数学《函数极限》讲义

第三章 函数极限
1. 教学框架与内容 教学目标
① 掌握各种函数极限的分析定义，理解邻域语言描述函数极限定义, 能够用定
义证明函数极限.
② 掌握函数极限的性质和计算函数的极限.
③ 掌握函数极限的归结原则和单调有界定理，理解函数极限的柯西准则．
④ 掌握两个重要极限：
0sin lim 1;x x x
→= 1lim 1 e.x x
x →∞⎛⎫+= ⎪⎝
⎭
⑤ 掌握无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念． 教学内容
① 当 ∞→x ；∞+→x ；∞-→x ； 0x x →；+→0x x ； -
→0x x 时函数极限的
分析定义, 邻域语言描述函数极限定义, 分析定义证明和计算简单的函数极限．
② 函数极限的性质, 如唯一性，局部有界性，局部保号性，保不等式性，迫敛
性，四则运算法则，复合函数极限, 用这些性质计算函数的极限．
③ 函数极限的归结原则；函数极限的单调有界定理；函数极限的柯西准则．
④ 两个重要极限0sin lim 1;x x x →= 1lim 1e x x
x →∞⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
的证明，利用两个重要极限计算函数极 限与数列极限．
⑤ 无穷小量与无穷大量，高阶无穷小量，同阶无穷小量，等阶无穷小量． 2. 重点和难点
① 各种函数极限的分析定义.
② 函数极限的局部性质, 局部的 δ（的大小）不仅与ε有关，而且与点0x 有关，
为以后讲解函数的一致连续性作准备．
③ 函数极限的归结原则以及应用；函数极限的柯西准则． ④ 与两个重要的函数极限有关的计算与证明． ⑤ 熟练使用“ o ”与“ O ”进行运算． 3. 研究性学习选题
●
两个重要极限的应用
查找资料，列出两个重要极限的一些应用.
● 复合函数极限
举出复合函数极限存在和不存在的例子, 寻找极限存在条件.
● 等价无穷小的代换
举出例子, 说明等价无穷小何时可以代换.
4. 研究性学习选题，写学习笔记
■ 数列极限与函数极限的区别与联系.
5. 评价方法
◎课后作业，计20分.
◎研究性学习布置的三个选题(选最好的两个计分) 合计30分.
● 两个重要极限的应用（计15分）
● 复合函数极限（计15分）
● 等价无穷小的代换（计15分）
◎学习笔记计50分.
§1 函数极限概念
一、x →∞时函数的极限
以()n a f n =的极限引入定义在[,)a +∞上函数()f x 当x →+∞时的极限.
()0,,:().
lim ()0,,:().
n x a f n a N n N f n a f x A X x X f x A εεεε→+∞
=→⇔∀>∃>-<=⇔∀>∃>-<
定义1设f 为定义在[,)a +∞上的函数,A 为定数.若对任给的0ε>,存在正数
()X a ≥, 使得x X >时
()f x A ε-<,
则称f 当x →+∞时以A 为极限, 记作
lim ()x f x A →+∞
= 或 () ()f x A x →→+∞.
几何意义 (画图)(分析定义)
任给0ε>.对平面上平行于x 轴的两条直线
,y A y A εε=-=+,围成以y A =为中心线宽为
2ε的带形区域, X ∃,当x X >(在x X =的右方) 曲线()y f x =全部落在上述带形区域之中.
类似给出lim ()x f x →-∞, lim ()x f x →∞
定义. lim () 0, 0, , ()x f x A X x X f x A εε→+∞=⇔∀>∃>∀>-<; lim () 0, 0, , ()x f x A X x X f x A εε→-∞=⇔∀>∃>∀<--<; lim () 0, 0, ||, ()x f x A X x X f x A εε→∞
=⇔∀>∃>∀>-<.
(简要作图说明几何意义)说明
结论 lim ()x f x →∞
存在⇔lim ()x f x →+∞与 lim ()x f x →-∞都存在且相等.
例1 1) 用定义验证: 1
lim
0x x
→∞=.
2) lim arctan , lim arctan 2
2
x x x x π
π
→-∞
→+∞
=-
=
(从而lim arctan x x →∞
不存在).
例2 验证: 222lim 22
x x x
x →∞+=-.
以邻域语言重新叙述上述定义
记(){,},(){,},U x x X U x x X +∞=>-∞=<-(){,}U x x X ∞=>, 其中X 为 充分大的正数
lim ()0,():():()(,)x f x A U x U f x U A εε→+∞=⇔∀>∃+∞∈+∞∈; (),(),():()()U A U x U f x U A ⇔∀∃+∞∈+∞∈; (),(),(())()U A U f U U A ⇔∀∃+∞+∞⊂.
lim ()(),(),():()()x f x A U A U x U f x U A →-∞=⇔∀∃-∞∈-∞∈. lim ()(),(),():()()x f x A U A U x U f x U A →∞=⇔∀∃∞∈∞∈. 二、0x x →时函数的极限
考察函数21,
2,()0,
2.
x x f x x +≠⎧=⎨
=⎩ 当2x →时的极限.
定义 2 ()εδ- 设函数f 在0x 的某去心邻域0'(,)U x δ内有定义,A 为定数, 若对任给的0ε>, 存在正数'()δδ<使得00||x x δ<-<时, 有|()|f x A ε-<, 则称f 当x 趋于0x 时以A 为极限,记作
lim ()x x f x A →= 或 0() ()f x A x x →→.
以邻域形式改写并与x →∞时统一起来.
0lim ()0,0,0,()x x f x A x x f x A εδδε→=⇔∀>∃><-<-<; 00
000,(),():()(,)U x x U x f x U A εε⇔∀>∃∈∈; 00
00(),(),():()()U A U x x U x f x U A ⇔∀∃∈∈.
几何意义 作图说明
例3 0
1) lim x x c c →=;
02) lim x x x x →=;
003) lim sin sin x x x x →=;
04) lim |1)x x
x →=<.
注 1 考察函数f 在0x x →时的极限是在0x 的某去心邻域上考察的,也就是说f 在0x 处的极限存在与否(或极限值为多少)与f 在0x 处是否有定义或值0()f x 为多少均无关.
注 2 εδ-定义中的δ相当于数列极限N ε-定义中的N , 其依赖于ε. 三、单侧极限 (为什么讨论单侧极限?)
考察 20,1,
()0.
1,
x x f x x x ≤⎧+=⎨
>-⎩ 在0x =处的极限.
定义3 设f 在0''00(,){:0}U x x x x δδ+=<-<(或0''
00((,){:0})U x x x x δδ-=-<-<
内有定义,A 为定数. 若对任何的0ε>,存在正数'()δδ<, 使得00x x δ<-<
(或00x x δ-<-<)时, 有 ()f x A ε-<.则称数A 为函数f 当x 趋于0x +(或0x -
)
时的右(左)极限, 记作 0lim ()x x f x A +→= (或0
lim ()x x f x A -→=)
或 0(), ()f x A x x +→→ (0(), ()f x A x x -
→→).
右极限与左极限统称为单侧极限, 也可分别记为
00(0)lim ()x x f x f x +→+=; 00(0)lim ()x x f x f x -→-=. 0
0lim ()0,0,0: ()x x f x A x x f x A εδδε+
→=⇔∀>∃><-<-<; 00
000,(),(): ()U x x U x f x A εε++⇔∀>∃∈-<;
00
00(),(),(): ()()U A U x x U x f x U A ++⇔∀∃∈∈.
0lim ()0,0,0: ()x x f x A x x f x A εδδε-
→=⇔∀>∃>-<-<-< 00
00(),(),():()()U A U x x U x f x U A --⇔∀∃∈∈
几何意义 作图说明
定理 000
lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x A f x f x A +-→→→=⇔==. 例4
1
1) lim 0x -
→=.
21
22) lim
1
x x x x →+--不存在.
例5 设f 在0x 的某邻域内有定义并且单调, 则
1) 0lim ()x x f x +→, 0
lim ()x x f x -
→存在;
2) 若0lim ()x x f x →存在, 则00lim ()()x x f x f x →=.
习 题
1. 验证下列极限
1) 1lim sin 0x x →+∞=
2) 1
lim )2
x x →+∞=
3) 22322lim 31x x x x →∞+-=- 4) 211
lim 12
x x x →=+ 5) lim ()n n x a
x a n N →=∈ 6) 0
0lim cos cos x x x x →=
7) lim 0x →+∞
=
8) 0
5
3
x →=
2. 若0
lim ()x x f x A →=，则0
lim |()|||x x f x A →=. 当且仅当A 为何值时？反之也成立.
3. 叙述0
lim ()x x f x A →≠.
4．讨论下列函数在0→x 时的极限或左,右极限.
1) ;)(x x x f = 2) []x x f =)(; 3) ⎪⎩⎪
⎨⎧<+=>=.
01,00
,02)(2
x x x x x f x
5. 设2,1,
(),
1,,1,
x x f x A x x B x ⎧>⎪
==⎨⎪+<⎩
则当,A B 为何值时, 1
lim ()x f x →存在.
6. 设lim ()x f x A →+∞=, 证明.)1
(lim 0A x
f x =+→
7. 证明: 对Riemann 函数)(x R , ,0)(lim 0
=→x R x x 0 [0,1]x ∀∈.
§2 函数极限性质
在前面我们共讨论了六种类型的极限
1) lim ()x f x →+∞
2) lim ()x f x →-∞ 3) lim ()x f x →∞
4) lim ()x x f x → 0
5) lim ()x x f x +→ 0
6) lim ()x x f x -
→ 虽然形式不一样,但在本质上是一样的,它们的定义可用邻域语言统一为
000(,,,,,)X x x x +-
=∞+∞-∞
00lim ()(), (), ():()()x X
f x A U A U X x U X f x U A →=⇔∀∃∈∈.
因而上述六种类型的极限性质是一样的,下面我们仅以0lim ()x x f x →为例, 讨论函数极限性质(请注意与数列极限性质比较). 一、函数极限性质
定理 (唯一性) 若0
lim ()x x f x →存在,则此极限是唯一的. 定理 (局部有界性) 若0lim ()x x f x →存在,则f 在0x 的某去心邻域00()U x 内有界.
定理 (局部保号性) 若0
lim ()0x x f x A →=>(0<),则对任何正数r A <(r A <-), 存在0
0()U x ,使得一切00()x U x ∈有
()0f x r >>(()0f x r <-<).
注 1 一般取2A r =
(或2
A r =-). 推论 若0
lim ()0x x f x A →=≠,则存在00()U x ,使得对任何00()x U x ∈, ()0f x ≠.
定理 (保不等式性) 若0lim ()x x f x →与0lim ()x x g x →存在,且在某邻域0'0(,)U x δ内有 ()()f x g x ≤, 则 0
lim ()lim ()x
x x x
f x
g x →→≤.
注 2 若定理3.5中条件仅为()()f x g x <, 则未必有00lim ()lim ()x x x x f x g x →→<.
定理 (迫敛性) 设0
lim ()lim ()x x x x
g x h x A →→==且在0x 的某去心邻域中 ()()()g x f x h x ≤≤,
则0lim ()x x f x →存在且0lim ()x x f x A →=.
定理 (四则运算) 设0lim ()x x f x A →=,0
lim ()x x g x B →=, 则 1) 0
lim(()())x x f x g x →±存在,且 0
lim(()())lim ()lim ()x x x x x x f x g x A B f x g x →→→±=±=±;
2) 0
lim ()()x x f x g x →⋅存在且 0
lim ()()lim ()lim ()x x x x x x f x g x A B f x g x →→→⋅=⋅=⋅;
3) 当0, ()0B g x ≠≠时, 0
()
lim ()
x
x
f x
g x →存在且 000
lim ()()lim ()lim ()
x x
x x x x f x f x A g x B g x →→→==.
二、利用极限性质解题 例1 求下列极限.
4
1) lim (tan 1)
x x x π
→
⋅-; 332527
2) lim 325
x x x x x →∞++++;
31133) lim()11x x x →--++; 71011
4) lim 1x x x →--;
015) lim x x x →⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦
; 16) x →;
7) lim x →+∞
; 8) x →∞;
19) x →
010) x →
?]x →=;
01
11) lim 1n x x x x →⋅+; 2112) lim 1
n x x x x n x →++⋅⋅⋅+--.
例2 求满足下列条件的, A B .
2211) lim[()]0;1
x x Ax B x →+-+=-
2222) lim 7;4
x x Ax B B x →++=--
33) lim .3
x A B x →=-
三、复合函数的极限
期望结论 0lim ()x x f x a →=,lim ()y a g y b →=⇒0
lim (())x x g f x b →=. 但这个结论未必成立.
例 3 1,0,0, 0,
0.
y f g y ≠⎧==⎨
=⎩ 有00lim ()0, lim ()1x y f x g y →→==,而0
lim (())0x g f x →=. 例 4 1
()sin (0)f x x x x =≠, 1,0,()0,
0.
y g y y ≠⎧=⎨
=⎩ 则有00
lim ()0, lim ()1x y f x g y →→==. 而1
,
1,
(())0,
1,
x n g f x x n ππ
≠
⎧=⎨
⎩= 0lim (())
x g f x →不存在. 定理 若0lim ()x x f x a →=,lim ()()y a g y g a →=, 则00lim (())(lim ())x x x x g f x g f x →→=.
定理 (变量代换) 若0lim ()x x f x a →=,lim ()y a
g y b →=, 且在0x 的某一邻域中()f x a ≠, 则
lim (())x x g f x b →=.
例 5 假设已知01
lim 1,limln 0x x x e x →→==,0lim ()0x x f x a →=>,0lim ()x x g x b →=, 求证: 0
()lim ()g x b x x f x a →=.
习 题
1. 利用四则运算性质求下列极限
1) lim
x ; 2) 0
x →;
3) 0x →0x →;
5) lim x →+∞
; 6) lim
x →+∞
7) lim 0)x a
a +
→>; 8) 2763
90
(36)(53)lim
(21)x x x x →+∞++-.
2. 求 1)sin lim
x x x x →+∞-; 2)2sin lim 4x x x x →∞⋅-; 3)x ; 4)x →. 3. 试给出函数f 的例子,使0)(>x f 恒成立, 而在某一点0x 处有0)(lim 0
=→x f x x . 这与极限的局部保号性有矛盾吗？ 4．设.)(lim 0
A x f x x =→,.)(lim 0
B x g x x =→
1) 若在某)(00x U 内有)()(x g x f <, 问是否必有B A <成立? 为什么? 2) 证明: 若B A >, 则在某)(00x U 内有)()(x g x f >.
5. 证明：若30
lim ()x f x →存在，则0lim ()x f x →存在且300
lim ()lim ()x x f x f x →→=.
6. 证明: 若0
lim ()x x f x A →=,则0
22lim[()]x x f x A →=.反之呢?
7. 证明: 若()0f x ≥,0
lim ()x x f x →存在,则0
lim
x x →=
8．求下列极限(其中n 为正整数):
1) ;11lim 0n x x x x
+-→ 2) ;11lim 0n x x x x ++→ 3) .1
lim 21--+++→x n
x x x n x
4) ;1
1lim
x
x n
x -+→ 5) []x x x ∞→lim
. 9．若)(lim 20
x f x →存在, 试问是否有)(lim 0
x f x →=)(lim 20
x f x →成立?
§3函数极限存在条件
本节仍以0lim ()x x f x →为例, 介绍函数极限存在的两个充要条件. 一、归结原则(Heine 定理)----函数极限与数列极限关系
定理 (归结原则) 设函数f 在0x 的某去心邻域0'(,)U x δ内有定义,则
lim ()x x f x →存在⇔对任何00()n x U x ∈且0n x x →,lim ()n n f x →+∞
存在. ⇔对任何00()n x U x ∈且0n x x →,lim ()n n f x →+∞
存在且相等.
注 1 Heine 归结原则反映了离散型与连续型变量之间的关系,也就是说可以把
函数极限归结于数列极限来处理.
例 1 利用数列极限性质证明函数极限的迫敛性.
注 2 Heine 归结原则是证明函数极限不存在的强有力的工具. 若可找到一个
以0x 为极限的数列{}n x 使lim ()n n f x →+∞
不存在,或找到两个以0x 为极限的数列{}'n
x ,{}"n
x 使'lim
()n n f x →+∞
和"lim ()n n f x →+∞
都存在但不相等,则0
lim ()x x f x →不存在.
例 2 1) 证明: 01
limsin x x →不存在.
2) Dirichlet 函数在R 上处处不存在极限.
注3 若对单侧极限, Heine 归结原则可减弱为{}n x 单调趋于0x . [为什么?]
例3 若f 在0x 的某去心邻域00()U x +有定义, 则0
lim ()x x
f x +
→存在⇔ 对任何以0x 为极限的递减数列{}
'n x ⊂00()U x +有lim ()n n f x →+∞
存在且相等.
对应单调有界数列必有极限, 函数极限类似有
定理 设f 是定义在00()U x 上的单调有界函数,则0lim ()x x f x +→和0
lim ()x x f x -
→均存在.
注4 此时若00
lim ()lim ()x x x x f x f x +-
→→=, 则0lim ()x x f x →存在,又若还有f 在0x 处有定义, 则0
0lim ()()x x f x f x →=. (与第一节例5比较) 例 4 设f 在[,)a +∞上单调, 则lim ()x f x →+∞
存在⇔f 在[,)a +∞上有界. (比较数列情形)
注 5 根据归结原则,若lim ()x f x →+∞存在,n x →+∞, 则lim ()n n f x →∞
存在. [此结论有何作用? 反之何时成立?]
例 5 若()f x 是周期函数, lim ()0x f x →+∞
=, 则()0f x ≡.
二、Cauchy 准则
定理 (Cauchy 准则) 设函数()f x 在点0x 的某去心邻域0'(,)U x δ内有定义,
则0
lim ()x x f x →存在''"000, 0 (), ,(,)x x U x εδδδδ⇔∀>∃><∀∈, 有 '"
()()f x f x ε-<.
注 6 (Cauchy 准则的否定)
例 6 用Cauchy 准则证明01
limsin x x →不存在.
例 7 叙述lim ()x f x →+∞存在的Cauchy 准则. [与数列Cauchy 准则比较]
习 题
1. 叙述lim ()x f x →+∞
的归结原则,并应用其证明lim sin x x →+∞
不存在.
2. 叙述lim ()x f x →+∞
不存在的Cauchy 准则,并应用其证明lim sin x x →+∞
不存在.
3. 直接用极限定义证明lim sin x x →+∞
不存在.
4．设f 为定义在),[+∞a 上的增(减)函数. 证明: )(lim x f x +∞
→存在的充要条件是
f 在),[+∞a 上有上(下)界.
5．设f 在)(00x U 内有定义, 证明: 若对任何数列)(}{00x U x n ⊂且0lim x x n n =∞
→,
极限)(lim n n x f ∞
→都存在, 则所有这些极限都相等.
6. 设f 在)(00x U 上的递增函数.证明:)0(0-x f 和)0(0+x f 都存在,
且)(sup )0()
(000
x f x f x U x -∈=-, )(inf )0()
(000
x f x f x U x +∈=+.
7．设f 为)(00x U -
内的递增函数. 证明: 若存在数列)(}{00
x U x n -⊂, 0n x x →, 使得A x f n n =∞
→)(lim , 则有
A x f x f x U x ==--∈)(sup )0()
(000
8. 证明: 若f 为周期函数, 且lim ()x f x A →+∞
=, 则().f x A ≡
§4 两个重要极限
一、0sin lim
1x x
x
→=
证明:
例 1 0tan 1) lim 1x x x
→= sin 2) lim x x
x ππ→--
0sin 53) lim sin 3x x x → 2
01cos 4) lim x x
x →-
0arcsin 5) lim x x x → sin sin 6) lim x a x a
x a
→--
例 2 0sin 1) lim x x x
→ 1
2) lim sin x x x →∞⋅
13) lim sin
x x x →⋅ 3
0tan sin 4) lim x x x
x →-
5) x → [分析上述极限形式0
]
二、1lim(1)x
x e x
→∞+= 或 10lim(1)x x x e →+=.
分析上述形式 1∞
, ()
()1lim (1)()f x f x e f x →+∞+= 或 1
()()0
lim (1())g x g x g x e →+= . 例 3 1) lim(1)x
x k x
→∞+ 1
02) lim(12)x x x →+
csc 0
3) lim(13sin )
x
x x →- 53
234) lim 21x
x x x -→∞-⎛⎫ ⎪+⎝⎭
2
1
5) lim(cos )x x x → 0ln(1)
6) lim
x x x
→+
01
7) lim x x e x
→-
思考
为什么称0sin lim 1x x x →=和1
lim(1)x x e x
→∞+=为两个重要极限?
习 题
1. 求下列极限.
1) 1lim sin x x x →+∞⋅ 2) 2cos lim 2
x x
x ππ→
-
3) 30tan sin lim x x x x →- 4) 0arctan lim
x x
x
→ 5) 22sin sin lim x a x a x a →-- 6) 2
01cos lim x x x →-
7) 0
x →2lim(1)x
x x -→∞- 9) cos 0
lim(1tan )x x x →+ 10) 0ln(12)
lim
x x x
→+
11) 01lim x x e x
→- 12) 23
32lim ()31x x x x -→+∞+-
13) lim (1)x x x βα→+∞+ 14) sin 01
lim(1)x x x
→+
15) 0lim{lim[cos cos cos ]}22
n x n x x
x
→→+∞⋅⋅⋅
2. 利用归结原则求下列极限. 1) lim sin
n n
π
2) 2
11lim(1)n
n n n →∞
+
+ 3. 利用两个重要极限求下列极限.
1) 3
30sin lim sin x x x → 2) 22cos 2cos3lim (2)
x x x x ππ→-- 3) 2
cos3lim
cos x x
x
π
→
4) 0csc cot lim x x x x →-
5) 1lim sin x x x →∞⋅ 6) 2
5lim(
)6
x x x x +→∞++ 7) 2
lim(cos )x x a x
→∞ 8) 1
11lim x x x -→
§5 无穷大量与无穷小量
一、无穷小量
定义1 设f 在某00()U x 有定义,若0
lim ()0x x f x →=,则称f 为当0x x →时的无穷小量.记作 0()(1), ()f x x x ο=→.
若函数g 在某0
0()U x 内有界,则称g 为0x x →时的有界量. 记作
0()(1), ()g x O x x =→.
例1 3, sin , 1cos x x x -是0x →时的无穷小量1x -→时的无穷小量.
21sin ,x x x 为x →∞时的无穷小量, sin x 为x →∞时的有界量, 1sin
x 为0x →时的有界量, 1
sin x
为x →∞时的无穷小量.
性质1 两个(类型相同的)无穷小量之和,差,积仍是无穷小量. 性质2 无穷小量必为有界量.无穷小量与有界量之积仍是无穷小量.
例2 011) lim sin
0x x x →⋅= 能否写成001
lim limsin 0x x x x
→→=⋅=
注意1lim sin 1x x x →∞⋅=; sin lim
0x x
x →∞=.
22) lim sin(2)01
n n n n →∞⋅+=+.
注1 无穷小量不是很小的数,而是极限为0的函数 (无穷小量与极限的关系)
lim ()()x x f x A f x A →=⇔-为0x x →时的无穷小量.
两个无穷小量收敛到0的速度有快有慢,这个就是阶的问题. 二、无穷小的阶
无穷小量指极限为0的函数.其和差积均是无穷小量,但其商就不一定了,如
22000sin sin sin lim 1,lim 0,lim x x x x x x x x
x →→→===∞. 这实际上说明了一个问题,不同的无穷小量收敛于0的速度有快有慢------这本质上就是无穷小的阶的不同.
设0x x →时, ()(1), ()(1)f x g x οο==(都是无穷小).
1. 若0
()
lim 0()
x x
f x
g x →=, 则称当0x x →时, f 为g 的高阶无穷小量,或称g 为f 的 低阶无穷小量.记作
0()(()), ()f x g x x x ο=→
例3 1) 0x →时, 2,,,,n x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅均是无穷小且1(),(0)k k x x x ο+=→. 01cos 2) lim
0x x
x
→-=; 1cos (), (0)x x x ο-=→.
2. 若存在正数,0K L >, 使得在某0
0()U x 上
()
()
f x K L
g x ≤
≤ 则称f 与g 为0x x →时的同阶无穷小量. 特别地, 0
()
lim
0()
x x f x c g x →=≠,f 与g 必为同阶无穷小量.(为什么?) 例4 201cos 1
1) lim
2
x x x →-= 01
sin (2sin )2) lim x x x x →⋅+不存在. 但1
sin (2sin )13
x x x ⋅+≤≤， x 与
1
sin (2sin )x x
⋅+为0x →时的同阶无穷小量. 3. 当 0
()
lim 1()
x x
f x
g x →=时,则称f 与g 是当0x x →时的等价无穷小, 记作 ()~()f x g x , 0()x x → 注2 若无穷小量f ,g 满足
()
()
f x L
g x ≤,00()x U x ∈, 则 记作 ()(())f x O g x =,0()x x →
例 5 21) 1cos ()x O x -= 2
11cos ~
2
x x -(0)x → 2) sin ~,(0)x x x → 1~,(0)x e x x -→ ln(1)~,(0)x x x +→
1
1~
,(0)2
x x → 注3 在上述定义中注意f ,g 首先都要求是无穷小量,若只有0
()
lim 1()
x x
f x
g x →=,不能 说就有()~()f x g x ,0()x x →(原因在于()f x ,()g x 未必是无穷小量). 注4 并不是任何两个无穷小量都可以进行阶的比较,如2x 与1sin x x
⋅. 下面的定理说明等价无穷小在求极限过程中的作用.
定理 设f ,g ,h 在0
0()U x 有定义,且()~()f x g x ,0()x x →
1) 若0lim ()()x x f x h x A →⋅=, 则0
lim ()()x x g x h x A →⋅=; 2) 若0
()lim ()
x x
h x B f x →=, 则0()
lim ()x x h x B g x →=.
例6 0arctan 1) lim sin 4x x x → 3
0tan sin 2) lim x x x
x →-
03) x →
014) lim (1cos )sin 2x x x →-
1
21cos 0
5) lim(1sin )
x
x x -→- sin 6) lim
sin x mx
nx
π→
*11
7) lim ln x x x x x
→-
注5 上面的定理说明,在求极限时,对乘除法可以用等价无穷小代换, 但对 加减法千万不能直接用等价无穷小代换.
例7 1) 确定α,x α与sin 22sin x x -
α(0)x →.
2) 0,~x p +→⇒= . 例8 设已知0
()
ln(1)
sin lim
21
x x f x x A →+=-, 则2
0()lim x f x x →= .
思考 对加减法何时可以运用等价无穷小代换? 三、无穷大量 (由邻域语言引入)
定义2 设函数f 在某0
0()U x 内有定义,若对任给的0G >,存在0δ>, 使得当
0000(,)(())x U x U x δ∈⊂时,有
()f x G >. 则称函数f 当0x x →时有非正常极限∞.记作
lim ()x x f x →=∞. 若上式()f x G >换作()f x G >(或()f x G <-),则分别称f 当0x x →时有
非正常极限+∞(或-∞),分别记作0lim ()x x f x →=+∞(或0
lim ()x x f x →=-∞). 定义3 对于自变量x 的某种趋向, 以,,∞+∞-∞为非正常极限的函数都称为 无穷大量. 例9 220
011
lim
, lim , lim x x x x x
x →→→∞=+∞=∞=+∞
易见若f 为0x x →时的无穷大量,则f 为0
0()U x 上的无界函数,但无界函数
未必为无穷大量.如()sin f x x x =⋅在[0,)+∞上无界,但不是无穷大量.
原因在于 f 在[,)a +∞上无界0,[,)G G x a ⇔∀>∃∈+∞时有()G f x G >.
f 在[,)a +∞上()x →+∞时无穷大量0,,,()G X a x X f x G ⇔∀>∃>∀>>.
性质 1) 同号无穷大之和积仍是无穷大.
2) 同号无穷大之差(异号无穷大之和)未必为无穷大.
无穷大量与无穷小量之间的关系.
定理 1) 设f 在0
0()U x 内有定义且不为0, 若f 为0x x →时的无穷小量,
则1
f
为0x x →时的无穷大量. 2) 若g 为0x x →时的无穷大量, 则1
g
为0x x →时的无穷小量.
[归纳各种形式函数极限(二十四种)
00
lim ()(),(),(),()().x X
f x a R U a U X x U X f x U a *→=∈⇔∀∃∈∈
四、曲线的渐近线
由平面解析几何,双曲线22
221x y a b -=有两条渐近线0x y a b ±=.下面讨论一般
曲线的渐近线问题(作图)
定义4 若曲线l 上的动点P 沿曲线无限地远离原点时, 点P 与某定直线L 的 距离趋于0,则称直线L 为曲线l 的渐近线.
下面我们主要讨论曲线()y f x =在什么条件下,存在斜(水平)渐近线与垂直渐近线(y kx b =+与0x x =)以及怎样求渐近线方程?
现假设曲线()y f x =有渐近线方程y kx b =+,则曲线l 上的动点P 到渐近线距离
cos ()()PN PM f x kx b α==-+
则由渐近线的定义,当x →∞时, 0PN →,
即 lim[()()]0x f x kx b →+∞-+= 或 lim (())x f x kx b →+∞
-= (1) 又 ()1()lim
lim (())0lim x x x f x f x k f x kx k x x x
→∞
→∞→+∞-=-=⇒= (2)
则若曲线()y f x =有斜渐近线y kx b =+,则k 可由(1),(2)式确定,反之若由(1),(2)式求得k ,b ,则y kx b =+即为()y f x =的渐近线方程.
若函数()y f x =满足0
lim ()x x f x →=∞,则称()y f x =有垂直渐近线方程0x x =. 例8. 1) 求3
223
x y x x =+-的渐近线方程.
2) 求曲线y =的渐近线方程.
1. 利用等价无穷小代换求下列极限.
1) 0
x x → 2) 3
0sin[sin(sin )]
lim
x x x →
3) 0
x → 4) 20ln cos lim ln(1)x x
x →+
5) 0x →
x →
2. 求下列极限.
1) ln 1lim x e x x e
→-- 2) lim x x x a x a x a →-- 3) 1
0lim()x x
x x e →+ 4) 087lim 65x x x x x →--
3.
~(0)x x αβ→,求,αβ的值. 4.
~()x x α→+∞,求α的值, 又0x +→呢? 5. 若0()~()()f x g x x x →,则0()()(())()f x g x g x x x ο-=→.
6. 求曲线221
()x x f x x
+-=及()arctan f x x x =的渐近线.
7. 分别求出满足下述条件的常数a 与b :
1) 0)1
1
(
lim 2=--+++∞→b ax x x x ; 2) 0)1(lim 2=--+--∞→b ax x x x ; 3) 0)1(lim 2=--+-+∞
→b ax x x x .
8. 设x x x f cos )(=，试作数列
1) }{n x 使得∞→n x )(∞→n ，0)(→n x f )(∞→n ； 2) }{n y 使得∞→n y )(∞→n , +∞→)(n y f )(∞→n ； 3) }{n z 使得∞→n z )(∞→n , -∞→)(n z f )(∞→n .
一、函数极限(24种) 六种极限过程 四种极限值.
000,,,,,X x x x +-
=+∞-∞∞ A :有限数, ,,+∞-∞∞
00lim ()(),(),():()()x X
f x A U A U X x U X f x U A →=⇔∀∃∈∈ 六种极限过程
四种极限值
例 00
0lim ()0,0,(,),()x x f x a R x U x f x a εδδε-
→=∈⇔∀>∃>∈-< lim ()0,0,,()x f x a M x M f x a εε→+∞=⇔∀>∃>>-< lim ()0,0,,()x f x M X x X f x M →-∞
=∞⇔∀>∃><-> 否定
0000lim ()0,0,(,),()x x f x a x U x f x a δδεδδε→≠⇔∃>∀>∃∈-≥ 注 函数在某0x 处的极限与函数在0x 处的性质无关.
二、极限存在条件(以0x x →为例)
1. 必要条件: 0
lim ()x x f x →存在0δ⇒∃>,f 在00(,)U x δ上有界. 2. 充分条件: f 在00()U x -递增有上界⇒0
lim ()x x f x -
→存在. 3. 充要条件: 1) 0lim ()x x f x →存在⇔0lim ()x x f x -→,0
lim ()x x f x +
→存在且相等. 2) (Cauchy 准则) 0
lim ()x x f x →存在 ''"000,0(),,(,)x x U x εδδδδ⇔∀>∃><∀∈时,有'"()()f x f x ε-<.
3) (Heine 定理) 0
lim ()x x f x →存在 ⇔对任何00()n x U x ∈且0n x x →,lim ()n n f x →+∞
存在且相等. 三、函数极限性质
1) 唯一性 2) 有界性 3) 保号性 (保不等式) 4) 迫敛性 5) 四则运算
6) 复合函数. 若0lim ()x x f x a →=,lim ()()y a g y g a →=则0
lim (())()x x g f x g a →=. 7) 变量代换. 若0lim ()x x f x a →=,lim ()y a
g y b →=,且在某00()U x ,()f x a ≠, 则 0
lim (())x x g f x b →=.
四、两个重要极限
1.(00
型) 0sin lim 1x x x →= 变形1lim sin 1x x x →∞⋅=,201cos 1lim 2x x x →-= 2.(1∞
型) 1lim(1)x x e x →∞+= 变形0ln(1)lim
1x x x →+=,01lim 1x x e x →-=,0(1)1
lim x x x
αα→+-=. 五、无穷小的阶与等价无穷小
设00
lim ()lim ()0x x x x f x g x →→==,00(), ()0x U x g x ∀∈≠. 1) 0x x →时, f 是比g 的高阶无穷小0
()
lim 0()
x
x
f x
g x →⇔=. 2) 0x x →时, f 与g 是同阶无穷小()
,0,0()
f x M L M L
g x ⇔∃><≤
≤
特别地, 0
()
lim
0()
x x f x c g x →=≠⇒f 与g 为同阶无穷小. 3) 若0
()
lim 1()
x x
f x
g x →=,则称f 与g 为等价无穷小. 常见的等价无穷小. 六、求极限的方法(型) 1) 观察极限值, 用定义验证.
2) 初等变形(因式分解,分子(母)有理化,消去“零”因子). 3) 变量代换.
4) 利用已知极限,特别是利用两个重要极限(凑). 5) 利用无穷小等价代换(乘除形式). 6) 利用极限性质,特别是迫敛性（两边夹）. 7) 利用()0, ()f x a g x b →>→,则()()g x b f x a →. 七、证明极限不存在的方法
1) 用极限定义验证任一实数都不是极限值
2) (Cauchy 准则) '"0
000,0,,(,)x x U x δδεδδ∃>∀>∃∈但'"0()()f x f x δδε-≥.
⇔
(无穷形式的否定是什么?)
3) 证明00
lim ()lim ()x x x x f x f x -+→→≠或有一单侧极限不存在. 4) 利用Heine 定理.找一个子列…或两个子列… 八、渐近线 (垂直渐近线与斜渐近线)
九、举例
例1 求下列极限(两边夹).
011) lim []x x x +→; 01
2) lim []x x x -
→; 3) lim ()x f x A →+∞=, 则[()]lim x x f x A x
→+∞⋅=;
4) 设1,0,a k >>求证lim 0k
x x x a
→+∞=.
例2 求下列极限.
1) ])[(lim 3
x x x --→ ； 2) 11
)1]([lim -→++x x ；
3) )))(())(((lim x b x a x b x a x ---++∞
→ ;
4) 2
2
lim
a
x x x -+∞
→ ； 5) 2
2
lim
a
x x x --∞
→ ；
6) 3301111lim x x x x x --+--+→ ； 7) n m x n x m n m x ,),11(lim 1---→为正整数.
例3 求下列极限(变量代换).
ln 1) lim (0)a x x
a x →+∞> 1
2) lim x x x →+∞
013) lim x x a x
→- 4) lim 1)(0)n n a →+∞>
例4 设lim n n a →∞=+∞, 证明: 1) 121
lim
()n n a a a n
→+∞++⋅⋅⋅+=+∞
2) 若0(1,2)n a n >=⋅⋅⋅, 则n =+∞. 并利用其求极限.
1) lim n ln !
2) lim n n n
→+∞
例5 设00
lim (), lim ()x x x x f x A g x B →→==, 则 0
lim max{(),()}max{,}x x f x g x A B →=, 0
lim min{(),()}min{,}x x f x g x A B →=
例6 设f 在[,]a b 上严格单调,且lim ()(),[,].n n x f x f b x a b →+∞=∈ 则lim n x x b →∞
=.
例7 设函数f 在(0,)+∞上满足方程(2)()f x f x =,且lim ()x f x A →+∞
=, 证明: (), (0,)f x A x ≡∈+∞.
例8 设函数f 在(0,)+∞上满足2()()f x f x =,且0lim ()lim ()(1)x x f x f x f +
→+∞→==, 则()(1), (0,)f x f x ≡∈∞.
例9 设函数f 在(,)a +∞上的任一有限区间(,)a b 内有界,并满足
lim (1)()x f x f x A →+∞+-=. 证明: ()lim x f x A x
→+∞=.。