八年级数学上册第十二章全等三角形12.2三角形全等的判定12.2.4“HL”备课资料教案新人教版(

2018年秋八年级数学上册第十二章全等三角形12.2 三角形全等的判定12.2.4“HL”备课资料教案（新版）新人教版
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第十二章 12.2。

4“HL”
知识点1：斜边、直角边定理（HL）
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL"）关键提醒:1。

“HL”这个结论是直角三角形特有的判定方法，对于一般的三角形不适用.因此，在应用“HL”证明两个三角形全等,一定要指出两个三角形是直角三角形，或指出含有90°的角。

2。

对于直角三角形证明全等的方法有五种:SSS、SAS、ASA、AAS和HL。

3. 在直角三角形中，若已知两条边对应相等时,这样的两个三角形一定是全等的.
知识点2:灵活地选择三角形全等的条件
一般三角形的全等方法的证明有四个:SSS、SAS、ASA、AAS.而对于直角三角形则还有HL.选择合适的判定方法,可以使证明过程简化。

归纳整理:(1）根据提供的不同的已知条件，证明两个三角形全等通常有以下四种思路:
(2）当两个三角形是直角三角形时,则首先考虑HL能否证明全等。

（3)已知两边和一边的对角不能判定两个三角形全等，即SSA不能判定两个三角形全等.
（4）三个角对应相等的两个三角形也不一定全等.
考点1:利用“HL”证明两个三角形全等
【例1】如图,AC=AD,∠C=∠D=90°,求证：BC=BD。

证明:在Rt△ABC和Rt△ABD中,
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL).
∴BC=BD(全等三角形的对应边相等)。

点拨:本题条件中已知两三角形为直角三角形,可考虑利用HL证明。

考点2：灵活选择方法证明三角形全等
【例2】如图,两个大小相同且含30°角的三角板ABC和DEC如图(1)摆放,使直角顶点重合。

将图(1)中△DEC绕点C逆时针旋转30°得到图（2）,点F、G分别是CD、DE与AB的交点，点H是DE与AC的交点。

（1)不添加辅助线，写出图（2)中所有与△BCF全等的三角形;
（2)将图（2）中的△DEC绕点C逆时针旋转45°得△D1E1C,点F、G、H的对应点分别为F1、G1、H1,如图(3)。

探究线段D1F1与AH1之间的数量关系，并写出推理过程;
（3）在(2）的条件下,若D1E1与CE交于点I,求证:G1I=CI。

（1） (2) （3）
解:（1）图(2)中与△BCF全等的有△GDF、△GAH、△ECH。

(2）D1F1=AH1。

证明如下∵∠A=∠D1=30°，CA=CD1，∠F1CA=∠H1CD1，
∴△AF1C ≌△D1H1C.∴F1C=H1C。

又CD1=CA，∴CD1—F1C=CA-H1C，即D1F1=AH1。

(3）如图,连接CG1。

在△D1G1F1和△AG1H1中,
∵∠D1=∠A，∠D1G1F1=∠AG1H1，D1F1=AH1，
∴△D1G1F1≌△AG1H1。

∴G1F1=G1H1.
又H1C=F1C,G1C=G1C，∴△CG1F1≌△CG1H1.∴∠1=∠2.∵∠B=60°,∠BCF=30°，∴∠BFC=90°。

又∠DCE=90°,∴∠BFC=∠DCE.∴BA∥CE.
∴∠1=∠3。

∴∠2=∠3.∴G1I=CI。

点拨:(1)本题要结合直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半,以及ASA判定三角形全等的方法解决；（2)首先根据ASA证明△AF1C ≌△D1H1C，然后再根据全等三角形的性质得到线段相等，进而求解。

（3)首先根据AAS证明三角形全等,然后再依据全等三角形的性质和三角形中各角之间的关系求解.
考点3：利用全等三角形证两直线平行与垂直
【例1】如图，已知:点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AC=DF。

能否由上面的已知条件证明AB∥ED？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中,使AB∥ED成立，并给出证明。

供选择的三个条件(请从其中选择一个):
①AB=DE;②BC=EF;③∠ACB=∠DFE.
解：由上面两条件不能证明AB∥ED.有两种添加方法。

第一种：FB=CE，AC=DF，添加①AB=D E。

证明如下：因为FB=CE，所以BC=EF,又AC=DF,AB=DE,所以△ABC≌△DEF（SSS).所以∠ABC=∠DEF，所以AB∥ED。

第二种：FB=CE,AC=DF,添加③∠ACB=∠DFE.
证明如下：因为FB=CE,所以BC=EF，又∠ACB=∠DFE,AC=DF,所以△ABC≌△DEF(SAS).所以∠ABC=∠DEF,所以AB∥ED.
点拨：两直线平行的判定方法是“同位角相等，两直线平行"或“内错角相等,两直线平行”或“同旁内角互补,两直线平行”,因此在本题中,要使AB∥ED，只需证∠ABC=∠DEF，这可化归
为证“全等三角形的对应角相等"，而题中给出全等的两个条件后，尚缺一个条件，通过题中给出的条件,添加一个，可以满足SSS或SAS,问题便可以解决了。

考点4：利用全等三角形证线段之间的和差关系
【例4】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE,BE⊥AE,延长AE交BC的延长线于点F.求证:
（1）FC=AD;
（2)AB=BC+AD.
证明：(1)因为E是CD的中点,所以DE=CE。

因为AD∥BC，所以∠ADE=∠FCE,∠DAE=∠CFE.
所以△ADE≌△FCE.所以FC=AD。

（2)因为△ADE≌△FCE,所以AE=FE.又因为BE⊥AE,
所以在△ABE和△FBE中，
所以△ABE≌△FBE,所以AB=FB。

因为FB=BC+FC=BC+AD。

所以AB=BC+AD.
点拨：当题中出现“平行+中点"的条件时,根据“AAS”或“SAS"定理容易证得全等三角形,从而得到相等的角或边;欲证一线段等于另两线段之和,可通过“延长”的方法将所证两线段合为一线段，再证其与另一线段相等,当然,也可利用“截取”的方法将最长线段一分为二,分别等于另外两线段。