2012年广东省中考数学试卷及答案

2012年广东省初中毕业生学业考试·数学
一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. －5的绝对值是 （ ）
A. 5
B. －5
C. 15
D. －1
5
2. 地球半径约为6400000米，用科学记数法表示为 （ ）
A. 0.64×107
B. 6.4×106
C. 64×105
D. 640×104 3. 数据8、8、6、5、6、1、6的众数是 （ ） A. 1 B. 5 C. 6 D. 8
4. 如图所示几何体的主视图是 （ ）
5. 已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是 （ ） A. 5 B. 6 C. 11 D. 16
二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 6. 分解因式：2x 2－10x ＝ ． 7. 不等式3x －9>0的解集是 ．
8. 如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三个点，∠ABC ＝25°，则∠AOC 的度数是 ．
第8题图 第10题图
9. 若x 、y 为实数，且满足|x －3|＋y ＋3＝0，则(x
y
)2012的值是 ．
10. 如图，在▱ABCD 中，AD ＝2，AB ＝4，∠A ＝30°.以点A 为圆心，AD 的长为半径画弧交AB 于点E ，连接CE ，则阴影部分的面积是 (结果保留π)．
三、解答题(一)(本大题共5小题，每小题6分，共30分)
11. 计算：2－2sin 45°－(1＋8)0＋2－
1.
12. 先化简，再求值：(x ＋3)(x －3)－x (x －2)，其中x ＝4.
13. 解方程组：⎩
⎪⎨⎪⎧x －y ＝4 ①
3x ＋y ＝16 ②.
14. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠ABC ＝72°.
(1)用直尺和圆规作∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D (保留作图痕迹，不要求写作法)； (2)在(1)中作出∠ABC 的平分线BD 后，求∠BDC 的度数．
第14题图
15. 已知：如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC 、BD 相交于点O ，BO ＝DO . 求证：四边形ABCD 是平行四边形．
第15题图
四、解答题(二)(本大题共4小题，每小题7分，共28分) 16. 据媒体报道，我国2009年公民出境旅游总人数约5000万人次，2011年公民出境旅游总人数约7200万人次．若2010年、2011年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：
(1)求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率； (2)如果2012年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2012年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？
17. 如图，直线y ＝2x －6与反比例函数y ＝k
x (x >0)的图象交于点A (4，2)，与x 轴交于点B.
(1)求k 的值及点B 的坐标；
(2)在x 轴上是否存在点C ，使得AC ＝AB ？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．
第17题图
18. 如图，小山岗的斜坡AC 的坡度是tan α＝3
4，在与山脚C 距离200米的D 处，测得山顶A 的仰角
为26.6°，求小山岗的高AB (结果取整数；参考数据：sin 26.6°≈0.45，cos 26.6°≈0.89，tan 26.6°≈0.50)．
第18题图
19. 观察下列等式：
第1个等式：a 1＝11×3＝12×(1－1
3)；
第2个等式：a 2＝13×5＝12×(13－1
5)；
第3个等式：a 3＝15×7＝12×(15－1
7)；
第4个等式：a 4＝17×9＝12×(17－1
9
)；
……
(1)按以上规律列出第5个等式：a 5＝ ＝ ；
(2)用含n 的代数式表示第n 个等式：a n ＝ ＝ (n 为正整数)； (3)求a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100的值．
五、解答题(三)(本大题共3小题，每小题9分，共27分)
20. 有三张正面分别写有数字－2，－1，1的卡片，它们的背面完全相同，将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为x 的值，放回卡片洗匀，再从三张卡片中随机抽取一张，以其正面的数字作为y 的值，两次结果记为(x ，y )．
(1)用树状图或列表法表示(x ，y )所有可能出现的结果；
(2)求使分式x 2－3xy x 2－y 2＋y
x －y
有意义的(x ，y )出现的概率；
(3)化简分式x 2－3xy x 2－y 2＋y
x －y ，并求使分式的值为整数的(x ，y )出现的概率．
21. 如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8.把△BCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在C ′处，BC ′交AD 于点G ，E 、F 分别是C ′D 和BD 上的点，线段EF 交AD 于点H ，把△FDE 沿EF 折叠，使点D 落在D ′处，点D ′恰好与点A 重合．
(1)求证：△ABG ≌△C ′DG ； (2)求tan ∠ABG 的值； (3)求EF 的长．
第21题图
22. 如图，抛物线y ＝12x 2－3
2
x －9与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC 、A C.
(1)求AB 和OC 的长；
(2)点E 从点A 出发，沿x 轴向点B 运动(点E 与A 、B 不重合)，过点E 作直线l 平行BC ，交AC 于点D.设AE 的长为m ，△ADE 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；
(3)在(2)的条件下，连接CE ，求△CDE 面积的最大值，此时，求出以点E 为圆心，与BC 相切的圆的面积(结果保留π)．
第22题图
2012年广东省中考数学试卷
参考答案与试题解析
1. A
2. B
3. C
4. B
5. C
6. 2x (x －5)
7. x ＞3
8. 50°
9. 1 10. 3－π
3
11.
解：原式＝2－2×
22－1＋1
2
（3分） ＝2－2－1＋1
2（4分）
＝－1
2
.（6分）
易错分析容易把2－
1计算成－2，从而导致结果错误.
12.
13. 解：①＋②，得4x ＝20，解得x ＝5，(2分) 把x ＝5代入①，得5－y ＝4，解得y ＝1，(4分)
∴方程组的解是：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝5
y ＝1.(6分)
14.
解：(1)作解图如下：
第14题解图
(2)∵AB ＝AC ，∠ABC ＝72°， ∴∠C ＝∠ABC ＝72°，(3分) ∵BD 平分∠ABC ， ∴∠DBC ＝36°，(4分) ∴∠BDC ＝180°－72°－36°＝72°.(6分)
15. 证明：∵AB ∥CD ， ∴∠ABO ＝∠CDO ，(1分)
∵BO ＝DO ，∠AOB ＝∠COD ， ∴△AOB ≌△COD (ASA )，(3分) ∴AB ＝CD ，(4分)
∴四边形ABCD 是平行四边形．(6分) 16.
解：(1)设这两年我国出境旅游总人数的年平均增长率为x ，依题意得： 5000×(1＋x )2＝7200，(2分)
解得x 1＝0.2＝20%，x 2＝－2.2(不合题意，舍去)
答：这两年我国出境旅游总人数的年平均增长率为20%.(4分) (2)7200×(1＋20%)＝8640(万人次)．
答：2012年我国公民出境旅游总人数约为8640万人次．(7分) 17.解：(1)把点A (4，2)代入反比例函数解析式y ＝k
x ，得
2＝k
4，解得k ＝8；(2分) 把y ＝0代入直线y ＝2x －6，得 2x －6＝0，解得x ＝3，
∴点B 的坐标是(3，0)．(4分)
第17题解图
(2)存在．
设点C 的坐标为(m ，0)，过点A 作AD ⊥x 轴，垂足为D ，则点D (4，0)， ∴BD ＝1，CD ＝|m －4|，(5分) ∵AB ＝AC ，
∴BD ＝CD ，即|m －4|＝1，解得m ＝5或3(此时与B 点重合，舍去)． ∴点C 的坐标是(5，0)．(7分)
18.
解：设AB ＝x 米，
在Rt △ABD 中，∠D ＝26.6°，
∴BD ＝x
tan 26.6°≈2x .(2分)
在Rt △ABC 中，tan α＝3
4，
∴BC ＝4
3
x ，(4分)
∵BD －BC ＝CD ，CD ＝200，
∴2x －4
3x ＝200，解得x ＝300.(6分)
答：小山岗的高AB 约为300米．(7分) 19.
解：(1)19×11；12×(19－1
11
)．(2分)
(2)1（2n －1）（2n ＋1）；12(12n －1－1
2n ＋1)．(4分) (3)a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100
＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1199×201
＝12×(1－13)＋12×(13－15)＋12×(15－17)＋…＋12×(1199－1
201)(6分) ＝12×(1－13＋13－15＋15－17＋……＋1199－1201) ＝12×(1－1201) ＝
100
201
.(7分) 20.
解：(1)列表法：
即所有(x ，y )可能出现的结果共有9种，分别是：(－2，－2)，(－2，－1)，(－2，1)，(－1，－2)，(－1，－1)，(－1，1)，(1，－2)，(1，－1)，(1，1)．(3分)
(2)要使分式x 2－3xy x 2－y 2＋y
x －y 有意义，即x 、y 满足x ＋y ≠0且x －y ≠0.
由(1)知所有可能结果共有9种，满足条件的结果共有4种，(4分) ∴P (分式有意义)＝4
9.(5分)
(3)x 2－3xy x 2－y 2＋y x －y
＝x 2－3xy （x ＋y ）（x －y ）＋xy ＋y 2（x ＋y ）（x －y ） ＝
x －y
x ＋y
.(6分) ∵分式x 2－3xy x 2－y 2＋y x －y 的值为整数，
∴x －y 是x ＋y 的整数倍，
∴满足条件的结果共有2种，(8分)
∴P (分式的值为整数)＝2
9
.(9分)
21.
(1)证明： ∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ＝CD ，∠BAG ＝∠C ＝90°， ∵把△BCD 沿对角线BD 折叠， ∴∠C ′＝∠C ＝∠BAG ＝90°，C ′D ＝AB ，(1分) ∵∠AGB ＝∠C ′GD ，
∴△ABG ≌△C ′DG (AAS )．(3分)
(2)解：设AG ＝x ，则有DG ＝BG ＝8－x ， ∴(8－x )2＝62＋x 2，解得x ＝7
4，(4分)
∴tan ∠ABG ＝AG AB ＝746＝7
24
.(6分)
(3)解：∵把△FDE 沿EF 折叠，使点D 落在点D ′，点D ′与点A 重合， ∴EF ⊥AD ，DH ＝AH ＝4， ∴EF ∥AB ，
∴HF 是△ABD 的中位线，即HF ＝3.(7分)
由(1)中的△ABG ≌△C ′DG 可知∠ABG ＝∠C ′DG ，
∴HE ＝DH ·tan ∠C ′DG ＝DH ·tan ∠ABG ＝4×724＝7
6，(8分)
∴EF ＝HF ＋HE ＝3＋76＝25
6.(9分)
22.。