电路 相量法ppt课件
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20
加一个小圆点是用来和普通的复数相区别(强调它与正 弦量的联系)，同时也改用“相量”，而不用“向量”， 是因为它表示的不是一般意义的向量，而是表示一个正弦 量。 同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
u(t) 2U cos(wt ) U U
例1. 已知 i 141.4cos(314t 30o )A
测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。
*注意 区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。
i , Im , I 12
8. 3 正弦量的相量表示
一、复数及运算
1. 复数A表示形式： F=a+jb
j 1
Im
Im
b
F
b
F
|F|
O
a Re
O
a Re
F a jb
F | F |
I
1 T
T 0
I
2 m
cos
2
(
wt
) dt
def
I
1 T i 2 (t )dt
T0
T cos2( wt
) dt
T 1 cos 2(wt
) dt 1 t
T
1 T
0
0
2
20 2
I
1 T
Im2
T 2
Im 2
0.707Im
Im 2I
或
a | F | cos
b | F | sin
a
a Re
2. 复数运算 (1)加减运算——直角坐标
若 F1=a1+jb1， F2=a2+jb2 则 F1±F2=(a1±a2)+j(b1±b2) 加减法可用图解法。
Im F2
F1+F2
F1
O
Re
F1-F2
14
(2) 乘除运算——极坐标
u2(t) 4 2cos(314t 60o ) V
U 2 460o V
U U1 U 2 630 460 5.19 j3 2 j3.46
7.19 j6.46 9.6441.9o V
u(t ) u1(t ) u2 (t ) 9.64 2cos(314t 41.9o ) V
(1) 同频率正弦量相加减
u1(t)
2 U1 cos(wt 1) Re(
2
U
1
e
jwt
)
u2(t)
2 U2 cos(wt 2) Re(
2
U
2
e
jwt
)
u(t) u1(t) u2(t) Re(
2
U
1
e
jwt
)
Re
(
2
U
2
e
jwt
)
Re(
2U1
ห้องสมุดไป่ตู้
e
| F | e j | F | (cos j sin ) a jb
F | F | e j | F |
13
两种表示法的关系： F=a+jb
F=|F|ej =|F|
Im
直角坐标表示 b |F|
F
极坐标表示
O
| F |
a2 b2
θ arctg b
15
例2. 220 35 (17 j9) (4 j6) ? 20 j5
解：上式
180.2
j126.2
19.2427.9 7.21156.3 20.6214.04
180.2 j126.2 6.72870.16
180.2 j126.2 2.238 j6.329
第八章 相量法
重点： 正弦量的三要素、相位差 正弦量的相量表示 电路定律的相量表示形式 相量图
1
8. 1 正弦量的基本概念
一、 正弦量：按正弦规律变化的电压或电流。
i +u 波形：
_
瞬时值表达式： i(t)=Imcos(w t+ )
iT
Im
O
wt
二、正弦量的三要素：
(1) 幅值 (amplitude) (振幅、 最大值)Im
反映正弦量变化幅度的大小。
2
iT
i(t)=Imcos(w t+ )
O
wt
(2) 角频率(angular frequency)w
w t+ 称为正弦量的相位或相角。
w d(wt i )
dt
w ：正弦量的相位随时间变化的角速度。
反映正弦量变化的快慢。
周期T ：重复变化一次所需的时间。 单位：s，秒
相量旋转一周回到初始位置， w t 从0~2。
2 I e jwt 2Ie je jwt 2Ie j(wt )是 模为 2I , 初 始角 度
为 的旋转相量,其旋转一周在实轴上的投影即为正弦 电流 i 2 I cos(wt )。
+1
i
w
φ +j 2I
O
O
t
23
2. 相量运算
i(t ) Im cos(wt ) 2I cos(wt )
11
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
U
1 2 Um
或
U m 2U
若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um311V；
U=380V，
Um537V。
工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌 额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是 最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值 考虑。
j
2
2
2
,
j
e2
cos(
)
j sin(
)
j
I
2
2
2
0
Re
j I
, e j cos( ) j sin( ) 1
ej/2 =j , e-j/2 = -j, ej= –1 故 +j, –j, -1 都可以 看成旋转因子。
182.5 j132.5 225.536
(3) 旋转因子：
复数 ej =cos +jsin =1∠
F• ej 相当于F逆时针旋转一个角度 ，而模不变。故
把 ej 称为旋转因子。
16
几种不同 值时的旋转因子：
Im
j I
I
,
j
e2
cos
j sin
U
I
i(t) 2Icos(ω t ) I I u(t) 2Ucos(wt θ) U Uθ
22
我们用旋转向量和一个正弦量对应看看它的几何意义：
ejw t 为一模为1、幅角为w t 的相量。随t的增加，模不变，
而幅角与t成正比，可视其为一旋转相量，当t从0~T时，
jwt
2
U
2
e
jwt
)
Re(
2
(U
1
U
2
)e
jwt
)
可得其相量关系为： U U1 U 2
U
故同频的正弦量的加减运算就变成对应的相量的加减运算。
i1 i2 = i3
I1 I2 I3
24
例．u1(t) 6 2cos(314t 30 ) V
U1 630o V
9
i(t) R
I R
W1
T i 2 (t )Rdt
0
W2=I 2RT
I 2 RT T i 2 (t )Rdt 0
I 1 T i 2 (t )dt
T0
同样，可定义电压有效值：
def
U
1 T u2 (t )dt
T0
10
2. 正弦电流、电压的有效值
设 i(t)=Imcos(w t+ )
频率f ：每秒重复变化的次数。 单位：Hz，赫(兹)
wT 2
w 2 f 2 T 单位： rad/s，弧度 / 秒 3
iT
i(t)=Imcos(w t+ )
O
wt
(3) 初相位(initial phase angle)
(w t+ ) 大小决定该时刻正弦量的值。当t=0时，相位 角(wt+ )= ，故称 为初相位角，简称初相位。
同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。相量 图在正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析。
Im
U 2
U
U 1
41.9
60 30
Re
U
Im
U 2
首
U 1
60 尾 相
41.9 接
30
Re
25
= /2：u 领先 i 于/2, 不说 u 落后 i于3/2；
i 落后 u于/2, 不说 i 领先 u于3/2。
同样可比较两个电压或两个电流的相位差。
8
8. 2 周期性电流、电压的有效值
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其大小 工程上采用有效值来表示。
1. 周期电流、电压有效值(effective value)定义 电流有效值定义为：
def
I
1 T i 2 (t )dt
T0
瞬时值的平方在一个周期内积分的平均值再取平方根。
有效值也称均方根值(root-meen-square，简记为 rms。) 物理意义：周期性电流 i 流过电阻 R，在一周期T 内吸收的
电能，等于一直流电流I 流过R , 在时间T 内吸 收的电能，则称电流 I 为周期性电流 i 的有效值。
17
二、正弦量的相量表示
两个正弦量 i1 2 I1 cos(wt 1 ) i2
u, i
角频率：
i1
w
i1
i2
w
有效值：
I1
i2 I2
初相位：
1O
2
2 I2 cos(wt 2 )
i13+i2 i3
w
I3
wt 3
无论是波形图逐点相加，或用三角函数做都很繁。
因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只
F2 | F2 |θ2 | F2 | ejθ2 | F2 |
| F2 |
θ1 θ2
例1. 547 10 25 ?
除法：模相除，角相减。
解: 547 10 25 (3.41 j3.657) (9.063 j4.226)
12.47 j0.569 12.48 2.61
i
O
u <0 i <0 wt
<0， i 领先(超前) u，或u 落后(滞后) i (i 先到达最大值)。
6
特殊相位关系：
u, i
=0， 同相：
O
u, i
= (180o ) ，反相：
O
规定： | | (180°)。
u i
wt
u
iw t
7
u, i u i
O
wt
若 F1=|F1| 1 ，若F2=|F2| 2
则:
F1 F2
F1 e j1
F2 e j2
F1
F e j(1 2 ) 2
F1
F2 1 2
乘法：模相乘，角相加。
F1 | F1 |θ1 | F1 | ejθ1 | F1 | ej(θ1θ2 ) | F1 |
反映了正弦量的计时起点。
4
同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。
i =/2 =-/2
一般规定：| | 。
O
t
=0 =
对于一个正弦量来说，初相可以任意指定，但对 于一个电路中有许多相关的正弦量，它们只能相对于一 个共同的计时起点来确定每个正弦量的初相。
5
三、同频率正弦量的相位差 (phase difference)
2Ie j e jwt
2 I e jwt
复常数
F(t)包含了三要素：I、 、w ，复常数包含了I , 。
称
I I
为正弦量 i(t) 对应的相量。
i(t) 2I cos(wt ) I I
相量的模表示正弦量的有效值 正弦量的相量表示: 相量的幅角表示正弦量的初相位
u 311.1cos(314t 60o )V
试用相量表示i, u .
解：
I
10030o
A
U 220 60o V
21
例2.
已知I 5015 A,
f 50Hz .
试写出电流的瞬时值表达式。
解： i 50 2cos(314t 15 ) A
相量图(相量和复数一样可以在平面上用向量表示)：
没有物理意义 若对F(t)取实部：
Re[F (t)] 2Icos(ωt )
是一个正弦量，有物理意义。 对于任意一个正弦时间函数都可以找到唯一的与其对 应的复指数函数：
i 2Icos(wt ) Re[ F (t )] 2Ie j(wt )
19
F(t)还可以写成
F(t)
设 u(t)=Umcos(w t+ u), i(t)=Imcos(w t+ i)
则 相位差 即相位角之差：
= (w t+ u)- (w t+ i)= u- i
恰好等于初相位之差
>0， u 领先(超前) i ，或 i 落后(滞后) u (u 先到达最大值)；
u, i i u u
要确定初相位和有效值(或最大值)就行了。 于是想到复数，复数向量也包含一个模和一个幅角，
因此，我们可以把正弦量与复数对应起来，以复数计算来
代替正弦量的计算，使计算变得较简单。
18
1. 正弦量的相量表示 选一个复函数
F (t ) 2Ie j(ωt ) 2Icos(wt ) j 2Isin(wt )
加一个小圆点是用来和普通的复数相区别(强调它与正 弦量的联系)，同时也改用“相量”，而不用“向量”， 是因为它表示的不是一般意义的向量，而是表示一个正弦 量。 同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
u(t) 2U cos(wt ) U U
例1. 已知 i 141.4cos(314t 30o )A
测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。
*注意 区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。
i , Im , I 12
8. 3 正弦量的相量表示
一、复数及运算
1. 复数A表示形式： F=a+jb
j 1
Im
Im
b
F
b
F
|F|
O
a Re
O
a Re
F a jb
F | F |
I
1 T
T 0
I
2 m
cos
2
(
wt
) dt
def
I
1 T i 2 (t )dt
T0
T cos2( wt
) dt
T 1 cos 2(wt
) dt 1 t
T
1 T
0
0
2
20 2
I
1 T
Im2
T 2
Im 2
0.707Im
Im 2I
或
a | F | cos
b | F | sin
a
a Re
2. 复数运算 (1)加减运算——直角坐标
若 F1=a1+jb1， F2=a2+jb2 则 F1±F2=(a1±a2)+j(b1±b2) 加减法可用图解法。
Im F2
F1+F2
F1
O
Re
F1-F2
14
(2) 乘除运算——极坐标
u2(t) 4 2cos(314t 60o ) V
U 2 460o V
U U1 U 2 630 460 5.19 j3 2 j3.46
7.19 j6.46 9.6441.9o V
u(t ) u1(t ) u2 (t ) 9.64 2cos(314t 41.9o ) V
(1) 同频率正弦量相加减
u1(t)
2 U1 cos(wt 1) Re(
2
U
1
e
jwt
)
u2(t)
2 U2 cos(wt 2) Re(
2
U
2
e
jwt
)
u(t) u1(t) u2(t) Re(
2
U
1
e
jwt
)
Re
(
2
U
2
e
jwt
)
Re(
2U1
ห้องสมุดไป่ตู้
e
| F | e j | F | (cos j sin ) a jb
F | F | e j | F |
13
两种表示法的关系： F=a+jb
F=|F|ej =|F|
Im
直角坐标表示 b |F|
F
极坐标表示
O
| F |
a2 b2
θ arctg b
15
例2. 220 35 (17 j9) (4 j6) ? 20 j5
解：上式
180.2
j126.2
19.2427.9 7.21156.3 20.6214.04
180.2 j126.2 6.72870.16
180.2 j126.2 2.238 j6.329
第八章 相量法
重点： 正弦量的三要素、相位差 正弦量的相量表示 电路定律的相量表示形式 相量图
1
8. 1 正弦量的基本概念
一、 正弦量：按正弦规律变化的电压或电流。
i +u 波形：
_
瞬时值表达式： i(t)=Imcos(w t+ )
iT
Im
O
wt
二、正弦量的三要素：
(1) 幅值 (amplitude) (振幅、 最大值)Im
反映正弦量变化幅度的大小。
2
iT
i(t)=Imcos(w t+ )
O
wt
(2) 角频率(angular frequency)w
w t+ 称为正弦量的相位或相角。
w d(wt i )
dt
w ：正弦量的相位随时间变化的角速度。
反映正弦量变化的快慢。
周期T ：重复变化一次所需的时间。 单位：s，秒
相量旋转一周回到初始位置， w t 从0~2。
2 I e jwt 2Ie je jwt 2Ie j(wt )是 模为 2I , 初 始角 度
为 的旋转相量,其旋转一周在实轴上的投影即为正弦 电流 i 2 I cos(wt )。
+1
i
w
φ +j 2I
O
O
t
23
2. 相量运算
i(t ) Im cos(wt ) 2I cos(wt )
11
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
U
1 2 Um
或
U m 2U
若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um311V；
U=380V，
Um537V。
工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌 额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是 最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值 考虑。
j
2
2
2
,
j
e2
cos(
)
j sin(
)
j
I
2
2
2
0
Re
j I
, e j cos( ) j sin( ) 1
ej/2 =j , e-j/2 = -j, ej= –1 故 +j, –j, -1 都可以 看成旋转因子。
182.5 j132.5 225.536
(3) 旋转因子：
复数 ej =cos +jsin =1∠
F• ej 相当于F逆时针旋转一个角度 ，而模不变。故
把 ej 称为旋转因子。
16
几种不同 值时的旋转因子：
Im
j I
I
,
j
e2
cos
j sin
U
I
i(t) 2Icos(ω t ) I I u(t) 2Ucos(wt θ) U Uθ
22
我们用旋转向量和一个正弦量对应看看它的几何意义：
ejw t 为一模为1、幅角为w t 的相量。随t的增加，模不变，
而幅角与t成正比，可视其为一旋转相量，当t从0~T时，
jwt
2
U
2
e
jwt
)
Re(
2
(U
1
U
2
)e
jwt
)
可得其相量关系为： U U1 U 2
U
故同频的正弦量的加减运算就变成对应的相量的加减运算。
i1 i2 = i3
I1 I2 I3
24
例．u1(t) 6 2cos(314t 30 ) V
U1 630o V
9
i(t) R
I R
W1
T i 2 (t )Rdt
0
W2=I 2RT
I 2 RT T i 2 (t )Rdt 0
I 1 T i 2 (t )dt
T0
同样，可定义电压有效值：
def
U
1 T u2 (t )dt
T0
10
2. 正弦电流、电压的有效值
设 i(t)=Imcos(w t+ )
频率f ：每秒重复变化的次数。 单位：Hz，赫(兹)
wT 2
w 2 f 2 T 单位： rad/s，弧度 / 秒 3
iT
i(t)=Imcos(w t+ )
O
wt
(3) 初相位(initial phase angle)
(w t+ ) 大小决定该时刻正弦量的值。当t=0时，相位 角(wt+ )= ，故称 为初相位角，简称初相位。
同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。相量 图在正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析。
Im
U 2
U
U 1
41.9
60 30
Re
U
Im
U 2
首
U 1
60 尾 相
41.9 接
30
Re
25
= /2：u 领先 i 于/2, 不说 u 落后 i于3/2；
i 落后 u于/2, 不说 i 领先 u于3/2。
同样可比较两个电压或两个电流的相位差。
8
8. 2 周期性电流、电压的有效值
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其大小 工程上采用有效值来表示。
1. 周期电流、电压有效值(effective value)定义 电流有效值定义为：
def
I
1 T i 2 (t )dt
T0
瞬时值的平方在一个周期内积分的平均值再取平方根。
有效值也称均方根值(root-meen-square，简记为 rms。) 物理意义：周期性电流 i 流过电阻 R，在一周期T 内吸收的
电能，等于一直流电流I 流过R , 在时间T 内吸 收的电能，则称电流 I 为周期性电流 i 的有效值。
17
二、正弦量的相量表示
两个正弦量 i1 2 I1 cos(wt 1 ) i2
u, i
角频率：
i1
w
i1
i2
w
有效值：
I1
i2 I2
初相位：
1O
2
2 I2 cos(wt 2 )
i13+i2 i3
w
I3
wt 3
无论是波形图逐点相加，或用三角函数做都很繁。
因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只
F2 | F2 |θ2 | F2 | ejθ2 | F2 |
| F2 |
θ1 θ2
例1. 547 10 25 ?
除法：模相除，角相减。
解: 547 10 25 (3.41 j3.657) (9.063 j4.226)
12.47 j0.569 12.48 2.61
i
O
u <0 i <0 wt
<0， i 领先(超前) u，或u 落后(滞后) i (i 先到达最大值)。
6
特殊相位关系：
u, i
=0， 同相：
O
u, i
= (180o ) ，反相：
O
规定： | | (180°)。
u i
wt
u
iw t
7
u, i u i
O
wt
若 F1=|F1| 1 ，若F2=|F2| 2
则:
F1 F2
F1 e j1
F2 e j2
F1
F e j(1 2 ) 2
F1
F2 1 2
乘法：模相乘，角相加。
F1 | F1 |θ1 | F1 | ejθ1 | F1 | ej(θ1θ2 ) | F1 |
反映了正弦量的计时起点。
4
同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。
i =/2 =-/2
一般规定：| | 。
O
t
=0 =
对于一个正弦量来说，初相可以任意指定，但对 于一个电路中有许多相关的正弦量，它们只能相对于一 个共同的计时起点来确定每个正弦量的初相。
5
三、同频率正弦量的相位差 (phase difference)
2Ie j e jwt
2 I e jwt
复常数
F(t)包含了三要素：I、 、w ，复常数包含了I , 。
称
I I
为正弦量 i(t) 对应的相量。
i(t) 2I cos(wt ) I I
相量的模表示正弦量的有效值 正弦量的相量表示: 相量的幅角表示正弦量的初相位
u 311.1cos(314t 60o )V
试用相量表示i, u .
解：
I
10030o
A
U 220 60o V
21
例2.
已知I 5015 A,
f 50Hz .
试写出电流的瞬时值表达式。
解： i 50 2cos(314t 15 ) A
相量图(相量和复数一样可以在平面上用向量表示)：
没有物理意义 若对F(t)取实部：
Re[F (t)] 2Icos(ωt )
是一个正弦量，有物理意义。 对于任意一个正弦时间函数都可以找到唯一的与其对 应的复指数函数：
i 2Icos(wt ) Re[ F (t )] 2Ie j(wt )
19
F(t)还可以写成
F(t)
设 u(t)=Umcos(w t+ u), i(t)=Imcos(w t+ i)
则 相位差 即相位角之差：
= (w t+ u)- (w t+ i)= u- i
恰好等于初相位之差
>0， u 领先(超前) i ，或 i 落后(滞后) u (u 先到达最大值)；
u, i i u u
要确定初相位和有效值(或最大值)就行了。 于是想到复数，复数向量也包含一个模和一个幅角，
因此，我们可以把正弦量与复数对应起来，以复数计算来
代替正弦量的计算，使计算变得较简单。
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1. 正弦量的相量表示 选一个复函数
F (t ) 2Ie j(ωt ) 2Icos(wt ) j 2Isin(wt )