2018版高考数学(全国人教B版理)大一轮复习讲义：第十二章推理与证明、算法、复数第2讲含解析

基础巩固题组
(建议用时：35分钟)
一、选择题
1.若a，b∈R，则下面四个式子中恒成立的是（）
A。

lg(1＋a2）>0 B.a2＋b2≥2(a－b－1）
C.a2＋3ab>2b2D。

错误!〈错误!
解析在B中,∵a2＋b2－2(a－b－1)＝（a2－2a＋1）＋（b2＋2b＋1）＝(a－1)2＋（b＋1)2≥0,∴a2＋b2≥2（a－b－1）恒成立。

答案B
2.用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设( )
A。

三个内角都不大于60°
B。

三个内角都大于60°
C.三个内角至多有一个大于60°
D。

三个内角至多有两个大于60°
答案B
3.已知m>1，a＝m＋1－错误!，b＝错误!－错误!，则以下结论正确的是（)
A.a>b
B.a<b
C。

a＝b D.a,b大小不定
解析∵a＝错误!－错误!＝错误!,
b＝m－错误!＝错误!.
而错误!＋错误!〉错误!＋错误!＞0（m＞1）,
∴错误!〈错误!，即a〈b。

答案B
4.分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证b2－ac＜错误!a”索的因应是（）
A.a－b＞0 B。

a－c＞0
C。

(a－b）（a－c）＞0 D。

（a－b)（a－c）＜0
解析由题意知错误!＜错误!a⇐b2－ac＜3a2
⇐(a＋c）2－ac＜3a2
⇐a2＋2ac＋c2－ac－3a2＜0
⇐－2a2＋ac＋c2＜0
⇐2a2－ac－c2＞0
⇐(a－c）(2a＋c）＞0⇐（a－c）(a－b)＞0.
答案C
5.①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2,用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a｜＋｜b|〈1，求证方程x2＋ax＋b＝0
的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1｜≥1。

以下正确的是（) A。

①与②的假设都错误
B。

①与②的假设都正确
C。

①的假设正确；②的假设错误
D.①的假设错误；②的假设正确
解析反证法的实质是否定结论,对于①，其结论的反面是p＋q＞2，所以①不正确；对于②,其假设正确.
答案D
二、填空题
6.错误!＋错误!与2错误!＋错误!的大小关系为________。

解析要比较6＋错误!与2错误!＋错误!的大小,
只需比较（错误!＋错误!)2与（2错误!＋错误!）2的大小，
只需比较6＋7＋2错误!与8＋5＋4错误!的大小，
只需比较错误!与2错误!的大小，只需比较42与40的大小,∵42>40，∴错误!＋错误!>2错误!＋错误!.
答案错误!＋错误!〉2错误!＋错误!
7.用反证法证明命题“a,b∈R，ab可以被5整除,那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是__________________.
答案都不能被5整除
8。

下列条件：①ab〉0，②ab〈0，③a〉0,b〉0，④a<0，b<0，其中能使错误!＋错误!≥2成立的条件的序号是________。

解析要使错误!＋错误!≥2，只需错误!〉0成立，即a，b不为0且同号即可，故①③④能使错误!＋错误!≥2成立.
答案①③④
三、解答题
9.若a,b,c是不全相等的正数，求证:
lg错误!＋lg错误!＋lg错误!＞lg a＋lg b＋lg c.
证明∵a,b，c∈（0，＋∞），
∴a＋b
2
≥错误!＞0，错误!≥错误!＞0,错误!≥错误!＞0。

又上述三个不等式中等号不能同时成立.∴错误!·错误!·错误!＞abc成立.
上式两边同时取常用对数，
得lg错误!＞lg abc,
∴lg a＋b
2
＋lg错误!＋lg错误!＞lg a＋lg b＋lg c.
10。

设数列{a n｝是公比为q的等比数列，S n是它的前n项和。

(1)求证:数列{S n}不是等比数列；
(2）数列{S n｝是等差数列吗？为什么？
(1）证明假设数列｛S n}是等比数列，则S错误!＝S1S3，
即a错误!(1＋q)2＝a1·a1·（1＋q＋q2)，
因为a1≠0,所以(1＋q）2＝1＋q＋q2，
即q＝0，这与公比q≠0矛盾,
所以数列{S n｝不是等比数列。

(2）解当q＝1时，S n＝na1,故{S n}是等差数列;
当q≠1时，{S n｝不是等差数列，
否则2S2＝S1＋S3，即2a1(1＋q）＝a1＋a1(1＋q＋q2），
得q＝0，这与公比q≠0矛盾。

综上，当q＝1时,数列｛S n}是等差数列;当q≠1时，数列{S n}不是等差数列.
能力提升题组
（建议用时：20分钟）
11.已知函数f(x）＝错误!错误!，a，b是正实数，A＝f错误!，B＝f(错误!）,C ＝f错误!，则A，B,C的大小关系为（)
A。

A≤B≤C B。

A≤C≤B
C.B≤C≤A D。

C≤B≤A
解析∵错误!≥错误!≥错误!，又f(x)＝错误!错误!在R上是减函数，∴f错误!≤f(ab)≤f错误!。

答案A
12.设a，b，c均为正实数，则三个数a＋错误!，b＋错误!，c＋错误!( ）
A.都大于2 B。

都小于2
C.至少有一个不大于2 D。

至少有一个不小于2
解析∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋
错误!≥6，当且仅当a＝b＝c＝1时，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2。

答案D
13。

如果a错误!＋b错误!>a错误!＋b错误!，则a，b应满足的条件是________.解析∵a a＋b错误!－(a错误!＋b错误!）
＝错误!(a－b）＋错误!（b－a）
＝(错误!－错误!)（a－b）
＝（错误!－错误!)2（错误!＋错误!)。

∴当a≥0,b≥0且a≠b时,(a－错误!）2（错误!＋错误!）〉0。

∴a错误!＋b错误!〉a错误!＋b错误!成立的条件是a≥0，b≥0且a≠b。

答案a≥0，b≥0且a≠b
14。

（2015·安徽卷）设n∈N＋，x n是曲线y＝x2n＋2＋1在点(1，2)处的切线与x轴交点的横坐标。

（1)求数列｛x n｝的通项公式;
（2）记T n＝x错误!x错误!…x错误!，证明：T n≥错误!。

（1）解y′＝(x2n＋2＋1)′＝（2n＋2）x2n＋1,曲线y＝x2n＋2＋1在点(1,2)处的切线斜率为2n＋2，从而切线方程为y－2＝（2n＋2)(x－1).令y＝0，解得切线与x轴的交点的横坐标x n＝1－错误!＝错误!,所以数列｛x n}的通项公式x n＝错误!.
(2)证明由题设和（1)中的计算结果知,
T n＝x错误!x错误!…x错误!＝错误!错误!错误!错误!…错误!错误!。

当n＝1时,T1＝错误!。

当n≥2时，因为x错误!＝错误!错误!＝错误!>错误!＝错误!＝错误!，
所以T n〉错误!错误!×错误!×错误!×…×错误!＝错误!。

综上可得，对任意的n∈N＋,均有T n≥错误!。