数学_2010年福建省厦门市高考数学一模试卷(文科)(含答案)

2010年福建省厦门市高考数学一模试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1. 已知全集U=R，集合M={x|x2−x=0}，N={x|x=2n+1, n∈Z}，则集合M∩N为( )
A {0}
B {1}
C {0, 1}
D ⌀
2. 设a，b∈R，则“a+b=1”是“4ab≤1”的（）
A 充分不必要条件
B 必要不充分条件
C 充要条件
D 既不充分也不必要条件
3. 双曲线x2
4−y2
k
=1的离心率e∈(1, 2)，则实数k的取值范围是（）
A (0, 4)
B (−12, 0)
C (0,2√3)
D (0, 12)
4. 如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，
下一个呈现出来的图形是（）
A B C D
5. 以下四个命题：
①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样．
②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1．
③在回归直线方程y=0.2x+12中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量y平均增加
0.2单位．
④对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的把握程
度越大
其中正确的是（）
A ①④
B ②③
C ①③
D ②④
6. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）
A 2
B 4
C 8
D 16
7. 已知，l，m是两条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，给出下列条件，能得
到α // β的是（）
A l // α，l // β
B α⊥γ，β⊥γ
C m ⊂α，l ⊂α，m // β，l // β
D l ⊥α，m ⊥β，l // m
8. 若直线l:y =k(x −2)−1被圆C:x 2+y 2−2x −24=0截得的弦AB 最短，则直线AB 的方程是（ ）
A x −y −3=0
B 2x +y −3=0
C x +y −1=0
D 2x −y −5=0
9. 已知函数f(x)=(m −2)x 2+(m 2−4)x +m 是偶函数，函数g(x)=x 3+2x 2+mx +5在(−∞, +∞)内单调递增，则实数m 等于（ ） A 2 B −2 C ±2 D 0 10. 给出下列四个命题：
①f(x)=sin(2x −π
4)的对称轴为x =
kπ2
+
3π8
，k ∈Z ；
②函数f(x)=sinx +√3cosx 的最大值为2； ③函数f(x)=sincosx −1的周期为2π； ④函数f(x)=sin(x +π
4)在[−π2,π
2]上是增函数． 其中正确命题的个数是（ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
11. 以下四个函数的图象错误的是（ ）
A B C
D
12. 已知P 是△ABC 所在平面内一点，满足PB →
+PC →
+2PA →
=0→
，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△APC 内的概率是（ ） A 1
4 B 1
3 C 2
3 D 1
2
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分） 13. 复数2i
1−i =________．
14. 已知一个空是几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是________ 15. 设实数x ，y 满足条件{x ≥0x ≤y x +2y −4≤0
，则z =2x +y 的最大值是________． 16. 如图是一回形图，其回形通道的宽和OB 的长均为1，回形线与射线OA 交于A 1、A 2、A 3…．若从O 点到A 1点的回形线为第1圈（长为7），从A 1点到A 2点的回形线为第2
圈，从A 2点到A 3点的回形线为第3圈，…，依此类推，则第10圈的长为________．
三、解答题（共6小题，满分74分） 17. 在△ABC 中，cosA =√5
5
，cosB =
√10
10
． （1）求角C ；
（2）设AB =√2，求△ABC 的面积．
18. 某车间将10名技工平均分为甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工零件若干，其中合格零件的个数如下表：
（1）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内完成合成合格零件的平均数及方差，并由此分析两组技工的技术水平；
（2）质检部门从该车间甲、乙两组中各随机抽取1名技工，对其加工的零件进行检测，若两人完成合格零件个数之和超过12件，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．
19. 已知等差数列{a n }的公差为2，其前n 项和S n =pn 2+2n(n ∈N ∗)． （1）求p 的值及a n ； （2）若b n =
2(2n−1)a n
，记数列{b n }的前n 项和为T n ，求使T n >
910
成立的最小正整数n 的值．
20. 如图，四棱锥P −ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，
BC =PD =2，E 为PC 的中点，CG →
=13
CB →．
（1）求证：PC ⊥BC ；
（2）求三棱锥C −DEG 的体积；
（3）AD 边上是否存在一点M ，使得PA // 平面MEG ．若存在，求AM 的长；否则，说明理由．
21.
已知椭圆E ：x 2a 2+y 2
b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，A 为上
顶点，AF 1交椭圆E 于另一点B ，且△ABF 2的周长为8，点F 2到直线AB 的距离为2． （1）求椭圆E 的标准方程；
（2）求过D(1, 0)作椭圆E 的两条互相垂直的弦，M 、N 分别为两弦的中点，求证：直线MN 经过定点，并求出定点的坐标． 22. 已知函数f(x)={
(x 2−2ax)e x
x >0
bx
x ≤0
，x =√2是函数y =f(x)的极值点．
（1）求实数a 的值；
（2）若方程f(x)−m =0有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围．
2010年福建省厦门市高考数学一模试卷（文科）答案
1. B
2. A
3. D
4. A
5. B
6. C
7. D
8. A
9. A 10. B 11. C 12. A
13. −1+i 14. 5π 15. 4 16. 79
17. 解：（1）由cosA =√5
5，cosB =
√10
10
，得A 、B ∈(0,π
2
)，
所以sinA =
√
5
sinB =√10
.因为cosC =cos[π−(A +B)]=−cos(A +B)=−cosAcosB +sinAsinB =√2
2
， 且0<C <π，故C =π
4. （2）解：根据正弦定理得
AB sinC
=
AC sinB
⇒AC =
AB⋅sinB sinC
=
√10
，
所以△ABC 的面积为1
2AB ⋅AC ⋅sinA =6
5. 18. 即该车间“质量合格”的概率为17
25．
19. 解：（1）（法一）∵ {a n }的等差数列∴ S n =na 1+n(n−1)2
d =na 1+
n(n−1)2
×2=n 2+
(a 1−1)n
又由已知S n =pn 2+2n ， ∴ p =1，a 1−1=2， ∴ a 1=3，
∴ a n =a 1+(n −1)d =2n +1
∴ p=1，a n=2n+1；
（法二）由已知a1=S1=p+2，S2=4p+4，即a1+a2=4p+4，
∴ a2=3p+2，
又此等差数列的公差为2，
∴ a2−a1=2，
∴ 2p=2，
∴ p=1，
∴ a1=p+2=3，
∴ a n=a1+(n−1)d=2n+1，
∴ p=1，a n=2n+1；
（法三）由已知a1=S1=p+2，
∴ 当n≥2时，a n=S n−S n−1=pn2+2n−[p(n−1)2+2(n−1)]=2pn−p+2∴ a2=3p+2，
由已知a2−a1=2，
∴ 2p=2，
∴ p=1，
∴ a1=p+2=3，
∴ a n=a1+(n−1)d=2n+1，
∴ p=1，a n=2n+1；
（2）由（1）知b n=2
(2n−1)(2n+1)=1
2n−1
−1
2n+1
∴ T n=b1+b2+b3+...+b n=(1−1
3)+(1
3
−1
5
)+(1
5
−1
7
)+⋯+(1
2n−1
−1
2n+1
)=1−1
2n+1
=
2n
2n+1
∵ T n>9
10
∴ 2n
2n+1>9
10
，解得n>9
2
又∵ n∈N+
∴ n=5
20. 解：（1）证明：∵ PD⊥平面ABCD，∴ PD⊥BC，又∵ ABCD是正方形，∴ BC⊥CD，∵ PDICE=D，
∴ BC⊥平面PCD，又∵ PC⊂面PBC，∴ PC⊥BC．
（2）解：∵ BC⊥平面PCD，
∴ GC是三棱锥G−DEC的高．
∵ E是PC的中点，∴ S△EDC=1
2S△EDC=1
2
S△PDC=1
2
⋅(1
2
⋅2⋅2)=1．
∴ V C−DEG=V G−DEC=1
3GC⋅S△DEC=1
3
⋅2
3
⋅1=2
9
．
（3）连接AC，取AC中点O，连接EO、GO，延长GO交AD于点M，则PA // 平面MEG．下面证明之：
∵ E 为PC 的中点，O 是AC 的中点，∴ EO // 平面PA ，
又∵ EO ⊂平面MEG ，PA ⊄平面MEG ，∴ PA // 平面MEG ， 在正方形ABCD 中，∵ O 是AC 中点，∴ △OCG ≅△OAM ， ∴ AM =CG =2
3，∴ 所求AM 的长为2
3．
21. 解：（1）AB +AF 2+BF 2=(AF 1+AF 2)+(BF 1+BF 2)=4a =8，∴ a =2 设c =√a 2−b 2，因为A(0, b)， ∴ 直线AB 的方程为
x −c +y
b
=1，即bx −cy +bc =0，
∴ 点F 2到直线AB 的距离d =√b 2+c
2
=2bc a
=bc =2，b =√2，c =√2，
∴ 椭圆E 的标准方程：
x 24
+
y 22
=1．
（2）设以M 为中点的弦与椭圆交于(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，则x 1+x 2=(my 1−1)+(my 2+1)=m(y 1+y 2)+2=−2m 2
m 2+2+2=4
m 2+2 ∴ M(
2m 2+2
，−m
m 2+2)，同理N(2m 2
2m 2+1，m
2m 2+1)，
∴ K MN =
m 1+2m 2+
m
2+m 22m 21+2m 2−
2
2+m 2
=3m 2(m 2−1)，MN ：y +m 2+m 2=3m 2(m 2−1)(x −2
2+m 2)，
整理得y =
3m 2(m 2−1)
(x −23
)，
∴ 直线MN 过定点(2
3，0)．
当直线P 1Q 1的斜率不存在或为零时，P 1Q 1、P 2Q 2的中点为点D 及原点O ，直线MN 为x 轴， 也过此定点，
∴ 直线MN 过定点(2
3，0)．
22. 解：（1）x >0时，f(x)=(x 2−2ax)e x ∴ f′(x)=(2x −2a)e x +(x 2−2ax)e x =[x 2+2(1−a)x −2a]e x 由已知，f′(√2)=0，
∴ [2+2√2(1−a)−2a]e √2=0， ∴ 2+2√2−2a −2√2a =0，得a =1
（2）由（1）x >0时，f(x)=(x 2−2x)e x ， ∴ f′(x)=(2x −2)e x +(x 2−2x)e x =(x 2−2)e x 令f ′(x)=0得x =√2（x =−√2舍去） 当x >0时
所以，当x ∈(0,√2)时，f(x)单调递减，f(x)∈((2−2√2)e √2，0) 当x ∈(√2，+∞)时，f(x)单调递减，f(x)∈((2−2√2)e √2，+∞)
∴ x>0时，f(x)∈((2−2√2)e√2，+∞)
要使方程f(x)−m=0有两不相等的实数根，即函数y=f(x)的图象与直线y=m有两个不同的交点．
①当b>0时，m=0或m=(2−√2)e√2
②当b=0时，m∈((2−2√2)e√2，0)
③当b<0时，m((2−2√2)e√2，+∞)。