贵州省贵阳市贵阳一中2014届高三数学第六次适应性月考试题 理(含解析)

某某省某某市某某一中2014届高三数学第六次适应性月考试题 理
（含解析）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在复平面内，复数z 满足（3－4i ）z=|4+3i|（i 为虚数单位），则z 的虚部为
A ．-4
B ．4
5
-
C ．4
D ．45
2．设集合2{(3)30}A x x a x a =-++=，2{540}B x x x =-+=，集合A B 中所有元素
之和为8，则实数a 的取值集合为
A ．{0}
B ．{03}，
C ．{13,4}，
D ．{013,4}，，
3．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i=
A ． 3
B ．4 C.5 D ． 6
4.函数3()cos()226
y x x ππ
=
++-的最大值为 （ ）
A ．
213B ．413C ．4
13D ．13 5．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如右图所示，则该四棱锥的侧面积和体积分别是
A ．45,8，
B ．845,3
C ．84(51),3
+
D ．8，8
6．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>的两条渐近线与抛物线y 2
=2 px （p ＞0）的准线分别
交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p= A ．2
B ．3
2
C ．1
D ．3
7.已知函数3
221()13
f x x ax b x =
+++，若a 是从1，2，3三个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为( ) A.7
9
B.
1
3
C.
5
9
D.
23
8．在平行四边形ABCD 中，AD=1，∠BAD= 60o
，E 为CD 的中点．若1=⋅BE AC ，则AB 的长
为 A ．14
B ．12
C ．1
D ．2
9.在数列{}n a 中，若对任意的n 均有12n n n a a a ++++为定值（*n N ∈），且
79982,3,4a a a ===，则数列{}n a 的前100项的和100S =
（ ）
A ．132
B ．299
C ．68
D ．99
10．设关于x ，y 的不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧>-<+>+-003013m y m x y x ，表示的平面区域内存在点P （x 0，y 0），满足0x －
30y =3，求得m 的取值X 围是
A ．)3
1,(--∞
B ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
C ．)2
1,(--∞
D ．)2
1,(-∞
2
x 1()n x x
-n
()|2||4|
f x x x =++-11．函数f （x ）的定义域为D ，若对于任意x 1，x 2∈D ，当12x x <时，都有f （x 1）≤ f（x 2），
则称函数f （x ）在D 上为非减函数．设函数f （x ）在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f （0）=0；②1()32x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③f （l －x ）=1－f （x ）
，则1138f f ⎛⎫⎛⎫
+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
等于 A ．
34B ．4
5
C ．1
D ．2
3
12．已知函数f （x ）=e x
，g （x ）=ln
1
22
x +的图象分别与直线y=m 交于A ，B 两点，则|AB|的最小值为 A ．2
B ．2 + ln 2
C ．e 2
12+
D ．2e －ln 3
2
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

把答案填在答题卡的相应位置。

13、已知
的最小值为，则二项式展开式中项的系数为.
14、四棱锥ABCD P -的五个顶点都在一个球面上，且底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥平面ABCD ，2=
PA ，则该球的体积为_．
15、在锐角三角形ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且32sin 0a c A -=．
若2c =，则a ＋b 的最大值为_.
16、椭圆C ：x 24＋y 2
3＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值X 围是[－
2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值X 围是
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18．某示X 性高中为了推进新课程改革,满足不同层次学生的需求,决定从高一年级开始,在每
周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座,每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座,也可以放弃任何一门科目的辅导讲座.(规定:各科达到预先设定的人数时称为满座,否则称为不满
座)统计数据表明,各学科讲座各天的满座概率如下表: 信息技术
生物
化学
物理
数学
周一 41 41 41 41 21 周三 21 21 21 21 32 周五
31 31 31 31 3
2
(Ⅰ)求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率;
(Ⅱ)设周三各辅导讲座满座的科目数为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望.
19.如图，三棱锥ABC P -中，PB ⊥底面ABC ，90BCA ∠=，
2===CA BC PB ，E 为PC 的中点，点F 在PA 上，且FA PF =2. (Ⅰ)求证：平面PAC ⊥平面BEF ；
(Ⅱ)求平面ABC 与平面BEF 所成的二面角的平面角
（锐角）的余弦值.
20、已知)0,1(),0,1(21F F -为平面内的两个定点，动点P 满足2221=+PF PF ，记点P 的轨迹为曲线C ．
（Ⅰ）求曲线C 的方程；
（Ⅱ）设点O 为坐标原点，点C B A 、、是曲线C 上的不同三点，且0=++OC OB OA ． （ⅰ）试探究：直线AB 与OC 的斜率之积是否为定值？证明你的结论；（ⅱ）当直线AB 过点1F 时，求直线AB 、OC 与x 轴所围成的三角形的面积．
21、已知函数)1,0(,2
)1ln()(2
≠≥+
-+=k k x k x x x f 且． （Ⅰ）当1=k 时，求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程； （Ⅱ）求)(x f 的单调减区间；
（Ⅲ）当0=k 时，设)(x f 在区间)](,0[*
N n n ∈上的最小值为n b ，令n n b n a -+=)1ln(， 求证：
)(,112*2421231423
121N n a a a a a a a a a a a a a n n
n ∈-+<⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++-．
请考生在第(22), (23), (24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一
题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． (22)(本小题满分10分)选修4-1几何证明选讲
如图，O 的直径AB ，BE 为圆0的切线，点C 为O 上不同于A 、B 的一点，AD 为BAC ∠的平分线，且分别与BC 交于H ，与O 交于D ，与BE 交于E ，连结BD 、CD. (I )DBE DBC ∠=∠求证：
（II ）若HE=2a, 求ED.
23.(本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 已知曲线C 的极坐标方程是
．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正
半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是：
（是参数）.
(1)将曲线C 的极坐标方程和直线参数方程转化为普通方程；
(2)若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且14=AB ，试某某数m 值. 24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲
已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称,且f(x)=x 2
+2x. (1)解关于x 的不等式g(x)≥f(x)-|x-1|;
(2)如果对任意的x∈R,不等式g(x)+c≤f(x)-|x-1|恒成立,某某数c 的取值X 围.
3
、【解析】C 程序框图的执行流程及中间结果如下：
第一步：a=10,i =1,a ≠4,a 不是奇数，a=2
10
=5, i =2; 第二步：a ≠4,a 是奇数，a=3×5+1＝16，i ＝3；
第三步：a ≠4,a 不是奇数，a=216
＝8，i ＝4；
第四步：a ≠4,a 不是奇数，a=2
8
＝4，i ＝5；
第五步：a=4，这时跳出循环，输出i ＝5。

4、【解析】A
3331()cos()sin 226222y x x x x x ππ=
++-=+
1
=3sin 2x x
+,22111313(3)()32442+=+==
5、【解析】B 由正视图知：四棱锥的底面是边长为2的正方形，四棱锥的高为2，
∴V ＝
31×22
×2＝3
8；四棱锥的侧面是全等的等腰三角形，底为2，高为5， ∴S 侧＝4×2
1
×2×5＝45。

6、【解析】 A
由已知得a c ＝2，所以2
22a b a +＝4，解得a
b
＝3，即渐近线方程为x y 3=。

而抛物线准线议程为2p x -
=，于是A ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--23,2,23,2p p B p p 。

所以S △AOB ＝
21·p 3·2,32
=∴=p p。

7、【解析】 D 求导可得2
2/2)(b ax x x f ++=要满足题意需022
2
=++b ax x 有两个不
等实根，即0)(42
2>-=∆b a ，即b a >，又b a ,的取法共有933=⨯种，其中满足b a >的
有（1,0），（2,0），（2,1），（3,0），（3,1），（3,2）共6种，故所求的概率为3
2
96==P 。

8、【解析】B
设AB 的长为)0(>a a ,因为AD CE BC BE AD AB AC ,-
=+=+=,所以
AC ·()
AD AB BE +=·1412122++-=+= ⎝⎛a a AD AD AD ，由
已知可得141
21-
2++a a ＝1(0>a )，∴21=a ，即AB 的长为2
1。

9、【解析】B 不妨设1212+3,+n n n n n n a a a T a a a T ++++++=+=同理：，所以3n n a a +=，所以数列{}n a 是以3为周期的周期数列，所以17392982,3,4a a a a a a ======，
()100123133299S a a a a =+++=。

10、【解析】 C 作出不等式组所表示的平面区域，由题意可知，要使平面区域内存在点P(x o ,y o ),满足33=-o o y x ,只须点),3(m m -在直线131-=
x y 的下方，即m <1)3(3
1
--m ,解得m <2
1
-。

11、【解析】 A 令x ＝0，则1)0(1)1(=-=f f ；令x ＝1，则2
1
)1(21)3
1(==
f f ；令x ＝31，则41)31(21)91(==f f ；令x ＝21，则,2
1)21(),21(1)211(=∴-=-f f f 41
)21(21)61(==∴f f ；又因函数)(x f 在[0，1]上为非减函数，
41)81(=∴f ，4
3)81()31(=+∴f f 。

12、【解析】 B 由题意可知：A(1nm,m),B(m e
m ,22
1
-
)其中2
12-
m e
>ln m,且m>0，
于是m e
AB m ln 22
1
-=-=2
12-
m e
-m ln ；令=y 2
12-m e -)0(ln >x x ,
则由0122
1'
=-
=-
x
e
y x ，得21=x ，∴当0<x <21时，0'<y ；当x >21
时，0'>y ；
所以nx e
y x 122
1
-=-
在⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0上单调递减，在⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞,21上单调递增；
所以当x ＝2
1
时，212211221
21min n n e y +=-=-即212min n AB +=。

解析：根据题中四棱锥的特点，可联想到这是一个长方体的一部分，四棱锥的五个顶点均在球面上，也就是长方体的八个顶点均在这个球面上，故可转化为长方体的外接球，又由长宽高分别为1,1，2，可求得体对角线为2，所以22,1R R ==，球的体积为344
133
V ππ=⨯⨯= 15、答案： 4
由32sin 0a c A -=32sin sin 0A C A -=（sin 0A ≠）， ∴3sin 2C =
，∵△ABC 是锐角三角形， ∴3C π= ∵2c =，3
C π
=，由余弦定理，222cos 43a b ab π+-=，即224a b ab +-= ∴22
()4343()2
a b a b ab ++=+≤+⋅，
即2()16a b +≤，∴4a b +≤，当且仅当2a b ==取“=”，故a b +的最大值是4． 16、答案：33
[,]84
解析：由椭圆的标准方程，求出左右顶点分别为12(2,0),(2,0)A A -，设000(,)(2)P x y x ≠±，则
22
00
143
x y +=……①，而
1200
00,22
PA PA y y K K x x =
=+-，则
12
2
000
2
000224
PA PA y y y K K x x x =⋅=+-- 将①式代入得1234PA PA K K =-
，2133
[2,1],[,]84
PA PA K K ∈--∴∈ 17、解(1) ∵12n n a S ，，成等差数列，∴1
22
n n a S =+，……………… 1分
当1n =时，11122a S =+，11
2a ∴=，………………………………… 2分
当2n ≥时，122n n S a =-，111
22
n n S a --=-，
两式相减得：1122n n n n n a S S a a --=-=-，1
2n
n a a -∴=， ………… 4分 所以数列{}n a 是首项为
1
2
，公比为2的等比数列，
12122n n n a a --=⨯=. …………………………………………………… 6分
（2）212
232
21
232
2
2
222log log log log (21)(21)n n n n a a n b n n +-+-++=⨯=⨯=-+
111111()212122121n b n n n n =⨯=--+-+…………………… 10分 123
1111111111
[1+-++)]2335
2121n b b b b n n ++++
=---+（）（）（
=111
(1)2212n -<
+.
…………………………………………… 12分
18、解:(Ⅰ)设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件A,则 2分
18
1
)321)(321)(211()(=---=A P 4分
(Ⅱ)ξ可能取值为0,1,2,3,4,5
48
1
)321()211()0(4=
-⋅-==ξP 5分 8132)211()321()211(21)1(4314=⋅-+-⋅-⋅==C P ξ 6分 24732)211(21)321()211()21()2(3142224=⋅-⋅⋅+-⋅-⋅==C C P ξ 7分 3132)211()21()321()211()21()3(222
4334=⋅-⋅⋅+-⋅-⋅==C C P ξ 8分
16332)211()21()321()21()4(33
44=⋅-⋅⋅+-⋅==C P ξ 9分
24
1
32)21()5(4=
⋅==ξP 10分
2415163431324728114810⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE =38
12分
19、解：(Ⅰ)∵⊥PB 底面ABC ，且⊂AC 底面ABC ， ∴AC PB ⊥………1分
x
y
z
由90BCA ∠=，可得CB AC ⊥………2分 又∵PB
CB B = ，∴AC ⊥平面PBC
注意到⊂BE 平面PBC ， ∴AC BE ⊥………3分 ∵BC PB = ,E 为PC 中点，∴BE PC ⊥………4分 ∵PC
AC C =， BE ⊥平面PAC ………5分
而⊂BE 平面BEF ，∴BEF PAC 平面平面⊥………6分
(Ⅱ)如图，以C 为原点、CA 所在直线为x 轴、CB 为y 轴建立空间直角坐标系.
则)1,1,0(),2,2,0(),0,0,2(),0,2,0(E P A B ,)1,1,0(-=BE
)3
4
,32,32(31-=+=+=PA BP PF BP BF ………8分
设平面BEF 的法向量),,(z y x m =.
则⎪⎩⎪⎨⎧
=+-=+-034
323
20z y x z y 解得)1,1,1(--=m ………10分
取平面ABC 的法向量为)1,0,0(=n 则3
3
|
|||||,cos =
⋅>=
<n m n m n m ， 故平面ABC 与平面BEF 所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值为
3
3
. ……12分 20、（Ⅰ）由于）
（）（到两定点点0,10,1,22121F F P F F -=的距离之和为定值22， 所以点P 的轨迹是以为焦点的椭圆．……………………………………1分 则1,1,222=-=∴==
c a b c a ，
所以曲线C 的方程为12
22
=+y x ．……………………………………3分
（Ⅱ）（ⅰ）椭圆的方程12
22
=+y x ，可化为),(),,(,22221122y x B y x A y x 又=+. 在椭圆上，所以，,22,222
22
22
12
1=+=+y x y x 上面两式相减，得
，
整理得
．设),(33y x C 则由0=++OC OB OA 得
，
，……………………5分
所以，
又
，，
所以2
1-
=OC AB k k 所以 直线AB 与OC 的斜率之积是定值2
1
-…………………………………7分
（ⅰⅰ）当直线轴时，此时不妨设，
又，所以
，所以点
，
则点
不在椭圆上，此时不符合合题意．…………………………………8分
当斜率存在，直线AB 过点),0,1(1-F 设直线AB 的方程为)1(+=x k y ，. 则直线AB 的方程与曲线C 的方程联立得0224)21(2
2
2
2
=-+++k x k x k 则
是关于的一元二次方程0224)21(2
2
2
2
=-+++k x k x k 的两个不相等的实数根，
则)1(),1(,21422112221+=+=+-=+x k y x k y k k x x 又，22
1212k k
y y +=+则..........9分 所以=+-=)(213x x x 22214k k +，2
213212)(k k
y y y +-=+-=则 点C （22214k k +，2
212k k
+-）在椭圆上，代入椭圆
所以，整理得
2
2
±
=k ，..........................................10分
（1）当22=
k 时，由（ⅰ）知2
1-=OC AB k k ，，所以22-=OC k ． 则OC AB ,及x 轴所围成三角形为等腰三角形，其底边长为
，且底边上的高
422221=⨯=
h ，此时OC AB ,及x 轴所围成三角形的面积8
2
42121=
⨯⨯=S ． （2）当22-
=k 时，同理可得OC AB ,及x 轴所围成三角形的面积8
2
42121=⨯⨯=S ． 综上所得，直线OC AB ,与x 轴所围成的三角形的面积为8
2
．…………………12分 21、(1)当1=k 时，221)1ln()(x x x x f +
-+=x x
x f +-+='111)( 2
1
2ln )1(,21)1(-=='∴f f ………………2分
∴曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为022ln 22=-+-y x ………………4分
（2）),1(,1)
1()(+∞-∈+-+=
'x x
k kx x x f ......... 5分
①当0=k 时，00)(,1)(><'+-='x x f x
x
x f 则令 ............6分
），的单调减区间为：（∞+∴0)(x f
②当
1001<<>-k k k 即时，k
k
x x f -<
<<'100)(则令.........7分 ），的单调减区间为：（k
k
x f -∴10)(
12121
2122
1222121)1)2()12)(12((121)2()12)(12(6754532312642)
12(53122222264212531--+=-++<+=+<
<+-+⨯+-⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯-⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅∴-n n n n n n n n n n n n n n
n a a a a a a a a n n )1212(...)35()13(2421231423121--+++-+-<⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++∴
-n n a a a a a a a a a a a a n
n 1
12112-+=-+=n a n ………………12分
22．（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲
证明：(Ⅰ) 因为BE 为圆0的切线，BD 为圆0的弦，
根据弦切角定理知DAB DBE ∠=∠…………2分 由AD 为BAC ∠的平分线知DAC DAB ∠=∠， 又DAC DBC ∠=∠，所以DBC DAB ∠=∠ 所以DBC DBE ∠=∠…………5分
(Ⅱ) 因为O 的直径AB ，BE 为圆0的切线，所以90o
ABE ACH ∠=∠=又DAC DAB ∠=∠所以AHC ∆∽AEB ∆,
(81)
(102)
AHC BEH AHC BHE BHE BEH
BH BE HBD EBD
D H
E DE HE a ∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=∠=∠∴∴==又因为（分）又因为为的中点
（分）
,
2 3.（1）曲线C 的极坐标方程是， ∴
，∴
，
∴曲线C 的极坐标方程化为普通方程是. 直线的参数方程相减得
，即
，
∴直线l 的参数方程化为普通方程是
. ..................5分
（2）由（1）知：圆心的坐标为（2，0），圆的半径R=2，
O
H
E
D
C
A
圆心到直线l 的距离2
2
)214(
222=
-=d ∴，
解得
或
. ......................10分
24 解析(1)∵函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称, ∴g(x)=-f(-x)=-(x 2
-2x),即g(x)=-x 2
+2x,x∈R. ∴原不等式可化为2x 2-|x-1|≤0.
也即⎩⎨⎧≤-+≤01212x x x ①或⎩
⎨⎧
≤+->01212x x x ②
由①得2
1
1≤≤-x ,而②无解, ∴
原
不
等
式
的
解
集
为
]2
1
,1[-. ...................................... (5分)
(2)由题意可知c≤f(x)-g(x)-|x-1|=2x 2
-|x-1|恒成立, 即c≤2x 2
-|x-1|恒成立,
设h(x)=2x 2
-|x-1|=⎩⎨⎧<-+≥+-1
,121
,1222x x x x x x
∴h(x)min =8
9)41(-
=-h . ∴c≤8
9-
. 故c 的取值X 围为]8
9,(--∞. ............................................(10。