2017-2018学年高中数学人教A版浙江专版选修2-1讲义：

立体几何中的向量方法
第一课时空间向量与平行、垂直关系
预习课本P102～108，思考并完成以下问题
1．平面的法向量的定义是什么？
2．设直线l的方向向量u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量v＝(a2，b2，c2)，则l∥α，l ⊥α的充要条件分别是什么？
[新知初探]
1．平面的法向量
(1)直线的方向向量
直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的向量．
(2)平面的法向量
直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则a叫做平面α的法向量．
2．空间平行关系的向量表示
(1)线线平行
设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔a∥b⇔a ＝λb⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．
(2)线面平行
设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
(3)面面平行
设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔u∥v⇔u＝λv ⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．
3．空间垂直关系的向量表示
(1)线线垂直
设直线l 的方向向量为a ＝(a 1，a 2，a 3)，直线m 的方向向量为b ＝(b 1，b 2，b 3)，则l ⊥m ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0.
(2)线面垂直
设直线l 的方向向量是a ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量是u ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ⊥α⇔a ∥u ⇔a ＝λu ⇔a 1＝λa 2，b 1＝λb 2，c 1＝λc 2(λ∈R)．
(3)面面垂直
若平面α的法向量u ＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量v ＝(a 2，b 2，c 2)，则α⊥β ⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线l 的方向向量是惟一的( )
(2)若点A ，B 是平面α上的任意两点，n 是平面α的法向量，则AB ·n ＝0( ) (3)若向量n 1，n 2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行( )
答案：(1)× (2)√ (3)√
2．若A (1,0，－1)，B (2,1,2)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量是( ) A ．(2,2,6) B ．(－1,1,3) C ．(3,1,1) D ．(－3,0,1)
答案：A
3．设直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(－2,2,1)，b ＝(3，－2，m )，若l 1⊥l 2，则m 等于( )
A ．－2
B ．2
C ．6
D ．10 答案：D
[典例] ，求平面α的一个法向量．
[解] 因为A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)，所以AB ＝(1，－2，－4)，AC ＝(2，
－4，－3)．设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎨⎧
n ·AB ＝0，n ·AC ＝0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
x －2y －4z ＝0，2x －4y －3z ＝0.得
z ＝0，x ＝2y ，令y ＝1，则x ＝2，所以平面α的一个法向量为n ＝(2,1,0)．
利用待定系数法求法向量的解题步骤
[活学活用]
四边形ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝2，AD ＝1.在如图所示的坐标系Axyz 中，分别求平面SCD 和平面SAB 的一个法向量．
解：A (0,0,0)，D (1,0,0)，C (2,2,0)，S (0,0,2)．
∵AD ⊥平面SAB ，∴AD ＝(1,0,0)是平面SAB 的一个法向量． 设平面SCD 的法向量为n ＝(1，y ，z )， 则n ·DC ＝(1，y ，z )·(1,2,0)＝1＋2y ＝0， ∴y ＝－12
.
又n ·DS ＝(1，y ，z )·(－1,0,2)＝－1＋2z ＝0， ∴z ＝12
.
∴n ＝⎝
⎛⎭⎫1，－12，1
2即为平面SCD 的一个法向量.
[典例] 11111DD 1的中点，求证：
(1)FC 1∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .
[证明] 如图所示建立空间直角坐标系D -xyz ，
则有D (0,0,0)，A (2,0,0)，C 1(0,2,2)，E (2,2,1)，F (0,0,1)，B 1(2，2,2)，
所以FC 1＝(0,2,1)，
DA ＝(2,0,0)，AE ＝(0,2,1)．
(1)设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量， 则n 1⊥DA ，n 1⊥AE ，
即⎩⎨⎧
n 1·DA ＝2x 1＝0，n 1·AE ＝2y 1＋z 1＝0，
得⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＝0，z 1＝－2y 1，
令z 1＝2，则y 1＝－1， 所以n 1＝(0，－1,2)．
因为FC 1·n 1＝－2＋2＝0，所以FC 1⊥n 1. 又因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE . (2)因为C B 11＝(2,0,0)，
设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量． 由n 2⊥FC 1，n 2⊥C B 11，得
⎩⎪⎨⎪⎧
n 2·FC 1＝2y 2＋z 2＝0，n 2·
C B 11＝2x 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＝0，
z 2＝－2y 2.
令z 2＝2，得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)， 因为n 1＝n 2，
所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .
利用向量法证明平行问题的两种途径
(1)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系； (2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明．
[活学活用]
在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝2，P ，Q ，R ，S 分别是AA 1，D 1C 1，AB ，CC 1的中点．
求证：PQ ∥RS .
证明：法一：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz .
则P (3,0,1)，Q (0,2,2)，R (3,2,0)，S (0,4,1)，
PQ ＝(－3,2,1)，RS ＝(－3,2,1)，
∴PQ＝RS，∴PQ∥RS，即PQ∥RS.
法二：RS＝RC＋CS＝1
2
DC－DA＋1
2
DD
1
，
PQ＝PA
1＋A Q
1
＝
1
2
DD
1
＋
1
2
DC－DA，
∴RS＝PQ，∴RS∥PQ，
即RS∥PQ.
利用空间向量证明垂直问题
[典例]如图，在四棱锥E-ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平
面BCE，AB＝BC＝CE＝2CD＝2，∠BCE＝120°.
求证：平面ADE⊥平面ABE.
[证明]取BE的中点O，连接OC，则OC⊥EB，
又AB⊥平面BCE，
∴以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz.如图所示．
则由已知条件有C(1,0,0)，E(0，－3，0)，D(1,0,1)，A(0，3，
2)．
设平面ADE的法向量为n＝(a，b，c)，
则n·EA＝(a，b，c)·(0,23，2)＝23b＋2c＝0，
n·DA＝(a，b，c)·(－1，3，1)＝－a＋3b＋c＝0.
令b＝1，则a＝0，c＝－3，
∴n＝(0,1，－3)，
又AB⊥平面BCE，
∴AB⊥OC，
∴OC⊥平面ABE，
∴平面ABE的法向量可取为m＝(1,0,0)．
∵n·m＝(0,1，－3)·(1,0,0)＝0，
∴n⊥m，∴平面ADE⊥平面ABE.
(1)用向量法判定线面垂直，只需直线的方向向量与平面的法向量平行或直线的方向向量与平面内两相交的直线的方向向量垂直．
(2)用向量法判定两个平面垂直，只需求出这两个平面的法向量，再看它们的数量积是否为0.
[活学活用]
在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1，D 1B 1的中点，求证：EF ⊥平面B 1AC . 证明：设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，
则A (2,0,0)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)，E (2，2,1)，F (1,1,2)．
法一：EF ＝(－1，－1,1)，AB 1＝(0,2,2)，AC ＝(－2,2,0)， ∴EF ·AB 1＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝0，
EF ·AC ＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝0，
∴EF ⊥AB 1，EF ⊥AC ，又AB 1∩AC ＝A ， ∴EF ⊥平面B 1AC .
法二：设平面B 1AC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 又AB 1＝(0,2,2)，AC ＝(－2,2,0)，
则⎩⎪⎨⎪⎧ n ⊥AB 1，n ⊥AC ⇒⎩⎪⎨⎪⎧
n ·AB 1＝2y ＋2z ＝0，n ·AC ＝－2x ＋2y ＝0，
令x ＝1，可得平面B 1AC 的一个法向量为n ＝(1,1，－1)． 又EF ＝－n ，∴EF ∥n ，∴EF ⊥平面B 1AC .
层级一 学业水平达标
1．若n ＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( )
A ．(0，－3,1)
B ．(2,0,1)
C ．(－2，－3,1)
D ．(－2,3，－1)
解析：选D 问题即求与n 共线的一个向量．即n ＝(2，－3，1)＝－(－2,3，－1)． 2．已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量为u ＝(1，－3，z )，向量v ＝(3，－2,1)与平面α平行，则z 等于( )
A ．3
B ．6
C ．－9
D ．9
解析：选C ∵l ⊥α，v 与平面α平行， ∴u ⊥v ，即u ·v ＝0， ∴1×3＋3×2＋z ×1＝0，
∴z ＝－9.
3．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则平面ABC 的一个法向量是( ) A ．(1,1，－1) B ．(1，－1,1) C ．(－1,1,1)
D ．(－1，－1，－1)
解析：选D AB ＝(－1,1,0)，AC ＝(－1,0,1)．
设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩
⎪⎨⎪⎧
－x ＋y ＝0，
－x ＋z ＝0，
取x ＝－1，则y ＝－1，z ＝－1.
故平面ABC 的一个法向量是(－1，－1，－1)．
4．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( ) A ．AC B ．BD C ．A 1D D ．A 1A
解析：选B 建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1. 则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，C 1(0,1,1)，E ⎝⎛⎭⎫12，12，1， ∴CE ＝⎝⎛⎭⎫12
，－1
2，1， AC ＝(－1,1,0)，BD ＝(－1，－1,0)，
A D 1＝(－1,0，－1)，A A 1＝(0,0，－1)．
∵CE ·BD ＝(－1)×1
2＋(－1)×⎝⎛⎭⎫－12＋0×1＝0，∴CE ⊥BD .
5.如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M ，P ，Q 分别为棱AB ，CD ，BC 的中点，平行六面体的各棱长均相等．给出下列结论：
①A 1M ∥D 1P ； ②A 1M ∥B 1Q ； ③A 1M ∥平面DCC 1D 1； ④A 1M ∥平面D 1PQB 1.
这四个结论中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
解析：选C ∵A M 1＝A A 1＋AM ＝A A 1＋1
2
AB ，
D P 1＝D D 1＋DP ＝A A 1＋1
2AB ，
∴A M 1∥D P 1，从而A 1M ∥D 1P ，可得①③④正确． 又B 1Q 与D 1P 不平行，故②不正确．
6. 已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB ＝(2，－1，－4)，AD ＝(4,2,0)，AP ＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP 是平面ABCD 的法向量；④AP ∥BD .其中正确的是_______(填序号)．
解析：由于AP ·AB ＝－1×2＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，AP ·AD ＝4×(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0，
所以①②③正确． 答案：①②③
7．在直角坐标系O -xyz 中，已知点P (2cos x ＋1,2cos 2x ＋2,0)和点Q (cos x ，－1,3)，其中x ∈[0，π]，若直线OP 与直线OQ 垂直，则x 的值为________．
解析：由OP ⊥OQ ，得OP ·OQ ＝0. 即(2cos x ＋1)·cos x ＋(2cos 2x ＋2)·(－1)＝0. ∴cos x ＝0或cos x ＝12.
∵x ∈[0，π]，∴x ＝π2或x ＝π
3.
答案：π2或π
3
8.如图所示，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面是以∠ABC 为直角的等腰三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，点E 在棱AA 1上，要使CE ⊥面B 1DE ，则AE ＝________.
解析：建立如图所示的空间直角坐标系， 则B 1(0,0,3a )，
C (0，2a,0)， D
2a 2，2a 2
，3a . 设E (2a,0，z )(0≤z ≤3a )， 则CE ＝()2a ，－2a ，z ，
B E 1＝(2a,0，z －3a )，
B D 1＝⎝⎛⎭⎫2a 2，2a 2，0.
又CE ·B D 1＝a 2－a 2＋0＝0，
故由题意得2a 2＋z 2－3az ＝0，解得z ＝a 或2a . 故AE ＝a 或2a .
答案：a 或2a
9.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 为PC 的中点，EF ⊥BP 于点F .求证：
(1)PA ∥平面EDB ； (2)PB ⊥平面EFD .
证明：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z
轴建立空间直角坐标系
D -xyz ，如图，设DC ＝PD ＝1，则P (0,0,1)，A (1,0,0)，D (0,0,0)，B (1,1,0)，
E ⎝⎛⎭
⎫0，12，12. ∴PB ＝(1,1，－1)，DE ＝⎝⎛⎭⎫0，12，12，EB ＝⎝⎛⎭⎫1，12，－1
2，设F (x ，y ，z )，则PF ＝(x ，y ，z －1)，
EF ＝⎝⎛⎭⎫x ，y －12，z －1
2. ∵EF ⊥PB ，
∴x ＋⎝⎛⎭⎫y －12－⎝⎛⎭⎫z －1
2＝0，即x ＋y －z ＝0.① 又∵PF ∥PB ，可设PF ＝λPB ， ∴x ＝λ，y ＝λ，z －1＝－λ.② 由①②可知，x ＝13，y ＝13，z ＝23，
∴EF ＝⎝⎛⎭⎫13
，－16，16. (1)设n 1＝(x 1，y 1，z 1)为平面EDB 的一个法向量，则有
⎩⎨⎧
n 1·DE ＝0，
n 1·EB ＝0，即⎩⎨⎧
12y 1＋1
2
z 1＝0，x 1＋12y 1－12z 1＝0，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
x 1＝z 1，
y 1＝－z 1. 取z 1＝－1，则n 1＝(－1,1，－1)． ∵PA ＝(1,0，－1)，∴PA ·n 1＝0. 又∵PA ⊄平面EDB ，∴PA ∥平面EDB .
(2)设n 2＝(x 2，y 2，z 2)为平面EFD 的一个法向量，则有
⎩⎨⎧
n 2·EF ＝0，
n 2·DE ＝0，即⎩⎨⎧
13x 2－16y 2＋1
6
z 2＝0，12y 2＋12z 2＝0，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＝－z 2，
y 2＝－z 2. 取z 2＝1，则n 2＝(－1，－1,1)．
∴PB ∥n 2，∴PB ⊥平面EFD .
10．已知在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，M 分别是BC ，AE 的中点，AD ＝AA 1＝a ，AB ＝2a .试问在线段CD 1上是否存在一点N 使MN ∥平面ADD 1A 1，若存在确定N 的位置，若不存在说明理由．
解：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A (a ，0,0)，B (a,2a,0)， C (0，2a,0)，D 1(0,0，a )， E ⎝⎛⎭⎫12a ，2a ，0，M ⎝⎛⎭
⎫3
4a ，a ，0， DC ＝(0,2a,0)，CD 1＝(0，－2a ，a )，假设CD 1上存在点N 使MN ∥平面ADD 1A 1并
设CN ＝λCD 1＝(0，－2aλ，aλ)(0<λ<1)．
则DN ＝DC ＋CN ＝(0,2a,0)＋(0，－2aλ，aλ) ＝(0,2a (1－λ)，aλ)，
MN ＝DN －DM ＝⎝⎛⎭⎫－3
4a ，a －2aλ，aλ. 又DC 是平面ADD 1A 1的一个法向量． ∴MN ⊥DC ，则2a (a －2aλ)＝0，λ＝1
2.
又MN ⊄平面ADD 1A 1.
故存在N 为CD 1的中点使MN ∥平面ADD 1A 1.
层级二 应试能力达标
1．已知a ＝⎝⎛⎭⎫1，2，52，b ＝⎝⎛⎭⎫3
2，x ，y 分别是直线l 1，l 2的一个方向向量．若l 1∥l 2，则( )
A ．x ＝3，y ＝
15
2
B ．x ＝32，y ＝15
4
C ．x ＝3，y ＝15
D ．x ＝3，y ＝
15
4
解析：选D ∵l 1∥l 2，∴3
21＝x 2＝y 52
，∴x ＝3，y ＝15
4
，故选D.
2.在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD -A 1B 1C 1D 1是棱长为1的正方体，给出下列结论：
①平面ABB 1A 1的一个法向量为(0,1,0)； ②平面B 1CD 的一个法向量为(1,1,1)； ③平面B 1CD 1的一个法向量为(1,1,1)；
④平面ABC 1D 1的一个法向量为(0,1,1)． 其中正确结论的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
解析：选B ∵AD ＝(0,1,0)，AB ⊥AD ，AA 1⊥AD ，又AB ∩AA 1＝A ，∴AD ⊥平面ABB 1A 1，∴①正确；
∵CD ＝(－1,0,0)，而(1,1,1)·CD ＝－1≠0，∴(1,1,1)不是平面B 1CD 的法向量，∴②不正确；
∵B C 1＝(0,1，－1)，CD 1＝(－1,0,1)，(1,1,1)·B C 1＝0，(1,1,1)·CD 1＝0，B 1C ∩CD 1
＝C ，∴(1,1,1)是平面B 1CD 1的一个法向量，∴③正确；
∵BC 1＝(0,1,1)，而BC 1·(0,1,1)＝2≠0，∴(0,1,1)不是平面ABC 1D 1的法向量，即④不正确．因此正确结论的个数为2，选B.
3．已知平面α内有一个点A (2，－1,2)，α的一个法向量为n ＝(3,1,2)，则下列点P 中，在平面α内的是( )
A ．(1，－1,1) B.⎝
⎛⎭⎫1，3，3
2 C.⎝
⎛⎭⎫1，－3，3
2
D.⎝
⎛⎭⎫－1，3，－32 解析：选B 要判断点P 是否在平面α内，只需判断向量与平面α的法向量n 是
否垂直，即
·n 是否为0，因此，要对各个选项进行检验．对于选项A ，
＝(1,0,1)，则·n ＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A ；对于选项B ，＝⎝
⎛⎭⎫1，－4，1
2，则·n ＝⎝
⎛⎭⎫1，－4，1
2·(3,1,2)＝0，故B 正确；同理可排除C 、D.故选B.
4.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B ，AC 的中点，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )
A ．相交
B ．平行
C ．垂直
D ．不能确定
解析：选B 建系如图，设正方体的棱长为2，则A (2,2,2)，A 1(2,2,0)，C (0,0,2)，B (2,0,2)，
∴M (2,1,1)，N (1,1,2)， ∴MN ＝(－1,0,1)．
又平面BB 1C 1C 的一个法向量为n ＝(0,1,0)，
∵－1×0＋0×1＋1×0＝0， ∴MN ⊥n ，
∴MN ∥平面BB 1C 1C .故选B.
5．若直线l 的一个方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的一个法向量为u ＝(－2,0，－4)，则直线l 与平面α的位置关系为________．
解析：∵u ＝－2a ，∴a ∥u ，∴l ⊥α. 答案：l ⊥α
6．已知AB ＝(1,5，－2)，BC ＝(3,1，z )，若AB ⊥BC ，BP ＝(x －1，y ，－3)，且
BP ⊥平面ABC ，则BP ＝________.
解析：∵AB ⊥BC ，∴AB ·BC ＝0，∴3＋5－2z ＝0， ∴z ＝4.
∵BP ＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，
∴⎩⎨⎧
BP ·AB ＝0， BP ·
BC ＝0，即⎩⎪⎨
⎪⎧
x －1＋5y ＋6＝0，3x －3＋y －12＝0，解得⎩⎨⎧
x ＝40
7，
y ＝－15
7
，
故BP ＝⎝⎛⎭⎫337，－15
7，－3. 答案：⎝⎛⎭
⎫337，－15
7，－3
7.如图，在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面边长为22，侧棱长为4，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点．求证：平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1.
证明：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图，
由题意，知D (0,0,0)，A (22，0,0)，C (0,22，0)，B 1(22，22，4)， E (22，2，0)，F (2，22，0)， 则B E 1＝(0，－2，－4)，
EF ＝(－2，2，0)．
设平面B 1EF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．
则n ·B E 1＝－2y －4z ＝0，n ·EF ＝－2x ＋2y ＝0， 得x ＝y ，z ＝－
24y ，令y ＝1，得n ＝⎝
⎛⎭⎫1，1，－24.
又平面BDD 1B 1的一个法向量为AC ＝(－22，22，0)， 而n ·AC ＝1×(－22)＋1×22＋⎝⎛
⎭
⎫
－
24×0＝0， 即n ⊥AC ，∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1.
8.如图，在三棱锥P -ABC 中，三条侧棱PA ，PB ，PC 两两垂直，且PA ＝PB ＝PC ＝3，G 是△PAB 的重心，E ，F 分别为BC ，PB 上的点，且BE ∶EC ＝PF ∶FB ＝1∶2.
(1)求证：平面GEF ⊥平面PBC ； (2)求证：EG 与直线PG 和BC 都垂直．
证明：(1)如图，以三棱锥的顶点P 为原点，以PA ，PB ，PC 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系P -xyz .
则A (3,0,0)，B (0,3,0)，C (0,0,3)，E (0,2,1)，F (0,1,0)，G (1,1,0)，P (0，0,0)． 于是EF ＝(0，－1，－1)，EG ＝(1，－1，－1)． 设平面GEF 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，
则⎩⎨⎧
n ⊥EF ，n ⊥EG ，
即⎩⎪⎨⎪⎧
y ＋z ＝0，x －y －z ＝0，可取n ＝(0,1，－1)．
显然PA ＝(3,0,0)是平面PBC 的一个法向量．
又n ·
PA ＝0， ∴n ⊥PA ，
即平面PBC 的法向量与平面GEF 的法向量垂直， ∴平面GEF ⊥平面PBC .
(2)由(1)，知EG ＝(1，－1，－1)，
PG ＝(1,1,0)，BC ＝(0，－3,3)，
∴EG ·PG ＝0，EG ·BC ＝0， ∴EG ⊥PG ，EG ⊥BC ， ∴EG 与直线PG 和BC 都垂直．
第二课时 空间向量与空间角、距离
预习课本P109～110，思考并完成以下问题
1．如何利用空间向量求两异面直线所成的角，直线与平面所成的角及二面角？
2．如何利用空间向量求点到平面的距离？
[新知初探]
1．空间角及向量求法
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等( )
(2)直线l 与平面α的法向量的夹角的余角就是直线l 与平面α所成的角( ) (3)二面角α-l -β的大小为θ，平面α，β的法向量分别为n 1，n 2，则θ＝n 1，n 2( )
答案：(1)× (2)× (3)×
2．已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α的方向向量、法向量，若cos m ，n ＝－1
2，
则直线l 与平面α所成的角为( )
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
答案：A
3．已知两平面的法向量分别为m ＝(0,1,0)，n ＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为( )
A ．45°
B ．135°
C ．45°或135°
D ．90°
答案：C
求两异面直线所成的角
[典例] 如图，在三棱锥V -ABC 中，顶点C 在空间直角坐标系的原点处，
顶点A ，B ，V 分别在x ，y ，z 轴上，D 是线段AB 的中点，且AC ＝BC ＝2，∠VDC ＝π
3
，求异面直线AC 与VD 所成角的余弦值．
[解] AC ＝BC ＝2，D 是AB 的中点，所以 C (0,0,0)，A (2,0,0)，B (0,2,0)，D (1,1,0)．
在Rt △VCD 中，CD ＝2，∠VDC ＝π
3，故V (0,0，6)．
所以AC ＝(－2,0,0)，VD ＝(1,1，－6)． 所以cos 〈AC ，VD 〉＝
AC ·VD |AC ||VD |＝－22·
22＝－24.
所以异面直线AC 与VD 所成角的余弦值为
24
.
利用空间向量求两条异面直线所成的角，可以避免复杂的几何作图和论证过程，只需通过相应的向量运算即可，但应注意：用向量法求两条异面直线所成的角是通过两条直线的方向向量的夹角来求解的，而两条异面直线所成角θ的取值范围是0，π
2，两向量的夹角α的
取值范围是[0，π]，所以cos θ＝|cos α|.
[活学活用]
如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，面ABCD 与面D 1C 1CD 垂直，且∠D 1DC ＝π3，DC ＝DD 1＝2，DA ＝3，∠ADC ＝π
2
，求异面直线
A 1C 与AD 1所成角的余弦值．
解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A (3，0,0)，D 1(0,1，
3)，C (0,2,0)，D (0,0,0)．
由AA 1＝DD 1得A 1(3，1，3)． ∴A C 1＝(－3，1，－3)．
D A 1＝(3，－1，－3)．
∴cos 〈A C 1，D A 1〉＝
A C 1·D A
1| A C 1|·|D A 1|
＝
(－3，1，－3)·(3，－1，－3)7·7
＝－1
7.
∴异面直线A 1C 与AD 1所成角的余弦值为1
7
.
[典例] BAD
＝90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝AB ＝2BC ，M ，N 分别为PC ，PB 的中点．
(1)求证：PB ⊥DM ；
(2)求BD 与平面 ADMN 所成的角．
[解] 如图，以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系，
设BC ＝1，则A (0,0,0)，P (0,0,2)，B (2,0,0)，D (0,2,0)，C (2,1,0)，M ⎝⎛⎭
⎫1，1
2，1. (1)证明：PB ·
DM ＝ (2,0，－2)·⎝
⎛⎭⎫1，－32，1＝0， ∴PB ⊥DM ，即PB ⊥DM .
(2)∵PB ·AD ＝(2,0，－2)·(0,2,0)＝0， ∴PB ⊥AD .
又∵PB ⊥DM ，∴PB ⊥平面ADMN . 即PB 为平面ADMN 的一个法向量．
因此〈PB ，DB 〉的余角即是BD 与平面ADMN 所成的角． ∵cos 〈PB ，DB 〉＝
PB ·DB | PB |·|DB |＝422×22＝12
，
∴〈PB ，DB 〉＝π3，∴BD 与平面ADMN 所成的角为π
6
.
求直线与平面的夹角的方法与步骤
思路一：找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)．
思路二：用向量法求直线与平面的夹角可利用向量夹角公式或法向量．利用法向量求直线与平面的夹角的基本步骤：
(1)建立空间直角坐标系； (2)求直线的方向向量AB ； (3)求平面的法向量n ；
(4)计算：设线面角为θ，则sin θ＝|n ·
AB ||n |·|AB |
.
[活学活用]
如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1 中，E 是棱DD 1的中点． 求直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值．
解：设正方体的棱长为1.如图所示，以AB ，AD ，AA 1为单位正交基底建立空间直角坐标系O -xyz .
依题意，得B (1,0,0)，E 0,1，1
2，A (0,0,0)，D (0,1,0)，所以BE ＝⎝⎛⎭⎫－1，1，12，AD ＝(0,1,0)．
在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，因为AD ⊥平面ABB 1A 1，所以AD 是平面ABB 1A 1的一个法向量．设直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角为θ，
则sin θ＝
|BE ·AD |
|BE |·|AD |＝
1
32
×1＝2
3
.
故直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值为2
3
.
[典例] 如图，四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，AC ∩BD
＝O ，A 1C 1∩B 1D 1＝O 1，四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形．
(1)证明：O 1O ⊥底面ABCD .
(2)若∠CBA ＝60°，求二面角C 1-OB 1-D 的余弦值．
[解] (1)证明：因为四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形，所以CC 1⊥AC ，DD 1
⊥BD ，
又CC 1∥DD 1∥OO 1，所以OO 1⊥AC ，OO 1⊥BD ， 因为AC ∩BD ＝O ，所以O 1O ⊥底面ABCD .
(2)因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD 为菱形，AC ⊥BD .又O 1O ⊥底面ABCD ，所以OB ，OC ，OO 1两两垂直．如图，以O 为原点，OB ，OC ，OO 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．
设棱长为2，因为∠CBA ＝60°，所以OB ＝3，OC ＝1， 所以O (0,0,0)，B 1(3，0,2)，C 1(0,1,2)， 平面BDD 1B 1的一个法向量为n ＝(0,1,0)， 设平面OC 1B 1的法向量为m ＝(x ，y ，z )，
则由m ⊥OB 1，m ⊥OC 1，所以⎩⎨⎧
3x ＋2z ＝0，y ＋2z ＝0
取z ＝－3，则x ＝2，y ＝23， 所以m ＝(2,23，－3)， 所以cos m ，n ＝
m·n |m ||n |＝2319
＝257
19. 由图形可知二面角C 1-OB 1-D 的大小为锐角， 所以二面角C 1-OB 1-D 的余弦值为257
19
. [一题多变]
1．[变设问]本例条件不变，求二面角B -A 1C -D 的余弦值． 解：建立如图所示的空间直角坐标系．设棱长为2，则A
1(0，－1,2)，B (3，0,0)，C (0,1,0)，D ()－3，0，0.
所以BC ＝()－3，1，0，A C 1＝(0,2，－2)，CD ＝(－3，－1,0)． 设平面A 1BC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，
则⎩⎪⎨⎪⎧
n 1·A C 1＝0，n 1·
BC ＝0，即⎩⎨⎧
2y 1－2z 1＝0，－3x 1＋y 1＝0，
取x 1＝3，则y 1＝z 1＝3， 故n 1＝(3，3,3)．
设平面A 1CD 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，
则⎩⎪⎨⎪⎧
n 2·A C 1＝0，n 2·A C 1＝0，
即⎩⎨⎧
2y 2－2z 2＝0，
－3x 2－y 2＝0，
取x 2＝3，则y 2＝z 2＝－3， 故n 2＝(3，－3，－3)． 所以cos n 1，n 2＝
n 1·n 2|n 1||n 2|＝－1521＝－5
7
. 由图形可知二面角B -A 1C -D 的大小为钝角， 所以二面角B -A 1C -D 的余弦值为－5
7
.
2．[变条件、变设问]本例四棱柱中，∠CBA ＝60°改为∠CBA ＝90°，设E ，F 分别是棱BC ，CD 的中点，求平面AB 1E 与平面AD 1F 所成锐二面角的余弦值．
解：以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，设此棱柱的棱长为1，则A (0,0,0)，B 1(1,0,1)，
E ⎝⎛⎭
⎫1，1
2，0，D 1(0,1,1)， F ⎝⎛⎭⎫12，1，0，AE ＝⎝⎛⎭⎫1，12，0，AB 1＝(1,0,1)，AF ＝⎝⎛⎭⎫12，1，0，AD 1＝(0,1,1)．
设平面AB 1E 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·AB 1＝0，n 1·AE ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＋z 1＝0，x 1＋1
2y 1＝0， 令y 1＝2，则x 1＝－1，z 1＝1， 所以n 1＝(－1,2,1)．
设平面AD 1F 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)． 则⎩⎪⎨⎪⎧
n 2·AD 1＝0，
n 2·AF ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧
y 2＋z 2＝0，12x 2＋y 2＝0.
令x 2＝2，则y 2＝－1，z 2＝1. 所以n 2＝(2，－1,1)．
所以平面AB 1E 与平面AD 1F 所成锐二面角的余弦值为|n 1·n 2||n 1||n 2|＝36×6＝1
2
.
向量法求二面角(或其某个三角函数值)的四个步骤
(1)建立适当的坐标系，写出相应点的坐标； (2)求出两个半平面的法向量n 1，n 2；
(3)设二面角的平面角为θ，则|cos θ|＝|cos n 1，n 2|；
(4)根据图形判断θ为钝角还是锐角，从而求出θ(或其三角函数值)．
用空间向量求距离
[典例] 四棱锥P -ABCD 中，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DA ＝2，F ，E 分别为AD ，PC 的中点．
(1)求证：DE ∥平面PFB ； (2)求点E 到平面PFB 的距离．
[解] (1)证明：以D 为原点， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则P (0,0,2)，F (1,0,0)，B (2,2,0)，E (0,1,1)．
FP ＝(－1,0,2)，FB ＝(1,2,0)，DE ＝(0,1,1)，
∴DE ＝12FP ＋1
2FB ，
∴DE ∥平面PFB . 又∵DE ⊄平面PFB ， ∴DE ∥平面PFB . (2)∵DE ∥平面PFB ，
∴点E 到平面PFB 的距离等于点D 到平面PFB 的距离． 设平面PFB 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，
则⎩⎨⎧
n ·FB ＝0，n ·
FP ＝0⇒⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2y ＝0，－x ＋2z ＝0，
令x ＝2，得y ＝－1，z ＝1.
∴n ＝(2，－1,1)，又∵FD ＝(－1,0,0)， ∴点D 到平面PFB 的距离 d ＝
|FD ·n ||n |＝26＝6
3
.
∴点E 到平面PFB 的距离为
63
.
求点到平面的距离的四步骤
[活学活用]
在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是A 1B 1，CD 的中点，求点B 到平面AEC 1F 的距离．
解：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1,0,0)，
F ⎝⎛⎭⎫0，12，0，E ⎝⎛⎭⎫1，12，1，B (1,1,0)．∴AE ＝⎝⎛⎭⎫0，1
2，1，AF ＝－1，12
，0.
设平面AEC 1F 的法向量为n ＝(1，λ，μ)， 则n ·AE ＝0，n ·AF ＝0.
∴⎩⎨⎧
1
2λ＋μ＝0，－1＋1
2λ＝0，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
λ＝2，
μ＝－1， ∴n ＝(1,2，－1)． 又∵AB ＝(0,1,0)，
∴点B 到平面AEC 1F 的距离d ＝|AB ·n ||n |＝26＝6
3
.
层级一 学业水平达标
1．已知平面α的一个法向量为n ＝(－2，－2,1)，点A (－1,3,0)在平面α内，则点P (－2,1,4)到平面α的距离为( )
A ．10
B ．3 C.8
3
D.103
解析：选D 点P 到平面α的距离d ＝|PA ·n ||n |＝|－2－4－4|4＋4＋1
＝10
3.
2．已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )
A.2
3 B.33
C.23
D.13
解析：选A 建立如图所示的空间直角坐标系，设AA 1＝2AB ＝2，则B (1,1,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，C 1(0,1,2)，故DB ＝(1,1,0)，DC 1＝(0,1,2)，DC
＝(0,1,0)．设平面BDC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩
⎪⎨⎪⎧
n ·
DB ＝0，n ·DC 1＝0，即
⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＝0，
y ＋2z ＝0，令z ＝1，则y ＝－2，x ＝2，所以平面BDC 1的一个法向量为n ＝(2，－2,1)．设直线CD 与平面BDC 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，DC 〉|＝
|n ·DC |
|n |·|DC |＝2
3
，故选A.
3．在60°的二面角α-l -β的棱l 上有两点A ，B ，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，AC ⊥l ，BD ⊥l ，若AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，则CD 的长为( )
A ．229
B ．217
C ．2 5
D ．241
解析：选B 由已知，可得AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，∵二面角的大小为60°，则〈
，〉＝60°.∴〈，
〉＝120°，∴||2＝(＋
＋)2＝|
|2＋|
|2＋|
|2＋2
·
＋2
·
＋
2
·
＝36＋16＋64＋2×6×8×cos 120°＝68.∴CD ＝68＝217.
4．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝2，DD 1＝3，则AC 与BD 1所成角的余弦值为( )
A ．0 B.37070 C ．－37070 D.70
70
解析：选A 建立如图坐标系，则D 1(0,0,3)，B (2,2,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，
∴BD 1＝(－2，－2,3)，
AC ＝(－2,2,0)．
∴cos 〈BD 1，AC 〉＝
BD 1·AC
|BD 1||AC |
＝0.
∴〈BD 1，AC 〉＝90°，其余弦值为0.
5．正方形ABCD 所在平面外有一点P ，PA ⊥平面ABCD .若PA ＝AB ，则平面PAB 与平面PCD 所成的二面角的大小为( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90° 解析：选B 建系如图，设AB ＝1，
则A (0,0,0)，B (0,1,0)， P (0,0,1)，D (1,0,0)，C (1,1,0)． 平面PAB 的法向量为n 1＝(1,0,0)． 设平面PCD 的法向量n 2＝(x ，y ，z )，
则⎩⎨⎧
n 2·PD ＝0，n 2·
CD ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧
x －z ＝0，y ＝0.
令x ＝1，则z ＝1.∴n 2＝(1,0,1)， cos 〈n 1，n 2〉＝
12＝22
. ∴平面PAB 与平面PCD 所成的二面角的余弦值为22
. ∴此角的大小为45°.
6．直线l 的方向向量a ＝(－2,3,2)，平面α的一个法向量n ＝(4,0,1)，则直线l 与平面α所成角的正弦值为___________________________________________________________．
解析：设直线l 与平面α所成的角是θ，a ，n 所成的角为β，sin θ＝|cos β|＝|(－2，3，2)·(4，0，1)|17×17
＝6
17. 答案：
6
17
7．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱AA 1和BB 1的中点，则sin 〈CM ，
D N 1〉＝________.
解析：建立如图所示空间直角坐标系，设正方体棱长为2. 则C (0,2,0)，M (2,0,1)，D 1(0,0,2)，N (2,2,1)． ∴CM ＝(2，－2,1)，
D N 1＝(2,2，－1)．
cos 〈CM ，D N 1〉＝
4－4－13×3
＝－1
9.
∴sin 〈CM ，D N 1〉＝45
9.
答案：
45
9
8.如图正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是平面A 1B 1C 1D 1的中心，则BO 与平面ABC 1D 1所成角的正弦值为________．
解析：建立空间直角坐标系如图，则B (1,1,0)，O ⎝⎛⎭⎫
12，1
2，1，
DA 1＝(1,0,1)是平面ABC 1D 1的一个法向量．
又OB ＝⎝⎛⎭⎫12，12，－1，
∴BO 与平面ABC 1D 1所成角的正弦值为 |OB ·DA 1|
|OB |·|DA 1|＝1
2
62×2
＝3
6.
答案：
36
9.如图，在四棱锥PABCD 中，AB ⊥PA ，AB ∥CD ，且PB ＝BC ＝BD ＝6，CD ＝2AB ＝22，∠PAD ＝120°.
(1)求证：平面PAD ⊥平面PCD ；
(2)求直线PD 与平面PBC 所成的角的正弦值． 解：(1)证明：取CD 的中点E ，连接BE . ∵BC ＝BD ，E 为CD 中点，∴BE ⊥CD ， 又∵AB ∥CD ，AB ＝1
2CD ＝DE ，
∴四边形ABED 是矩形，∴AB ⊥AD ，
又AB ⊥PA ，PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，PA ∩AD ＝A ，∴AB ⊥平面PAD . ∵AB ∥CD ，∴CD ⊥平面PAD ， 又CD ⊂平面PCD ， ∴平面PAD ⊥平面PCD .
(2)以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，以平面ABCD 过点A
的垂线为z 轴建立空间直角坐标系Axyz ，如图所示：
∵PB ＝BD ＝6，AB ＝2，AB ⊥PA ，AB ⊥AD ， ∴PA ＝AD ＝2.
∴P (0，－1，3)，D (0,2,0)，B (2，0,0)，C (22，2,0)，
∴
＝(0,3，－3)，
＝(－2，－1，3)，
＝(2，2,0)．
设平面PBC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，
则⎩⎨⎧
n ·＝0，n ·＝0.
∴⎩⎨⎧
2x ＋2y ＝0，－2x －y ＋3z ＝0，
取x ＝2，得n ＝
⎝
⎛⎭⎫2，－1，33，
∴cos 〈n ，〉＝
n ·|n ||
|
＝－410
3
·23＝－10
5.
∴直线PD 与平面PBC 所成的角的正弦值为
105
.
10.如图，四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，AD ＝CD ＝1，∠BAD ＝120°，∠ACB ＝90°.
(1)求证：BC ⊥平面PAC ； (2)若二面角D -PC -A 的余弦值为
5
5
，求点A 到平面PBC 的距离． 解：(1)证明：∵PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥BC ，
∵∠ACB ＝90°，∴BC ⊥AC ，又PA ∩AC ＝A ， ∴BC ⊥平面PAC .
(2)设AP ＝h ，取CD 的中点E ，则AE ⊥CD ，∴AE ⊥AB .又PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥AE ，PA ⊥AB ，故建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，P (0,0，h )，C
32，1
2
，0， D
32，－1
2
，0，B (0,2,0)， PC ＝⎝⎛⎭⎫32，12，－h ，DC ＝(0,1,0)，
设平面PDC 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，
则⎩⎨⎧
n 1·PC ＝0，n 1·DC ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧
32x 1＋12y 1－hz 1＝0，
y 1＝0，
取x 1＝h ，∴n 1＝⎝⎛⎭
⎫h ，0，
32. 由(1)知平面PAC 的一个法向量为BC ＝
32，－3
2
，0， ∴|cos n 1，BC
|＝
3
2h h 2＋3
4
×3
＝5
5， 解得h ＝3，
同理可求得平面PBC 的一个法向量n 2＝(3，3，2)， 所以，点A 到平面PBC 的距离为 d ＝
|AP ·n 2||n 2|＝234＝3
2
. 层级二 应试能力达标
1.如图所示，已知四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是菱形，且PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝AC ，点F 为PC 的中点，则二面角C -BF -D 的正切值为( )
A.3
6 B.34
C.
33
D.233
解析：选D 如图所示，设AC 与BD 交于O ，连接OF .以O 为坐标原点，OB ，OC ，OF 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O -xyz .
设PA ＝AD ＝AC ＝1，则BD ＝3， 所以O (0,0,0)，B
⎝⎛⎭
⎫32，0，0，F ⎝⎛⎭⎫0，0，12，C ⎝⎛⎭⎫0，12，0，OC ＝
⎝⎛⎭⎫0，12，0，易知OC 为平面BDF 的一个法向量，由BC ＝⎝⎛⎭⎫－32，12，0，FB ＝
⎝⎛⎭⎫32
，0，－12，
可得平面BCF 的一个法向量为n ＝(1，3，3)．所以cos n ，OC ＝
217
，sin
n ，OC
＝277
，所以tan n ，OC ＝23
3
.
2．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，B 1C 和C 1D 与底面所成角分别为60°和45°，则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为( )
A.
64 B.104 C.32 D.3
4
解析：选A 建立如图的空间直角坐标系，可知∠CB 1C 1＝60°，∠DC 1D 1
＝45°，
设B 1C 1＝1，CC 1＝3＝DD 1.
∴C 1D 1＝3，则有B 1(3，0,0)，C (3，1，3)，C 1(3，1,0)，D (0,1，3)． ∴B C 1＝(0,1，3)，C D 1＝(－3，0，3)． ∴cos 〈B C 1，C D 1〉＝
B C 1·C D
1|B C 1||C D 1|＝326＝64
.
3．在三棱锥P -ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝1
2PA ，点O ，D 分别是AC ，PC 的中点，
OP ⊥底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值为( )
A.
216 B.833 C.21060 D.21030
解析：选D 不妨设AB ＝BC ＝1
2PA ＝2，∵OP ⊥底面ABC ，∴PO ＝14.
根据题意，以B 为原点，BA ，BC 所在直线分别为x ，y 轴建立空间直角坐标系B -xyz ，如图所示．
则A (2,0,0)，B (0,0,0)，C (0,2,0)，P (1,1，14)． ∵点O ，D 分别是AC ，PC 的中点， ∴OD ＝12AP ＝⎝⎛⎭⎫－12，1
2，
142. 又BC ＝(0,2,0)，BP ＝(1,1，14)， 设平面PBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，
则⎩⎨⎧
n ·BC ＝0，n ·
BP ＝0，即⎩⎨⎧
y ＝0，
x ＋y ＋14z ＝0，
取n ＝(－14，0,1)， ∴cos n ，OD ＝n ·OD |n ||OD |
＝21030，∴sin θ＝21030(θ为OD 与平面PBC 所成的角)，
故选D.
4．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为( ) A.2
3
B.33
C.2
3
D.63
解析：选D 不妨设正方体的棱长为1，如图建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，B (1,1,0)，B 1(1,1,1)．
平面ACD 1的法向量为DB 1＝(1,1,1)， 又BB 1＝(0,0,1)，
∴cos
DB 1，BB 1
＝DB 1·BB 1
|DB 1||BB 1|
＝13×1＝3
3.
∴BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为
1－
⎝⎛⎭⎫332＝63
.
5.如图，已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各条棱长都相等，M 是侧棱CC 1
的中点，则异面直线AB 1和BM 所成角的大小是________．
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，O 为BC 中点，设三棱柱的棱长为2a ，
则点A (3a,0,0)，B (0，a,0)，B 1(0，a,2a )，M (0，－a ，a )，
AB 1＝(－3a ，a,2a )，BM ＝(0，－2a ，a )，
所以AB 1·BM ＝0，
因此异面直线AB 1与BM 所成的角为90°. 答案：90°
6.正三角形ABC 与正三角形BCD 所在的平面互相垂直，则直线CD 与平
面ABD 所成角的正弦值为________．
解析：取BC 的中点O ，连接AO ，DO ，建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz .
设BC ＝1，则A ⎝⎛
⎭
⎫0，0，
32，
B ⎝⎛⎭⎫0，－12，0，
C ⎝⎛⎭⎫0，12，0，
D 32，0,0，所以BA ＝⎝⎛⎭⎫0，12，32， BD ＝⎝⎛⎭⎫32，12，0，CD ＝⎝⎛⎭⎫32，－1
2，0.
设平面ABD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，
则⎩⎨
⎧
n ·BA ＝0，n ·
BD ＝0，所以⎩⎨
⎧
12y ＋3
2
z ＝0，32x ＋1
2y ＝0，
取x ＝1，则y ＝－3，z ＝1，所以n ＝(1，－3，1)， 所以cos n ，CD ＝32＋325×1＝15
5，
因此直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为155
. 答案：
15
5
7.如图，四边形ABCD 中，△BCD 为正三角形，AD ＝AB ＝2，BD ＝23，AC 与BD 交于O 点，将△ACD 沿边AC 折起，使D 点至P 点，已知PO 与平面ABCD 所成的角为θ，且P 点在平面ABCD 内的射影落在△ACD 内．
(1)求证：AC ⊥平面PBD ； (2)若已知二面角APBD 的余弦值为
21
7
，求θ的大小． 解：(1)证明：由题意，O 为BD 的中点，则AC ⊥BD ， 又AC ⊥PO ，BD ∩PO ＝O ， 所以AC ⊥平面PBD .
(2)以OB 为x 轴，OC 为y 轴，过O 垂直于平面ABC 向上的直线为z 轴建立如图所示空间直角坐标系，
则A (0，－1,0)，B
(3，0,0)，P (－3cos θ，0，3sin θ)， 则
＝(3，1,0)，
＝(－3cos θ，1，3sin θ)，
平面PBD 的法向量为j ＝(0,1,0)， 设平面ABP 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，
则由⎩
⎪⎨
⎪⎧
n ⊥，
n ⊥，得⎩⎨⎧
3x ＋y ＝0，
－3x cos θ＋y ＋3z sin θ＝0.
令x ＝1，得n ＝⎝
⎛⎭
⎫
1，－3，cos θ＋1sin θ.
∴cos 〈n ，j 〉＝
|n ·j |
|n ||j |
＝34＋
(cos θ＋1)2
sin 2θ
＝21
7，
∴(cos θ＋1)2sin 2
θ＝3，化简得cos θ＝12
，
又θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴θ＝π3
.
8.如图所示，四边形ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，△ABE
为等边三角形，且平面ABCD ⊥平面ABE ，AB ＝2CD ＝2BC ＝2，P 为CE 的中点．
(1)求证：AB ⊥DE ；
(2)求平面ADE 与平面BCE 所成锐二面角的余弦值；
(3)在△ABE 内是否存在一点Q ，使PQ ⊥平面CDE ？如果存在，求出PQ 的长；如果不存在，请说明理由．
解：(1)证明：如图，取AB 的中点O ，连接OD ，OE . 因为△ABE 是等边三角形，所以AB ⊥OE .
因为四边形ABCD 是直角梯形，CD ＝1
2AB ，AB ∥CD ，
所以四边形OBCD 是平行四边形，OD ∥BC . 又AB ⊥BC ，所以AB ⊥OD . 又OE ∩OD ＝O ， 所以AB ⊥平面ODE . 又DE ⊂平面ODE ， 所以AB ⊥DE .
(2)因为平面ABCD ⊥平面ABE ， AB ⊥OE ，所以OE ⊥平面ABCD . 又OD ⊂平面ABCD ， 所以OE ⊥OD .
如图所示，以O 为坐标原点建立空间直角坐标系．
则A (1,0,0)，B (－1,0,0)，D (0,0,1)，C (－1,0,1)，E (0，3，0)，所以
AD ＝(－1,0,1)，DE ＝(0, 3，－1)，
设平面ADE 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，
则⎩⎨⎧
n 1·DE ＝0，n 1·AD ＝0，
即⎩⎨⎧
3y 1－z 1＝0，－x 1＋z 1＝0，
令z 1＝1，则x 1＝1，y 1＝
33，所以n 1＝⎝⎛⎭
⎫1，33，1. 同理求得平面BCE 的法向量为n 2＝(－3，1,0)． 设平面ADE 与平面BCE 所成的锐二面角为θ，
则cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝7
7
.
所以平面ADE 与平面BCE 所成锐二面角的余弦值为
77
. (3)假设在△ABE 内存在满足题意的点Q ，设Q (x 2，y 2,0)．
因为P ⎝⎛⎭
⎫－12，32，12， 所以PQ ＝⎝⎛⎭⎫x 2＋12，y 2－32，－12. 又CD ＝(1,0,0)，DE ＝(0，3，－1)，
依题意⎩⎪⎨⎪⎧
PQ ·
CD ＝0 PQ ·DE ＝0，即⎩⎨
⎧
x 2＋1
2＝0，3×⎝⎛⎭⎫y 2－32＋12
＝0，
解得x 2＝－12，y 2＝3
3，
则点Q 在△ABE 内．
所以存在点Q ⎝⎛⎭
⎫－1
2，33，0，使PQ ⊥平面CDE ，此时PQ ＝33.
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设空间向量a ＝(1,2,1)，b ＝(2,2,3)，则a ·b ＝( ) A ．(2,4,3) B ．(3,4,4) C ．9
D ．－5
解析：选C ∵a ＝(1,2,1)，b ＝(2,2,3)， ∴a ·b ＝1×2＋2×2＋1×3＝9.
2．设l 1的方向向量为a ＝(1,2，－2)，l 2的方向向量为b ＝(－2,3，m )，若l 1⊥l 2，则m 等于( )
A ．1
B ．2 C.1
2
D ．3
解析：选B 若l 1⊥l 2，则a ⊥b ，∴a ·b ＝0， ∴1×(－2)＋2×3＋(－2m )＝0，解得m ＝2.
3．已知向量i ，j ，k 是一组单位正交向量，m ＝8j ＋3k ，n ＝－i ＋5j －4k ，则m ·n ＝( ) A ．7
B ．－20
C ．28
D ．11
解析：选C 因为m ＝(0,8,3)，n ＝(－1,5，－4)，所以m ·n ＝0＋40－12＝28. 4．已知二面角αl β的大小为π
3，m ，n 为异面直线，且m ⊥α，n ⊥β，则m ，n 所成的
角为( )
A.π6
B.π3
C.π2
D.2π3
解析：选B 设m ，n 的方向向量分别为m ，n . 由m ⊥α，n ⊥β知m ，n 分别是平面α，β的法向量． ∵|cos 〈m ，n 〉|＝cos π3＝12，∴〈m ，n 〉＝π3或2π
3.
但由于两异面直线所成的角的范围为⎝⎛⎦⎤0，π
2， 故异面直线m ，n 所成的角为π
3
.
5．已知空间三点O (0,0,0)，A (－1,1,0)，B (0,1,1)在直线OA 上有一点H 满足BH ⊥OA ，则点H 的坐标为( )
A ．(－2,2,0)
B ．(2，－2,0) C.⎝⎛⎭⎫－12，1
2，0
D.⎝⎛⎭⎫12
，－1
2，0 解析：选C 由
＝(－1,1,0)，且点H 在直线OA 上，可设H (－λ，λ，0)，则BH ―
→＝(－λ，λ－1，－1)．
又BH ⊥OA ，∴
·OA ―→＝0，
即(－λ，λ－1，－1)·(－1,1,0)＝0， 即λ＋λ－1＝0，解得λ＝12，
∴H ⎝⎛⎭
⎫－12，1
2，0.
6．如图，三棱锥SABC 中，棱SA ，SB ，SC 两两垂直，且SA ＝SB ＝SC ，则二面角ABCS 大小的正切值为( )
A ．1 B.2
2
C. 2
D ．2
解析：选C ∵三棱锥SABC 中，棱SA ，SB ，SC 两两垂直，且SA ＝SB ＝SC ，∴SA ⊥平面SBC ，且AB ＝AC ＝SA 2＋SB 2，取BC 的中点D ，连接
SD ，AD ，则SD ⊥BC ，AD ⊥BC ，则∠ADS 是二面角ABCS 的平面角，设SA ＝SB ＝SC ＝1，则SD ＝
2
2，则tan ∠ADS ＝SA SD ＝12
2
＝2，故选C. 7．在空间直角坐标系Oxyz 中，i ，j ，k 分别是x 轴、y 轴、z 轴的方向向量，设a 为非零向量，且〈a ，i 〉＝45°，〈a ，j 〉＝60°，则〈a ，k 〉＝( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
解析：选C 如图所示，设|a |＝m (m >0)，
a ＝
，PA ⊥平面xOy ，
则在Rt △PBO 中， |PB |＝|
|·
sin 〈a ，i 〉＝
2
2
m ， 在Rt △PCO 中， |OC |＝|
|·cos 〈a ，j 〉＝m
2
，
∴|AB |＝m
2，
在Rt △PAB 中， |PA |＝|PB |2－|AB |2 ＝
24m 2－m 24＝m 2
， ∴|OD |＝m
2，在Rt △PDO 中，
cos 〈a ，k 〉＝
|OD ||OP |＝1
2
，又0°≤〈a ，k 〉≤180°，∴〈a ，k 〉＝60°. 8.如图，在正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，AB ＝BC ＝1，动点P ，
Q 分别在线段C 1D ，AC 上，则线段PQ 长度的最小值是( )
A.2
3
B.33
C.23
D.53
解析：选C 建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，C 1(0,1,2)．
设点P 的坐标为(0，λ，2λ)，λ∈[0,1]，
点Q 的坐标为(1－μ，μ，0)，μ∈[0,1]， PQ ＝(1－μ)2＋(μ－λ)2＋4λ2。