课时作业24：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示

3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
一、选择题
1．设命题p ：a ，b ，c 是三个非零向量；命题q ：{a ，b ，c }为空间的一个基底，则命题p 是命题q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．在空间直角坐标系Oxyz 中，下列说法正确的是( ) A ．向量AB →
的坐标与点B 的坐标相同 B ．向量AB →
的坐标与点A 的坐标相同 C ．向量AB →与向量OB →
的坐标相同 D ．向量AB →与向量OB →－OA →
的坐标相同
3．点A (－1,2,1)在x 轴上的投影点和在xOy 平面上的投影点的坐标分别为( ) A ．(－1,0,1)，(－1,2,0) B ．(－1,0,0)，(－1,2,0) C ．(－1,0,0)，(－1,0,0) D ．(－1,2,0)，(－1,2,0)
4．在空间四边形OABC 中，G 是△ABC 的重心，若OA →＝a ，OB →＝b ，OC ＝c ，则OG →
等于( ) A.13a ＋13b ＋13c B.12a ＋12b ＋12c C.a ＋b ＋c D.3a ＋3b ＋3c
5．正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，O 1，O 2，O 3分别是AC ，AB ′，AD ′的中点，以{AO →1，AO →
2，AO →3}为基底，AC ′→＝xAO →1＋yAO 2→＋zAO →
3，则x ，y ，z 的值是( ) A ．x ＝y ＝z ＝1
B ．x ＝y ＝z ＝1
2
C ．x ＝y ＝z ＝22
D ．x ＝y ＝z ＝2
二、填空题
6．设{i ，j ，k }是空间向量的单位正交基底，a ＝3i ＋2j －k ，b ＝－2i ＋4j ＋2k ，则向量a 与b 的位置关系是________．
7．如图, 在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 和BD 的交点，若AB →＝a ，AD →
＝b ，AA 1→＝c ，则B 1M →
＝________.
8．已知点A 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(2,1,3)，其中a ＝4i ＋2j ，b ＝2j ＋3k ，c ＝3k －j ，则点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为________． 三、解答题
9．已知{e 1，e 2，e 3}为空间一基底，且OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC →
＝e 1＋e 2－e 3，能否以OA →，OB →，OC →
作为空间的一个基底？
10．如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，MA →＝－13AC →，ND →＝13
A 1D →，设A
B →＝a ，AD →
＝
b ，AA 1→＝
c ，试用a ，b ，c 表示MN →.
11．已知P A 垂直于正方形ABCD 所在平面，M ，N 分别是AB 、PC 的中点，并且P A ＝AD ＝1，求向量MN →、DC →
的坐标．
参考答案
一、选择题
1．【答案】 B
【解析】 由空间基底的概念知，p q ，但q ⇒p ，故p 是q 的必要不充分条件． 2．【答案】 D
【解析】 因为A 点不一定为坐标原点，所以A 不对，B 、C 都不对，由于AB →＝OB →－OA →，故D 正确． 3．【答案】 B
【解析】 点A 在x 轴上的投影点的横坐标不变，纵、竖坐标都为0，在xOy 面上的投影点横、纵坐标不变，竖坐标为0，故应选B.
4．【答案】 A
【解析】 ∵G 是△ABC 的重心，∴CG →＝23CM →＝23·12(CA →＋CB →)＝13(OA →＋OB →－2OC →)，
∴OG →＝OC →＋CG →＝13(OA →＋OB →＋OC →
)＝13a ＋13b ＋13c .
5．【答案】 A
【解析】 AC ′→＝AA ′→＋AD →＋AB →
＝12(AB →＋AD →)＋12(AA ′→＋AD →)＋12(AA ′→＋AB →) ＝12AC →＋12AD ′→＋12AB ′→＝AO 1→＋AO 3→＋AO 2→， 由空间向量的基本定理，x ＝y ＝z ＝1. 二、填空题 6．【答案】 a ⊥b
【解析】 ∵a ·b ＝－6i 2＋8j 2－2k 2＝－6＋8－2＝0. ∴a ⊥b .
7．【答案】 －12a ＋12
b －c
【解析】 B 1M →＝AM →－AB 1→＝12(AB →＋AD →)－(AB →＋AA 1→
)＝－12AB →＋12AD →－AA 1→＝－12a ＋12b －c .
8．【答案】 (8,3,12)
【解析】 由题意知点A 对应向量为2a ＋b ＋3c ＝2(4i ＋2j )＋(2j ＋3k )＋3(3k －j )＝8i ＋3j ＋12k ，
∴点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为(8,3,12)． 三、解答题
9．解：假设OA →，OB →，OC →
共面，
根据向量共面的充要条件有：OA →＝xOB →＋yOC →
， 即e 1＋2e 2－e 3＝x (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋y (e 1＋e 2－e 3) ＝(－3x ＋y )e 1＋(x ＋y )e 2＋(2x －y )e 3. ∴⎩⎪⎨⎪
⎧
－3x ＋y ＝1，x ＋y ＝2，2x －y ＝－1.
此方程组无解．
∴OA →，OB →，OC →
不共面．
∴{OA →，OB →，OC →
}可作为空间的一个基底． 10．解：连结AN ，则MN →＝MA →＋AN →
.
由已知可得ABCD 是平行四边形，从而可得AC →＝AB →＋AD →
＝a ＋b ， MA →
＝－13AC →＝－13(a ＋b )，
又A 1D →＝AD →－AA 1→
＝b －c ，
故AN →＝AD →＋DN →＝AD →－ND →＝AD →－13A 1D →
＝b －13(b －c )，
MN →＝MA →＋AN →
＝－13(a ＋b )＋b －13(b －c )＝13
(－a ＋b ＋c )．
11．解：如图所示，因为P A ＝AD ＝AB ＝1，且P A ⊥平面ABCD ，AD ⊥AB ，所以可设DA →
＝e 1，AB →＝e 2，AP →
＝e 3.以{e 1，e 2，e 3}为基底建立空间直角坐标系Axyz .
因为MN →＝MA →＋AP →＋PN →＝MA →＋AP →＋12PC →
＝MA →＋AP →＋12
(P A →＋AD →＋DC →)
＝－12e 2＋e 3＋12(－e 3－e 1＋e 2)＝－12e 1＋1
2e 3，
∴MN →＝(－12，0，12)，DC →
＝(0,1,0)．。