(北师大版)天津市七年级数学下册第四单元《三角形》测试题(答案解析)

一、选择题
1．如图，,,AB AD CB CD AC BD ==、相交于点O ，则下列说法中正确的个数是（ ） ①OD OB =；②点O 到CB CD 、的距离相等；③BDA BDC ∠=∠；④BD AC ⊥
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
2．如图，AC 与DB 相交于E ，且BE CE =，如果添加一个条件还不能判定ABE △≌DCE ，则添加的这个条件是（ ）．
A ．AC D
B = B ．A D ∠=∠
C ．B C ∠=∠
D ．AB DC = 3．如图，CD AB ⊥，B
E AC ⊥，垂足分别为点D ，点E ，BE 、CD 相交于点O ，12∠=∠，则图中全等三角形共有（ ）
A ．2对
B ．3对
C ．4对
D ．5对
4．已知图中的两个三角形全等，则∠α等于（ ）
A ．50°
B ．60°
C ．70°
D ．80°
5．如图，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别为边AC ，BD ，CE 的中点，且阴影部分图形面
积等于4平方厘米，则△ABC 的面积为（ ）平方厘米
A ．8
B ．12
C ．16
D ．18
6．如图，已知AOB ∠，观察图中尺规作图的痕迹，可以判定111COD C O D ≌，其判定的依据是（ ）
A ．SSS
B ．SAS
C ．ASA
D ．AAS
7．已知线段8,6AB cm AC cm ==，下面有四个说法： ①线段BC 长可能为2cm ；②线段BC 长可能为14cm ；③线段BC 长不可能为5cm ；④线段BC 长可能为9cm ．所有正确说法的序号是（ ）
A ．①②
B ．①②③
C ．①②④
D ．①②③④ 8．在自习课上，小红为了检测同学们的学习效果，提出如下四种说法：
①三角形有且只有一条中线；②三角形的高一定在三角形内部；③三角形的两边之差大于第三边；④三角形按边分类可分为等腰三角形和不等边三角形．其中错误的说法是（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．①②③
D ．①②③④ 9．下列四个图形中，有两个全等的图形，它们是（ ）
A ．①和②
B ．①和③
C ．②和④
D ．③和④ 10．在数学课上，老师让每个同学拿一张三角形纸片ABC ，AB AC =，设
B C x ∠=∠=︒，要求同学们利用所学的三角形全等的判定方法，剪下两个全等的三角形．下面是四位同学的裁剪方法，如图，剪刀沿着箭头方向剪开，能得到两个全等三角形小纸片的有（ ）
A ．1种
B ．2种
C ．3种
D ．4种
11．如图，ABC ADE ≅，BC 的延长线交DA 于F ，交DE 于G ，∠D ＝25°，∠E ＝105°，∠DAC ＝16°，则∠DGB 的度数为（ ）
A ．66°
B ．56°
C ．50°
D ．45° 12．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出A O B AOB ∠∠='''的依据是
（ ）
A ．S ．S ．S
B ．S ．A ．S
C ．A ．S ．A
D ．A ．A ．S
二、填空题
13．如图，已知ABC FDE △≌△，若105F ∠=︒，45C ∠=︒，则B ∠=________度．
14．如图，BF 平分∠ABD ，CE 平分∠ACD ，BF 与CE 交于G ，若
130,90BDC BGC ∠=︒∠=︒，则∠A 的度数为_________．
15．如图，在ABC 中，=6AB ，=4AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，2BD AE CE ===，//CE AB 交DE 的延长线于点F ，则CF 的长为_____________．
16．如图，ACD ∠是ABC 的外角，ABC ∠的平分线与ACD ∠的平分线交于点1A ，1A BC ∠的平分线与1A CD ∠的平分线交于点2A ，…，1n A BC -∠的平分线与1n A CD -∠的平分线交于点n A ，设=A θ∠，则2=A ∠___________，=n A ∠___________．
17．已知：如图，△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，CF ∥AB 交DE 的延长线于点F ，DE ＝EF ，DB ＝2，CF ＝5，则AB ＝_____．
18．如图，点B 、F 、C 、E 在一条直线上（点F ，C 之间不能直接测量），点A ，D 在BE 的异侧，如果测得AB ＝DE ，AB ∥DE ，AC ∥DF ．若BE ＝14m ，BF ＝5m ，则FC 的长度为_____m ．
19．在平面直角坐标系中，点A （2，0）B （0，4）,作△BOC ，使△BOC 和△ABO 全等，则点C 坐标为________
20．如图，BP 是ABC 中ABC ∠的平分线，CP 是ACB ∠的外角的平分线，如果20,ABP ∠=︒50ACP ∠=︒，则A ∠=____________．
三、解答题
21．如图，AC 与BD 相交于点O ，且OA OC =，OB OD =．
（1）求证：//AB CD ；
（2）直线EF 过点O ，分别交AB ，CD 于点E ，F ，试判断OE 与OF 是否相等，并说明理由．
22．如图，已知：AD ＝AB ，AE ＝AC ，AD ⊥AB ，AE ⊥AC ．猜想线段CD 与BE 之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想．
23．综合与探究
（问题情景）
（1）如图1，已知//AB CD ，120PBA ∠=︒，150PCD ∠=︒，求BPC ∠的度数． 小宇同学的思路：过点P 作PG//AB ，进而//PG CD ，由平行线的性质来求BPC ∠，求得BPC ∠的度数为_______．
（问题迁移）
（2）图2，图3均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形，三角板的两直角边与直尺的两边重合，90ACB ∠=︒，//DF CG ，AB 与FD 相交于点E ，有一动点P 在边BC 上运动，连接PE ，PA ，记PED α∠=∠，PAC β∠=∠．
①如图2，当点P 在,C D 两点之间运动时，请判断APE ∠与α∠，β∠之间的数量关系，并说明理由．
②如图3，当点P 在,B D 两点之间运动时，请直接写出APE ∠与α∠，β∠之间有何数量关系．
（拓展应用）
（3）如图4，//,//AB CD EF CG ，若38A ∠=︒，32C ∠=︒，请求出E ∠的度数． 24．已知，如图，AB ＝AE ，AB ∥DE ，∠D ＝∠ACB ．
（1）求证：△ABC ≌△EAD ；
（2）已知：DE ＝3，AB ＝7，求CE 的长．
25．如图，点E ，F 在线段BD 上，已知AF BD ⊥，CE BD ⊥，//AD CB ，DE BF =，求证：AF CE =．
26．将Rt ABC △的直角顶点C 置于直线l 上，AC BC =，分别过点 A 、B 作直线l 的垂线，垂足分别为点D 、E ，连接AE ．若3BE =， 5DE =．求ACE △的面积．
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一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
先根据全等三角形的判定定理得出△ACD ≌△ACB ，△ABO ≌△ADO ，再根据全等三角形的性质即可得出结论．
【详解】
解：在△ABC 和△ADC 中，
∵AB AD BC CD AC AC ⎧⎪⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△ABC ≌△ADC （SSS ），
∴∠BAC=∠DAC ， ∠DCA=∠BCA
∴点O 到CB 、CD 的距离相等．故②正确
在△ABO 与△ADO 中
AB AD BAC DAC OA OA ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△ABO ≌△ADO （SAS ），
∴BO=DO ，∠BOA=∠DOA
∵∠BOA+∠DOA=180°
∴∠BOA=∠DOA=90°，即BD AC ⊥
故①④正确；
∵AD≠CD
∴BDA BDC ∠≠∠，故③错误
所以，正确的结论是①②④，共3个，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 2．D
解析：D
【分析】
根据全等三角形的判定定理，对每个选项分别分析、解答出即可．
【详解】
根据题意：BE=CE ，∠AEB=∠DEC ，
∴只需要添加对顶角的邻边，即AE=DE （由AC=BD 也可以得到），
或任意一组对应角，即∠A=∠D ，∠B=∠C ，
∴选项A 、B 、C 可以判定，选项D 不能判定，
故选：D ．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定定理，熟记判定定理并熟练应用是解题的关键．
3．C
解析：C
【分析】 共有四对．分别为ADO ≌
AEO ，ADC ≌AEB ，ABO ≌ACO ，BOD ≌COE ．做题时要从已知条件开始结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找．
【详解】
解：∵CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，
∴∠ADO ＝∠AEO ＝90°，
又∵∠1＝∠2，AO ＝AO ， ∴ADO ≌AEO ；（AAS ）
∴OD ＝OE ，AD ＝AE ，
∵∠DOB ＝∠EOC ，∠ODB ＝∠OEC ＝90°，OD ＝OE ， ∴BOD ≌COE ；（ASA ）
∴BD ＝CE ，OB ＝OC ，∠B ＝∠C ，
∵AE ＝AD ，∠DAC ＝∠CAB ，∠ADC ＝∠AEB ＝90° ∴ADC ≌AEB ；（ASA ）
∵AD ＝AE ，BD ＝CE ，
∴AB ＝AC ，
∵OB ＝OC ，AO ＝AO ， ∴ABO ≌ACO ．（SSS ）
所以共有四对全等三角形．
故选：C ．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
4．C
解析：C
【分析】
利用全等三角形的性质及三角形内角和可求得答案．
【详解】
解：如图，
∵两三角形全等，
∴∠2=60°，∠1=52°，
∴∠α=180°-50°-60°=70°，
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 5．C
解析：C
【分析】
根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形进行解答即可．
【详解】
解：∵F 是EC 的中点， ∴142
AEF AFC AEC S S S ∆∆∆==
=， ∴8AEC S ∆=，
∵ E 是BD 的中点 ，
∴ABE AED S S ∆∆=，BEC ECD S S ∆∆=，
∵8AED ECD AEC S S S ∆∆∆+==，
∴8ABE BEC AEC S S S ∆∆∆+==，
∴228=16ABC ABE BEC AEC AEC S S S S S ∆∆∆∆∆=++==⨯，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了三角形的中线与三角形的面积关系，熟练掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形是解答的关键．
6．A
解析：A
【分析】
由作法易得OD ＝O 1D 1，OC ＝O 1C 1，CD ＝C 1D 1，根据SSS 得到三角形全等．
【详解】
解：在△COD 和△C 1O 1D 1中，
111111CO C O DO D O CD C D =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
∴111COD C O D ≌（SSS ）．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定方法SSS 的运用，熟练掌握三角形全等的判定是正确解答本题的关键．
7．C
解析：C
【分析】
直接利用当A ，B ，C 在一条直线上，以及当A ，B ，C 不在一条直线上，分别分析得出答案．
【详解】
解：∵线段AB ＝8cm ，AC ＝6cm ，
∴如图1，A ，B ，C 在一条直线上，
∴BC ＝AB−AC ＝8−6＝2（cm ），故①正确；
如图2，当A ，B ，C 在一条直线上，
∴BC＝AB＋AC＝8＋6＝14（cm），故②正确；
如图3，当A，B，C不在一条直线上，
8−6＜BC＜8＋6，
故线段BC可能为5或9，故③错误，④正确．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了三角形三边关系，正确分类讨论是解题关键．
8．C
解析：C
【分析】
三角形有三条中线对①进行判断；钝角三角形三条高，有两条在三角形外部，对②进行判断；根据三角形三边的关系对③进行判断；根据三角形的分类对④进行判断．
【详解】
①三角形有三条中线，故①错误；
②钝角三角形三条高，有两条在三角形外部，故②错误；
③三角形的任意两边之差小于第三边，故③错误；
④三角形按边分类可分为等腰三角形、不等边三角形，故④正确；
综上，选项①②③错误，
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形的有关概念，属于基础题型．要注意等腰三角形与等边三角形两个概念的区别．
9．B
解析：B
【分析】
根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．
【详解】
解：①和③可以完全重合，因此全等的图形是①和③．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等图形的概念．
10．C
解析：C
【分析】
利用全等三角形的判定定理一一排查即可．
【详解】
如图1中，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
，BE=FC=2，
∠B=∠C，
BF=CG=3，
△EBF≌△FCG（SAS），
剪刀沿着箭头方向剪开，能得到两个全等三角形小纸片的有，，
如图2，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
BE=CG=3，
∠B=∠C，
BF=CF=2.5，
△BEF≌△CGF（SAS），
剪刀沿着箭头方向剪开，能得到两个全等三角形小纸片，
，
如图 3，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠EFG=B C x
∠=∠=︒，
∴∠BEF+∠EFB=180º-xº=∠EFB+∠GFC，
∴∠BEF=∠GFC，
BE的对应边是FC，相等情况不确定，
△BEF与△CGF全等不确定，
如图4，
∵AB=AC ，
∴∠B=∠C ，
∵∠EFG=B C x ∠=∠=︒，
∴∠BEF+∠EFB=180º-xº=∠EFB+∠GFC ，
∴∠BEF=∠GFC ，
EB=FC=2，
∠B=∠C ，
△BEF ≌△CFG （ASA ），
剪刀沿着箭头方向剪开，能得到两个全等三角形小纸片．
故选择：C ．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，从图形中找到三角形全等的条件是否充足，够条件可以断定，条件不够或不确定就不断定．
11．A
解析：A
【分析】
先根据全等三角形的性质可得105ACB E ∠=∠=︒，再根据三角形的外角性质可得AFC ∠的度数，然后根据对顶角相等可得DFG ∠的度数，最后根据三角形的内角和定理即可得．
【详解】
ABC ADE ≅，105E ∠=︒，
105ACB E ∴∠=∠=︒，
ACB DAC AFC ∠=∠+∠，16DAC ∠=︒，
10516AFC ︒=︒+∴∠，
解得89AFC ∠=︒，
89DFG AFC ∴∠=∠=︒，
在DFG 中，180GB F D D D G ∠∠=+∠+︒，
25D ∠=︒，
2518089DGB ∴∠+︒+=︒︒，
解得66DGB ∠=︒，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质、三角形的外角性质、三角形的内角和定理、对顶角相等，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．
12．A
解析：A
【分析】
利用SSS 可证得△OCD ≌△O′C′D′，那么∠A′O′B′=∠AOB ．
【详解】
解：易得OC=O 'C'，OD=O′D'，CD=C′D'，
∴△OCD ≌△O′C′D′，
∴∠A′O′B′=∠AOB ，所以利用的条件为SSS ，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了全等三角形“边边边”的判定以及全等三角形的对应角相等这个知识点，熟练掌握三角形全等的性质是解题的关键．
二、填空题
13．30【分析】先根据全等三角形的性质得到∠BAC=∠F=105°然后根据三角形内角和计算∠B 的度数【详解】解：
∵△ABC ≌△FDE ∴∠BAC=∠F=105°∵∠BAC+∠B+∠C=180°∴∠B=18
解析：30
【分析】
先根据全等三角形的性质得到∠BAC=∠F=105°，然后根据三角形内角和计算∠B 的度数．
【详解】
解：∵△ABC ≌△FDE ，
∴∠BAC=∠F=105°，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠B=180°-105°-45°=30°．
故答案为30．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等． 14．50°【分析】连接BC 根据三角形内角和定理可求得∠DBC ＋∠DCB 的度数再利用三角形内角和定理及角平分线的定义可求得∠ABC ＋∠ACB 的度数即可求得∠A 的度数【详解】解：连接BC ∵∠BDC ＝130°
解析：50°
【分析】
连接BC，根据三角形内角和定理可求得∠DBC＋∠DCB的度数，再利用三角形内角和定理及角平分线的定义可求得∠ABC＋∠ACB的度数，即可求得∠A的度数．
【详解】
解：连接BC，
∵∠BDC＝130°，
∴∠DBC＋∠DCB＝180°−∠BDC＝50°，
∵∠BGC＝90°，
∴∠GBC＋∠GCB＝180°−∠BGC＝90°，
∴∠GBD＋∠GCD＝（∠GBC＋∠GCB）−（∠DBC＋∠DCB）＝40°，
∵BF平分∠ABD，CE平分∠ACD，
∴∠ABD＋∠ACD＝2∠GBD＋2∠GCD＝80°，
∴∠ABC＋∠ACB＝（∠ABD＋∠ACD）＋（∠DBC＋∠DCB）＝130°，
∴∠A＝180°−（∠ABC＋∠ACB）＝180°−130°＝50°．
故答案为：50°．
【点睛】
本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，根据题意作出辅助线，构造出三角形是解答此题的关键．
15．4【分析】根据ASA证明△ADE≌△CFE得CF=AD再求出AD的长即可【详解】解：∵AB=6BD=2∴AD=AB-BD=6-2=4∵∴∠BAC=∠FCE在△ADE和△CFE中∴△ADE≌△CFE∴
解析：4
【分析】
根据ASA证明△ADE≌△CFE得CF=AD，再求出AD的长即可．
【详解】
解：∵AB=6，BD=2
∴AD=AB-BD=6-2=4
CE AB
∵//
∴∠BAC=∠FCE，
在△ADE和△CFE中
BAC FCE AE CE
AED CEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴△ADE ≌△CFE
∴CF=AD=4．
故答案为：4．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明△ADE ≌△CFE 是解答此题的关键． 16．【分析】根据三角形的外角性质可得
∠ACD=∠A+∠ABC ∠A1CD=∠A1+∠A1BC 根据角平分线的定义可得
∠A1BC=∠ABC ∠A1CD=∠ACD 整理得到∠A1=∠A 同理可得∠A2=∠A1从而判断 解析：4θ 2
n θ 【分析】
根据三角形的外角性质可得∠ACD=∠A+∠ABC ，∠A 1CD=∠A 1+∠A 1BC ，根据角平分线的定义可得∠A 1BC=
12∠ABC ，∠A 1CD=12∠ACD ，整理得到∠A 1=12∠A ，同理可得∠A 2=12∠A 1，从而判断出后一个角是前一个角的12
，然后表示出∠A n 即可得答案． 【详解】
∵ACD ∠是ABC 的外角，∠A 1CD 是△A 1BC 的外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC ，∠A 1CD=∠A 1+∠A 1BC ，
∵ABC ∠的平分线与ACD ∠的平分线交于点1A ，
∴∠A 1BC=
12∠ABC ，∠A 1CD=12∠ACD ， ∴∠A 1=12
∠A ， 同理可得∠A 2=
12∠A 1=14∠A ， ∵∠A=θ，
∴∠A 2=4
θ， 同理：∠A 3=
12∠A 2=382θθ=， ∠A 4=
12∠A 3=4162θθ= ……
∴∠A n =2n θ
．
故答案为：
4θ，2n
θ 【点睛】 本题考查了三角形的外角性质及角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；熟记性质并准确识图，求出后一个角是前一个角的12
是解题的关键． 17．7【分析】先利用平行线的性质得到∠ADE ＝∠F 则利用ASA 可判定△ADE ≌△CFE 所以AD ＝CF ＝5所以计算AD ＋BD 即可【详解】
∵AB ∥CF ∴∠ADE ＝∠F 在△ADE 和△CFE 中∵∠ADE ＝∠FD
解析：7
【分析】
先利用平行线的性质得到∠ADE ＝∠F ，则利用“ASA”可判定△ADE ≌△CFE ，所以AD ＝CF ＝5，所以计算AD ＋BD 即可．
【详解】
∵AB ∥CF ，
∴∠ADE ＝∠F ，
在△ADE 和△CFE 中，
∵∠ADE ＝∠F ，DE ＝EF ，∠DEA ＝∠CEF ，
∴△ADE ≌△CFE ，
∴AD ＝CF ＝5，
∴AB ＝AD ＋BD ＝5＋2＝7．
故答案为7．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
18．4【分析】证明△ABC ≌△DEF （AAS ）得到BC=EF 即可得到答案【详解】解：∵AB ∥DEAC ∥DF ∴∠B ＝∠E ∠ACB ＝∠DFE 在△ABC 和△DEF 中
∴△ABC ≌△DEF （AAS ）∴BC ＝EF ∴
解析：4
【分析】
证明△ABC ≌△DEF （AAS ），得到BC=EF ，即可得到答案.
【详解】
解：∵AB ∥DE ，AC ∥DF ，
∴∠B ＝∠E ，∠ACB ＝∠DFE ，
在△ABC 和△DEF 中， B E ACB DFE AB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
, ∴△ABC ≌△DEF （AAS ），
∴BC＝EF，
∴BC﹣FC＝EF﹣FC，
即BF＝CE＝5m，
∴FC＝BE﹣BF﹣CE＝14m﹣5m﹣5m＝4m；
故答案为：4．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定及性质；平行线的性质：两直线平行，内错角相等；正确掌握三角形全等的判定定理是解题的关键.
19．(-20)或(24)或(-24)【分析】根据全等三角形的判定和已知点的坐标画出图形即可得出答案【详解】如图所示：有三个点符合∵点A（20）B（04）
∴OB=4OA=2∵△BOC与△AOB全等∴OB=
解析：(-2,0)或(2,4)或(-2,4)
【分析】
根据全等三角形的判定和已知点的坐标画出图形，即可得出答案．
【详解】
如图所示：
有三个点符合，
∵点A（2，0），B（0，4），
∴OB=4，OA=2，
∵△BOC与△AOB全等，
∴OB=OB=4，OA=OC=2，
∴C1（-2，0），C2（-2，4），C3（2，4）．
故答案为（2，4）或（-2，0）或（-2，4）．
【点睛】
本题考查了坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，难点在于根据点C的位置分情况讨论．
20．60°【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和可求出∠A的度数【详解】∵BP是△ABC中∠ABC的平分线CP是∠ACB的外角的平分线∴∠ABC=2∠ABP∠ACM=2
解析：60°
【分析】
根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠A 的度数．
【详解】
∵BP 是△ABC 中∠ABC 的平分线，CP 是∠ACB 的外角的平分线，
∴∠ABC=2∠ABP ，∠ACM=2∠ACP ，
又∵∠ABP=20°，∠ACP=50°，
∴∠ABC=2×20°=40°，∠ACM=2×50°=100°，
∴∠A=∠ACM-∠ABC=60°，
故答案为：60°．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，三角形的外角性质，掌握“一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和”是解题的关键．
三、解答题
21．（1）证明见解析；（2）OE=OF ，证明见解析．
【分析】
（1）利用SAS 证明△AOB ≌△COD ，根据全等三角形对应角相等可得∠B=∠D ，再根据平行线的判定定理可证得结论；
（2）利用ASA 证明AOE COF ∆∆≌，根据全等三角形对应边相等可证得结论．
【详解】
解：（1）由题可知，
在△AOB 与△COD 中，
AO OC AOB COD OB OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()AOB COD SAS ∆∆≌，
B D ∴∠=∠，
//AB CD ∴；
（2）OE=OF ，理由如下：
由（1）可知：AOB COD ∆≅∆，
∴∠A=∠C ，
在△AOE 于△COF 中，
A C AO CO
AOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
()AOE COF ASA ∴∆∆≌，
OE OF ∴=．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判定．掌握全等三角形的判定定理，并能灵活运用是解题关键．
22．CD ＝BE ，CD ⊥BE ，证明见解析
【分析】
证明△ACD ≌△AEB ，根据全等三角形的性质得到CD ＝BE ，∠ADC ＝∠ABE ，根据三角形内角和定理得出∠BFD ＝∠BAD ＝90°，证明结论．
【详解】
解：猜想：CD ＝BE ，CD ⊥BE ，
理由如下：∵AD ⊥AB ，AE ⊥AC ，
∴∠DAB ＝∠EAC ＝90°．
∴∠DAB +∠BAC ＝∠EAC +∠BAC ，即∠CAD ＝∠EAB ，
在△ACD 和△AEB 中，
AD AB CAD EAB AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ACD ≌△AEB （SAS ），
∴CD ＝BE ，∠ADC ＝∠ABE ，
∵∠AGD ＝∠FGB ，
∴∠BFD ＝∠BAD ＝90°，即CD ⊥BE ．
【点睛】
本题考查的是三角形全等的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
23．（1）90︒；（2）①APE αβ∠=∠+∠，理由见解析；②,APE βα∠=∠-∠理由见解析；（3）70.︒
【分析】
（1）如图1，过点P 作PG//AB ，利用平行线的性质求解,BPG ∠ 再证明//,PG CD 求解
CPG ∠，
再利用BPC BPG CPG ∴∠=∠+∠，从而可得答案； （2）①如图2，过P 作//PM CG 交AB 于,M 证明=,APM β∠∠再证明//,PM DF 可得,MPE α∠=∠利用APE APM EPM ∠=∠+∠，从而可得结论；②如图3，过P 作//PM CG ，证明=,APM β∠∠再证明//,PM DF 可得,MPE α∠=∠利用
,APE APM EPM ∠=∠-∠从而可得结论；
（3）如图4，过D 作//DN CG ,过B 作//BM CG 交AE 于,T 结合//,EF CG 可得//////,BM EF DN CG 证明32ABM C ∠=∠=︒， 再利用三角形的外角的性质求解ATM ∠,再利用//,BM EF 从而可得答案．
【详解】
解：（1）如图1，过点P 作PG//AB ，120PBA ∠=︒
180********,BPG PBA ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒
//,AB CD
//,PG CD ∴
180,CPG PCD ∴∠=︒-∠
150,PCD ∠=︒
18015030CPG ∴∠=︒-︒=︒，
603090BPC BPG CPG ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，
故答案为：90.︒
（2）①如图2，过P 作//PM CG 交AB 于,M
=,APM β∴∠∠
由题意得：//,DF CG
//,PM DF ∴
,MPE α∴∠=∠
.APE APM EPM αβ∴∠=∠+∠=∠+∠
②如图3, 过P 作//PM CG ，
,APM β∴∠=∠
由题意得：//,DF CG
//,PM DF ∴
,EPM α∴∠=∠
,APE APM EPM βα∴∠=∠-∠=∠-∠
（3）如图4，过D 作//DN CG ,过B 作//BM CG 交AE 于,T
//,EF CG
//////,BM EF DN CG ∴
由（2）①的结论可得：,BDC MBD GCD ∠=∠+∠
//,AB CD
,BDC ABD ABM MBD ∴∠=∠=∠+∠
,MBD GCD ABM MBD ∴∠+∠=∠+∠
32C ∠=︒，
32ABM C ∴∠=∠=︒，
38A ∠=︒，
383270ATM A ABM ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，
//,BM EF
70.E ATM ∴∠=∠=︒
【点睛】
本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，角的和差关系，三角形的外角的性质，掌握作出适当的辅助平行线，再利用平行线的性质是解题的关键．
24．（1）见解析；（2）4
【分析】
（1）由“AAS”可证△ABC ≌△EAD ；
（2）由全等三角形的性质可得AC=DE=3，AE=AB=7，可求解．
【详解】
证明：（1）∵AB ∥DE ，
∴∠CAB ＝∠E ，
在△ABC 和△EAD 中，
ACB D CAB E AB AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABC ≌△EAD （AAS ）；
（2）∵△ABC ≌△EAD ，
∴AC ＝DE ＝3，AE ＝AB ＝7，
∴CE ＝AE ﹣AC ＝7﹣3＝4．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键． 25．见解析
【分析】
根据ASA 定理证明三角形全等，从而利用全等三角形的性质求解．
【详解】
证明：∵DE=BF ，
∴DE+EF=BF+EF ；
∴DF=BE ；
∵AF BD ⊥，CE BD ⊥
∴∠AFD=∠CEB=90°
∵//AD CB
∴∠B=∠D
在Rt △ADF 和Rt △BCE 中B D DF BE AFD CEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴Rt △ADF ≌Rt △BCE
∴AF CE =
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定及性质；由DE=BF 通过等式的性质得DF=BE 在三角形全等的证明中经常用到，应注意掌握应用．
26．32
【分析】
根据AAS 即可证明ACD CBE ≌，根据全等三角形的对应边相等，得出
3CD BE ==， AD CE =，所而 358CE CD DE =+=+=，从而求出AD 的长，则可得到ACE △的面积．
【详解】
解：∵ AD CE ⊥， BE CE ⊥，
∴90ADC CEB ∠=∠=︒，
∵90ACB ∠=︒，
∴90ACD CBE ECB ∠=∠=︒-∠，
在ACD △与CBE △中，
ADC
CEB ACD
CBE AC BC
∴ACD CBE ≌
(AAS) ∴ 3CD BE ==， AD CE =，
∵ 358CE CD DE =+=+=，
∴ 8AD =．
ACE 11
8832 22
S CE AD
△
．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，余角的性质等知识，熟悉相关性质是解题的关键．。