民乐县二中八年级数学下学期期中检测题新版新人教版8

期中检测题
(时间：120分钟满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．(南通中考)若代数式x－1在实数范围内有意义，则x的取值范围是( D)
A．x＜1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≥1
2．下列长度的线段中，能构成直角三角形的一组是( D)
A.3，4， 5 B．6，7，8
C．12，25，27 D．23，25，4 2
3．下列计算正确的是( B)
A.3＋2＝ 5
B.12÷3＝2
C．(5)－1＝ 5 D．(3－1)2＝2
4．方程|4x－8|＋x－y－m＝0，当y＞0时，m的取值范围是( C)
A．0＜m＜1 B．m≥2
C．m＜2 D．m≤2
5．如图，将边长为2 cm的菱形ABCD沿边AB所在的直线l翻折得到四边形ABEF，若∠DAB＝30°，则四边形CDFE的面积为( C)
A．2 cm2B．3 cm2C．4 cm2D．6 cm2
,第5题图) ,第7题图) 6．已知下列命题：①若a＞0，b＞0，则a＋b＞0；②若a≠b，则a2≠b2；③内错角相等，两直线平行；④等角的补角相等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是( B) A．1个B．2个C．3个D．4个
7．如图①所示，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4.5 m的墙上，任何东西只要移至该灯5 m及5 m以内时，灯就会自动发光．请问一个身高1.5 m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？( A)
A．4 m B．3 m C．5 m D．7 m
8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分BO，AE＝ 3 cm，则OD＝( C)
A．1 cm B．1.5 cm C．2 cm D．3 cm
,第8题图) ,第9题图) ,第10
题图)
9．如图，在△ABC中，点E，D，F分别在AB，BC，CA上，且DE∥CA，DF∥BA.下列四个判断中，不正确的是( C)
A．四边形AEDF是平行四边形
B．如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形
C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是矩形
D．如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形
10．如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF＝5，BE＝DF＝12，则EF的长是( C)
A．7 B．8 C．7 2 D．7 3
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．计算：2(2－3)＋6＝__2__．
12．如图，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是__5－1__．
,第12题图) ,第13题图) 13．如图，顺次连接四边形ABCD四边的中点E，F，G，H，则四边形EFGH的形状一定是__平行四边形__．
14．已知x－1＋1－x＝y＋4，则y x的值为__－4__．
15．如图，AC⊥CE，AD＝BE＝13，BC＝5，DE＝7，则AC＝__12__．
,第15题图) ,第16题图) 16．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，CF⊥AD于点E，且BC＝CF，连接BF交对角线AC于点M，则∠FMC＝__105__°.
17．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF＝3，△EFC的周长为12，则EC的长为__5__．
,第17题图) ,第18题图) 18．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A，C的坐标分别为A(10，0)，C(0，4)，点D是OA的中点，点P为线段BC上的点．小明同学写出了一个以OD为腰的等腰三角形ODP的顶点P的坐标(3，4)，请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标__(2，4)或(8，4)__．
三、解答题(共66分)
19．(6分)计算：
(1)(24－2)－(8＋6)；
解：原式＝26－2－22－6＝6－3 2
(2)48－54÷2＋(3－3)(3＋3)．
解：原式＝43－33＋9－3＝3＋6
20．(6分)(盘绵中考)先化简，再求值：(1－1a －1)÷a 2
－4a ＋4
a 2－a ，其中a ＝2＋ 2.
解：原式＝a
a －2
.当a ＝2＋2时，原式＝2＋1
21．(6分)在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b. (1)已知a ＝7，b ＝24，求c ；
(2)若c ＝41，b ＝4，求a.
解：(1)由题意得a 2＋b 2＝c 2，c ＝a 2＋b 2＝25 (2)由题意得a 2＋b 2＝c 2
，∴a ＝c 2－b 2
＝5
22．(8分)如图，△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，BC 的中点．
(1)若EF ＝5 cm ，则AB ＝__10__cm ；若BC ＝9 cm ，则DE ＝__4.5__cm ； (2)中线AF 与中位线DE 有什么特殊的关系？证明你的猜想．
,题图) ,答图)
解：(2)AF 与DE 互相平分．∵E ，F 分别为AC ，BC 中点，∴EF 为△CAB 的中位线，∴EF ∥AB ，EF ＝12AB ，∵D 为AB 中点，∴AD ＝1
2AB ，∴EF ＝AD ，∵EF ∥AB ，∴∠1＝∠2，∠3
＝∠4，∴在△ADO 和△FEO 中，⎩⎪⎨⎪
⎧∠1＝∠2，∠3＝∠4，AD ＝FE ，∴△ADO ≌△FEO ，∴DO ＝OE ，AO ＝OF ，∴AF
与DE 相互平分
23．(8分)如图，这是一个供滑板爱好者使用的U 型池，该U 型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4 m 的半圆，其边缘AB ＝CD ＝20 m ，点E 在CD 上，CE ＝4 m ，一滑行爱好者从A 点到E 点，则他滑行的最短距离是多少？(边缘部分的厚度可以忽略不计，π取3)
,题图) ,答图)
解：展开图如图，作EF ⊥AB ，由于平铺，∴四边形ABCD 是矩形，∴∠C ＝∠B ＝90°，∵EF ⊥AB ，∴∠EFA ＝∠EFB ＝90°，∴四边形CBFE 是矩形，∴EF ＝BC ＝4×2×3×
1
2＝12(m )，FB ＝CE ＝4，∴AF ＝16 m ，∴AE ＝20 m
24．(10分)如图，已知在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC 和CD 上，AE ＝AF. (1)求证：BE ＝DF ；
(2)连接AC 交EF 于点O ，延长OC 至点M ，使OM ＝OA ，连接EM ，FM.判断四边形AEMF 是什么特殊四边形？并证明你的结论．
解：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B ＝∠D ＝90°，AB ＝AD ，在Rt △ABE 和Rt △
ADF 中，⎩
⎪⎨⎪⎧AE ＝AF ，
AB ＝AD ，∴Rt △ABE≌Rt △ADF，∴BE＝DF (2)四边形AEMF 是菱形．理由如下：
∵四边形ABCD 是正方形，∴CB＝CD ，又∵BE＝DF ，∴CE＝CF ，又∵AE＝AF ，∴AM 垂直平
分EF ，∴OE＝OF ，又∵OM＝OA ，∴四边形AEMF 是平行四边形，又∵AE ＝AF ，∴▱AEMF 是菱形
25．(10分)如图，已知平行四边形ABCD ，过点A 作AM⊥BC 于点M ，交BD 于点E ，过点C 作CN⊥AD 于点N ，交BD 于点F ，连接AF ，CE.
(1)求证：四边形AECF 为平行四边形；
(2)当四边形AECF 为菱形，M 点为BC 的中点时，求∠ABC 的度数．
解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC ∥AD ，又∵AM ⊥BC ，∴AM ⊥AD ，∵CN ⊥AD ，∴AM ∥CN ，∴AE ∥CF ，又由AD ∥BC 得∠ADE ＝∠CBF ，在△ADE 和△CBF 中，∠DAE ＝∠BCF ＝90°，AD ＝CB ，∠ADE ＝∠CBF ，∴△ADE ≌△CBF(ASA )，∴AE ＝CF ，∴四边形AECF 为平行四边形 (2)连接AC 交BF 于点O ，当AECF 为菱形时，则AC 与EF 互相垂直平分．又∵BO＝OD ，∴AC 与BD 互相垂直平分，∴▱ABCD 是菱形，∴AB＝BC ，∵M 是BC 的中点，AM⊥BC，∴AM 垂直平分BC ，∴AB＝AC ，∴△ABC 为等边三角形，∴∠ABC ＝60°
26．(12分)已知正方形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，点M ，N 分别在射线AC ，DB 上(点M ，N 与A ，B ，C ，D ，O 各点均不重合)，且MN ∥AD ，连接DM ，CN.
(1)如图①，当点M ，N 分别在线段AO ，DO 上时，探究线段DM 与CN 之间的数量关系为：____________；(直接写出结论，不必证明)
(2)如图②，当点M ，N 分别在线段OC ，OB 上时，判断(1)中的结论是否成立，若成立给出证明；若不成立说明理由；
(3)如图③，当点M ，N 分别在线段OC ，OB 的延长线上，请在图③中画出符合题意的图形，并直接判断(1)中的结论是否成立，不必说明理由．
解：(1)DM ＝CN (2)结论仍然成立．证明：∵四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，∴AC ＝BD ，OB ＝OD ＝12BD ，OC ＝1
2AC ，AC ⊥BD ，∴OD ＝OC ＝OB ，∠DOM ＝∠CON ＝90°，∵
NM ∥AD ∥BC ，∴∠ONM ＝∠OBC ，∠OMN ＝∠OCB.∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ，∴∠ONM ＝∠
OMN ，∴ON ＝OM ，∴△DOM ≌△CON(SAS )，∴DM ＝CN (3)图略．结论仍然成立
勾股定理的证明
【证法1】（课本的证明）
做
c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正.
ab
c ab b a 21
4214222⨯+=⨯++， 整理得 222c b a =+.
【证法2】（邹元治证明）
以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21
. 把这四个直角三
角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、
G 、D 三点在一条直线上.
∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF,
∴ ∠AHE = ∠BEF.
∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º,
∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.
∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的
正方形. 它的面积等于c 2
.
∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA.
∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º,
∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º.
又∵ ∠GHE = 90º,
∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.
∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2
b a +.
∴
()2
2
21
4c ab b a +⨯=+. ∴ 2
22c b a =+.
【证法3】（赵爽证明）
以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角
三角形的面积等于ab
21. 把这四个直角三
角形拼成如图所示形状.
∵ Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB.
∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，
∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2
. ∵ EF = FG =GH =HE = b ―a , ∠HEF = 90º.
A
∴ EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形，它的面积等于()2
a b -.
∴ ()2
2
214c a b ab =-+⨯.
∴ 2
2
2
c b a =+.
【证法4】（1876年美国总统Garfield 证明）
以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21. 把这两个直角
三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上.
∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC. ∵ ∠AED + ∠ADE = 90º, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.
∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.
∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形，
它的面积等于221c
.
又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD ∥BC.
∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于()2
21
b a +.
∴ ()2
2212122
1
c ab b a +⨯=+. ∴ 2
2
2
c b a =+.
【证法5】（梅文鼎证明）
做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上. 过C 作AC 的延长线交DF 于点P.
∵ D 、E 、F 在一条直线上, 且Rt ΔGEF ≌ Rt ΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED ，
∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180º―90º= 90º. 又∵ AB = BE = EG = GA = c ， ∴ ABEG 是一个边长为c 的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º. ∵ Rt ΔABC ≌ Rt ΔEBD,
∴ ∠ABC = ∠EBD.
∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º. 即 ∠CBD= 90º.
又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，
BC = BD = a. ∴ BDPC 是一个边长为a 的正方形. 同理，HPFG 是一个边长为b 的正方形. 设多边形GHCBE 的面积为S ，则
,
21
222ab S b a ⨯+=+ ab
S c 21
22⨯+=,
∴ 2
22c b a =+.
C
【证法6】（项明达证明）
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ） ，斜边长为c. 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E 、A 、C 三点在一条直线上.
过点Q 作QP ∥BC ，交AC 于点P.
过点B 作BM ⊥PQ ，垂足为M ；再过点
F 作FN ⊥PQ ，垂足为N. ∵ ∠BCA = 90º，QP ∥BC ， ∴ ∠MPC = 90º， ∵ BM ⊥PQ ， ∴ ∠BMP = 90º， ∴ BCPM 是一个矩形，即∠MBC = 90º.
∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º，
∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º，
∴ ∠QBM = ∠ABC ，
又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c ，
∴ Rt ΔBMQ ≌ Rt ΔBCA.
同理可证Rt ΔQNF ≌ Rt ΔAEF.
从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）. 【证法7】（欧几里得证明）
做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H 、C 、B 三点在一条直线上，连结 BF 、CD. 过C 作CL ⊥DE ，
交AB 于点M ，交DE 于点 L.
∵ AF = AC ，AB = AD ， ∠FAB = ∠GAD ， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD ，
∵ ΔFAB 的面积等于2
21a ，
ΔGAD 的面积等于矩形ADLM
的面积的一半，
∴ 矩形ADLM 的面积 =2
a .
同理可证，矩形MLEB 的面积 =2
b .
∵ 正方形ADEB 的面积
= 矩形ADLM 的面积 + 矩形MLEB
∴ 2
2
2
b a
c += ，即 2
2
2
c b a =+【证法8】（利用相似三角形性质证明）
如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D. 在ΔADC 和ΔACB 中， ∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º， ∠CAD = ∠BAC ，
∴ ΔADC ∽ ΔACB. AD ∶AC = AC ∶AB ，
即 AB AD AC •=2
.
同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB ，从而有 AB BD BC •=2
.
∴ ()222AB AB DB AD BC AC =•+=+，即 222c b a =+.
【证法9】（杨作玫证明）
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ），斜边长为c. 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A 作AF ⊥AC ，AF 交GT 于F ，AF 交DT 于R. 过B 作BP ⊥AF ，垂足为P. 过D 作DE 与CB 的延长线垂直，垂足为E ，DE 交AF 于H.
K
∵ ∠BAD = 90º，∠PAC = 90º， ∴ ∠DAH = ∠BAC.
又∵ ∠DHA = 90º，∠BCA = 90º，
AD = AB = c ，
∴ Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA.
∴ DH = BC = a ，AH = AC = b. 由作法可知， PBCA 是一个矩形， 所以 Rt ΔAPB ≌ Rt ΔBCA. 即PB = CA = b ，AP= a ，从而PH = b ―a.
∵ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔBCA , Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA. ∴ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔDHA .
∴ DH = DG = a ，∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90º，∠DHF = 90º，
∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º， ∴ DGFH 是一个边长为a 的正方形.
∴ GF = FH = a . TF ⊥AF ，TF = GT ―GF = b ―a .
∴ TFPB 是一个直角梯形，上底TF=b ―a ，下底BP= b ，高FP=a +（b ―a ）. 用数字表示面积的编号（如图），则以c 为边长的正方形的面积为
543212S S S S S c ++++= ①
∵
()[]()[]a b a a b b S S S -+•-+=
++21
438 =
ab b 212-， 985S S S +=，
∴
824321
S ab b S S --
=+=
812
S S b -- . ② 把②代入①，得
98812212S S S S b S S c ++--++=
=
922
S S b ++ = 22a b +. ∴ 2
22c b a =+.
【证法10】（李锐证明）
设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c. 做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A 、E 、G 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.
∵ ∠TBE = ∠ABH = 90º， ∴ ∠TBH = ∠ABE.
又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90º， BT = BE = b ，
∴ Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE. ∴ HT = AE = a.
∴ GH = GT ―HT = b ―a.
又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90º，
∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90º， ∴ ∠GHF = ∠DBC.
∵ DB = EB ―ED = b ―a ， ∠HGF = ∠BDC = 90º， ∴ Rt ΔHGF ≌ Rt ΔBDC. 即 27
S
S =. 过Q 作QM ⊥AG ，垂足是M. 由∠BAQ = ∠BEA = 90º，可知 ∠ABE = ∠QAM ，而AB = AQ = c ，所以Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM . 又Rt ΔHBT ≌
Rt ΔABE. 所以Rt ΔHBT ≌ Rt ΔQAM . 即 58
S
S =. 由Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM ，又得QM = AE = a ，∠AQM = ∠BAE.
∵ ∠AQM + ∠FQM = 90º，∠BAE + ∠CAR = 90º，∠AQM = ∠BAE ， ∴ ∠FQM = ∠CAR.
又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90º，QM = AR = a ，
∴ Rt ΔQMF ≌ Rt ΔARC. 即
64S S =.
∵ 543212S S S S S c ++++=，612S S a +=，
8732S S S b ++=， 又∵
27S S =，58S S =，64S S =，
∴
8736122S S S S S b a ++++=+ =
52341S S S S S ++++
=2
c ，
即 2
2
2
c b a =+.
【证法11】（利用切割线定理证明）
在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c. 如图，以B 为圆心a 为半径作圆，交AB 及AB 的延长线分别于D 、E ，则BD = BE = BC = a. 因为∠BCA = 90º，点C 在⊙B 上，所以AC 是⊙B 的切线. 由切割线定理，得
AD AE AC •=2
=()()BD AB BE AB -+
=()()a c a c -+
= 2
2a c -，
即2
22a c b -=，
∴ 2
22c b a =+.
【证法12】（利用多列米定理证明）
在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c （如图）. 过点A 作AD ∥CB ，过点B 作BD ∥CA ，则ACBD 为矩形，矩形ACBD 内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有
BD AC BC AD DC AB •+•=•，
∵ AB = DC = c ，AD = BC = a ， AC = BD = b ，
∴ 222AC BC AB +=，即 2
22b a c +=，
∴ 2
2
2
c b a =+.
【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）
在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边
O ，切点分别为D 、E 、F （如图），设⊙O 的半径为r.
∵ AE = AF ，BF = BD ，
CD = CE ，
∴ ()()()BF AF CD BD CE AE AB BC AC +-+++=-+
= CD CE += r + r = 2r,
即 r c b a 2=-+， ∴ c r b a +=+2. ∴ ()()2
2
2c r b a +=+，
即 ()
2
22242c rc r ab b a ++=++，
∵ ab S ABC 21=
∆，
∴ ABC S ab ∆=42， 又∵
AO C BO C
AO B ABC S S S S ∆∆∆∆++= = br
ar cr 212121++ = ()r c b a ++21
= ()r c c r ++221
= rc r +2
，
∴
(
)
ABC S rc r ∆=+442， ∴ ()ab rc r
242
=+，
∴ 22
2
22c ab ab b a +=++， ∴ 2
22c b a =+.
【证法14】（利用反证法证明）
如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D.
假设222c b a ≠+，即假设 2
22AB BC AC ≠+，则由
AB AB AB •=2=()BD AD AB +=BD AB AD AB •+•
可知 AD AB AC •≠2，或者 BD AB BC •≠2
. 即 AD ：AC ≠AC ：AB ，或者 BD ：BC ≠BC ：AB.
在ΔADC 和ΔACB 中， ∵ ∠A = ∠A ， ∴ 若 AD ：AC ≠AC ：AB ，则 ∠ADC ≠∠ACB.
在ΔCDB 和ΔACB 中， ∵ ∠B = ∠B ，
∴ 若BD ：BC ≠BC ：AB ，则
∠CDB ≠∠ACB. 又∵ ∠ACB = 90º，
∴ ∠ADC ≠90º，∠CDB ≠90º.
这与作法CD ⊥AB 矛盾. 所以，2
22AB BC AC ≠+的假设不能成立.
∴ 2
22c b a =+.
【证法15】（辛卜松证明）
、b ABCD. 把正方形ABCD 划分成上的面积为 ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为
()2
2
21
4c ab b a +⨯=+ =2
2c ab +.
∴ 2
2222c ab ab b a +=++,
∴ 2
22c b a =+.
D D
【证法16】（陈杰证明）
设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c. 做两个边长分别为a 、b 的正方形（b>a ），把它们拼成如图所示形状，使E 、H 、M 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.
在EH = b 上截取ED = a ，连结DA 、DC ， 则 AD = c. ∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a ，
∴ DM = EM ―ED = ()a b +―a = b.
又∵ ∠CMD = 90º，CM = a ，
∠AED = 90º， AE = b ， ∴ Rt ΔAED ≌ Rt ΔDMC. ∴ ∠EAD = ∠MDC ，DC = AD = c.
∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180º， ∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90º， ∴ ∠ADC = 90º.
∴ 作AB ∥DC ，CB ∥DA ，则ABCD 是一个边长为c
∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90º， ∴ ∠BAF=∠DAE.
连结FB ，在ΔABF 和ΔADE 中，
∵ AB =AD = c ，AE = AF = b ，∠BAF=∠DAE ， ∴ ΔABF ≌ ΔADE.
∴ ∠AFB = ∠AED = 90º，BF = DE = a. ∴ 点B 、F 、G 、H 在一条直线上. 在Rt ΔABF 和Rt ΔBCG 中，
∵ AB = BC = c ，BF = CG = a ， ∴ Rt ΔABF ≌ Rt ΔBCG.
∵ 54322S S S S c +++=， 6212S S S b ++=，
732S S a +=，
76451S S S S S +===，
∴
6217322S S S S S b a ++++=+ =()76132S S S S S ++++ =
5432S S S S +++
=2
c
∴ 222c b a =+.
第2课时多项式与多项式相乘
【知识与技能】
理解并掌握多项式乘以多项式的法则.
【过程与方法】
类比前面的方法，自主探索多项式与多项式乘法法则.
【情感态度】
在探究过程中，形成独立思考，主动求知的习惯.
【教学重点】
多项式乘法法则的应用.
【教学难点】
多项式与多项式相乘法则的推导.
一、情境导入，初步认识
1.回忆单项式乘以多项式法则，并计算：
（1）3a（5a-2b）；（2）（x-3y）·（-6x）.
【思考】有一算式（a+b）（x+y），假设把（x+y）看作一个整体m，则上式变为（a+b）m，此时与上述习题类型相同么？你有何想法？
问题为了扩大街心花园的绿地面积，把一块长a米，宽p米的长方
形绿地加长b米，加宽q米（如图）.你能用几种方法求出扩大后的绿
地面积？
方法一这块花园现在长（a+b）米，宽（p+q）米，故面积为（p+q）（a+b）米2.
方法二这块花园现在是由四小块组成，面积分别为ap米2，aq米2，bp米2，bq米2，故面积为（ap+aq+bp+bq）米2.
由此可推知：（a+b）（p+q）=ap+aq+bp+bq.
即多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
要求学生讨论这个公式的特点，并探讨如何应用于计算中.
【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.
二、思考探究，获取新知
例1计算下列各题.
（1）（3a+2b）（4a-5b）；
（2）（x-1）（x+1）（x2+1）；
（3）（a+b）（a-2b）-（a+2b）（a-b）；
（4）5x（x2+2x+1）-（2x+3）（x-5）.
【教学说明】多项式乘以多项式时须把一个多项式中的每一项乘以另一多项式中的每一项，刚开始时要严格按照法则写出全部过程，要注意：（1）每一项的符号不能弄错；（2）不能漏乘任何一项.
例2计算下列各题.
（1）（x+2）（x+3）；（2）（x-4）（x+1）；
（3）（y+4）（y-2）；（4）（y-5）（y-3）.
求得结果后，与同伴一起观察，探寻其中的特征和规律，并交流.
【教学说明】根据上述结果，可得（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq，这个公式可作为特别结论应用.
回答下列问题：
（1）（x+4）（x+3）=_________；
（2）（x-1）（x+2）=_________；
（3）（x-5）（x-6）=_________；
（4）（x-5）（x-5）=_________.
例3解方程：
（x-2）（x2-6x-9）=x（x-5）（x-3）.
【分析】先应用多项式乘法法则进行化简，再解方程.
例4先化简，再求值：（x+2y）（2x+y）-（3x-y）（x+2y），其中x=9，y=1
2
.
【教学说明】本例的实质是多项式乘以多项式法则的应用.
例5已知（x2+px+8）（x2-3x+q）的展开式中不含x2，x3项，试求p，q的值.
【分析】先按多项式乘以多项式的法则展开，再合并同类项，欲使展开式中不含x2，x3项，就是x2项和x3项的系数为0，通过解方程组可求出p，q的值.
因为展开式中不含x2，x3项，
解之得p=3，q=1.
【教学说明】一个多项式中可能含有很多字母，在解答问题时，一般把要求的字母当作已知数看待，合并同类项时，这些字母应看成单项式的系数.
三、运用新知，深化理解
甲、乙两人共同计算一道整式乘法：（2x+a）·（3x+b），由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2+11x-10；由于乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2-9x+10.
（1）你能知道式子中a、b的值各是多少？
（2）请你计算出这道整式乘法的正确结果.
【分析】甲抄错了a的符号，即甲的计算式为：（2x-a）（3x+b）=6x2-（3a-2b）x-ab，对比得到的结果可得：-（3a-2b）=11；①
乙漏抄了第二个多项式x的系数，即乙的计算式为：（2x+a）（x+b）=2x2+（a+2b）x+ab，对比得到的结果可得：a+2b=-9.②
由①、②两式即可得出a、b的值.
【教学说明】
此题综合性较强，教师可先让学生自行思考，寻求解题思路，然后教师引领学生去理解题意，师生共同完成解答.
【答案】（2x-a）（3x+b）=6x2-（3a-2b）x-ab=6x2+11x-10；
（2x+a）（x+b）=2x2+（a+2b）x+ab=2x2-9x+10；
所以-（3a-2b）=11，且a+2b=-9，解得a=-5，b=-2.
所以（2x-5）（3x-2）=6x2-19x+10.
四、师生互动，课堂小结
师生共同交流本节所学知识及收获.
1.布置作业：从教材“习题14.1”中选取部分题.
2.完成练习册中本课时的练习.
本课时教学时可先利用几何图形的方式验证多项式乘法法则的正确性，形成直观感受；再把公式中的（m+n）整体看作一个单项式，利用单项式与多项式相乘法则，进一步推证多项式乘法法则，从中让学生体验转化的数学思想，课堂上引导学生解决一些具体的数学问题，帮助学生巩固对法则的理解认识.。