第二章 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义

2．2.3 向量数乘运算及其几何意义
学习目标 1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题．
知识点一 向量数乘的定义
实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，其长度与方向规定如下： (1)|λa |＝|λ||a |.
(2)λa (a ≠0)的方向⎩
⎪⎨⎪⎧
当λ>0时，与a 方向相同；
当λ<0时，与a 方向相反.
特别地，当λ＝0或a ＝0时，0a ＝0或λ0＝0. 知识点二 向量数乘的运算律 1．λ(μa )＝(λμ)a . 2．(λ＋μ)a ＝λa ＋μa . 3．λ(a ＋b )＝λa ＋λb . 知识点三 向量共线定理 1．向量共线定理
向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa . 2．向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a ，b ，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝λμ1a ±λμ2b . 思考 共线向量定理中为什么规定a ≠0?
答案 若将条件a ≠0去掉，即当a ＝0时，显然a 与b 共线． (1)若b ≠0，则不存在实数λ，使b ＝λa . (2)若b ＝0，则对任意实数λ，都有b ＝λa .
1．若向量b 与a 共线，则存在唯一的实数λ使b ＝λa .( × ) 提示 当b ＝0，a ＝0时，实数λ不唯一． 2．若b ＝λa ，则a 与b 共线．( √ ) 提示 由向量共线定理可知其正确．
3．若λa ＝0，则a ＝0.( × ) 提示 若λa ＝0，则a ＝0或λ＝0.
题型一 向量的线性运算
例1 (1)3(6a ＋b )－9⎝⎛⎭⎫a ＋1
3b ＝________. 考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算 答案 9a
解析 3(6a ＋b )－9⎝⎛⎭⎫a ＋1
3b ＝18a ＋3b －9a －3b ＝9a . (2)若3(x ＋a )＋2(x －2a )－4(x －a ＋b )＝0，则x ＝______. 考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算 答案 4b －3a
解析 由已知得3x ＋3a ＋2x －4a －4x ＋4a －4b ＝0， 所以x ＋3a －4b ＝0，所以x ＝4b －3a . 反思感悟 向量线性运算的基本方法
(1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数．
(2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算． 跟踪训练1 计算：(a ＋b )－3(a －b )－8a . 考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算
解 (a ＋b )－3(a －b )－8a ＝(a －3a )＋(b ＋3b )－8a ＝－2a ＋4b －8a ＝－10a ＋4b .
题型二 向量共线的判定及应用
命题角度1 判定向量共线或三点共线 例2 已知非零向量e 1，e 2不共线．
(1)若a ＝12e 1－1
3e 2，b ＝3e 1－2e 2，判断向量a ，b 是否共线．
考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理判定向量共线 解 ∵b ＝6a ，∴a 与b 共线．
(2)若AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →
＝3(e 1－e 2)，求证：A ，B ，D 三点共线． 考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理判定三点共线
证明 ∵AB →＝e 1＋e 2，BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →
， ∴AB →，BD →
共线，且有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．
反思感悟 (1)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线．
(2)利用向量共线定理证明三点共线，一般先任取两点构造向量，从而将问题转化为证明两向量共线，需注意的是，在证明三点共线时，不但要利用b ＝λa (a ≠0)，还要说明向量a ，b 有公共点．
跟踪训练2 已知非零向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝e 1＋2e 2，BC →＝－5e 1＋6e 2，CD →
＝7e 1－2e 2，则共线的三个点是________． 考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理判定三点共线 答案 A ，B ，D
解析 ∵AB →＝e 1＋2e 2，BD →＝BC →＋CD → ＝－5e 1＋6e 2＋7e 1－2e 2＝2(e 1＋2e 2)＝2AB →
， ∴AB →，BD →
共线，且有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．
命题角度2 利用向量共线求参数值
例3 已知非零向量e 1，e 2不共线，欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定k 的值． 考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理求参数 解 ∵k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线， ∴存在实数λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)， 则(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2，
由于e 1与e 2不共线，只能有⎩
⎪⎨⎪⎧
k －λ＝0，
λk －1＝0，
∴k ＝±1.
反思感悟 利用向量共线定理，即b 与a (a ≠0)共线⇔b ＝λa ，既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值．
跟踪训练3 设两个不共线的向量e 1，e 2，若a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，c ＝2e 1－9e 2，问是否存在实数λ，μ，使d ＝λa ＋μb 与c 共线？ 考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理求参数 解 d ＝λ(2e 1－3e 2)＋μ(2e 1＋3e 2) ＝(2λ＋2μ)e 1＋(3μ－3λ)e 2，
要使d 与c 共线，则存在实数k ，使得d ＝k c ， 即(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2＝2k e 1－9k e 2. 因为e 1与e 2不共线，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧
2λ＋2μ＝2k ，
－3λ＋3μ＝－9k ，得λ＝－2μ.
故存在实数λ和μ，使得d 与c 共线，此时λ＝－2μ. 题型三 用已知向量表示其他向量
例4 在△ABC 中，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →
等于( ) A.13AC →＋23AB → B.53AB →－23AC →
C.23AC →－13
AB → D.23AC →＋13
AB → 考点 向量共线定理及其应用 题点 用已知向量表示未知向量 答案 D
解析 示意图如图所示，
由题意可得AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →
＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23
AC →.
跟踪训练4 如图所示，四边形OADB 是以向量OA →＝a ，OB →
＝b 为邻边的平行四边形．又BM
＝13BC ，CN ＝13
CD ，试用a ，b 表示OM →，ON →，MN →.
考点 向量共线定理及其应用 题点 用已知向量表示未知向量
解 因为BM →＝13BC →＝16BA →＝16(OA →－OB →)＝1
6(a －b )，
所以OM →＝OB →＋BM →
＝b ＋16a －16b ＝16a ＋56b .
因为CN →＝13CD →＝16OD →，
所以ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD →
＝23OD →＝23(OA →＋OB →)＝2
3
(a ＋b )． MN →＝ON →－OM →＝2
3(a ＋b )－16a －56b ＝12a －16
b .
向量的综合应用
典例 如图，设O 是△ABC 内一点，且满足OA →＋2OB →＋3OC →
＝0，则△ABC 与△AOC 的面积之比为________．
答案 3
解析 如图所示，分别取BC ，AC 边的中点D ，E ，
则OB →＋OC →＝2OD →
，① OA →＋OC →＝2OE →
，② 由①×2＋②可得
OA →＋2OB →＋3OC →＝2(2OD →＋OE →)．
又因为OA →＋2OB →＋3OC →
＝0， 所以2OD →＋OE →＝0，即OE →＝－2OD →， 所以OD →，OE →共线，且|OE →|＝2|OD →|.
所以S △AOC ＝2S △COE ＝2×23S △CDE ＝2×23×14S △ABC ＝1
3S △ABC ，所以S △ABC S △AOC
＝3.
[素养评析] 本题主要考查向量共线条件的应用，解题时需充分利用好几何图形，借助几何直观使问题得解，这正体现了数学中直观想象的核心素养.
1．下列各式计算正确的有( ) (1)(－7)6a ＝－42a ； (2)7(a ＋b )－8b ＝7a ＋15b ； (3)a －2b ＋a ＋2b ＝2a ； (4)4(2a ＋b )＝8a ＋4b .
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算 答案 C
解析 (1)(3)(4)正确，(2)错，7(a ＋b )－8b ＝7a ＋7b －8b ＝7a －b . 2．在△ABC 中，M 是BC 的中点，则AB →＋AC →
等于( ) A.12
AM → B.AM → C ．2AM → D.MA → 考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算 答案 C
解析 如图，作出平行四边形ABEC ，因为M 是BC 的中点，所以M 也是AE 的中点，
由题意知，AB →＋AC →＝AE →＝2AM →
，故选C.
3．设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量m ＝－e 1＋k e 2 (k ∈R )与向量n ＝e 2－2e 1共线，则( ) A ．k ＝0
B ．k ＝1
C ．k ＝2
D ．k ＝1
2
考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理求参数 答案 D
解析 当k ＝12时，m ＝－e 1＋1
2e 2，n ＝－2e 1＋e 2.
∴n ＝2m ，此时m ，n 共线．
4．已知P ，A ，B ，C 是平面内四点，且P A →＋PB →＋PC →＝AC →
，则下列向量一定共线的是( ) A.PC →与PB → B.P A →与PB → C.P A →与PC →
D.PC →与AB →
考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理判定向量共线 答案 B
解析 因为P A →＋PB →＋PC →＝AC →
， 所以P A →＋PB →＋PC →＋CA →
＝0， 即－2P A →＝PB →，所以P A →与PB →
共线．
5.如图所示，已知AP →＝43
AB →，用OA →，OB →表示OP →
.
考点 向量共线定理及其应用 题点 用已知向量表示未知向量 解 OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋43AB →
＝OA →＋43(OB →－OA →
)＝－13OA →＋43
OB →.
1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a ，λ－a 是没有意义的． 2．λa 的几何意义就是把向量a 沿着a 的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．向量a
|a |表示
与向量a 同向的单位向量．
3．向量共线定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题．
一、选择题
1．下列说法中正确的是( ) A ．λa 与a 的方向不是相同就是相反 B ．若a ，b 共线，则b ＝λa C ．若|b |＝2|a |，则b ＝±2a D ．若b ＝±2a ，则|b |＝2|a | 考点 向量数乘的定义及运算 题点 向量数乘的定义及几何意义 答案 D
解析 显然当b ＝±2a 时，必有|b |＝2|a |. 2．3(2a －4b )等于( ) A ．5a ＋7b B ．5a －7b C ．6a ＋12b
D ．6a －12b
考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算 答案 D
解析 利用向量数乘的运算律，可得3(2a －4b )＝6a －12b ，故选D.
3．已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋2b ，AC →
＝a ＋(λ－1)b ，且A ，B ，C 三点共线，则实数λ的值为( ) A ．－1 B ．2 C ．－2或1
D ．－1或2
考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理求参数 答案 D
解析 因为A ，B ，C 三点共线， 所以存在实数k 使AB →＝kAC →
. 因为AB →＝λa ＋2b ，AC →
＝a ＋(λ－1)b ， 所以λa ＋2b ＝k [a ＋(λ－1)b ]．
因为a 与b 不共线，所以⎩
⎪⎨⎪
⎧
λ＝k ，2＝k (λ－1)，
解得λ＝2或λ＝－1.
4．如图，△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，DC →＝3BD →，AE →＝2EC →，则DE →
等于( )
A ．－13a ＋34b
B.512a －34b
C.34a ＋13
b D ．－34a ＋512
b
考点 向量共线定理及其应用 题点 用已知向量表示未知向量 答案 D
解析 DE →＝DC →＋CE →＝34BC →
＋⎝⎛⎭⎫－13AC → ＝34(AC →－AB →)－13AC →＝－34AB →＋512AC →
＝－34a ＋5
12b ，
故选D.
5.如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 是半圆弧AB 上的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →
等于( )
A ．a －1
2b
B.1
2a －b C ．a ＋1
2
b
D.1
2
a ＋
b 考点 向量共线定理及其应用 题点 用已知向量表示未知向量 答案 D
解析 连接CD ，OD ，如图所示．
∵点C ，D 是半圆弧AB 上的两个三等分点， ∴AC ＝CD ，∠CAD ＝∠DAB
＝1
2
×60°＝30°. ∵OA ＝OD ，∴∠ADO ＝∠DAO ＝30°. 由此可得∠CAD ＝∠ADO ＝30°，∴AC ∥DO . 由AC ＝CD ，得∠CDA ＝∠CAD ＝30°， ∴∠CDA ＝∠DAO ，∴CD ∥AO ， ∴四边形ACDO 为平行四边形， ∴AD →＝AO →＋AC →＝12AB →＋AC →＝1
2
a ＋
b .
6．已知m ，n 是实数，a ，b 是向量，则下列说法中正确的是( ) ①m (a －b )＝m a －m b ；②(m －n )a ＝m a －n a ； ③若m a ＝m b ，则a ＝b ；④若m a ＝n a ，则m ＝n . A ．②④ B ．①② C ．①③ D ．③④ 考点 向量数乘的定义及运算 题点 向量数乘的运算及运算律 答案 B
解析 ①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确；③中，若m ＝0，则不能推出a ＝b ，错误；④中，若a ＝0，则m ，n 没有关系，错误．
7．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →
等于( ) A.14a ＋12b B.13a ＋2
3b C.12a ＋14
b D.23a ＋13
b 考点 向量共线定理及其应用 题点 用已知向量表示未知向量 答案 D
解析 ∵△DEF ∽△BEA ， ∴
DF AB ＝DE EB ＝13，∴DF ＝1
3
AB ， ∴AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋13
AB →.
∵AC →＝AB →＋AD →＝a ，BD →＝AD →－AB →
＝b ， 联立得AB →＝12(a －b )，AD →＝1
2(a ＋b )，
∴AF →＝1
2(a ＋b )＋16(a －b )＝23a ＋13
b .
二、填空题
8．(a ＋9b －2c )＋(b ＋2c )＝________.
考点 向量的线性运算及应用
题点 向量的线性运算
答案 a ＋10b
9．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________.
考点 向量共线定理及其应用
题点 利用向量共线定理求参数
答案 12
解析 ∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，
又∵向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，
使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，
则⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12. 10．在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝________.(用a ，b
表示)
考点 向量共线定理及其应用
题点 用已知向量表示未知向量
答案 14b －14
a 解析 如图，
MN →＝MB →＋BA →＋AN →＝－12b －a ＋34
AC → ＝－12b －a ＋34(a ＋b )＝14b －14
a . 11．若非零向量a 与
b 不共线，k a ＋2b 与3a ＋k b 共线，则实数k 的值为________． 考点 向量共线定理及其应用
题点 利用向量共线定理求参数
答案 ±6
解析 ∵k a ＋2b 与3a ＋k b 共线，
∴存在实数λ，使得k a ＋2b ＝λ(3a ＋k b )，
∴(k －3λ)a ＋(2－λk )b ＝0，
∴(k －3λ)a ＝(λk －2)b .
∵a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧
k －3λ＝0，λk －2＝0，∴k ＝±6. 12．如图，在△ABC 中，延长CB 到D ，使BD ＝BC ，当点E 在线段AD 上移动时，若AE →＝λAB
→＋μAC →，则t ＝λ－μ的最大值是________．
考点 向量共线定理及其应用
题点 向量共线定理在平面几何中的应用
答案 3
解析 设AE →＝kAD →，0≤k ≤1，则AE →＝k (AC →＋2CB →)＝k [AC →＋2(AB →－AC →)]＝2kAB →－kAC →，
∵AE →＝λAB →＋μAC →，且AB →与AC →不共线，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝2k ，μ＝－k ，∴t ＝λ－μ＝3k . 又0≤k ≤1，∴当k ＝1时，t 取最大值3.
故t ＝λ－μ的最大值为3.
三、解答题
13．计算：
(1)6(3a －2b )＋9(－2a ＋b )；
(2)12⎣
⎡⎦⎤(3a ＋2b )－23a －b －76⎣⎡⎦⎤12a ＋37⎝⎛⎭⎫b ＋76a ； (3)6(a －b ＋c )－4(a －2b ＋c )－2(－2a ＋c )．
考点 向量的线性运算及应用
题点 向量的线性运算
解 (1)原式＝18a －12b －18a ＋9b ＝－3b .
(2)原式＝12⎝
⎛⎭⎫3a －23a ＋2b －b －76⎝⎛⎭⎫12a ＋12a ＋37b ＝12⎝⎛⎭⎫73
a ＋
b －76⎝⎛⎭⎫a ＋37b ＝76a ＋12b －76a －12
b ＝0. (3)原式＝6a －6b ＋6
c －4a ＋8b －4c ＋4a －2c
＝(6a －4a ＋4a )＋(8b －6b )＋(6c －4c －2c )
＝6a ＋2b .
14．在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别是DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，
d 表示AB →和AD →.
考点 向量的线性运算及应用
题点 用已知向量表示未知向量
解 如图，设AB →＝a ，AD →＝b .
∵M ，N 分别是DC ，BC 的中点，
∴BN →＝12b ，DM →＝12
a . ∵在△ADM 和△ABN 中，
⎩⎪⎨⎪⎧
AD →＋DM →＝AM →，AB →＋BN →＝AN →， 即⎩⎨⎧ b ＋12a ＝c ，
①a ＋12b ＝d . ②
①×2－②，得b ＝23
(2c －d )， ②×2－①，得a ＝23
(2d －c )． ∴AB →＝43d －23c ，AD →＝43c －23
d .
15．已知在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，求证：四边形ABCD
为梯形．
考点 向量共线定理及其应用
题点 向量共线定理在平面几何中的应用
证明 如图所示．
∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →
＝(a ＋2b )＋(－4a －b )＋(－5a －3b )
＝－8a －2b ＝2(－4a －b )，
∴AD →＝2BC →.
∴AD →与BC →共线，且|AD →|＝2|BC →|.
又∵这两个向量所在的直线不重合，
∴AD ∥BC ，且AD ＝2BC .
∴四边形ABCD 是以AD ，BC 为两条底边的梯形．。