2024年北京海淀中考数学试题及答案(1)

2024年北京海淀中考数学试题及答案
考生须知：
1.本试卷共6页，共两部分.三道大题，28道小题。

满分100分。

考试时间120分钟。

2.在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号。

3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4.在答题卡上.选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5.考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。

第一部分 选择题
一、选择题（共16分，每题2分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．D
．2．如图，直线AB 和CD 相交于点O ，OE OC ⊥，若58AOC ∠=︒，则EOB ∠的大小为（ ）
A ．29︒
B ．32︒
C ．45︒
D ．58︒
3．实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A ．1b >-
B ．2b >
C ．0a b +>
D ．0
ab >
4．若关于x 的一元二次方程240x x c -+=有两个相等的实数根，则实数c 的值为
（ ）
A ．16-
B ．4-
C ．4
D ．16
5．不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其他差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（　）
A ．3
4B ．12C ．1
3D ．1
4
6．为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设.北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为17410⨯Flops （Flops 是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到m Flops ，则m 的值为（ ）
A ．16810⨯
B ．17210⨯
C ．17510⨯
D ．18
210⨯7．下面是“作一个角使其等于AOB ”的尺规作图方法.（1）如图，以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ，OB 于点C ，D ；
（2）作射线O A ''，以点O '为圆心，OC 长为半径画弧，交O A ''于点C '；以点C '为圆心，CD 长为半径画弧，两弧交于点D ¢；
（3）过点D ¢作射线O B ''，则A O B AOB '''∠=∠.
上述方法通过判定C O D COD '''△≌△得到A O B AOB '''∠=∠，其中判定C O D COD '''△≌△的依据是（ ）
A ．三边分别相等的两个三角形全等
B ．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C ．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D ．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
8．如图，在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，O 为对角线的交点.将菱形ABCD 绕点O 逆时针旋转90︒得到菱形A B C D ''''，两个菱形的公共点为E ，F ，G ，H .对八边形BFB GDHD E ''给出下面四个结论：
①该八边形各边长都相等；
②该八边形各内角都相等；
③点O 到该八边形各顶点的距离都相等；
④点O 到该八边形各边所在直线的距离都相等。

上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A ．①③
B ．①④
C ．②③D
．②④第二部分 非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9x 的取值范围是 ．
10．分解因式：325x x -= .
11．方程11023x x
+=+的解为 .12．在平面直角坐标系xOy 中，若函数()0k y k x =
≠的图象经过点()13,y 和()23,y -，则12y y +的值是 .
13．某厂加工了200个工件，质检员从中随机抽取10个工件检测了它们的质量（单位：g ），得到的数据如下：
50.03 49.98 50.00 49.99 50.02
49.99 50.01 49.97 50.00 50.02
当一个工件的质量x （单位：g ）满足49.9850.02x ≤≤时，评定该工件为一等品.根据以上数据，估计这200个工件中一等品的个数是 .
14．如图，O 的直径AB 平分弦CD （不是直径）.若35D ∠=︒，则C ∠= ︒
15．如图，在正方形ABCD 中，点E 在AB 上，A F D E ⊥于点F ，CG DE ⊥于点G ．若5AD =，CG 4=，则AEF △的面积为 ．
16．联欢会有A ，B ，C ，D 四个节目需要彩排.所有演员到场后节目彩排开始。

一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min ）如下：节目A B C D
演员人数102101
彩排时长30102010
已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）。

若节目按“A B C D ---”的先后顺序彩排，则节目D 的演员的候场时间为 min ；
若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按 的先后顺序彩排
三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．计算：(
)0
52sin 30 -18．解不等式组：()3142,92.5x x x x ⎧-<+⎪⎨-<⎪⎩
19．已知10a b --=，求代数式()22
3232a b b a ab b -+-+的值.20．如图，在四边形ABCD 中，E 是AB 的中点，DB ，CE 交于点F ，DF FB =，AF DC .
(1)求证：四边形AFCD 为平行四边形；
(2)若90EFB ∠=︒，tan 3FEB ∠=，1EF =，求BC 的长.
21．为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排
放标准6b 阶段（以下简称“标准”）.对某型号汽车，“标准”要求
A 类物质排放量不超过35mg /km ，A ，
B 两类物质排放量之和不超过50mg /km .已知该型号某汽车的A ，B 两类物质排放量之和原为92mg /km .经过一次技术改进，该汽车的A 类物质排放量降低了50%，B 类物质排放量降低了75%，A ，B 两类物质排放量之和为40mg /km ，判断这次技术改进后该汽车的A 类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由.
22．在平面直角坐标系xOy 中，函数()0y kx b k =+≠与3y kx =-+的图象交于点()2,1.
(1)求k ，b 的值；
(2)当2x >时，对于x 的每一个值，函数()0y mx m =≠的值既大于函数y kx b =+的值，也大于函数3y kx =-+的值，直接写出m 的取值范围.
23．某学校举办的“
青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段.
(1)初赛由10名数师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制）.对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.
a .教师评委打分：
86 88 90 91 91 91 91 92 92 98
b .学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组8285x ≤<，第2组8588x ≤<，第3组8891x ≤<，第4组9194x ≤<，第5组9497x ≤<，第6组97100x ≤≤）：
c .评委打分的平均数、中位数、众数如下：平均数中位数众数
教师评委9191m
学生评委90.8n 93
根据以上信息，回答下列问题：
①m 的值为___________，n 的值位于学生评委打分数据分组的第__________组；②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为x ，则
x ___________91（填“>”“=”或“<”
）；(2)决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：
评委1评委2评委3评委4评委5
甲9390929392
乙9192929292
丙90949094k
若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是____________，表中k （k 为整数）的值为____________.
24．如图，AB 是O 的直径，点C ，D 在O 上，OD 平分AOC .
(1)求证：OD BC ∥；
(2)延长DO 交O 于点E ，连接CE 交OB 于点F ，过点B 作O 的切线交DE 的延长线于点P .若56
OF BF =，1PE =，求O 半径的长.25．小云有一个圆柱形水杯（记为1号杯），在科技活动中，小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水杯，并将其制作出来，新水杯（记为2号杯）示意图如下，
当1号杯和2号杯中都有V mL水时，小云分别记录了1号杯的水面高度1h（单位：cm）和2号杯的水面高度2h（单位：cm），部分数据如下：
V/mL040100200300400500
h/cm0 2.5 5.07.510.012.5
1
h/cm0 2.8 4.87.28.910.511.8
2
(1)补全表格（结果保留小数点后一位）；
(2)通过分析数据，发现可以用函数刻画1h与V，2h与V之间的关系.在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；
(3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①当1号杯和2号杯中都有320mL水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为
___________cm（结果保留小数点后一位）；
②在①的条件下，将2号杯中的一都分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为___________cm（结果保留小数点后一位）．
26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()2220=-≠y ax a x a .
(1)当1a =时，求抛物线的顶点坐标；
(2)已知()11,M x y 和()22,N x y 是抛物线上的两点.若对于13x a =，234x ≤≤，都有12y y <，求a 的取值范围.
27．已知()045MAN αα∠=︒<<︒，点B ，C 分别在射线AN ，AM 上，将线段BC 绕点B 顺时针旋转1802α︒-得到线段BD ，过点D 作AN 的垂线交射线AM 于点E .
(1)如图1，当点D 在射线AN 上时，求证：C 是AE 的中点；
(2)如图2，当点D 在MAN ∠内部时，作DF AN ∥，交射线AM 于点F ，用等式表示线段EF 与AC 的数量关系，并证明。

28．在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，对于O 的弦AB 和不在直线AB 上的点C ，给出如下定义：若点C 关于直线AB 的对称点C '在O 上或其内部，且ACB α∠=，则称点C 是弦AB 的“α可及点”．
(1)如图，点()0,1A ，()1,0B ．
①在点()12,0C ，()21,2C ，31,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭
中，点___________是弦AB 的“α可及点”，其中α=____________︒；
②若点D 是弦AB 的“90︒可及点”，则点D 的横坐标的最大值为__________；
(2)已知P 是直线y =O 的弦MN ，使得点P 是弦MN 的“60︒可及点”．记点P 的横坐标为t ，直接写出t 的取值范围．
1．B
【详解】解：A 、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；
B 、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
C 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
D 、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：B ．
2．B
【详解】解：∵OE OC ⊥，
∴90COE ∠=︒，
∵180AOC COE BOE ∠+∠+∠=︒，58AOC ∠=︒，
∴180905832EOB ∠=︒-︒-=︒，
故选：B ．
3．C
【详解】解：A 、由数轴可知21b -<<-，故本选项不符合题意；
B 、由数轴可知21b -<<-，由绝对值的意义知12<<b ，故本选项不符合题意；
C 、由数轴可知23a <<，而21b -<<-，则a b >，故0a b +>，故本选项符合题意；
D 、由数轴可知23a <<，而21b -<<-，因此0ab <，故本选项不符合题意．
故选：C ．
4．C
【详解】∵方程240x x c -+=，1,4,a b c c ==-=，
∴()2
2Δ44410b ac c =-=--⨯⨯=，
∴416c =，
解得4c =．
故选C ．
5．D
【详解】解：画树状图如下：
共有4种等可能的结果，其中两次都取到白色小球的结果有1种，
∴两次都取到白色小球的概率为14
．故选：D ．
6．D
【详解】17184105210m =⨯⨯=⨯，
故选D ．
7．A
【详解】根据基本作图中，同圆半径相等，判定三角形全等的依据是边边边原理，故选A.
8．B
【详解】向两方分别延长BD ，连接OH ，
根据菱形ABCD ，60BAD ∠=︒，则30BAO DAO ∠=∠=︒，90AOD AOB ∠=∠=︒，∵菱形ABCD 绕点O 逆时针旋转90︒得到菱形A B C D ''''，
∴点,,,A D B C ''''一定在对角线,AC BD 上，且OD OD OB OB ''===，OA OA OC OC ''===，∴AD C D ''=，30D AH DC H ''∠=∠=︒，
∵D HA DHC ''∠=∠，
∴AD H C DH '' ≌，
∴D H DH '=，C H AH '=，同理可证,,D E BE BF B F B G DG '''===，
∵30,,120EA B HC D A B C D A BE C DH ''''''∠=∠=︒=∠=∠=︒，
∴A BE C DH '' ≌，
∴DH BE =，
∴DH BE D H D E BF FB B G DG ''''=======，
∴该八边形各边长都相等，
故①正确；
根据角的平分线的性质定理，得点O 到该八边形各边所在直线的距离都相等，
∴④正确；
根据题意，得120ED H '∠=︒，
∵90D OD '∠=︒，60OD H ODH '∠=∠=︒，
∴150D HD '∠=︒，
∴该八边形各内角不相等；
∴②错误，
根据,,OD OD D H DH OH OH ''===，
∴D OH DOH ' ≌，
∴45,75D OH DOH D HO DHO ''∠=∠=︒∠=∠=︒，
故OD OH ≠，
∴点O 到该八边形各顶点的距离都相等错误
∴③错误，
故选B ．
9．9
x ≥【详解】解：根据题意得90x -≥，
解得：9x ≥．
故答案为：9
x ≥10．()()
55x x x +-【详解】()()()32225555x x x x x x x -=-=+-．
故答案为：()()55x x x +-．
11．=1
x -【详解】解：11023x x
+=+230x x ++=，
解得：=1x -，
经检验：=1x -是原方程的解，
所以，原方程的解为=1x -，
故答案为：=1x -．
12．0【详解】解：∵函数()0k y k x =
≠的图象经过点()13,y 和()23,y -，∴有12,33
k k y y ==-，
∴12033
k k y y +=-=，故答案为：0．
13．160
【详解】解：10个工件中为一等品的有49.98，50.00，49.99，50.02，49.99，50.01，50.00，50.02这8个，
∴这200个工件中一等品的个数为820016010
⨯
=个，故答案为：160．
14．55
【详解】解：∵直径AB 平分弦CD ，
∴AB CD ⊥，
∵ BC BC =，∴35A D ∠=∠=︒，
∴903555C ︒︒∠=-=︒，
故答案为：5555︒．
15．27
8
【详解】解：根据正方形的性质，得5AD DC ==，CD AB ∥，
∴CDG AEF ∠=∠，
∵CG 4=，
∴DG 3=,
4sin sin 5CG CDG AEF CD ∠=∠=
=，4tan tan 3
CG AD CDG AEF DG AE ∠=∠===，∴154
AE =，
∴415354AF =⨯
=，∴94
EF =，∴AEF △的面积为1
2728EF AF =
；故答案为：278
．16． 60 C A B D
---【详解】解：①节目D 的演员的候场时间为30102060min ++=，
故答案为：60；
②由题意得节目A 和C 演员人数一样，彩排时长不一样，那么时长长的节目应该放在后面，那么C 在A 的前面，B 和D 彩排时长一样，人数不一样，那么人数少的应该往后排，这样等待时长会短一些，那么B 在D 前面，
∴①按照C B A D ---顺序，则候场时间为：()()10212010110130400++⨯++⨯+⨯=分钟；②按照C B D A ---顺序，则候场时间为：()()102120101101010470++⨯++⨯+⨯=分钟；③按照C A B D ---顺序，则候场时间为：()()1021202130110360++⨯++⨯+⨯=分钟；④按照B C A D ---顺序，则候场时间为：()()101011010120130460++⨯++⨯+⨯=分钟；⑤按照B C D A ---顺序，则候场时间为：()()1010110101201010530++⨯++⨯+⨯=分钟；⑥按照B D C A ---顺序，则候场时间为：()()10101101010101020610++⨯++⨯+⨯=分钟．
∴按照C A B D ---顺序彩排，候场时间之和最小，
故答案为：C A B D ---．
17．
【详解】解：原式1122
=+⨯
=．
18．17
x -<<【详解】∵()3142925x x x x ⎧-+⎪⎨-⎪⎩
＜①＜②∴解不等式①，得7x <，解不等式,②，得1x >-，
∴不等式组的解集为17x -<<．
19．3
【详解】解：原式()2
363a b b
a b -+=-()
()2
3a b a b -=-3a b
=-，∵10a b --=，
∴1a b -=，
∴原式331
==．20．(1)见详解
【详解】（1）证明：∵E 是AB 的中点，DF FB =，
∴EF AD ∥，
∵AF DC ，
∴四边形AFCD 为平行四边形；
（2）解：∵90EFB ∠=︒，
∴1809090CFB ∠=︒-︒=︒，
在Rt EFB △中，tan 3FB FEB FE
∠=
=，1EF =，∴3FB =，∵E 是AB 的中点，DF FB
=∴22AD EF ==，
∵四边形AFCD 为平行四边形，
∴2CF AD ==，
∴在Rt CFB △中，由勾股定理得CB ==21．符合，理由见详解
【详解】解：设技术改进后该汽车的A 类物质排放量为mg /km x ，则B 类类物质排放量为()40mg /km x -，由题意得：4092150%175%
x x -+=--，解得：34x =，
∵3435<，
∴这次技术改进后该汽车的A 类物质排放量是符合“标准”．
22．(1)1,1
k b ==-(2)m 1
≥【详解】（1）解：由题意得将()2,1代入3y kx =-+得：231k -+=，
解得：1k =，
将1k =，()2,1，代入函数()0y kx b k =+≠中，
得：211
k b k +=⎧⎨=⎩，
解得：11
k b =⎧⎨=-⎩，∴1,1k b ==-；
（2）解：∵1,1k b ==-，
∴两个一次函数的解析式分别为1,3y x y x =-=-+，
当2x >时，对于x 的每一个值，函数()0y mx m =≠的值既大于函数1y x =-的值，也大于函数3y x =-+的值，
即当2x >时，对于x 的每一个值，直线()0y mx m =≠的图像在直线1y x =-和直线3y x =-+的上方，则画出图象为：
由图象得：当直线()0y mx m =≠与直线1y x =-平行时符合题意或者当()0y mx m =≠与x 轴的夹角大于直线()0y mx m =≠与直线1y x =-平行时的夹角也符合题意，
∴当直线()0y mx m =≠与直线1y x =-平行时，1m =，
∴当2x >时，对于x 的每一个值，直线()0y mx m =≠的图像在直线1y x =-和直线3y x =-+的上方时，m 1≥，
∴m 的取值范围为m 1≥．
23．(1)①91，4；②<
(2)甲，92
【详解】（1）①从教师评委打分的情况看，91分出现的次数最多，故教师评委打分的众数
为91，
所以91m =，
共有45名学生评委给每位选手打分，
所以学生评委给每位选手打分的中位数应当是第23个，从频数分面直方图上看，可得学生评委给每位选手打分的中位数在第4组9194x ≤<，
故答案为：91，4；
②去掉教师评委打分中的最高分和最低分，其余8名教师评委打分分别为：88，90，91，91，91，91，92，92，
8890919191911929290.7598
x ∴++++=++=<+，故答案为：<；
（2）2909292395
993x +++==+甲，()()()()()2222221=90929292929293929392 1.25S ⎡⎤-+-+-+-+-=⎣
⎦甲，991.85
919292922x ++=+=+乙，()()()()()2222221=9191.89291.89291.89291.89291.80.165S ⎡⎤-+-+-+-+-=⎣
⎦乙， 丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，依题意，当x x x ≥≥甲乙丙，则()191.890949094925
k ≤
++++≤解得：9192
k ≤≤当91k =时，91.8x x ==乙丙此时()()()2222129091.829491.89191.8 3.365S ⎡⎤=⨯-+⨯-+-=⎣
⎦丙∵22S S >乙丙，则乙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，不合题意，
当92k =时，92
x x ==甲丙此时()()()2222129092294929292 3.25S ⎡⎤=⨯-+⨯-+-=⎣
⎦丙
∵22S S >甲丙，则丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，这三位选手中排序最靠前的是甲故答案为：甲，92．
24．(1)见解析(2)3
2
【详解】（1）根据题意，得AOC B C ∠=∠+∠，
∵OB OC =，
∴B C ∠=∠，
∴2AOC B ∠=∠，
∵OD 平分AOC ∠，
∴2AOC AOD ∠=∠，
∴B AOD ∠=∠，
∴OD BC ∥；
（2）∵56
OF BF =，1PE =，不妨设5,6OF x BF x ==，则11OB OF BF x OC OE =+===，∴111OP OE PE x =+=+，
∵OD BC ∥，
∴OFE BFC ∽，OBM POB ∠=∠，∴
56OE OF BC BF ==，∴1156
x BC =，解得665x BC =
，取BC 的中点M ，连接OM ，
则335
x
BM =∵OB OC =，
∴OM BC ⊥，∴3cos 5
BM OBM OB ∠==，∴3cos 5
POB ∠=，∵PB 是O 的切线，
∴OB PB ⊥，∴3cos 51OB OB OB POB OP OE PE OB ∠=
===++，解得32
OB =，故O 半径的长为
32.
25．(1)1.0
(2)见详解
(3)1.2，8.5
【详解】（1）解：由题意得，设V 与1h 的函数关系式为：()10V kh k =≠，
由表格数据得：100 2.5k =，
解得：40k =，
∴140V h =，
∴当40V =时，14040h =，
∴1 1.0cm h =；
（2）解：如图所示，即为所画图像，
（3）解：①当320ml V =时，13208cm 40
h ==，由图象可知高度差 1.2cm CD ≈，
故答案为：1.2；
②由图象可知当两个水杯的水面高度相同时，估算高度约为8.5cm ，故答案为：8.5．
26．(1)()1,1-；
(2)01a <<或40a -<<．
【详解】（1）解：把1a =代入222y ax a x =-得，()2
2211y x x x =-=--，∴抛物线的顶点坐标为()1,1-；
（2）解：分两种情况：
①当0a >时，如图，此时33a <，∴1a <，
又∵0a >，
∴01a <<；
当a<0时，如图，此时4a -<，
解得4a >-，
又∵a<0，
∴40a -<<；
综上，当01a <<或40a -<<，都有12y y <．
27．(1)见详解
(2)2EF AC =，理由见详解
【详解】（1）证明：连接CD ，
由题意得：BC BD =，1802CBD α∠=︒-，
∴BDC BCD ∠=∠，
∵180BDC BCD CBD ∠+∠+∠=︒，
∴()
18018022BDC αα︒-︒-∠==，
∴BDC A ∠=∠，
∴CA CD =，
∵DN AN ⊥，
∴1290A BDC ∠+∠=∠+∠=︒，
∴12∠=∠，
∴CD CE =，
∴CA CE =，
∴点C 是AE 的中点；
（2）解：2EF AC =，
在射线AM 上取点H ，使得BH BA =，取EF 的中点G ，连接DG ，
∵BH BA =，
∴BAH BHA α∠=∠=，
∴1802ABH CBD α∠=︒-=∠，
∴ABC HBD ∠=∠，
又∵BC BD =，
∴ABC HBD ≌，
∴AC DH =，BHD A α∠=∠=，
∴2FHD BHA BHD α∠=∠+∠=，
∵DF AN ∥，
∴EFD A α∠=∠=，390EDF ∠=∠=︒，
∵G 是AE 的中点，
∴GF GD =，2EF GD =，
∴GFD GDF α∠=∠=，
∴2HGD α∠=，
∴HGD FHD ∠=∠，
∴DG DH =，
∵AC DH =，
∴DG AC =，
∴2EF AC =．
28．(1)①2C ，45
12t ≤<或1t <≤【详解】（1）解：①：反过来思考，由相对运动理解，作出O 关于AB 的对称圆O ' ，∵若点C 关于直线AB 的对称点C '在O 上或其内部，且ACB α∠=，则称点C 是弦AB 的“α可及点”，
∴点C 应在O ' 的圆内或圆上，
∵点()0,1A ，()1,0B ，
∴1OA OB ==，
而90AOB ∠=︒，
∴45ABO OAB ∠=∠=︒,
由对称得：45O BA O AB ''∠==︒，
∴O BA ' 为等腰直角三角形，
∴()1,1O ',
设O 半径为R ，
则11C O R '==>=,故1C 在O ' 外，不符合题意；2211C O R '=-==，故2C 在O ' 上，符合题意；
31C O R ==>='，故3C 在O ' 外，不符合题意，∴点2C 是弦AB 的“α可及点”，可知2,,B O C '三点共线，
∵ AB AB =，∴21452
AC B AO B α'=∠=∠=︒，故答案为：2C ，45；
②取AB 中点为H ，连接DH ，
∵则90ADB ∠=︒，
∴HD HA HB ==，
∴点D 在以H 为圆心，HA 为半径的AB 上方半圆上运动（不包括端点A 、B ），∴当点DH x ∥轴时，点D 横坐标最大，
∵1OA OB ==，90AOB ∠=︒，
∴AB =，
∴12HD AB ==
∵点()0,1A ，()1,0B ，∴11,22H ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
∴此时D H x x DH =+=，
∴点D ，
（2）解：反过来思考，由相对运动理解，作出O 关于AB 的对称圆O ' ，
∵若点C 关于直线AB 的对称点C '在O 上或其内部，且ACB α∠=，则称点C 是弦AB 的“α可及点”，
∴点C 应在O ' 的圆内或圆上，
故点P 需要在O ' 的圆内或圆上，
作出MPN △的外接圆O '' ，连接,O M O N ''''，
∴点P 在以O ''为圆心，MO ''为半径的 MN 上运动（不包括端点M 、N ），
∴2120MO N MPN ''∠=∠=︒，
∴30O MN ''∠=︒，
由对称得点,O O '在MN 的垂直平分线上，
∵MPN △的外接圆为O '' ，
∴点O ''也在MN 的垂直平分线上，记OO '与NM 交于点Q ，
∴cos30MQ MO ''''=⋅︒=，
∴2MN MQ ''==，
随着MN 的增大，O ' 会越来越靠近O ，当点O '与点O ''重合时，点P 在O ' 上，即为临界
状态，此时MN 最大，MN ''==
连接,O P OP ''，
∵OP OO O P ''''≤+，
∴当MN 最大,MN =MNP △为等边三角形，
由上述过程知2MN MQ ''
==
∴1MO O P ''''==，∴当1r =，OP 的最大值为2，
设(P t ，则()222204634OP t t t =-+=-+=，
解得：t =，
而记直线y =O 交于,T S ，与y 轴交于点K ，过点S 作SL x ⊥轴，
当0,x y ==0y =0=，
解得1x =，
∴与x 轴交于点()1,0T ，
∴tan OK OTK OT
∠==OT OS =∴OTS △为等边三角形，
∴60TOS ∠=︒，
∴1,2OL LS ==
∴1,2S ⎛ ⎝，
∴t 12t ≤<或1t <≤
2024年北京海淀中考数学试题及答案
考生须知：
1.本试卷共6页，共两部分.三道大题，28道小题。

满分100分。

考试时间120分钟。

2.在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号。

3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4.在答题卡上.选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5.考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。

第一部分 选择题
一、选择题（共16分，每题2分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．D
．2．如图，直线AB 和CD 相交于点O ，OE OC ⊥，若58AOC ∠=︒，则EOB ∠的大小为（ ）
A ．29︒
B ．32︒
C ．45︒
D ．58︒
3．实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A ．1b >-
B ．2b >
C ．0a b +>
D ．0
ab >
4．若关于x 的一元二次方程240x x c -+=有两个相等的实数根，则实数c 的值为
（ ）
A ．16-
B ．4-
C ．4
D ．16
5．不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其他差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（　）
A ．3
4B ．12C ．1
3D ．1
4
6．为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设.北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为17410⨯Flops （Flops 是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到m Flops ，则m 的值为（ ）
A ．16810⨯
B ．17210⨯
C ．17510⨯
D ．18
210⨯7．下面是“作一个角使其等于AOB ”的尺规作图方法.（1）如图，以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ，OB 于点C ，D ；
（2）作射线O A ''，以点O '为圆心，OC 长为半径画弧，交O A ''于点C '；以点C '为圆心，CD 长为半径画弧，两弧交于点D ¢；
（3）过点D ¢作射线O B ''，则A O B AOB '''∠=∠.
上述方法通过判定C O D COD '''△≌△得到A O B AOB '''∠=∠，其中判定C O D COD '''△≌△的依据是（ ）
A ．三边分别相等的两个三角形全等
B ．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C ．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D ．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
8．如图，在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，O 为对角线的交点.将菱形ABCD 绕点O 逆时针旋转90︒得到菱形A B C D ''''，两个菱形的公共点为E ，F ，G ，H .对八边形BFB GDHD E ''给出下面四个结论：
①该八边形各边长都相等；
②该八边形各内角都相等；
③点O 到该八边形各顶点的距离都相等；
④点O 到该八边形各边所在直线的距离都相等。

上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A ．①③
B ．①④
C ．②③D
．②④第二部分 非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9x 的取值范围是 ．
10．分解因式：325x x -= .
11．方程11023x x
+=+的解为 .12．在平面直角坐标系xOy 中，若函数()0k y k x =
≠的图象经过点()13,y 和()23,y -，则12y y +的值是 .
13．某厂加工了200个工件，质检员从中随机抽取10个工件检测了它们的质量（单位：g ），得到的数据如下：
50.03 49.98 50.00 49.99 50.02
49.99 50.01 49.97 50.00 50.02
当一个工件的质量x （单位：g ）满足49.9850.02x ≤≤时，评定该工件为一等品.根据以上数据，估计这200个工件中一等品的个数是 .
14．如图，O 的直径AB 平分弦CD （不是直径）.若35D ∠=︒，则C ∠= ︒
15．如图，在正方形ABCD 中，点E 在AB 上，A F D E ⊥于点F ，CG DE ⊥于点G ．若5AD =，CG 4=，则AEF △的面积为 ．
16．联欢会有A ，B ，C ，D 四个节目需要彩排.所有演员到场后节目彩排开始。

一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min ）如下：节目A B C D
演员人数102101
彩排时长30102010
已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）。

若节目按“A B C D ---”的先后顺序彩排，则节目D 的演员的候场时间为 min ；
若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按 的先后顺序彩排
三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．计算：(
)0
52sin 30 -18．解不等式组：()3142,92.5x x x x ⎧-<+⎪⎨-<⎪⎩
19．已知10a b --=，求代数式()22
3232a b b a ab b -+-+的值.20．如图，在四边形ABCD 中，E 是AB 的中点，DB ，CE 交于点F ，DF FB =，AF DC .
(1)求证：四边形AFCD 为平行四边形；
(2)若90EFB ∠=︒，tan 3FEB ∠=，1EF =，求BC 的长.
21．为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排
放标准6b 阶段（以下简称“标准”）.对某型号汽车，“标准”要求
A 类物质排放量不超过35mg /km ，A ，
B 两类物质排放量之和不超过50mg /km .已知该型号某汽车的A ，B 两类物质排放量之和原为92mg /km .经过一次技术改进，该汽车的A 类物质排放量降低了50%，B 类物质排放量降低了75%，A ，B 两类物质排放量之和为40mg /km ，判断这次技术改进后该汽车的A 类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由.
22．在平面直角坐标系xOy 中，函数()0y kx b k =+≠与3y kx =-+的图象交于点()2,1.
(1)求k ，b 的值；
(2)当2x >时，对于x 的每一个值，函数()0y mx m =≠的值既大于函数y kx b =+的值，也大于函数3y kx =-+的值，直接写出m 的取值范围.
23．某学校举办的“
青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段.
(1)初赛由10名数师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制）.对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.
a .教师评委打分：
86 88 90 91 91 91 91 92 92 98
b .学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组8285x ≤<，第2组8588x ≤<，第3组8891x ≤<，第4组9194x ≤<，第5组9497x ≤<，第6组97100x ≤≤）：
c .评委打分的平均数、中位数、众数如下：平均数中位数众数
教师评委9191m
学生评委90.8n 93
根据以上信息，回答下列问题：
①m 的值为___________，n 的值位于学生评委打分数据分组的第__________组；②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为x ，则
x ___________91（填“>”“=”或“<”
）；(2)决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：
评委1评委2评委3评委4评委5
甲9390929392
乙9192929292
丙90949094k
若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是____________，表中k （k 为整数）的值为____________.
24．如图，AB 是O 的直径，点C ，D 在O 上，OD 平分AOC .
(1)求证：OD BC ∥；
(2)延长DO 交O 于点E ，连接CE 交OB 于点F ，过点B 作O 的切线交DE 的延长线于点P .若56
OF BF =，1PE =，求O 半径的长.25．小云有一个圆柱形水杯（记为1号杯），在科技活动中，小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水杯，并将其制作出来，新水杯（记为2号杯）示意图如下，
当1号杯和2号杯中都有V mL水时，小云分别记录了1号杯的水面高度1h（单位：cm）和2号杯的水面高度2h（单位：cm），部分数据如下：
V/mL040100200300400500
h/cm0 2.5 5.07.510.012.5
1
h/cm0 2.8 4.87.28.910.511.8
2
(1)补全表格（结果保留小数点后一位）；
(2)通过分析数据，发现可以用函数刻画1h与V，2h与V之间的关系.在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；
(3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①当1号杯和2号杯中都有320mL水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为
___________cm（结果保留小数点后一位）；
②在①的条件下，将2号杯中的一都分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为___________cm（结果保留小数点后一位）．
26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()2220=-≠y ax a x a .
(1)当1a =时，求抛物线的顶点坐标；
(2)已知()11,M x y 和()22,N x y 是抛物线上的两点.若对于13x a =，234x ≤≤，都有12y y <，求a 的取值范围.
27．已知()045MAN αα∠=︒<<︒，点B ，C 分别在射线AN ，AM 上，将线段BC 绕点B 顺时针旋转1802α︒-得到线段BD ，过点D 作AN 的垂线交射线AM 于点E .
(1)如图1，当点D 在射线AN 上时，求证：C 是AE 的中点；
(2)如图2，当点D 在MAN ∠内部时，作DF AN ∥，交射线AM 于点F ，用等式表示线段EF 与AC 的数量关系，并证明。

28．在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，对于O 的弦AB 和不在直线AB 上的点C ，给出如下定义：若点C 关于直线AB 的对称点C '在O 上或其内部，且ACB α∠=，则称点C 是弦AB 的“α可及点”．
(1)如图，点()0,1A ，()1,0B ．
①在点()12,0C ，()21,2C ，31,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭
中，点___________是弦AB 的“α可及点”，其中α=____________︒；
②若点D 是弦AB 的“90︒可及点”，则点D 的横坐标的最大值为__________；
(2)已知P 是直线y =O 的弦MN ，使得点P 是弦MN 的“60︒可及点”．记点P 的横坐标为t ，直接写出t 的取值范围．
1．B
【详解】解：A 、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；
B 、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
C 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
D 、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：B ．
2．B
【详解】解：∵OE OC ⊥，
∴90COE ∠=︒，
∵180AOC COE BOE ∠+∠+∠=︒，58AOC ∠=︒，
∴180905832EOB ∠=︒-︒-=︒，
故选：B ．
3．C
【详解】解：A 、由数轴可知21b -<<-，故本选项不符合题意；
B 、由数轴可知21b -<<-，由绝对值的意义知12<<b ，故本选项不符合题意；
C 、由数轴可知23a <<，而21b -<<-，则a b >，故0a b +>，故本选项符合题意；
D 、由数轴可知23a <<，而21b -<<-，因此0ab <，故本选项不符合题意．
故选：C ．
4．C
【详解】∵方程240x x c -+=，1,4,a b c c ==-=，
∴()2
2Δ44410b ac c =-=--⨯⨯=，
∴416c =，。