广东省江门市高三数学上学期第一次测验试题 理 新人教

广东省江门市新会一中2013届高三第一学期第一次检测
理科数学试题
本试卷共4页，共20题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡上，并用2B 铅笔在答题卡上的相应位置填涂试卷类型．
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
第一部分 选择题（共40分）
一、
选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．若全集U=R ，集合}01
x 3
x |
x {N },4x |x {M 2<+-=>=，则)N C (M U ⋂等于（ ） A. }2x |x {-< B . }3x 2x |x {≥-<或 C. }3x |x {≥ D. }3x 2|x {<≤-
2．与函数)
1lg(10
-=x y 的图象相同的函数是 （ ）
A. 1-=x y
B. 1-=x y
C.11
2+-=x x y D. 2
11⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=x x y 3．若a ∈R ，则2a =是()()120a a --=的（ ）．
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要
条件
4．在下列图象中，二次函数y =ax 2
+bx 与指数函数y =（
a
b ）x
的图象只可能是（ ）
5．对于定义在R 上的函数)(x f y =，若),,(0)()(b a R b a b f a f <∈<•且，则函数
)(x f y =在区间),(b a 内（ ）
A ．只有一个零点
B ．至少有一个零点
C ．无零点
D ．无法判断
6．二次函数()x f 满足()()22+-=+x f x f ，又()30=f ，()12=f ，若在[0，m ]上有最大值3，最小值1，则m 的取值范围是（ ）
A. ()+∞,0
B. [)+∞,2
C. (]2,0
D. [2,4]
7．设奇函数f (x )的定义域为R , 且)()(x f x f =+4, 当x ] ,[64∈时f (x)＝12+x , 则f (x )在区间] ,[02-上的表达式为（ ）
A ．12+=x
x f )( B ．12
4
--=+-x x f )( C ．124
+=+-x x f )( D ．12+=-x x f )(
8. 正实数12,x x 及函数()f x 满足)
(1)
(14x f x f x
-+=，且12()()1f x f x +=，则12()f x x +的
最小值为 ( ) A ． 4
B ． 2
C ．
5
4 D ．
4
1 第二部分 非选择题（共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．
9．已知命题P: “对任何2,220x R x x ∈++>”的否定是_____________________
10．函数2
()lg(31)
f x x =
++的定义域是____________ 11．设,0.(),0.
x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩则1
(())2g g =__________．
12．下列命题：（1）梯形的对角线相等；（2）有些实数是无限不循环小数；（3）有一个实数
x ，使0322=++x x ；（4）y x y x ≠⇔≠2
2或y x -≠；（5）命题“b a 、都是偶数，
则b a +是偶数”的逆否命题“若b a +不是偶数，则b a 、都不是偶数”；（6）若p 或q ”为假命题，则“非p 且非q ”是真命题；（7）已知c b a 、、是实数，关于x 的不等式
02≤++c bx ax 的解集是空集，必有0>a 且0≤∆。

其中真命题的序号是
__________________。

（把符合要求的命题序号都填上）
13．若直线y x b =+与曲线3y =则b 的取值范围是______________
14．函数f(x)的图像与函数g(x)=(
2
1)x 的图像关于直线y=x 对称，则f(2x-x 2
)的单调减区间为______________
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.（本题满分12分）已知函数f (x )=sin 2
x +3sinx cos x +2cos 2
x ,x ∈R.
（I ）求函数f (x )的最小正周期和单调增区间；
（Ⅱ）函数f (x )的图象可以由函数y =sin2x (x ∈R)的图象经过怎样的变换得到？
16. (本小题满分12分) 某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元. 根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件. (Ⅰ) 设一次订购量为x 件，服装的实际出厂单价为P 元，写出函数)(x f P =的表达式； (Ⅱ) 当销售商一次订购了450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？ （服装厂售出一件服装的利润=实际出厂单价－成本）
17. （本题满分14分）如图，棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA =AD =2，
BD =22.
（Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；（4分） （Ⅱ）求二面角P —CD —B 的大小；（5分） （Ⅲ）求点C 到平面PBD 的距离. （5分）
18．（本题满分14分）已知函数f (x )对任意x ，y ∈R ，满足f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )＋2，当
x >0时，f (x )>2.
D
P
A C
(1)求证：f (x )在R 上是增函数；
(2)当f (3)＝5时，解不等式f (a 2
－2a －2)<3.
19. （本题满分14分）若函数()f x 对定义域中任一x 均满足()(2)2f x f a x b +-=，则函数()y f x =的图像关于点(,)a b 对称。

（1）已知函数2()x mx m
f x x
++=的图像关于点(0,1)对称，求实数m 的值；
（2）已知函数()g x 在(,0)(0,)-∞+∞U 上的图像关于点(0,1)对称，且当(0,)x ∈+∞ 时，2
()1g x x ax =++，求函数()g x 在(,0)x ∈-∞上的解析式；
（3）在（1）、（2）的条件下，若对实数0x <及0t >，恒有()()g x f t <，求实数a 的取值范围。

20．（本题满分14分）
设M 是满足下列条件的函数构成的集合：① 方程0)(=-x x f 有实数根；② 函数)(x f 的导数)(x f '满足1)(0<'<x f .
(1)若函数)(x f 为集合M 中的任意一个元素，证明：方程0)(=-x x f 只有一个实根； （2）判断函数)1(33
ln 2)(>+-=
x x
x x g 是否是集合M 中的元素，并说明理由； （3）设函数)(x f 为集合M 中的元素，对于定义域中任意βα,，当
1|2012|,1|2012|<-<-βα时，证明：2|)()(|<-βαf f .
参考答案
二、
选择题：BDAA DDBC
二、填空题：
9.2
000,220x R x x ∃∈++≤ 10. 1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭
11. 12
12. (2) (6) 13. 1⎡⎤-⎣⎦ 14()0,1（1可开可闭）
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.（本题满分12分）已知函数f (x )=sin 2
x +3sinx cos x +2cos 2
x ,x ∈R.
（I ）求函数f (x )的最小正周期和单调增区间；
（Ⅱ）函数f (x )的图象可以由函数y =sin2x (x ∈R)的图象经过怎样的变换得到？
解：（I
）1cos 2()2(1cos 2)2x f x x x -=++
13
2cos 2223
sin(2).
62
x x x π=++
=++
·························4分 ()f x ∴的最小正周期2.2
T ππ==·
·········5分 由题意得222,,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
≤+
≤+∈ 即 ,.3
6
k x k k Z π
π
ππ-
≤≤+
∈
()f x ∴的单调增区间为,,.3
6k k k Z π
πππ⎡⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦
··········8分
（II 先把sin 2y x =图象上所有点向左平移
12π个单位长度，得到sin(2)6y x π
=+的图象，再把所得图象上所有的点向上平移32个单位长度，就得到3
sin(2)62
y x π=++的图
象。

···12分
16. (本小题满分12分) 某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元. 根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件. (Ⅰ) 设一次订购量为x 件，服装的实际出厂单价为P 元，写出函数)(x f P =的表达式； (Ⅱ) 当销售商一次订购了450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？ （服装厂售出一件服装的利润=实际出厂单价－成本）
16．解：（Ⅰ）当1000≤<x 时，P=60；···················2分
当500100≤<x 时，P=60－0.02（;50
62)100x
x -
=-··········5分 所以 )(.500100,5062,1000,
60)(N x x x
x x f P ∈⎪⎩
⎪
⎨⎧≤<-≤<==·············8分
（Ⅱ）设销售商的一次订购是x 件时，工厂获得的利润为L 元，则
)(.
500100,5022,1000,
20)40(2
N x x x x x x x P L ∈⎪⎩
⎪
⎨⎧≤<-≤<=-= 当450=x 时，L=5850.·············11分
因此，当销售商一次订购了450件服装时，该厂获得的利润是5850元. ·······12分
17. （本题满分14分）
如图，棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA =AD =2，BD =22. （Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；（4分） （Ⅱ）求二面角P —CD —B 的大小；（5分） （Ⅲ）求点C 到平面PBD 的距离. （5分） 证：（Ⅰ）在Rt △BAD 中，AD =2，BD =22， ∴AB =2，ABCD 为正方形，
因此BD ⊥AC . ………………（2分） ∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴BD ⊥PA . 又∵PA ∩AC =A
∴BD ⊥平面PAC . ……………… （4分）
解：（Ⅱ）由PA ⊥面ABCD ，知AD 为PD 在平面ABCD 的射影，又CD ⊥AD ， ∴CD ⊥PD ，知∠PDA 为二面角P —CD —B 的平面角. ……………（7分） 又∵PA =AD ，
∴∠PDA=450
. ………………（9分） （Ⅲ）∵PA =AB =AD =2 ∴PB =PD =BD =22
设C 到面PBD 的距离为d ，由PBD C BCD P V V --=，
有
d S PA S PBD BCD ••=••∆∆31
31 ………………(12分)，
即d •••=⨯⨯⨯•0
260sin )22(2
1312222131， D
P
A
C
得33
2
=
d ……………(14分) 法二：空间向量。

答案略
18．（本题满分14分）已知函数f (x )对任意x ，y ∈R ，满足f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )＋2，当x >0时，f (x )>2.
(1)求证：f (x )在R 上是增函数；
(2)当f (3)＝5时，解不等式f (a 2
－2a －2)<3.
解：(1)证明：设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，···············1 ∵当x>0时，f (x )>2
∴f (x 2－x 1)>2 ·····························2 ∵f (x ＋y )= f (x )＋f (y )-2，
∴f (x 2)- f (x 1)= f [(x 2－x 1)＋x 1]-2- f (x 1)= f (x 2－x 1)＋f (x 1)-2- f (x 1)= f (x 2－
x 1)-2>2-2=0
∴f (x 2)> f (x 1)
∴f (x )在R 上是增函数． ································7 (2)由题意知f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )－2. ∴5＝f (3)＝f (1＋2)＝f (2)＋f (1)－2 ＝f (1)＋f (1)－2＋f (1)－2＝3f (1)－4.
∴f (1)＝3. ····························9 ∴不等式f (a 2
－2a －2)<3等价于
f (a 2－2a －2)<f (1)． (10)
又f (x )在R 上为增函数，∴a 2
－2a －2<1 ·················11 即a 2
－2a －3<0，∴－1<a <3. ....................13 即原不等式的解集为{a |－1<a <3}． (14)
19. （本题满分14分）若函数()f x 对定义域中任一x 均满足()(2)2f x f a x b +-=，则函数()y f x =的图像关于点(,)a b 对称。

（1）已知函数2()x mx m
f x x
++=的图像关于点(0,1)对称，求实数m 的值；
（2）已知函数()g x 在(,0)(0,)-∞+∞U 上的图像关于点(0,1)对称，且当(0,)x ∈+∞ 时，2
()1g x x ax =++，求函数()g x 在(,0)x ∈-∞上的解析式；
（3）在（1）、（2）的条件下，若对实数0x <及0t >，恒有()()g x f t <，求实数a 的取值范围。

解：（1）由题设可得()()2f x f x +-=，解得1m =；…………………………… 3分
（2）当0x <时，2
()2()1g x g x x ax =--=-++； ……………………………6分 （3）由（1）得1()1(0)f t t t t
=++>， 其最小值为(1)3f =，………………7分
2
2
2()1()124
a a g x x ax x =-++=--++， ………………………………………9分
①当02
a
<，即0a <时，2max ()134a g x =+<，得(a ∈-，………….11分 ②当
02
a
≥，即0a ≥时，max ()13g x <<，得[0,)a ∈+∞，……………………13分
由①、②得()a ∈-+∞。

………………………………………………………14分
２１．设M 是满足下列条件的函数构成的集合：① 方程0)(=-x x f 有实数根；② 函数
)(x f 的导数)(x f '满足1)(0<'<x f .
(1)若函数)(x f 为集合M 中的任意一个元素，证明：程0)(=-x x f 只有一个实根； （2）判断函数)1(33
ln 2)(>+-=
x x x x g 是否是集合M 中的元素，并说明理由； （3）设函数)(x f 为集合M 中的元素，对于定义域中任意βα,，当
1|2012|,1|2012|<-<-βα时，
证明：2|)()(|<-βαf f .
解：(1) 令x x f x h -=)()(，则01)()('
'
<-=x f x h ，故)(x h 是单调递减函数,
所以，方程0)(=x h ，即0)(=-x x f 至多有一解， 又由题设①知方程0)(=-x x f 有实数根，
所以，方程0)(=-x x f 有且只有一个实数根…………………………………..4分 (2) 易知，)1,0()2
1
,61(3121)('
⊆∈-=
x x g ，满足条件②；
令)1(33
ln 2)()(>+--
=-=x x x x x g x F ， 则03
72)(,0382)(22
<+-
=>+-=e e F e e F ，…………………………………..7分 又)(x F 在区间[
]2
,e
e 上连续，所以)(x F 在[]2
,e e 上存在零点0
x
，
即方程0)(=-x x g 有实数根[]
2
0,e e x ∈，故)(x g 满足条件①，
综上可知，M x g ∈)(……….……………………………...………. ….…………9分 (3)不妨设βα<，∵0)('
>x f ,∴)(x f 单调递增， ∴)()(βαf f <,即0)()(>-αβf f ，
令x x f x h -=)()(，则01)()('
'
<-=x f x h ，故)(x h 是单调递减函数， ∴ααββ-<-)()(f f ,即αβαβ-<-)()(f f ， ∴αβαβ-<-<)()(0f f ， 则有220122012)()(<-+-≤-<-βαβαβαf f ….……………..….14分。