江苏省宿豫中学2018-2019学年高二上学期期末模拟数学(二)

江苏省宿豫中学2018-2019学年高二上学期期末模拟（二）
一.填空题（每题5分，共70分）
1.设命题2
:,4n
p x N n ∃∈>，则p ⌝为________．
【考点】：命题的否定
【解析】：利用特称命题与全称命题的否定关系，写出结果即可． 【解答】：因为特称命题的否定是全称命题，命题2
:,4n
p x N n ∃∈>， 则p ⌝为：2
,4n
x N n ∀∈≤.
2.某公司从编号依次为，，…的个员工中用系统抽样的方法抽取一个样本，已
知样本中相邻两个编号分别为和
，则样本中最大的编号为________．
【考点】：系统抽样方法
【解析】：由题意求得系统抽样的间隔，计算样本容量，从而求得样本中最大的编号． 【解答】：由题意知，系统抽样的间隔为； ∴样本容量为
，且样本中第一个数据为
，
样本中所有的数据编号为，
则样本中最大的编号为
．
3.一支田径队共有运动员人，其中女运动员人，用分层抽样的方法抽取一个样本，每名运动员被抽到的概率都是
2
7
，则男运动员应抽取________人． 【考点】：古典概型及其概率计算公式
【解析】：先求出男运动员人数，再由每名运动员被抽到的概率都是2
7
，能求出男运动员应抽取人数．
【解答】：一支田径队共有运动员人，其中女运动员人，用分层抽样的方法抽取一个样本，每名运动员被抽到的概率都是，则男运动员应抽取：（人）．
4.已知
；：
，若
是
的充分不必要条件，则的取值范围为____．
【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】：根据题意，由、，可得￢为或
，￢为
或
；
进而由￢是￢的充分不必要条件， 可得集合
是集合
的真子集，
由集合间的包含关系可得答案．
【解答】：解：根据题意，，
则￢为：，解可得，或，
则￢为：或，
条件：，则￢为：，即或．
若￢是￢的充分不必要条件，则有集合是集合的真子集，必有，且，解得；
故答案为：．
5.已知椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则________．
【考点】：椭圆的性质
【解析】：根据题意，将椭圆方程变形为标准方程，分析可得，，进而可得，解可得的值，即可得答案．
【解答】：根据题意，椭圆的焦点在轴上，则其标准方程为：，
其中，，若长轴长是短轴长的两倍，则，则有，
解可得；
6.如图，该程序运行后输出的结果为________．
【考点】：循环结构
【解析】：经过观察为当型循环结构，按照循环结构进行执行，当不满足执行条件时跳出循环，输出结果即可．
【解答】：经过分析，本题为当型循环结构，执行如下：
当不满足循环条件，跳出．
所以输出的结果为45.
7.若方程仅表示一条直线，则实数的取值范围是________．
【考点】：曲线与方程
【解析】：先将原方程变形，再分类讨论，即可求得实数的取值范围．
【解答】：解：原方程可变形为，∴①
显然，时，；
当时，①式右边有两值，则直线不唯一；
当时，①式右边一正一负，负值不满足，
故所求的取值范围是或．
故答案为：或．
8.若函数在上递增，则实数的取值范围为________．
【考点】：函数的单调性与导数的关系；函数单调性的性质
【解析】：先对函数进行求导，根据原函数是上的增函数一定有其导函数在上大于等于恒成立得到，再结合的范围可求出的范围．
【解答】：解：∵，
∴要使函数在上递增，则对任意实数都成立．
∵，
①当时，
∴，∴；
②当时适合；
③当时，，
∴， ∴．
综上，
． 故答案为：
9.已知点P 是圆2
2
1x y +=上的任意一点，(50),(,0)(5)A B b b -≠-，，若
||
||
PA PB λ=，（λ为定值），则b λ=________. 【考点】：直线和圆的方程的应用 【解析】：根据题意，设
，由两点间距离公式可得
，
，又由
||
||
PA PB λ=，分析可得，进而可得
，解可得与的值，计算即
可得答案．
【解答】：根据题意，点是圆
上的任意一点，设，则
，
，
若||
||
PA PB λ=，则有， 即
，
则有
，
解可得5b =-或15b =-， 又由5b ≠-，则1
5
b =-，
则，
则
；
10.已知椭圆
，和是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于
，
两点，若
的内切圆半径为，
，
，则椭圆离心率为______．
【考点】：椭圆的性质
【解析】：根据椭圆的性质以及三角形的面积公式即可求出．
【解答】：的周长为，则
的面积，
又，
则，解得， 又
，则
，
11.若定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x '+<且(0)=3f ，则不等式2
()1x f x e
>+（其中e 为自然对数的底数）的解集为________． 【考点】：函数的单调性与导数的关系 【解析】：构造函数，
，研究
的单调性，结合原函数的性质和函数值，
即可求解． 【解答】：解：设，
， 则，
∵， ∴，
∴，
∴在定义域上单调递减，
∵， ∴，
又∵，
∴， ∴
故答案为：0-∞（，）
． 12.已知函数31
,1()=,1x f x x
x x ⎧≥⎪⎨⎪<⎩
，若关于x 的方程()=(1)f x k x +有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．
【考点】：根的存在性及根的个数判断 【解析】：做出
的函数图象，根据图象计算
与
相切时的斜率，和过点
时的
斜率，得出的范围．
【解答】：解：做出的函数图象如图所示：
过做直线，使得该直线过点，则，∴当时，直线与有两个交点，
设与相切，切点为，
则，解得．
∴当时，直线与有两个交点．
综上，的取值范围是
127 (0,)(,)
24
．
13.若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线的斜率的取值范围是________．
【考点】：直线和圆的方程的应用
【解析】：求出圆的圆心与半径，利用圆心到直线的距离与半径的关系列出不等式求解即可．【解答】：圆整理为，
∴圆心坐标为，半径为，要求圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，当圆心到直线的距离是时．恰好圆上存在个点到直线的距离为，
则圆心到直线的距离应不大于等于，
∴，
∴，
14.已知函数，且，，若存在，使得对任意，恒成立，则的取值范围是________．
【考点】：利用导数研究函数的最值
【解析】：存在，使得对任意的
，
恒成立，即 ，
由在
上递增，可得，利用导数可判断
在
上的单调性，可得
，
由 ，可求得的范围； 【解答】：的定义域为
，
，
当时，2
[,]x e e ∈，()0f x '≥，()f x 为增函数，
所以；
若存在，使得对任意的，
恒成立，
即
，
，
当时
，为减函数，，
∴，，
∴
，
二.解答题（15-17题每题14分，18-20题每题16分） 15.已知命题：关于的不等式的解集是
，命题：函数
的定义域为． （1）如果为真命题，求实数的取值范围； （2）如果
为真命题，
为假命题，求实数的取值范围．
【考点】：命题的真假判断与应用；函数恒成立问题 【解析】：（1）如果为真命题，则和都为真，进而可得实数的取值范围；
（2）如果
为真命题，
为假命题，则和一真一假，即“假真”或“真假”，进
而可得实数的取值范围； 【解答】：解：由关于的不等式的解集是
，
知，
由函数的定义域为，知不等式的解集为，
则，解得
．
（1）如果
为真命题，则和都为真，
所以实数a的取值范围是1 1 2
（，）．
（2）因为为真命题，为假命题，
所以
和一真一假，即“假真”或“真假”，
故
10
1
2
a a
a
≥≤
⎧
⎪
⎨
≥
⎪⎩
或
，或
01
1
2
a
a
<<
⎧
⎪
⎨
≤
⎪⎩
，
解得：
1
2
a
<≤或1
a≥
16.某市为了缓解城市交通压力，大力发展公共交通，提倡多坐公交少开车，为了调查市民乘公交车的候车情况，交通主管部门从在某站台等车的名候车乘客中随机抽取人，按照他们的候车时间（单位：分钟）作为样本分成组，如下表所示：
（1）估计这名乘客中候车时间少于分钟的人数；
（2）若从上表第四、五组的人中随机抽取人做进一步的问卷调查，求抽到的人恰好来自不同组的概率．
【考点】：古典概型及其概率计算公式；简单随机抽样
【解析】：（1）由图表得到人中候车时间少于分钟的人数为，由分层抽样中每层抽取的比例数相等列式求出名乘客中候车时间少于分钟的人数；
（2）利用枚举法列出从第四组和第五组人中随机抽取人的不同结果，查出两人恰好来自两组的情况数，由古典概型概率计算公式得答案．
【解答】：解：（1）由图表得到人中候车时间少于分钟的人数为，
设名乘客中候车时间少于分钟的人数为，
由，
得．
则名乘客中候车时间少于分钟的人数为人；
（2）记第四组的人为、、，第五组的个人为、，则从这人中随机抽取人的不同结果，，，，，，，，，共种，两人恰好
来自两组的情况有共种，
则抽到的人恰好来自不同组的概率
63
105
P==．
17.在平面直角坐标系中，已知点为直线上一点，过点作的垂线与以为直径的圆相交于，两点．
（1）若，求圆的方程；
（2）求证：点始终在某定圆上．
（3）是否存在一定点Q（异于点A），使得QB
AB
为常数？若存在，求出定点Q的坐标；若不
存在，说明理由．
【考点】：直线和圆的方程的应用；圆的一般方程
【解析】：（1）设，则圆的方程为，通过圆心到直线的距离，可得，从而得圆的方程；
（2）设，利用0
OB BP
⋅=消去参数，即得点的轨迹方程；
（3）设点，（为常数），利用计算即可．【解答】:解：（1）设，则圆的方程为，
直线的斜率为，
又，
所以的斜率，
从而的方程为，即，
则圆心到直线的距离为，
由，解得，
所以圆的方程为；
（2）设，由0
OB BP
⋅=得，
消去参数，得，
所以点的轨迹方程为圆：；
（3）设点，
（为常数），
则，
整理，得， 由于，所以
，
从而
，解得 或
（舍），
所以存在定点，使得．
18.如图，某机械厂要将长6m ，宽2m 的长方形铁皮ABCD 进行裁剪．已知点F 为AD 的中点，点E 在边BC 上，裁剪时先将四边形CDFE 沿直线EF 翻折到MNFE 处（点,C D 分别落在直线BC 下方点,M N 处，FN 交边BC 于点P ），再沿直线PE 裁剪．
（1）当4
EFP π
∠=
时，试判断四边形MNPE 的形状，并求其面积；
（2）若使裁剪得到的四边形MNPE 面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由． 【考点】:函数模型的选择与应用 【解析】:（1）当时，由条件得
．可得
，
四边形
为矩形．即可得出．
（2）解法一：设，由条件，知
．
可得，
，
．
四边形
面积为：
112222
()[(3)(3)]2=622sin 2tan tan sin 2S NP ME MN θθθθ
=+⋅=-+-⨯--，
化简利用基本不等式的性质即可得出． 解法二：设
，
，则
．可得
，
即．，，
四边形
面积为2
1113()[(3(6)]2222(3)
t S NP ME MN t t t -=+=-+
+-⨯- 2330572(3)
t t t -+=
-
32=6[(3)]23
t t --+-
利用基本不等式的性质即可得出． 【解答】:解：（1）当4
EFP π
∠=时，由条件得4
EFP EFD FEP π
∠=∠=∠=
．
所以． 所以， 四边形为矩形．
所以四边形的面积
． （2）解法一：设，由条件，知
．
所以
，
，
．
由得
所以四边形
面积为：1122
()[(3)(3)]222sin 2tan S NP ME MN θθ
=
+⋅=-+-⨯
2222=6tan sin 222(sin cos )6tan 2sin cos 36(tan )tan 66θθθθθθθ
θθ
--
+=--
=-+≤-=-
当且仅当3tan tan θθ=
，即tan 3
π
θθ==时取=“”．此时，*（）成立．
答：当时，沿直线裁剪，四边形面积最大，最大值为．
解法二：设，
，则
． 因为，所以
，即
． 所以
，
．
由得
所以四边形面积为
22111333057()[(3(6)]2222(3)2(3)
t t t S NP ME MN t t t t --+=+=-++-⨯=--
32
=6[(3)]623
t t --+≤--当且仅当，即
时取“
”．此时，
成立．
答：当点距点
时，沿直线
裁剪，四边形面积最大，最大值为
．
19. 椭圆
的离心率为，且过点．
（1）求椭圆的方程； （2）设
为椭圆上任一点，为其右焦点，点满足．
①证明：为定值；
②设直线与椭圆有两个不同的交点、，与轴交于点．若，，成等
差数列，求的值．
【考点】：椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的应用；直线与椭圆的位置关系
【解析】：（1）利用椭圆的离心率以及点的坐标，列出方程求解，，然后推出椭圆方程．
（2）由（1）推出，求出，然后求出为定值；
②直线与椭圆联立，得，利用判别式推出，设
，则，利用抛物线的性质以及已知条件，求解的值即可．
【解答】：由得，把点代入椭圆方程为，∴得，∴
，椭圆的标准方程为；
由（1）知，，
而，∴为定值；
②直线与椭圆联立，
得，，
设，则，
由①知，
∴，
∵，，成等差数列，
∴，即解得或，
又因为，所以．
20. 已知函数在处取得极值．
（1）求的解析式；
（2）为何值时，方程只有个根
（3）设函数，若对于任意，总存在，使得，求的
取值范围．
【考点】：利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断
【解析】：（1）函数．所以，，
又在处取得极值，，，
则
（2）由，得，由（1）得，令，得．求出单调区间，根据图象即可求解．
（3）对于任意，总存在，使得，只需，即当
时，恒成立，只需，解得．
【解答】：解：（1）因为函数．
所以，，
又在处取得极值，
，
，，
则，
经检验满足题意，
所以；
（2）由，得，
由（1）得，
令，得．
当变化时，，的变化情况如下表：
所以在
处取得极小值，在
处取得极大值，
所以
或时，方程有一个根
（3）对于任意，总存在，使得
，
只需
，
由（2）得，当时，min ()2f x =-
所以当时，
恒成立
只需，
解得
的取值范围为。