2020年河南省中考数学模拟试题(含答案)

2020年河南省中考数学模拟试题含答案
注意事项：
1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．请用黑色水笔把答案直接写在答题卡上，写在试题卷上的答案无效．
一、选择题 （每小题3分，共30分）
下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母 涂在答题卡上．
1．下列各数中，最小的数是 A ．3 B ．
3
2 C ．2 D ．2
3
2．据报道，中国工商银行2015年实现净利润2 777亿元．数据2 777亿用科学计数法表示为 A ．×1010
B ．×1011
C ．×1012
D ．×1013
3．下列计算正确的是 A ．8
2
2 B ．2(3)＝6 C ．3a 4－2a 2＝a 2 D ．32()a ＝a 5
4．如图所示的几何体的俯视图是
5．某班50名同学的年龄统计如下：
年龄（岁） 12 13 14 15 学生数（人）
1
23
20
6
该班同学年龄的众数和中位数分别是
A ．6 ,13
B ．13，13.5
C ．13，14
D ．14，14
A B C
D
（第4题）
6．如图，AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点O ，若AO ＝2，DO ＝4，BO ＝3，则BC 的长为 A ． 6 B ．9 C ．12 D ．15
7．如图所示，点D 是弦AB 的中点，点C 在⊙O 上，CD 经过圆心O ，则下列结论中不一定．．．正确的是
A ．CD ⊥A
B B ．∠OAD ＝2∠CBD
C ．∠AO
D ＝2∠BCD D ．弧AC ＝ 弧BC
8．从2，2，3，4四个数中随机取两个数，第一个作为个位上的数字，第二个作为十位上的
数字，组成一个两位数，则这个两位数是2的倍数的概率是
A ．1
B ．45
C ．34
D ． 12
9．如图，CB 平分∠ECD ，AB ∥CD ，AB 与EC 交于点A ． 若∠B ＝40°，则∠EAB 的度数为
A ．50°
B ． 60°
C ． 70°
D ．80°
10．如图，△ABC 是边长为4cm 的等边三角形，动点P 从点A 出发，以2cm/s 的速度沿A →C →B 运动，到达B 点即停止运动，PD ⊥AB 交AB 于点D ．设运动时间为x （s ），△ADP 的面积为y （cm 2），则y 与x
（第6题）
O
A
B
C
D
D （第7题）
P
A
B C
D
A
B
C
D
（第10 题）
（第9题）
E
A
C D
B
二、填空题（ 每小题3分，共15分） 11．计算：327－︱－2︱＝ ．
12．如图，矩形ABCD 中，A B ＝2 cm ，BC ＝6cm ，把△ABC 沿对角线AC 折叠，得到△AB’C ，
且B’C 与AD 相交于点E ，则AE 的长为 cm ．
13．如图，Rt △ABC 中，∠B ＝90°， AB ＝ 6，BC ＝ 8，且，将Rt △ABC 绕点C 按顺时针
方向旋转90°，得到Rt △A’B’C ，则边AB 扫过的面积（图中阴影部分）是 ． 14．已知y ＝－
14
x 2
－3x ＋4（－10≤x ≤0）的图象上有一动点P ，点P 的纵坐标为整数值时，记为“好点”，则有多个“好点”，其“好点”的个数为 ． 15．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝2 AB ＝ 8，
点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，连接DE ．将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，当△EDC 旋转到A ，D ，E 三点共线时，线段BD 的长为 ． 三、解答题：（本大题共8个小题，满分75分） 16．（8分）先化简，再求值：1()2
a
a
÷3(2
)2
a a
，
请从－1，0，1中选取一个合适的数作为a 的值代入求值．
（第12 题）
A B
C
B'
B'
A
D C
B
E
（第13 题）
（第15 题）
A
B
C
E
D
17．（9分）如图，点A ，B ，C 分别是⊙O 上的点，∠B ＝ 60°，AC ＝ 3，CD 是⊙O 的直
径，P 是CD 延长线上的一点，且AP ＝AC ．
（1）求证：AP 是⊙O 的切线；
（2）求PD 的长．
18．（9分）2015年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利70周年，9月3日全国
各地举行有关纪念活动．为了解初中学生对二战历史的知晓情况，某初中课外兴趣小组在本校学生中开展了专题调查活动，随机抽取了部分学生进行问卷调查，根据学生的答题情况，将结果分为A ，B ，C ，D 四类，其中A 类表示“非常了解”，B 类表示“比较了解”，C 类表示“基本了解”，D 类表示 “不太了解”，调查的数据经整理后形成
尚未完成的条形统计图（如图①）和扇形统计图（如图②）：
（1）在这次调查中，一共抽查了 名学生； （2）请把图①中的条形统计图补充完整；
（3）图②的扇形统计图中D 类部分所对应扇形的圆心角的度数为 ； （4）如果这所学校共有初中学生1500名，请你估算该校初中学生对二战历史“非常了解”和“比较了解”的学生共有多少名．
（第17 题）
A
D
P C B
O
2090
30
2
1
图图15%
30%
A
B
C
D
人数100
80604020
19．（9分）如图所示，某教学活动小组选定测量小山上方某信号塔PQ 的高度，他们在A
处测得信号塔顶端P 的仰角为45°，信号塔低端Q 的仰角为31°，沿水平地面向前走100米到处，测得信号塔顶端P 的仰角为68°．求信号塔PQ 的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：sin68°≈ ，cos68° ≈ ，tan68° ≈
cos31°≈）
20．（9分）如图，已知矩形OABC 中，OA ＝3，AB ＝4，双曲线y
＝
k
x
（x > 0）与矩形两边AB ，BC 分别交于D ，E ，且BD ＝2AD ．
（1）求k 的值和点E 的坐标；
（2）点P 是线段OC 上的一个动点，是否存在点P ，使∠P 的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（10分）“五一”期间，甲、乙两家商店以同样价格销售相同的商品，它们的优惠方案分别为：甲店，一次性购物中超过200元后的价格部分打七折；乙店，一次性购物中超过500y
元．
（1）求甲商店购物时y 1与x 之间的函数关系； （2）两种购物方式对应的函数图象如图所示，
求交点C 的坐标；
（3）根据图象，请直接写出“五一”期间选择
哪家商店购物更优惠．
22．（10分）问题背景：已知在△ABC 中，边AB 上的动点D 由A 向B 运动（与A ，B 不重合），
同时点E 由点C 沿BC 的延长线方向运动（E 不与C 重合），连接DE 交AC 于点F ，点H 是线段AF 上一点，求
AC HF
的值．
（1）初步尝试 如图（1），若△ABC 是等边三角形，DH ⊥AC ，且点D 、E 的运动速度相等，小王同学发现可以过点D 作DG ∥BC 交AC 于点G ，先证GH ＝AH ，再证GF ＝CF ， 从而求得
AC HF
的值为 ．
（2）类比探究
如图（2），若△ABC 中，∠ABC ＝90°，∠ADH ＝∠BAC ＝30°，且点D ，E 的运动速度31，求
AC HF
的值．
（3）延伸拓展
如图（3）若在△ABC 中，AB ＝AC ，∠ADH ＝∠BAC ＝36°，记BC AC
＝m ，且点D 、E 的运
动速度相等，试用含m 的代数式表示AC HF
的值（直接写出果，不必写解答过程）．
图（3）
H
F
E
D
C
B A 图（2）
H
F
E
D
C
B
A
图（1）
G H F A B
C
E
D
23．（11分）如图，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C，且其对称轴l为x＝－1，点P是抛物线上B，C
重合）．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）小唐探究点P的位置时发现：当动点N在对称轴l上时，存在PB⊥NB，且PB＝NB的关系，请求出点P的坐标；
（3）是否存在点P使得四边形PBAC的面积最大若存在，
请求出四边形PBAC面积的最大值；若不存在，请说明理由．
l
y
x P
O
C
B A
参考答案及评分标准一、选择题
二、填空题
三、解答题
16．解：原式＝
221
2
a a
a
÷
243
2
a
a
＝
2
(1)
2
a
a
·
2
(1)(1)
a
a a
＝
1
1
a
a
．………………………………5分
∵当a取±1时，原式无意义，………………………………6分
∴当a＝0时，∴原式＝01 01
＝－1 ………………………………8分
17．（
1）证明：连接OA．∵∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°．
又∵在△AOC中，OA＝OC，
∴∠ACP＝∠CAO＝
1
2
（180°－∠AOC）＝30°．
∴∠AOP＝2∠ACP＝60°．
∴AP＝AC，∴∠P＝∠ACP＝30°．
∴∠OAP＝180°－∠AOP－∠P＝90°，
即OA⊥AP．
∴AP是⊙O的切线．………………………………5分
（2）连接AD．∵CD是⊙O的直径，∴∠CAD＝90°．
在Rt△ACD中，∵AC＝3，∠ACP＝30°，
∴AD＝AC·tan∠ACP＝3
由（1）知∠P＝∠ACP＝30°，
A
D
P
C
B
O
∴∠PAC ＝180°－∠P －∠ACP ＝120°． ∴∠PAD ＝∠PAC －∠CAD ＝30°．
∴∠P ＝∠PAD ＝30°．∴PD ＝AD ＝3．………………………………9分
18．解：（1）一共抽查了 200 名学生； ………………………………2分
（2）补全条形统计图如图所示： ………………………………4分 （3）D 类部分所对应扇形的圆心角的度数为36°；（注：若填36，不扣分）……6分 （4）3090
1500
900200
． ………………………………9分
19．解：延长PQ 交直线AB 于点M ，
则∠PMA ＝90°，设PM 的长为x 米，根据题意， 得∠PAM ＝45°，∠PBM ＝68°，∠QAM ＝31°，
AB ＝100，∴在Rt △PAM 中，AM ＝PM ＝x ．
BM ＝AM －AB ＝x －100， ………………2分
在Rt △PBM 中，∵tan ∠PBM ＝PM
BM
， 即tan68°＝
100
x
x ．
解得x ≈ ．∴AM ＝PM ≈ ．………………………………5分 在Rt △QAM 中，∵tan ∠QAM ＝
QM
AM
， ∴QM ＝AM ·tan ∠QAM ＝×tan31°≈． ………………8分 ∴PQ ＝PM －QM ＝－≈（米）．
因此，信号塔PQ 的高度约为米． ………………………………9分
60
20
90
30
1
图类型
人数
10080604020
Q
P
20．解：（1）∵四边形OABC为矩形，且OA＝3，AB＝4，∴OC＝ AB＝4，AB∥OC，即AB∥x轴．
∵点D在AB上，且BD＝2 AD，BD＋AD＝ AB＝4，
∴AD＝
4
33
AB
．∴点D的坐标为（
4
3
，3）．
∵点D在双曲线y＝k
x
上，∴k＝3×
4
3
＝4．………3分
又∵点E在BC上，∴点E的横坐标为4．
把x＝4代入y＝4
x
中，得y＝1．
∴点E的坐标为（4，1）．………5分
（2）假设存在满足题意的点P的坐标为（m，0）．则OP＝m，CP＝4－m．由（1）知点E（4，1），
∴CE＝1．∵∠APE＝90°∴∠APO＋∠EPC＝90°．∵∠APO＋∠OAP＝90°，∴∠OAP＝∠EPC．
又∵∠AOP＝∠PEC＝90°，∴△AOP∽△PCE．
∴OA OP
CP CE
，即
3
41
m
m
．解得m＝1或m＝3．
经检验，m＝1或m＝3为原方程的两个根．
∴存在这样的点P，其坐标为（1，0）或（3，0）．………9分21．解：（1）根据题意，得
当0 ≤x ≤ 200时，y1＝x；
当x ＞ 200时，y1＝200＋（x－200）
＝ x＋60．
综上所知，甲商店购物时y1与x之间的函数关系式为
y1＝﹛x（0 ≤x ≤ 200）；
x＋60（x ＞ 200）．
………………………………4分
（2）由图象可知，交点C的横坐标大于500，
当x﹥500时，设乙商店购物时应付金额为y2元，
则y2＝500＋（x－500）＝ x＋250．
由（1）知，当x﹥500时，y1＝ x＋60．
由于点C是y1与y2的交点，
∴令 x＋60＝ x＋250．y
x
P
E
D
C
A B
O
y
x O
C
B
A
500
200
解得x＝950，此时y1＝y2＝725．
即交点C的坐标为（950，725）．………………………………8分
（3）结合图像和（2）可知：
当0 ≤x ≤ 200或x＝950时，
选择甲、乙两家商店购物费用相同；
当200＜x＜950时，选择甲商店购物更优惠；
当x﹥950时，选择乙商店购物更优惠．………………………………10分22．解：（1）2………………………………2分
（2）如图（1）过点D作DG∥BC交AC于点G，
则∠ADG＝∠ABC＝90°．
∵∠BAC＝∠ADH＝30°，
∴AH＝DH，∠GHD＝∠BAC＋∠ADH＝60°，
∠HDG＝∠ADG－∠ADH＝60°，
∴△DGH为等边三角形．
∴GD＝GH ＝DH ＝AH，AD＝GD·tan60°＝3GD．
由题意可知，AD＝3CE．∴GD＝CE．
∵DG∥BC，∴∠GDF＝∠CEF，∠DGF＝∠ECF．
∴△GDF≌△CEF．∴GF＝CF．
GH＋GF＝AH＋CF，即HF＝AH＋CF，
∴HF＝1
2
AC＝2，即2
AC
HF
．………………………………8分
（3）AC
HF
1
m
m
．………………………………10分
提示：如图（2），过点D作DG∥BC交AC于点G，
易得AD＝AG，AD＝EC，∠A GD＝∠ACB．
在△ABC中，∵∠BAC＝∠ADH＝36°，AB＝AC，
∴AH＝DH，∠ACB＝∠B＝72°，∠GHD＝∠HAD＋∠ADH＝72°．∴∠AGD＝∠GHD＝72°．
∵∠GHD＝∠B＝∠HGD＝∠ACB，∴△ABC∽△DGH．∴BC GH
m
AC DH
，
G
H
F
E
D
C B
A
图（1）
G
H
F
E
D
C
B
A
图（2）
∴GH ＝mD H ＝mA H ． 由△ADG ∽△ABC 可得GD BC BC m AD AB AC
．
∵DG ∥BC ，∴
FG GD GD m FC
EC AD
．∴FG ＝mFC ．
∴GH ＋FG ＝m （AH ＋FC ）＝m （AC －HF ）， 即HF ＝m （AC －HF ）．∴
AC HF 1
m m
． 23．（1）抛物线的解析式为y ＝x 2
＋2x －3．……………分 （2）如图，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，
设抛物线对称轴l 交x 轴于点Q ． ∵PB ⊥NB ，∴∠PBN ＝90°， ∴∠PBM ＋∠NBQ ＝90°． ∵∠PMB ＝90°， ∴∠PBM ＋∠BPM ＝90°． ∴∠BPM ＝∠NBQ ．
又∵∠BMP ＝∠BNQ ＝90°，PB ＝NB ， △BPM ≌△NBQ ．∴PM ＝BQ ．
∵抛物线y ＝x 2＋2x －3与x 轴交于点A （1，0）和点B ，且对称轴为x ＝－1， ∴点B 的坐标为（－3，0），点Q 的坐标为（－1，0）．∴BQ ＝2．∴PM ＝BQ ＝2． ∵点P 是抛物线y ＝x 2＋2x －3上B 、C 之间的一个动点， ∴结合图象可知点P 的纵坐标为－2．
将y ＝－2代入y ＝x 2＋2x －3，得－2＝x 2＋2x －3． 解得x 1＝－12，x 2＝－12（舍去）．
∴此时点P 的坐标为（－12，－2）．………………………………7分 （3）存在．
如图，连接AC ．可设点P 的坐标为（x ，y ）（－3﹤x ﹤0）， 则y ＝x 2＋2x －3．∵点A （1，0），∴OA ＝1．
∵点C 是抛物线与y 轴的交点，∴令x ＝0，得y ＝－3．即点C （0，－3）． ∴OC ＝3．由（2）可知 S 四边形PBAC ＝S △BPM ＋S 四边形PMOC ＋S △AOC
Q N M
l y x
P
O
C
B
A
＝1
2
BM·PM＋
1
2
（PM＋OC）·OM＋
1
2
OA·OC
＝1
2
（x＋3）（－y）＋
1
2
（－y＋3）（－x）＋
1
2
×1×3
＝－3
2
y－
3
2
x＋
3
2
．将y＝x2＋2x－3代入可得
S四边形PBAC＝－3
2
（x2＋2x－3）－
3
2
x＋
3
2
＝－3
2
（x＋
3
2
）2＋
75
8
．∵－
3
2
﹤0，－3﹤x﹤0，
∴当x＝－3
2
时，S四边形PBAC有最大值
75
8
．
此时，y＝x2＋2x－3＝－15
4
．
∴当点P的坐标为（－3
2
，－
15
4
）时，
四边形PBAC的面积最大，最大值为75
8
．………………………………11分。