回归分析曲线拟合

线性回归
线性回归分为一元线性回归和多元线性回归。
一、一元线性回归：
1、涉及一个自变量的回归
2、因变量y与自变量x之间为线性关系
被预测或被解释的变量称为因变量(dependent variable)
，用y表示
用来预测或用来解释因变量的一个或多个变量称为自变量
(independent variable)，用x表示
误差项 是随机
注(部：分线)性加部上分误反差映项了由于型x的的参变数化而引起的y的变化；误变差量项反映
了除x和y之间的线性关系之外的随机因素对y的影响，它是不
能由x和y之间的线性关系所解释的变异性。
一元线性回归模型（基本假定）
1、因变量x与自变量y之间具有线性 关系
2、在重复抽样中，自变量x的取值 是固定的，即假定x是非随机的
模型拟合：复相关 系数、判定系数、
选项
调整R2、估计值的标 准误及方差分析
回归系数框 估计值：显示回 归系数的估计值 β、回归系数的 标准差、标准化 回归系数、回归 系数的β的t估 计值和双尾显著 性水平。 置信区间 协方差矩阵
R2改变量：增加或 删除一个自变量产 生的改变量 描述性统计量：变 量的均数、标准差、 相关系数矩阵、单 尾检验 部分及偏相关系数： 显示零阶相关、偏 相关、部分相关系 数 共线性诊断：显示
计或预测因变量的取值
回归分析的模型
一、分类 按是否线性分：线性回归模型和非线性回归模型 按自变量个数分：简单的一元回归和多元回归
二、基本的步骤
利用SPSS得到模型关系式，是否是我们所要的？ 要看回归方程的显著性检验（F检验）
回归系数b的显著性检验(T检验)
拟合程度R2
(注：相关系数的平方，一元回归用R Square，多元回归 用Adjusted R Square)
如此。但仍然存在一些非线性关系可以通过变量变换化成线性 关系，并最终形成变换后的线性模型。
SPSS过程
第一步：录入数据，选择分析菜单中的Regression==>liner
打开线性曲线估计对话框。
第二步：选择被解释变量和解释变量
第三步：选择曲线估计模型
Linear：拟合直线方程，实际上与Linear过程的二元直线回归相同 ；
SPSS 线性回归分析
多元线性回归分析基本结构与一元线性回归相同。而 他们在SPSS下的功能菜单是集成在一起的。下面通过 SPSS操作步骤解释线性回归分析问题。
SPSS过程
步骤一：录入数据，选择分析菜单中的Regression==>liner
打开线性回归分析对话框；
步骤二：选择被解释变量和解释变量。其中因变量列表框中为 被解释变量子和共线性的
残差统计量
诊断表
D-W检验统计量：显示残差相关的D-W检验和残差与预测值的综述统计。
个案诊断：1、超过n倍标准差以上的个案为奇异值；2、显示所有变量的标准化
残差、观测值和预测值、残差
PLOTS选项
该对话框可以分析资料的正态性、线性和方差齐性， 还可以检测奇异值或异常值等。
雇员对其主管满意度的调查
模型拟合度检验
方差分析
回归分析结果
? 拟合结果为：Y=A*X1+B*X2+C**X3+D
结果解读
剔除变量列表
共线性检验指标
共线性检验结果
曲线估计
基本原理 两变量之间的关系并不总是以线性形式表现出来的，更多
的时候呈现出非线性关系，利用图形可表示为曲线。 对非线性关系无法直接通过建立线性回归模型解决。虽然
回归分析、线性回归和曲线估计
回归分析 线性回归 曲线估计
回归分析
什么是回归分析？
1、重点考察一个特定的变量(因变量)，而 把其他变量(自变量)看作是影响这一变 量的因素，并通过适当的数学模型将变 量间的关系表达出来
2、利用样本数据建立模型的估计方程 3、对模型进行显著性检验 4、进而通过一个或几个自变量的取值来估
2. 用样本统计量 bˆ0和 bˆ1代替回归方程中的未知参
数β0和β1 ，就得到了估计的回归方程
3. 一元线性回归中估计的回归方程为
yˆ = bˆ0 + bˆ1x
其中：bˆ0是估计的回归直线在 y 轴上的截距，bˆ1是直线的
斜率，它表示对于一个给定的 x 的值， yˆ 是 y 的估计值，
也表示 x 每变动一个单位时， y 的平均变动值
回归标准化的正态P-P图
图中给出了观 察值的残差分 布与假设的正 态分布比较， 如果标准化残 差呈正态分布 ，则标准化残 差点应该分布 在直线上或靠 近直线
因变量与回归标准化预测值的散点 图
其中横坐标变量 为标准化预测值
数据编辑窗口新增变量
从表中可以看到非标准化预测值，非标准化残差，预测值均数 的标准误差，均值的预测区间、个体预测区间。
程序
结果解读 模型拟合度检验
方差分析表
回归分析结果
对残差统计量的分析
数据中无离群值，且数据的标准差比较小，可以认为模型 是健康的。
残差统计量检验
多元线性回归的例子
某大型金融机构中做了一项关于雇员对其主管满意度的调查 ，其中一个问题设计为对主管的工作业绩的综合评价，另外 若干个问题涉及主管与其雇员间相互关系的具体方面。该研 究试图解释主管性格与雇员对其整体满意度之间的关系。
Quadratic：拟合二次方程Y = b0+b1t+b2t2； Compound：拟合复合曲线模型Y =b0X （ b1 ）t ； Growth：拟合等比级数曲线模型Y = exp(b0+b1t)； Logarithmic：拟合对数方程Y = b0+b1lnt；
注：要对不同的自变量采用不同引入方法时，选NEXT按钮把 自变量归入不同自变量块中。
第三步：选择个案标签。在变量列表中选择变量至个案标签中 ，而被选择的变量的标签用于在图形中标注点的值。
第四步：选择加权二乘法（WLS）。在变量列表框中选择变量 至WLS中。但是该选项仅在被选变量为权变量时选择。
在十九世纪四、五十年代，苏格兰物理学家James D.Forbes，试图通过水的沸点来估计海拔高度。由于可 以通过气压来估计海拔，他在阿尔卑斯山以及苏格兰收 集了沸点及海拔的数据如表所示。现在通过线形回归拟 合气压与沸点的关系。
散点图
执行【Analyze】/【Regression 】/【Linear】命令,弹出【 Linear】对话框
独立性
。独立性意味着对于一个特定的 x 值，它所对应的ε与
其他 x 值所对应的ε不相关；对于一个特定的 x 值，它所对应的 y 值
与其他 x 所对应的 y 值也不相关
估计的回归方程
(ESTIMATED REGRESSION EQUATION)
1. 总体回归参数β0和β1是未知的，必须利用样本数 据去估计
体重
42 42 46 46 46 50 50 50
肺活量 2.55 2.2 2.75 2.4 2.8 2.81 3.41 3.1
利用回归分析描述其关系。
20
结果分析
描述性统计量
相关系数
表中Pearson相关系数为0.613，单尾显著性检验的概率p值为 0.000，小于0.05.所以体重和肺活量之间具有较强的相关性
第五步：如果点击OK，可以执行线性回归分析操作。
METHOD选项
Enter：强迫引入法，默认选项。全部被选变量一次性进 入回归模型。
Stepwise：强迫剔除法。每一次引入变量时，概率F最小 值的变量将引入回归方程，如果已引入回归方程的变量 的F大于设定值，将被剔除回归方程。当无变量被引入 或剔除，时终止回归方程
引入或剔除变量表
表中显示回归分析的方法以及变量被剔除或引入的信息。 Method项为Enter，表明显示回归方法用得是强迫引入法引入 变量。这里自变量只有一个，所以此表意义不大。
模型摘要
两变量相关系数为0.613，判定系数为0.375，调整判定系数 为0.352，估计值的标准误差为360.997
回归分析的过程
在回归过程中包括：
Liner：线性回归 Curve Estimation：曲线估计
Binary Logistic： 二分变量逻辑回归 Multinomial Logistic：多分变量逻辑回归； Ordinal 序回归；Probit：概率单位回归； Nonlinear：非线性回归； Weight Estimation：加权估计； 2-Stage Least squares：二段最小平方法； Optimal Scaling 最优编码回归 我们只讲前面2个简单的（一般教科书的讲法）
Remove：剔除变量。不进入方程模型的被选变量剔除。 Backward：向后消去 Forward：向前引入
RULE选项
选择一个用于指定分析个案的选择规则的变量。 选择规则包括： 等于、不等于、大于、小于、大于或等于、小于或等于。 Value中输入相应变量的设定规则的临界值。
STATISTICS
预测值 包括非标准化的预测值、
S标预A准 测VE化值对的、预预话测测框值值、均调数整标
准误 影响统计量 距DF离Beta值，删除一个个 包案括 后自回变归量系个数案改值变与的所大 有小个。案平均值距离、一 个标个准案化参Df与Be计ta算回归线 系Df数Fi时t值，，所拟有合个值案之残差差 变标准化化的D大fF小it 。 杠协方杆差值矩阵的比率
3 、误差项 满足条件
误差项 满足条件
正态性
。 是一个服从正态分布的随机变量，且期望值为0，
即 ~N(0 , 2 ) 。对于一个给定的 x 值，y 的期望值为E(y)=b0+ b1x
方差齐性
。对于所有的 x 值， 的方差一个特定的值，的方
差也都等于 2 都相同。同样，一个特定的x 值， y 的方差也都等于2
1、因变量 2、标准化预测值 3、标准化残差 4、删除残差 5、调整预测值 6、Student残差 7、Student删除残差
Histogram：标准化残差的直方图，并给出正态曲线。 Normal probality plot：标准化残差的正态概率图 Produce all partial plots：产生所有偏残差图，生成每个自变量残差与因变 量残差的散点图。
3、因变量与自变量之间的关系用一个线性 方程来表示
线性回归的过程
一元线性回归模型确定过程 一、做散点图(Graphs ->Scatter->Simple)
目的是为了以便进行简单地观测（如： Salary与Salbegin的关系)。 二、建立方程 若散点图的趋势大概呈线性关系，可以建立线性方 程，若不呈线性分布，可建立其它方程模型，并比较R2 (-->1)来确定一种最佳方程式（曲线估计）。
方差分析表
该表为回归分析的方差分析表。可以看出回归的均方为 2115016.203，剩余的均方为130318.685，F检验统计量 的观察值为16.230，p值为0.000小于0.05，可以认为体 重和肺活量之间存在线性关系。
回归系数
下表给出了回归方程中的参数和常数项的估计值。其中常数项 系数为405.819，回归系数为47.835，，线性回归参数的标准误差 为11.874，标准化回归系数为0.613，回归系数t检验的t统计量观 察值为4.029，t检验的p值为0.00，小于0.05可以认为回归系数有 显著意义
残预差测区间 非平标 均准预化测残区差间 标个体准预化测残区差间 Student残差 删除残差 Student删除残差
OPTIONS选项
逐步回归方法准则 使用F显著水平值 Entry：当候选变量中最大F值概 率小于等于引入值时，引入相应 变量。 Removal:剔除相应变量
实例分析
例：某单位对8名女工进行体检，体检项目包括体重和肺 活量，数据如下：
多元线性回归一般采用逐步回归方法-Stepwise。
(一) 一元线性回归模型
(LINEAR REGRESSION MODEL)
1、描述因变量 y 如何依赖于自变量 x 和误差项 的方程称为回归 模型
2、一元线性回归模型可表示为
y = b0 + b1 x +
Y是x 的线性函数 b0 和 b1 称为模
回归诊断
下表对全部的观察单位进行回归诊断，结果表明，每一例的标准 化残差、因变量观测值和预测值以及残差
残差统计量
表中显示了预测值、标准化预测值、残差、标准化残差等统计量 的最小值、最大值、均数、标准差
回归标准化残差的直方图
在回归标准化残差的 直方图中，正态曲线 也被显示，用来判断 标准化残差是否呈正 态分布