们计算近轴场。这种情况下用柱坐
标(,,z) 较为方便。展开式实际上是
对 2 /(z2 a2 ) 的展开式。 取至3项，有
A
(
,
z)
0Ia 2
4(z2 a2 )5/
2
1
3 2
2(z2 a2
)
B
30 Iz
4a 3
BZ
0I
2a
1
3 4a
(2z2
2 )
46
磁场边值关系可以化为矢势A的边值
关值系关，系对为于非铁磁介质， 矢势的边 n ( A2 A1 ) 0
n
(
1
2
A2
1
1
A1 )
26
上述边值关系式也可以用较简单的形式代替。
在分界面两侧取 一狭长回路，计
算A对此狭长回路
的积分。回路短 边长度趋于零
27
A dl ( A2t A1t )l
若我们要计算B(R,)到二级近似。则 A需要算到三级项。
43
A (R, )
4
0 Ia
R2 a2
d
'
cos
'
[
Ra
sin
R2
cos a2
'
5 2
R3a3 sin3 cos3
(R2 a2 )3
'
]
0 Ia
4
Ra sin
[(R2 a2 )3/2
15 8
R3a3 sin3
(R2 a2 )7/2
I dz
Az 4
. R2 z2
积分是发散的。 计算两点的矢 势差值可以免 除发散 。
36
I z
A(R)
A(R0 )
lim
M
4
ln
z
M
z2 R2
z 2 R02 M
lim
I
ln
1
1 R2 M 2 1
1 R02
M
2
M 4 1 1 R02 M 2 1 1 R2 M 2
第三章 静磁场
恒定电流所激发的静磁场
1
主要内容
矢势及其微分方程 磁标势 磁多极矩 阿哈罗夫－玻姆(Aharonov-Bohm)效应 超导体的电磁性质
2
§1 矢势及其微分方程
3
在给定的传导电流附近可能存在一些磁 性物质，在电流的磁场作用下，物质磁 化而出现磁化电流，它反过来又激发附 加的磁场。磁化电流和磁场互相约制。
线圈电流产生的
矢势为
A( x )
0 4
Idl r
40
用球坐标 (R,θ, ) ，由对称
性可知A只有分量，A只 依赖于R, θ,而与无关。因
此我们可以选定在xz面上的
一点P来计算，在该点上A = Ay 。取y分量。由于
dl y a cos 'd '
r x-x
R2
a2
2x
x
'
R2 a2 2Ra sin cos ' 41
B H ( A)H (A H ) A ( H )
(A H) AJ.
30
则
W
1 2
B
HdV
1 2
[
(
A
H
)
A
J ]dV
1 2
A
JdV
和静电情形一样，此式仅对总能量有意义，
不能把A J/2看作能量密度，因为我们知道
能量分布于磁场内，而不仅仅存在于电流分
布区域内。
31
在上式中，矢势A是电流分布J本身激发 的。如果我们要计算某电流分布J在给 定外磁场中的相互作用能量，以Ae表示 外磁场的矢势，Je表示产生该外磁场的 电流分布，则总电流分布为J+Je，总磁 场矢势为A+Ae。
则得
A
( R,
)
0 Ia 4
2
0
cos 'd ' R2 a2 2Ra sin cos '
上式的积分可用椭园积分表示。当
2Ra sin R2 a2
时，可以较简单的计算出近似结果。
42
把根式对
2Ra sin cos ' /(R2 a2 )
展开。在积分表达式中展开式的偶次项对 ’积分为零，因此只需保留奇次项。
另取一解
A' A
17
A’的散度为
A' A 2 u 2
取为泊松方程
2 u
的一个解，就得 证。对A所加的 辅助条件称为规 范条件。
18
2、矢势微分方程
在均匀线性介质内。把B=H和 B=A
代入式H=J ，得矢势A的微分方程
( A) J
19
由矢量分析公式
( A) ( A) 2 A.
由于回路面积趋于零，有
A dl B dS 0
因此 A2t A1t
28
若取规范A=0 ，可得
A2n A1n . ( A 0)
所以
A2
A1
即在两介质分 界面上，矢势A 是连续的。
29
4、静磁场的能量
பைடு நூலகம்
磁场的
总能量
W1
B HdV .
2
在静磁场中，可以用矢势和电流表示总
能 量 。由B= A
)dV
'
由于
A
4
Ae 4
,
Je
(rx '
)dV
'
,
r
因此电流J在外场Ae中的相互作
用能量为
Wi J AedV .
34
例1 无穷长直导线载 电流I，求磁场的矢势 和磁感应强度。
35
解 设P点到导线的垂直距离 为R,电流元Idz到P点的 距离为
利用 得
R2 z2
J
(
x
'
)dV
'
A( x) 4 r .
若取R0点的矢势为零，计算可得
A I ln R02 I ln R
4 R2
2
R0
37
取A的旋度得磁感应强度
I R
B
A
(
2
ln
R0
ez )
I R
(
2
ln
R0
) ez
I I 2R eR ez 2R e .
38
例2 半径为a的导线 园环载电流I ，求矢 势和磁感应强度
39
解
若取A满足规范条件A=0 ，得
矢势的微分方程
2 A J ( A 0)
20
A的每个直角分量Ai满足泊松方程
2 Ai Ji , (i 1,2,3)
形式与静电场的方程相同
2
21
对比静电场的解得矢势方J程( x的 '特)解dV '
A( x) 4 r .
式中x是源点, x’为场点， r为由x’到x的距离。上 式也是第一章中由毕奥 －萨伐尔定律导出的公 式
S1
S2
9
这正是B的无源性的表示。因 为是无源的，在S1和S2所包围 的区域内没有磁感应线发出，
也没有磁感应线终止，B线连 续的通过该区域，因而通过
曲面S1的磁通量必须等于通过 曲面S2的磁通量。这磁通量由 矢势A对S1或S2的边界的环量 表示。
dS1 L dS2
10
因此，矢势A的物理意义是它沿任一闭 合回路的环量代表通过以该回路为界 的任一曲面的磁通量。只有A的环量才 有物理意义，而每点上的值没有直接 的物理意义。
与解决静电学问题一样，求 微分方程边值问题的解。
4
1、矢势
恒定电流磁场的基本方程
Η J B 0
J是自由电流密度。上两式结合物质的电 磁性质方程是解磁场问题的基础。
5
由于特性上的显著差异，描述磁场和电 场的方法就有所不同。
静电场是有源无旋场，电场线从正电 荷出发而止于负电荷，永不闭合，可以 引入标势来描述。 静磁场则是有旋无源场，磁感应线总 是闭合曲线，一般可以引入另一个矢量 来描述。
恒为零，故有
( A ) A.
即A+与A对应于同一个磁场B。A的这种任 意性是由于只有A的环量才有物理意义，而 每点上的A本身没有直接的物理意义。
15
由A的这种任意性，为了方便，我们
可以对它加上一定的限制条件即辅
助条件
A 0
对于上式总可以找到一个A适合
16
证明：
设有某一解不满足上式 A u0
32
W 1 2
(J Je ) ( A Ae )dV
1 2
(J A J Ae Je A Je Ae )dV
此式减去J和Je分别单独存在时的能量之后， 得电流J在外场中的相互作用能
1
Wi 2 (J Ae Je A)dV . 33
J(
x
'
从毕奥萨伐尔定律 可以证明上式满足 规范条件，因此， 该式确实是微分方 程的解。
22
把磁场的散度和旋度作为基本规律，从
微分方程出发引入矢势A，由A的方程获
得特解，即可求得B。
B A
4
J(
x
'
)dV
'
r
(
1
)
J(
x
'
)dV
'
4
4
r Jr
r3
dV
'
23
过渡到线电流情形，设I为导线
11
例：设有沿 Z 轴方向的均匀磁场
Bx By 0 Bz B0 ,
其中B0为常量。
12
由定义式
Ay x
Ax y
B0 ,
Az Ay Ax Az 0 y z z x
13
有解
Az Ay 0,
Ax B0 y
另一解
Az Ax 0,
Ay B0 x
14
因为任意函数的梯度和旋度
6
根据矢量分析的定理 若 B 0
则B可表为另一矢量的旋度 B A A称为磁
场的矢势
7
矢势A的意义：
把B对任一个以回路L为边界的曲面S积分
SB dS S A dS LA dl .
通过曲面S
的磁通量
8
dS1
L
设S1和S2是两个 有共同边界L的
曲面，则
dS2
B dS B dS.
上的电流强度，作代换
JdVIdl，得
Idl r
B 4 r 3
这就是毕奥－萨伐尔定律。
24
3、矢势边值关系
当全空间的电流分布J给定时，可 以计算磁场。对于电流和磁场互 相制约的问题，则必须解矢势微 分方程的边值问题。
25
在两介质分界 面上磁场的边 值关系为
n
(
B2
B1
)
0
n(H2 H1)