2013版高考数学二轮复习专题训练：数列

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2013版高考数学二轮复习专题训练：数列
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若3b 是1-a 和1+a 的等比中项，则a+3b 的最大值为( )
A ． 1
B ． 2
C ． 3
D ． 4
【答案】B
2．已知{}n a 是等差数列，1010a =，其前10项和1070S =，则其公差d =( )
A ．23
-
B ．13
-
C ．
13
D ．
23
【答案】D
3．{}n a 为等差数列，若
11
10
1a a <-,且它的前n 项和S 有最大值，那么n S 取得最小正值时，n 的值为( ) A ．11 B ．17
C ．19
D ．21
【答案】C
4．已知等差数列}{n a 中，951=a a ，32=a ，则=4a ( )
A ．3
B ．7
C ．3或3-
D ．3或7
【答案】D
5．在等比数列{a n }中，S 4＝1，S 8＝3，则a 17＋a 18＋a 19＋a 20的值是( )
A ．14
B ．16
C ．18
D ．20
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【答案】B
6．已知等差数列共有10项、其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是( )
A ．5
B ．4
C ． 3
D ．2
【答案】C
7．已知正项数列{}n a 为等比数列且24353a a a 是与的等差中项，若22a =，则该数列的前5项的和为( ) A ．
3312
B ．31
C ．
314
D ．以上都不正确
【答案】B
8．设{}(*)n a n N ∈是等差数列,n S 是其前n 项和,且56678,S S S S S <=>，则下列结论错误的是( )
A ． 0d <
B ．
70
a =
C ． 98
S S > D ． 67n S S S 与均为的最大值
【答案】C
9．数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且137,,a a a 为等比数列{}n b 的连续三项，则数列{}n b 的公比为( ) A ．
2
B ．4
C ．2
D ．
1
2
【答案】C
10．已知等比数列{}n a 的前n 项和为112,6
n n S a -=⋅+则a 的值为( )
A ．13
- B ．
13
C ．12
-
D ．
12
【答案】A
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11．若a,b,c 成等比数列，m 是a,b 的等差中项，n 是b,c 的等差中项，则
=+n
c
m a ( ) A ．4 B ．3
C ．2
D ．1
【答案】C 12．已知数列
，前项和
，第项满足
，则等于( )
A ． B. C. D. 【答案】B
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．等差数列{}n a 中, ,33,952==a a 则{}n a 的公差为____________。

【答案】8
14．已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1a ，31
2a ，22a 成等差数列，则8
7109
a a a a ++的值为____________。

【答案】322+
15．等比数列{}n a 的前n 项和n S =22-+⋅a a n ，则n a =_______. 【答案】12-n
16．等比数列{n a }的公比0q >, 已知2a =1，216n n n a a a +++=，则{n a }的前4项和4S =____________ 【答案】
15
2
三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
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17．设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2
12n
n a S +⎛⎫
= ⎪⎝⎭，
(1) 求123,,a a a ； (2)求出数列{}n a 的通项公式；
(3) 设1
1
n n n b a a +=
，求数列{}n b 的前n 项和。

【答案】（1）11=a ，32=a ，53=a ；
(2） ∵ 4
)1(2+=n n a S
4
)1(2
11+=--n n a S )2(≥n
∴ 作差变形得：0))(2(11=+----n n n n a a a a
又∵ 0>n a ， ∴ 21=--n n a a
∴ 12-=n a n
(3） ∵ )1
21
121(21)12)(12(111+--=+-==
-n n n n a a b n n n
∴ 其前n 项和Tn =]1
211215131311[21+--++-+-
n n =
1
2+n n
18．设等差数列{}n a 的前n 项和为n
S ，
且24a =，535s =。

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(Ⅰ）求{}n a 的前n 项和n S ； (Ⅱ）若数列{}n b 满足n a
n b e =，求数列{}n b 的前n 项和n T .
【答案】（1）()
312
n n n s -=
(2）3131
n n e e
T e +-=-
19．(1) 已知两个等比数列{}n a ，{}n b ，满足11122(0),1,2,a a a b a b a =>-=-=333=-a b .若数列
{}n a 唯一，求a 的值；(2)是否存在两个等比数列{}n a ，{}n b ，使得11223344,,,b a b a b a b a ----成
公差不为0的等差数列？若存在，求{}n a ，{}n b 的通项公式；若不存在，说明理由. 【答案】 (1)设{}n a 的公比为q ，则21231,2,3b a b aq b aq =+=+=+.
由123,,b b b 成等比数列得22(2)(1)(3)aq a aq +=++， 即24310aq aq a -+-=.（*）
由0a >得2440a a ∆=+>，故方程（*）有两个不同的实根. 再由{}n a 唯一，知方程必有一根为0，将0q =代入方程得13
a =
. (2) 假设存在两个等比数列{}n a ，{}n b ，使得11223344,,,b a b a b a b a ----成公差 不为0的等差数列，设{}n a 的公比为1q ，{}n b 的公比为2q .
则221211b a b q a q -=-， 22331211b a b q a q -=-， 33441211b a b q a q -=-. 由11223344,,,b a b a b a b a ----成等差数列得
22
12111112112233
1211121112112()(),
2()().b q a q b a b q a q b q a q b q a q b q a q ⎧-=-+-⎪⎨-=-+-⎪⎩ 即22
121122
122111(1)(1)0,(*)(1)(1)0.(**)
b q a q b q q a q q ⎧---=⎪⎨---=⎪⎩
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(*)2q ⨯-(**)得21121()(1)0a q q q --=. 由10a ≠得12q q =或11q =.
当12q q =时，由(*) (**)得11b a =或121q q ==，这时2211()()0b a b a ---=， 与公差不为0矛盾.
当11q =时，由(*) (**)得10b =或21q =，这时2211()()0b a b a ---=，与公差不为0矛盾. 综上所述，不存在两个等比数列{}n a ，{}n b ，使得11223344,,,b a b a b a b a ----
成公差不为0的等差数列. 20．已知数列}{n a 满足，11,
2
a =11
113()11n n n n n n a a a a a a ++++--=++，且10n n a a +⋅<．（∈n N *） (I ）求数列}{n a 的通项公式；
(II ）若}{n b =22
1,n n a a +-试问数列}{n b 中是否存在三项能按某种顺序构成等差数列？若存在，
求出满足条件的等差数列，若不存在；说明理由. 【答案】（I ）由2
1
1=
a ，01<⋅+n n a a 知， 当n 为偶数时，0<n a ；当n 为奇数时，0>n a ； 由
n
n n n n n a a a a a a +-=+-++++111111)(3，得212211)(3++-=-n n n a a a ，即1342
21=-+n n a a ，
所以)1(3)1(42
21-=-+n n a a ，
即数列}1{2
-n
a 是以43
121-=-a 为首项，4
3
为公比的等比数列 所以，n
n n
a ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=--43434311
2，n
n a ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=4312，
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故n
n n a ⎪⎭
⎫
⎝⎛--=-431)
1(1
（∈n N *）
(II ）由（I ）知2
21n
n n a a b -=+n
n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⎪⎭
⎫
⎝⎛+-⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=+43414314311
，
则对于任意的N n *∈,1n n b b +>.
假设数列}{n b 中存在三项t s r b b b ，，（t s r <<）成等差数列， 则t s r b b b >>，即只能有t r s b b b +=2成立，
所以t r s ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅4341434143412，t
r s ⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅4343432
所以，t r t r s t s 343432+⋅=⋅⋅--， 因为t s r <<，所以00>->-r t s t ，，
所以s t s -⋅⋅432是偶数，t r t r 343+⋅-是奇数，而偶数与奇数不可能相等， 因此数列}{n b 中任意三项不可能成等差数列．
21．已知函数3()log ()f x ax b =+的图象经过点)1,2(A 和)2,5(B ，记()*
3,.f n n a n N =∈
(Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ）设n n n n
n b b b T a b +++==
21,2
，若)(Z m m T n ∈<，求m 的最小值； (Ⅲ）求使不等式12)1
1()11)(11(21+≥+++
n p a a a n
对一切*N n ∈均成立的最大实数p 。

【答案】（Ⅰ）由题意得⎩⎨
⎧=+=+2
)5(log 1)2(log 33b a b a ，解得⎩⎨⎧-==12
b a ，
)12(log )(3-=∴x x f *)12(log ,1233N n n a n n
∈-==-
(Ⅱ）由（Ⅰ）得n
n n b 21
2-=
，
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n n n n n T 2
122322523211321-+-++++=
∴- ①
11322
1
223225223212
1
+--+-+-+++=n n n n n n n T ② ①-②得 11221111321212)21212121(21212222222222121+--+---+++++=--+++++=n n n n n n n n n T 112122123+----=
n n n . n
n n n n n T 23
232122132+-
=---=∴-， 设*,232)(N n n n f n
∈+=，则由1512132121)32(25223225
2)()1(1<+≤++=++=++=++n n n n n n f n f n
n 得*,2
3
2)(N n n n f n
∈+=随n 的增大而减小，n T 随n 的增大而增大。

+∞→∴n 当时，3→n T 又)(Z m m T n ∈<恒成立，3min =∴m (Ⅲ）由题意得*21)1
1()11)(11(1
21N n a a a n p n ∈++++≤
对 恒成立
记)1
1()11)(11(1
21)(21n a a a n n F ++++=
，则
1
)1(4)1(2)32)(12(22)
11()11)(11(1
21)
1
1)(11()11)(11(3
21)
()
1(2
21121-++=
+++=+++++++++=++n n n n n a a a n a a a a n n F n F n n n
1)
1(2)
1(2=++>
n n
)(),()1(,0)(n F n F n F n F 即>+∴> 是随n 的增大而增大
)(n F 的最小值为332)1(=
F ，332≤∴p ，即33
2max =p . 22．已知数列
满足
，且
(1)求数列的前三项：
(2)是否存在一个实数，使得数列为等差数列？若存在求出的值；若不存在，说明理由；
(3) 求数列的前n 项的和。

【答案】(1) 由
同理可得
(2)假设存在实数符合题意，则
必是与无关的常数
存在实数，使得数列为等差数列
(3)由(2)知数列是首项为公差等差数列
相减整理得
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