人教版八年级数学(上册)第十四章整式的乘法与因式分解全章复习(2)
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(3)根据方法1,2的表达式即可得出三者的关系式.由(2)可 得(m+n)2-4mn=(m-n)2.
答案：(1)m-n
(2)(m-n)2 (m+n)2-4mn
(3)(m+n)2-4mn=(m-n)2
跟踪训练：小明做了四个正方形和长方形纸板,如图(1)所 示,a,b为各边的长,小明用这四个纸板拼成图(2)的图形,验证了 完全平方公式,小明说他还能用这四个纸板通过拼接,组成别 的图形,来验证平方差公式,他说得是否有道理?如果有道理,请 你帮他画出拼成的图形,如果没道理,不能验证,请说明理由.
重点知识精讲精练
Hale Waihona Puke 重点三：乘法公式例4：计算: (1)(2x+1)(-2x+1)； (3)(3x+1)2(3x-1)2；
(2)
； 2a - 1 b2 2
2
(4)(x+1)(x2+1)(x4+1)(x-1)。
分析：(1)根据平方差公式,找准a,b对应的数(或式),再解 答;(2)根据完全平方公式计算;(3)和(4)可根据平方差公式 计算.
解:(1)将x+y=5两边平方得(x+y)2=x2+2xy+y2=25,
将xy=2代入得x2+y2=21.
(2)原式=xy+3(x+y)+9=2+15+9=26.
思维点拨：平方差公式中,左边是两个二项式的积,在这两个二项式中有一项完 全相同,另一项互为相反数,右边是完全相同项的平方减去符号相反项的平方.完全 平方公式中,左边是二项式的平方,右边是三项式,左边两项的平方是右边前、后两 项,左边两项积的2倍是右边中间一项.
对于平方差公式和完全平方公 式,熟练掌握这些公式的结构特点 是解题的关键。
跟踪训练：已知x+y=5,xy=2,求下列各式的值.
(1)x2+y2; (2)(x+3)(y+3).
分析：(1)将x+y=5两边平方,利用完全平方公式展开,将xy 的值代入即可求出所求式子的值;(2)原式利用多项式乘以多项 式法则计算,变形后将xy与x+y的值代入计算即可求出值。
(1)根据图(2)写出一个等式;
(2)已知等式(x+m)(x-n)=
x2+(m-n)x-mn,请你在图(3)
中画出一个相应的几何图形
加以说明.
谢谢！
重点四：因式分解
因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式,它与整 式乘法互为逆运算。
因式分解的方法主要有提公因式法和公式法。
因式分解时,一般先提公因式,再用公式法分解,因式分解要 求分解到每一个因式都不能分解为止。
例5：因式分解.
(1)a(a-b)2+(b-a)3; (2)-3xy2-6xy-3x; (3)9x2-(x-2y)2. 分析：(1)提取公因式(a-b)2整理即可;(2)先提取公因式-3x, 再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解;(3)利用平方差 公式分解因式即可. 解:(1)a(a-b)2+(b-a)3=a(a-b)2-(a-b)3=(a-b)2(a-a+b)=b(a-b)2.
3、解决实际问题是学习数学的终极目标，而实际问题数 学化是解决他们的有效策略。
作业布置
1、等式(-a-1)( )=1-a2中,括号内应填入 ( )
A.a-1 B.1-a C.a+1 D.-1-a 2、若9x2+kx+ 1 是完全平方式,则k的值是 ( )
9
A.2 B.±2 C.±3 D.3 3、按如图所示的方式分割正方形,拼接成长方形的方案中,可 以验证 ( ) A.(a+b)2=a2+2ab+b2 B.(a-b)2=a2-2ab+b2 C.(a-b)2=(a+b)2-4ab D.(a+b)(a-b)=a2-b2
• 跟踪训练2：若(x2+mx-8)(x2-3x+n)的展开式中不含x2和x3项, 求m和n的值。
• 分析：利用多项式乘多项式法则计算得到结果,根据展 开式中不含x2和x3项列出关于m与n的方程组,求出方程组的 解即可得到m与n的值。
•
解:原式=x4+(m-3)x3+(n-3:m-8)x2+(mn+24)x-8n,
本节知识归纳
1、整式的乘法公式包括平方差公式和完全平方公式。在 计算多项式的乘法时,对于符合这三个公式结构特征的式子, 运用公式可以减少运算量,提高同学们的解题速度。
2、因式分解是很重要的一种式子变形,它与整式乘法互为 逆运算。因式分解时,一般先提公因式,再用公式法分解,因式 分解要求分解到每一个因式都不能分解为止。
例6：如图(1)所示的是一个长为2m,宽为2n的长方形,沿 图中虚线用剪刀将其均分成四个完全相同的小长方形,然后按 图(2)的形状拼图.
(1)图(2)中的图形阴影部分的边长为 的代数式表示)
.(用含m,n
(2)请你用两种不同的方法分别求图(2)中阴影部分的面积.
方法1:
;
方法2:
.
(3)观察图(2),请写出
(2)-3xy2-6xy-3x=-3x(y2+2y+1)=-3x(y+1)2.
(3)9x2-(x-2y)2=(3x+x-2y)(3x-x+2y)=4(2x-y)(x+y).
跟踪训练：用简便方法计算.
(1)1.456×89+102×1.456-91×1.456; (2)20162-20152.
分析：(1)此题把1.456提出后计算,然后利用有理数的加法 法则计算即可;(2)利用平方差公式能够使计算简便.
代数式(m+n)2,(m-n)2,4mn之间的关系式:
.
分析：(1)根据小长方形的长、宽分别为m,n即可得出答 案.阴影部分的边长=m-n.
(2)方法1:直接利用正方形面积=边长×边长求解,阴影部 分的面积=(m-n)(m-n)=(m-n)2;方法2:大正方形的面积减去大 长方形的面积,大正方形的面积=(m+n)2,大长方形的面积 =4mn,则阴影部分的面积=(m+n)2-4mn.
4、下列分解因式错误的是 ( )
A.x2-4+3x=(x+2)(x-2)+3x B.-x2+y2=-(x+y)(x-y)
C.2x2-x=-x(-2x+1)
D.x2-2x+1=(x-1)2
5、把4x3-xy2分解因式,结果正确的是 ( )
A.x(4x2-y2) B.x(2x-y)2 C.x(2x+y)2 D.x(2x+y)(2x-y)
• 根据展开式中不含x2和x3项得在: 解答这类问题时,利用
• 解得
整式的乘法法则展开之后合 并同类项,不含有哪一项,哪一
项的系数就为0。
重点五：实际问题数学化
解决实际问题是学习数学的终极目标，而实际问题数学 化是解决他们的有效策略，在这里，数形结合这种重要的数 学思想就起到了最要的作用,用图形的面积来解释代数恒等式 是近年来中考中的一种常见题型,这类题目解题的关键是结合 图形理解代数式的几何意义。
解:(1)(2x+1)(-2x+1)=12-(2x)2=1-4x2.
(2)原式=(2a)2-2×2a×12 b2+
1 2
b
2
2=4a2-2ab2+
1 4
b4.
• (3)(3x+1)2(3x-1)2 • =[(3x+1)(3x-1)]2 • =(9x2-1)2 • =81x4-18x2+1. • (4)(x+1)(x2+1)(x4+1)(x-1) • =(x+1)(x-1)(x2+1)(x4+1) • =(x2-1)(x2+1)(x4+1) • =(x4-1)(x4+1) • =x8-1.
人教版八年级数学上册
第十四章 整式的乘法与因式分解 全章复习（2）
学习目标
1.会推导乘法公式，了解公式的几何意义，能利用公式进 行乘法运算。
2.掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算， 并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算。
3.理解因式分解的意义，能够熟练地对多项式进行因式分 解。
全章知识归纳
6、把下列各式分解因式.
(1)-12xy+x2+36y2; (2)(x2+9y2)2-36x2y2.
7、若x,y满足x2+y2=
5 4
,xy=-
1 2
,求下列各式的值.
(1)(x+y)2； (2)x4+y4； (3)x2-y。
8、先阅读后解答:我们已经知道,根据几何图形的面积关 系可以说明完全平方公式,实际上还有一些等式也可以用这种 方式加以说明,例如:(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2,就可以用图(1) 的面积关系来说明.
分析：拼出如下图所示 的图形,然后根据两阴影部分 面积相等,即可得到 (a+b)(a-b)=a2-b2. 进而验证平方差公式.
解:如下图的阴影部分面积. ∵两阴影部分面积相等, ∴(a+b)(a-b)=a2-b2.
思维点拨：本类题考查了完全平方公式之间的关系和 几何背景,难度较大,关键是仔细审图,得出阴影部分面积的 不同表示方法。
解:(1)1.456×89+102×1.456-91×1.456
=1.456×(89+102-91)
利用乘法公式进行简便计 算时,如果原式是三项,考虑用
=1.456×100
完全平方公式,如果原式是两项, 考虑用平方差公式.
=145.6.
(2)20162-20152=(2016+2015)×(2016-2015)=4031.
答案：(1)m-n
(2)(m-n)2 (m+n)2-4mn
(3)(m+n)2-4mn=(m-n)2
跟踪训练：小明做了四个正方形和长方形纸板,如图(1)所 示,a,b为各边的长,小明用这四个纸板拼成图(2)的图形,验证了 完全平方公式,小明说他还能用这四个纸板通过拼接,组成别 的图形,来验证平方差公式,他说得是否有道理?如果有道理,请 你帮他画出拼成的图形,如果没道理,不能验证,请说明理由.
重点知识精讲精练
Hale Waihona Puke 重点三：乘法公式例4：计算: (1)(2x+1)(-2x+1)； (3)(3x+1)2(3x-1)2；
(2)
； 2a - 1 b2 2
2
(4)(x+1)(x2+1)(x4+1)(x-1)。
分析：(1)根据平方差公式,找准a,b对应的数(或式),再解 答;(2)根据完全平方公式计算;(3)和(4)可根据平方差公式 计算.
解:(1)将x+y=5两边平方得(x+y)2=x2+2xy+y2=25,
将xy=2代入得x2+y2=21.
(2)原式=xy+3(x+y)+9=2+15+9=26.
思维点拨：平方差公式中,左边是两个二项式的积,在这两个二项式中有一项完 全相同,另一项互为相反数,右边是完全相同项的平方减去符号相反项的平方.完全 平方公式中,左边是二项式的平方,右边是三项式,左边两项的平方是右边前、后两 项,左边两项积的2倍是右边中间一项.
对于平方差公式和完全平方公 式,熟练掌握这些公式的结构特点 是解题的关键。
跟踪训练：已知x+y=5,xy=2,求下列各式的值.
(1)x2+y2; (2)(x+3)(y+3).
分析：(1)将x+y=5两边平方,利用完全平方公式展开,将xy 的值代入即可求出所求式子的值;(2)原式利用多项式乘以多项 式法则计算,变形后将xy与x+y的值代入计算即可求出值。
(1)根据图(2)写出一个等式;
(2)已知等式(x+m)(x-n)=
x2+(m-n)x-mn,请你在图(3)
中画出一个相应的几何图形
加以说明.
谢谢！
重点四：因式分解
因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式,它与整 式乘法互为逆运算。
因式分解的方法主要有提公因式法和公式法。
因式分解时,一般先提公因式,再用公式法分解,因式分解要 求分解到每一个因式都不能分解为止。
例5：因式分解.
(1)a(a-b)2+(b-a)3; (2)-3xy2-6xy-3x; (3)9x2-(x-2y)2. 分析：(1)提取公因式(a-b)2整理即可;(2)先提取公因式-3x, 再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解;(3)利用平方差 公式分解因式即可. 解:(1)a(a-b)2+(b-a)3=a(a-b)2-(a-b)3=(a-b)2(a-a+b)=b(a-b)2.
3、解决实际问题是学习数学的终极目标，而实际问题数 学化是解决他们的有效策略。
作业布置
1、等式(-a-1)( )=1-a2中,括号内应填入 ( )
A.a-1 B.1-a C.a+1 D.-1-a 2、若9x2+kx+ 1 是完全平方式,则k的值是 ( )
9
A.2 B.±2 C.±3 D.3 3、按如图所示的方式分割正方形,拼接成长方形的方案中,可 以验证 ( ) A.(a+b)2=a2+2ab+b2 B.(a-b)2=a2-2ab+b2 C.(a-b)2=(a+b)2-4ab D.(a+b)(a-b)=a2-b2
• 跟踪训练2：若(x2+mx-8)(x2-3x+n)的展开式中不含x2和x3项, 求m和n的值。
• 分析：利用多项式乘多项式法则计算得到结果,根据展 开式中不含x2和x3项列出关于m与n的方程组,求出方程组的 解即可得到m与n的值。
•
解:原式=x4+(m-3)x3+(n-3:m-8)x2+(mn+24)x-8n,
本节知识归纳
1、整式的乘法公式包括平方差公式和完全平方公式。在 计算多项式的乘法时,对于符合这三个公式结构特征的式子, 运用公式可以减少运算量,提高同学们的解题速度。
2、因式分解是很重要的一种式子变形,它与整式乘法互为 逆运算。因式分解时,一般先提公因式,再用公式法分解,因式 分解要求分解到每一个因式都不能分解为止。
例6：如图(1)所示的是一个长为2m,宽为2n的长方形,沿 图中虚线用剪刀将其均分成四个完全相同的小长方形,然后按 图(2)的形状拼图.
(1)图(2)中的图形阴影部分的边长为 的代数式表示)
.(用含m,n
(2)请你用两种不同的方法分别求图(2)中阴影部分的面积.
方法1:
;
方法2:
.
(3)观察图(2),请写出
(2)-3xy2-6xy-3x=-3x(y2+2y+1)=-3x(y+1)2.
(3)9x2-(x-2y)2=(3x+x-2y)(3x-x+2y)=4(2x-y)(x+y).
跟踪训练：用简便方法计算.
(1)1.456×89+102×1.456-91×1.456; (2)20162-20152.
分析：(1)此题把1.456提出后计算,然后利用有理数的加法 法则计算即可;(2)利用平方差公式能够使计算简便.
代数式(m+n)2,(m-n)2,4mn之间的关系式:
.
分析：(1)根据小长方形的长、宽分别为m,n即可得出答 案.阴影部分的边长=m-n.
(2)方法1:直接利用正方形面积=边长×边长求解,阴影部 分的面积=(m-n)(m-n)=(m-n)2;方法2:大正方形的面积减去大 长方形的面积,大正方形的面积=(m+n)2,大长方形的面积 =4mn,则阴影部分的面积=(m+n)2-4mn.
4、下列分解因式错误的是 ( )
A.x2-4+3x=(x+2)(x-2)+3x B.-x2+y2=-(x+y)(x-y)
C.2x2-x=-x(-2x+1)
D.x2-2x+1=(x-1)2
5、把4x3-xy2分解因式,结果正确的是 ( )
A.x(4x2-y2) B.x(2x-y)2 C.x(2x+y)2 D.x(2x+y)(2x-y)
• 根据展开式中不含x2和x3项得在: 解答这类问题时,利用
• 解得
整式的乘法法则展开之后合 并同类项,不含有哪一项,哪一
项的系数就为0。
重点五：实际问题数学化
解决实际问题是学习数学的终极目标，而实际问题数学 化是解决他们的有效策略，在这里，数形结合这种重要的数 学思想就起到了最要的作用,用图形的面积来解释代数恒等式 是近年来中考中的一种常见题型,这类题目解题的关键是结合 图形理解代数式的几何意义。
解:(1)(2x+1)(-2x+1)=12-(2x)2=1-4x2.
(2)原式=(2a)2-2×2a×12 b2+
1 2
b
2
2=4a2-2ab2+
1 4
b4.
• (3)(3x+1)2(3x-1)2 • =[(3x+1)(3x-1)]2 • =(9x2-1)2 • =81x4-18x2+1. • (4)(x+1)(x2+1)(x4+1)(x-1) • =(x+1)(x-1)(x2+1)(x4+1) • =(x2-1)(x2+1)(x4+1) • =(x4-1)(x4+1) • =x8-1.
人教版八年级数学上册
第十四章 整式的乘法与因式分解 全章复习（2）
学习目标
1.会推导乘法公式，了解公式的几何意义，能利用公式进 行乘法运算。
2.掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算， 并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算。
3.理解因式分解的意义，能够熟练地对多项式进行因式分 解。
全章知识归纳
6、把下列各式分解因式.
(1)-12xy+x2+36y2; (2)(x2+9y2)2-36x2y2.
7、若x,y满足x2+y2=
5 4
,xy=-
1 2
,求下列各式的值.
(1)(x+y)2； (2)x4+y4； (3)x2-y。
8、先阅读后解答:我们已经知道,根据几何图形的面积关 系可以说明完全平方公式,实际上还有一些等式也可以用这种 方式加以说明,例如:(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2,就可以用图(1) 的面积关系来说明.
分析：拼出如下图所示 的图形,然后根据两阴影部分 面积相等,即可得到 (a+b)(a-b)=a2-b2. 进而验证平方差公式.
解:如下图的阴影部分面积. ∵两阴影部分面积相等, ∴(a+b)(a-b)=a2-b2.
思维点拨：本类题考查了完全平方公式之间的关系和 几何背景,难度较大,关键是仔细审图,得出阴影部分面积的 不同表示方法。
解:(1)1.456×89+102×1.456-91×1.456
=1.456×(89+102-91)
利用乘法公式进行简便计 算时,如果原式是三项,考虑用
=1.456×100
完全平方公式,如果原式是两项, 考虑用平方差公式.
=145.6.
(2)20162-20152=(2016+2015)×(2016-2015)=4031.