函数的单调性与最值-PPT

30
∴当 x＝ 时，函数3
2
g(取x)=得- x32最 小2x =值1 ，
5 3
，m12即-4m(32m2＋53 1)·(4m2－3)≥0，
解得m≤
或m≥ .3
2
3 2
31
27
正解：
由不等式x2-4x+3＞0，得函数的定义域为
(-∞，1)∪(3，+∞)．
设u=x2-4x+3，则 y log1 u 又u=x2-4x+3=(x-2)2-1，2
故由二次函数的性质知：
当x≥2时，u=x2-4x+3为增函数； 当x＜2时，u=x2-4x+3为减函数．
因为函数定义域为(-∞，1)∪(3，+∞) 且 y log1 u 为减函数，
减函数 增函数
增函数 增函数 减函数 减函数
4
基础达标
• (教材改编题)下列函数中，在区间(0,2)上为 增函数的是( B )
A. y＝－x＋1 C. y＝x2－4x＋5
B. y＝ x D. y＝ 2
x
解析： 结合函数的图象可知只有选项B对应的函数满足题意．
5
2. (教材改编题)f(x)＝4x2－mx＋5在[－2，＋∞)
22
由②得0<x2+5x+4≤
1 4
∴
5 10 2
≤x<-4或-1<x≤
5 1，0 ④
2
由③、④得原不等式的解集为
{x x 5或 5 10 x 4或 1 x 5 10 或x 0}
2
2
.
23
题型四 函数的最值 【例4】 已2 知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有 f(x)＋f(y)＝3f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0， (1)求证：f(x)在R上是减函数； (2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．
24
解： (1)证明：设x1，x2∈R，且x1＞x2， 则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2)， 又∵x＞0时，f(x)＜0，而x1-x2＞0， ∴f(x1-x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在R上是减函数． (2)∵f(x)在R上是减函数， ∴f(x)在[-3,3]上也是减函数， ∴f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值分别为f(-3)与f(3)， 而f(3)=3f(1)=-2， 由题意知f(0)=f(0)+f(0)，∴f(0)=0， ∴f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)， ∴f(-x)=-f(x)，故f(x)为奇函数．f(-3)=-f(3)=2. ∴f(x)在[-3,3]上的最大值为2，最小值为-2.
y log21 (x2 4x 3)
2
在(-∞，1)上为增函数，在(3，+∞)上为减函数．
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链接高考
(2010·天津)设函数f(x)＝x2－1，对任意x∈[3 , ) ，
2
f ( x ) 4m2 f (x) f (x 1) 4 f (m)恒成立，则实数
m
m的取值范围是_(__,__2_3_)_．( 23 , ) 知识准备： 1. 不等式恒成立问题转化为求函数的最值； 2. 形如y＝a[f(x)]2＋b[f(x)]＋c的类型求最值，换元后利 用二次函数求最值．
最大值为________．
解析：
∵f(xห้องสมุดไป่ตู้在(1，＋∞)上为减函数， ∴f(x)在[2,3]上单调递减， ∴f(x)min＝f(3)＝ 12，f(x)max＝f(2)＝1.
10
5. 函数 y log1 x 3 的单调递减区间是(3_，__＋_∞_)___． 2 解析：
令u＝|x－3|，则在(－∞，3)上u为x的减函数， 在(3，＋∞)上u为x的增函数．又∵0< <1，1
解得-1<m< ，43 则其解集为 (1, 43. )
21
变式3－1
已知偶函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0， 解不等式f[log2(x2＋5x＋4)]≥0.
解析： ∵f(2)=0， ∴原不等式可化为f[log2(x2+5x+4)]≥f(2)． 又∵f(x)为偶函数，且f(x)在(0，+∞)上为增函数， ∴f(x)在(-∞，0)上为减函数且f(-2)=f(2)=0. ∴不等式可化为log2(x2+5x+4)≥2，① 或log2(x2+5x+4)≤-2，② 由①得x2+5x+4≥4， ∴x≤-5或x≥0，③
20
解： (1)证明：设x1，x2∈R，且x1<x2， 则 x=x2-x1>0，∴f(x2-x1)>1， ∴f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1) =f(x2-x1)-1>0， ∴f(x2)>f(x1)， 即f(x)是R上的增函数． (2)∵f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5， ∴f(2)=3， ∴原不等式可化为f(3m2-m-2)<f(2)． ∵f(x)是R上的增函数，∴3m2-m-2<2，
为增函数，f(1)的取值范围是( ) C
A. (－∞，25]
B. (25，＋∞)
C. [25，＋∞)
D. (－∞，25)
解析： 由题意知对称轴
m8 ≤－2，即m≤－16，
所以f(1)＝9－m≥25.
6
b
3. 若函数y＝ax与y＝－ 在(0x，＋∞)上都是减函数， 则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是( ) B
-(x+1)2+4， x<0， 如图． ∴单调递增区间是(－∞，－1]和[0,1]， 递减区间是(－1,0)和(1，＋∞)．
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题型三 单调性的应用 【例3】 函数f(x)对任意的a、b∈R，都有 f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x>0时，f(x)>1. (1)求证：f(x)是R上的增函数； (2)若f(4)＝5，解不等式f(3m2－m－2)<3.
f(x1)-f(x2)=
x1 1 x2 1 x1 1 x2 1 x1 1 x2 1
x1 1 x2 1
x1 1 x2 1
x1 x2
x1 1 x2 1 x1 1 x2 1
∵-1≤x1<x2，∴x1-x2<0，
x1 x2
0
x1 1 x2 1
x1 1 0, x2 1 0
即f(x1)-f(x2)<0，f(x1)<f(x2)． ∴函数f(x)= x 在1 [-1，+∞)上为增函数．
∴(2)f当(x2x)1-、f(xx12)∈<0(，1，f(x+)∞为)减时函，数1-；x11x2 >0，
∴f(x2)-f(x1)>0，f(x)为增函数； 同理可求(3)当x1、x2∈(-1,0)时，f(x)为减函数；
(4)当x1、x2∈(-∞，-1)时，f(x)为增函数．
17
方法二：f ’(x)=
15
题型二 求函数的单调区间
【例2】 求函数f(x)＝x＋ 的1单调区间． x
分析：利用定义法或导数法．
解：方法一：首先确定定义域{x|x≠0}，所以要
在(-∞，0)和(0，+∞)两个区间上分别讨．任取
x则1，f(xx22)∈-f((x01，)=+x∞2 )且x12 -xx11<xx121，=(x2-x1)+
29
解析：
依据题意， －x21－4m2(x2－1)≤(x－1)2－1＋4(m2－1)
m2
在 x∈ [ 3 , 上)恒成立，即
2
1 m2
4m2
3 x2
2 x
+在1 x∈
上恒成立，令
g(x)=-
3 x2
2 =1=-3
，x
1 x
1 2 3
4. 3
x 3 ,0 x 2 ,
2
3
[ 3 , ) 2
x1 x2 x1x2
=(x2 -x1)
1
1 x1x2
要确定此式的正负只要确定1- 1 的正负即可． x1x2
16
1
这样，又需要 x1x2判断大于1，还是小于1.由于x1、
x2的任意性，考虑到要将(0，+∞)分为(0,1)与(1，
+∞)． (1)当x1、x2∈(0,1)时，1-
1
x1x2 <0，
2
∴
y 在log定1 u义域内为减函数，
2
∴在区间(3，＋∞)上y为x的减函数．
11
经典例题
题型一 函数单调性的判断与证明 【例1】判断并证明函数f(x)＝ x 1， x∈[－1，＋∞)的单调性．
12
解：函数f(x)= x 1在[-1，+∞)上为增函数， 证明如下：
任取x1、x2∈[-1，+∞)且-1≤x1<x2，
第三节 函数的单调性与最值
1
基础梳理
1.定义：在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如 f(x果_1_)_对<_f(_于x_2)_任(_f(_意x_1_)两>_f_个(_x2数))x，1，那x2么就A说，f当(x)x在1<_x_2区时__间，_A_都_上有是__增加
的(减少的)． 注意： (1)函数的单调性是在____定__义__域内的某个区间上的性质， 是函数的_____局_性部质； (2)必须是对于区间A内的___任__意_两个自变量x1，x2，即 当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2)(f(x1)>f(x2))．
A. 增函数
B. 减函数
C. 先增后减
D. 先减后增
7
解析： 由题意可知a＜0，b＜0， ∴y＝ax2＋bx的对称轴方程：x＝ ＜0b，
2a
又∵a＜0，∴y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上为减函数．
8
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
9
4. 函数f(x)＝
在x 1[21,3]上的最小值为______12_,_1，
25
易错警示
【例】 求函数
y log1 (x的2 单4x调区3) 间，
2
并指出每一个单调区间上的单调性．
错解 设u＝x2－4x＋3，则
y log1 (x2 4x 3)
2
在区间[2，＋∞)上为减函数，在区间(－∞，2]上 为增函数．
26
错解分析：由于忽略了对数函数的定义域，而求错函数的 单调区间。
∵-1<x1<x2<1，∴x2-x1>0，x1x2+1>0，(x12-1)(x221)>0.又a>0， ∴f(x1)-f(x2)>0，函数f(x)在(-1,1)上为减函数．
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方法二(导数法)：
f
' ( x)
a(x2 1) (x2 1)2
∵a>0，x2+1>0，(x2-1)2>0， ∴f ‘(x)<0， ∴函数f(x)在(-1,1)上为减函数．
1
1 x2
，
令f ’(x)>0，得x2>1，即x>1或x<-1，
令f′(x)<0，得x2<1，即-1<x<1，
∴f(x)的单调增区间为(1，+∞)和(-∞，-1)，
单调减区间为(-1,0)和(0,1)．
18
求函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调区间．
解析：∵y＝－x2＋2|x|＋3＝ x2＋2x＋3，x>0， x2 -2x＋3，x<0， 即y＝-(x-1)2+4, x>0，
2
2. 如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是 减少的，我们分别称这个函数为__增__函__数__ 或__减__函__数__，统称单调函数．
3
3. 复合函数的单调性 对于函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果当x∈(a，b)时， u∈(m，n)，且u＝g(x)在区间(a，b)上和y＝f(u) 在区间(m，n)上同时具有单调性，那么复合函 数y＝f(g(x))在区间(a，b)上具有_____单__调_，性并 且具有这样的规律：“___同__增__异_”减，见表.
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变式1－1
判断并证明函数f(x)＝ 上的单调性．
ax x(2a>01)在x∈(－1,1)
方法一(定义法)：
设f(x－1)－1<f(xx12<)x=2<1，x则1a2 x1 1
ax2 x22 1
ax1x22 ax1 ax2 x12 ax2 (x12 1)(x22 1)
a(x2 x1)(x1x2 1) (x12 1)(x22 1)