人教版九年级上册数学 二次函数综合测试卷(word含答案)

人教版九年级上册数学二次函数综合测试卷（word含答案）
一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）
1．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，其中A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，直线y＝kx+b1经过点A，C，连接CD．（1）求抛物线和直线AC的解析式：
（2）若抛物线上存在一点P，使△ACP的面积是△ACD面积的2倍，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使线段AQ绕Q点顺时针旋转90°得到线段QA1，且A1好落在抛物线上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）2
y x2x3
=-++；3
y x
=-+；（2）（﹣1，0）或（4，﹣5）；（3）存在；（1，2）和（1，﹣3）
【解析】
【分析】
（1）将点A，B坐标代入抛物线解析式中，求出b，c得出抛物线的解析式，进而求出点C 的坐标，再将点A，C坐标代入直线AC的解析式中，即可得出结论；
（2）利用抛物线的对称性得出BD＝AD，进而判断出△ABC的面积和△ACP的面积相等，即可得出结论；
（3）分点Q在x轴上方和在x轴下方，构造全等三角形即可得出结论．
【详解】
解：（1）把A（3，0），B（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bc+c中，得
930
10
b c
b c
-++=
⎧
⎨
--+=
⎩
，
∴
2
3
b
c
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
当x＝0时，y＝3，
∴点C的坐标是（0，3），
把A（3，0）和C（0，3）代入y＝kx+b1中，得1
1
30
3
k b
b
+=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴
1
1
3
k
b
=-
⎧
⎨
=
⎩
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3；
（2）如图，连接BC，
∵点D是抛物线与x轴的交点，
∴AD＝BD，
∴S△ABC＝2S△ACD，
∵S△ACP＝2S△ACD，
∴S△ACP＝S△ABC，此时，点P与点B重合，
即：P（﹣1，0），
过B点作PB∥AC交抛物线于点P，则直线BP的解析式为y＝﹣x﹣1①，∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3②，
联立①②解得，
1
x
y
=-
⎧
⎨
=
⎩
或
4
5
x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩
，
∴P（4，﹣5），
∴即点P的坐标为（﹣1，0）或（4，﹣5）；
（3）如图，
①当点Q在x轴上方时，设AC与对称轴交点为Q'，由（1）知，直线AC的解析式为y＝﹣x+3，
当x＝1时，y＝2，
∴Q'坐标为（1，2），
∵Q'D＝AD＝BD＝2，
∴∠Q'AB＝∠Q'BA＝45°，
∴∠AQ'B＝90°，
∴点Q'为所求，
②当点Q在x轴下方时，设点Q（1，m），
过点A1'作A1'E⊥DQ于E，
∴∠A1'EQ＝∠QDA＝90°，
∴∠DAQ+∠AQD＝90°，
由旋转知，AQ＝A1'Q，∠AQA1'＝90°，
∴∠AQD+∠A1'QE＝90°，
∴∠DAQ＝∠A1'QE，
∴△ADQ≌△QEA1'（AAS），
∴AD ＝QE ＝2，DQ ＝A 1'E ＝﹣m ， ∴点A 1'的坐标为（﹣m +1，m ﹣2）， 代入y ＝﹣x 2+2x +3中， 解得，m ＝﹣3或m ＝2（舍）， ∴Q 的坐标为（1，﹣3），
∴点Q 的坐标为（1，2）和（1，﹣3）．
【点睛】
本题考查的是二次函数的综合题，涉及解析式的求解，与三角形面积有关的问题，三角形“k ”字型全等，解题的关键是利用数形结合的思想，设点坐标并结合几何图形的性质列式求解．
2．在平面直角坐标系中，将函数2
263,(y x mx m x m m =--≥为常数)的图象记为G ． （1）当1m =-时，设图象G 上一点(),1P a ，求a 的值； （2）设图象G 的最低点为(),o o F x y ，求o y 的最大值；
（3）当图象G 与x 轴有两个交点时，设右边交点的横坐标为2,x 则2x 的取值范围是 ； （4）设1112,,2,16816A m B m ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，当图象G 与线段AB 没有公共点时，直接写出m 的取值范围．
【答案】（1）0a =或3a =-；（2）
118；（3）21136x -<<-；（4）1
8
m <-或1
16
m >-
【解析】 【分析】
（1）将m=-1代入解析式，然后将点P 坐标代入解析式，从而求得a 的值； （2）分m ＞0和m ≤0两种情况，结合二次函数性质求最值； （3）结合二次函数与x 轴交点及对称轴的性质确定取值范围；
（4）结合一元二次方程根与系数的关系确定取值范围． 【详解】
解：（1）当1m =-时，()2
2613y x x x =++≥
把(),1P a 代入，得
22611a a ++=
解得0a =或3a =- （2）当0m >时，,(3)F m m - 此时，0o y m =-<
当0m ≤时，2
22
3926=2()22
y x mx m x m m m =---
-- ∴239,22F m m m ⎛⎫
--
⎪⎝⎭
此时，229911=()22918
m m m -
--++ ∴0y 的最大值1
18
=
综上所述，0y 的最大值为
118
（3）由题意可知：当图象G 与x 轴有两个交点时，m ＞0
当抛物线顶点在x 轴上时，2
2
=4(6)42()=0b ac m m -=--⨯⨯-△ 解得：m=0（舍去）或29
m =-
由题意可知抛物线的对称轴为直线x=3
2
m 且x ≥3m
∴当图象G 与x 轴有两个交点时，设右边交点的横坐标为x 2，则x 2的取值范围是
21136
x -<<- （4）18m <-或1
16
m >- 【点睛】
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
3．如图1，抛物线2
:C y x =经过变换可得到抛物线()1111:C y a x x b =-，1C 与x 轴的正
半轴交于点1A ，且其对称轴分别交抛物线C 、1C 于点1B 、1D ，此时四边形111D OB A 恰为正方形；按上述类似方法，如图2，抛物线()1111:C y a x x b =-经过变换可得到抛物线
()2222:C y a x x b =-，2C 与x 轴的正半轴交于点2A ，且对称轴分别交抛物线1C 、2C 于
点2B 、2D ，此时四边形222OB A D 也恰为正方形；按上述类似方法，如图3，可得到抛物线()3333:C y a x x b =-与正方形333OB A D ，请探究以下问题： （1）填空：1a = ，1b = ； （2）求出2C 与3C 的解析式；
（3）按上述类似方法，可得到抛物线():n n n n C y a x x b =-与正方形n n n OB A D （1n ≥）. ①请用含n 的代数式直接表示出n C 的解析式；
②当x 取任意不为0的实数时，试比较2018y 与2019y 的函数值的大小关系，并说明理由.
【答案】（1）11a =，12b =；（2）22132y x x =-，231
26
y x x =-；（3）①()2
2
12123
n n y x x n -=
-≥⨯，②20182019y y ＞. 【解析】 【分析】
（1）求与x 轴交点A 1坐标，根据正方形对角线性质表示出B 1的坐标，代入对应的解析式即可求出对应的b 1的值，写出D 1的坐标，代入y 1的解析式中可求得a 1的值； （2）求与x 轴交点A 2坐标，根据正方形对角线性质表示出B 2的坐标，代入对应的解析式即可求出对应的b 2的值，写出D 2的坐标，代入y 2的解析式中可求得a 2的值，写出抛物线C 2的解析式；再利用相同的方法求抛物线C 3的解析式；
（3）①根据图形变换后二次项系数不变得出a n =a 1=1，由B 1坐标（1，1）、B 2坐标（3，3）、B 3坐标（7，7）得B n 坐标（2n -1，2n -1），则b n =2（2n -1）=2n +1-2（n ≥1），写出抛物线C n 解析式．
②根据规律得到抛物线C 2015和抛物线C 2016的解析式，用求差法比较出y 2015与y 2016的函数值的大小． 【详解】
解：（1）y 1=0时，a 1x （x -b 1）=0， x 1=0，x 2=b 1， ∴A 1（b 1，0），
由正方形OB 1A 1D 1得：OA 1=B 1D 1=b 1，
∴B 1（
12b ，12b ），D 1（12b ，12
b
-）， ∵B 1在抛物线c 上，则
12b =(12
b )2
， 解得：b 1=0（不符合题意），b 1=2， ∴D 1（1，-1），
把D 1（1，-1）代入y 1=a 1x （x -b 1）中得：-1=-a 1， ∴a 1=1， 故答案为1，2；
（2）当20y =时，有()220a x x b -=， 解得2x b =或0x =，()22,0A b ∴. 由正方形222OB A D ，得2222B D OA b ==，
222,22b b B ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，22
2,22b
b D ⎛⎫- ⎪⎝⎭
. 2B 在抛物线1C 上，2222222b b b ⎛⎫∴
=- ⎪⎝⎭
. 解得24b =或20b =（不合舍去），
()22,2D ∴-
2D 在抛物线2C 上，
()22224a ∴-=-.
解得21
2
a =
. 2C ∴的解析式是()2142y x x =
-，即221
22
y x x =-. 同理，当30y =时，有()330a x x b -=， 解得3x b =，或0x =.
()33,0A b ∴.
由正方形333OB A D ，得3333B D OA b ==，
333,22b b B ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，333,2
2b
b D ⎛⎫- ⎪⎝⎭.
3B 在抛物线2C 上，
2
333122222
b b b
⎛⎫∴=-⋅ ⎪⎝⎭. 解得312b =或30b =（不合舍去），
()36,6D ∴-
3D 在抛物线3C 上，
()366612a ∴-=-.解得316
a =
. 3C ∴的解析式是()31126y x x =
-，即231
26
y x x =-. （3）解：①n C 的解析式是()2
2
12123
n n y x x n -=-≥⨯. ②由①可得2201820161223y x x =
-⨯，2
20192017
1223
y x x =-⨯. 当0x ≠时，2
2018201920162017
111
0233y y x ＞⎛⎫-=
-
⎪⎝⎭
， 20182019y y ∴＞.
【点睛】
本题是二次函数与方程、正方形的综合应用，将函数知识与方程、正方形有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用正方形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．就此题而言：①求出抛物线与x 轴交点坐标⇔把y =0代入计算，把函数问题转化为方程问题；②利用正方形对角线相等且垂直平分表示出对应B 1、B 2、B 3、B n 的坐标；③根据规律之间得到解析式是关键．
4．已知函数2222
22(0)
114(0)
2
2x ax a x y x ax a x ⎧-+-<⎪
=⎨---+≥⎪⎩（a 为常数）． （1）若点()1,2在此函数图象上，求a 的值． （2）当1a =-时，
①求此函数图象与x 轴的交点的横坐标．
②若此函数图象与直线y m =有三个交点，求m 的取值范围．
（3）已知矩形ABCD 的四个顶点分别为点()2,0A -，点()3,0B ，点()3,2C ，点
()2,2D -，若此函数图象与矩形ABCD 无交点，直接写出a 的取值范围．
【答案】（1）1a =或3a =-；（2
）①1x =--
1x =+；②
7
2
4m ≤<或21m -<<-；（3
）3a <--
或1a ≤<-
或a >【解析】 【分析】
（1）本题根据点(1,2)横坐标大于零，故将点代入对应解析式即可求得a 的取值． （2）①本题将1a =-代入解析式，分别令两个函数解析式y 值为零即可求得函数与x 轴
交点横坐标；②本题可求得分段函数具体解析式，继而求得顶点坐标，最后平移直线
y m =观察其与图像交点，即可得到答案．
（3）本题可根据对称轴所在的位置分三种情况讨论，第一种为当2a <-，将
2222y x ax a =-+-函数值与2比大小，将2211
422
y x ax a =---+与0比大小；第二
种为当20a -≤<，2
2
22y x ax a =-+-函数值与0比大小，且该函数与y 轴的交点和0比大小，2211
422
y x ax a =-
--+函数值与2比大小，且该函数与y 轴交点与2比大小；第三种为2
2
22y x ax a =-+-与y 轴交点与2比大小，2211
422
y x ax a =---+与y 轴交点与0比大小． 【详解】
（1）将()1,2代入2211422y x ax a =-
--+中，得211
2422
a a =---+，解得1a =或3a =-．
（2）当1a =-时，函数为2221,
(0)17
(0)
2
2x x x y x x x ⎧+-<⎪
=⎨-++≥⎪
⎩，
①令2210x x +-=
，解得1x =--
1x =- 令217
022
x x -
++=
，解得1x =+
或1x =-
综上，1x =--
1x =+．
②对于函数()2
210y x x x =+-<，其图象开口向上，顶点为()1,2--； 对于函数217
(0)22
y x x x =-
++≥，其图象开口向下，顶点为()1,4，与y 轴交于点70,2⎛⎫
⎪⎝⎭
． 综上，若此函数图象与直线y m =有三个交点，则需满足
7
2
4m ≤<或21m -<<-． （3）22
22y x ax a =-+-对称轴为x a =；2211
422
y x ax a =-
--+对称轴为x a =-． ①当2a <-时，若使得2
2
22y x ax a =-+-图像与矩形ABCD 无交点，需满足当2x =-时，2
2
22y x ax a =-+-24+422a a =->+，解不等式得0a >或4a ，在此基础
上若使2211
422
y x ax a =-
--+图像与矩形ABCD 无交点，需满足当3x =时，2221111
49342222
0y x ax a a a =---+=⨯--+<-，
解得3a >或3a <--，
综上可得：3a <--．
②当20a -≤<时，若使得2
2
22y x ax a =-+-图像与矩形ABCD 无交点，需满足
2x =-时，2222y x ax a =-+-24+420a a =+-<；当0x =时，
222
22=20y x ax a a =-+--≤；得2a ≤<，
在此基础上若使2211
422
y x ax a =-
--+图像与矩形ABCD 无交点，需满足0x =时，222111
4=42222y x ax a a ---+->=；3x =时，
2221111
49342222
2y x ax a a a =---+=⨯--+>-；
求得21a -<<-；
综上：1a ≤<-．
③当0a ≥时，若使函数图像与矩形ABCD 无交点，需满足0x =时，
22222=22y x ax a a =-+--≥且222111
4+40222
y x ax a a =---+=-<；
求解上述不等式并可得公共解集为：a >
综上：若使得函数与矩形ABCD 无交点，则3a <--或1a ≤<-或a > 【点睛】
本题考查二次函数综合，求解函数解析式常用待定系数法，函数含参数讨论时，往往需要分类讨论，分类讨论时需要先选取特殊情况以用来总结规律，继而将规律一般化求解题目．
5．如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为Q(2，-1)，且与y 轴交于点C(0，3)，与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的右侧)，点P 是该抛物线上的一动点，从点C 沿抛物线向点A 运动(点P 与A 不重合)，过点P 作PD ∥y 轴，交AC 于点D ． (1)求该抛物线的函数关系式；
(2)当△ADP 是直角三角形时，求点P 的坐标；
(3)在题(2)的结论下，若点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，问是否存在以A 、P 、E 、F 为顶点的平行四边形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) y=x2﹣4x+3；(2) P1（1，0），P2（2，﹣1）；(3) F1（22，1），F2（22，1）．
【解析】
【分析】
（1）已知了抛物线的顶点坐标，可将抛物线的解析式设为顶点式，然后将函数图象经过的C点坐标代入上式中，即可求出抛物线的解析式；
（2）由于PD∥y轴，所以∠ADP≠90°，若△ADP是直角三角形，可考虑两种情况：
①以点P为直角顶点，此时AP⊥DP，此时P点位于x轴上（即与B点重合），由此可求出P点的坐标；
②以点A为直角顶点，易知OA=OC，则∠OAC=45°，所以OA平分∠CAP，那么此时D、P关于x轴对称，可求出直线AC的解析式，然后设D、P的横坐标，根据抛物线和直线AC的解析式表示出D、P的纵坐标，由于两点关于x轴对称，则纵坐标互为相反数，可据此求出P 点的坐标；
（3）很显然当P、B重合时，不能构成以A、P、E、F为顶点的四边形，因为点P、F都在抛物线上，且点P为抛物线的顶点，所以PF与x轴不平行，所以只有（2）②的一种情况符合题意，由②知此时P、Q重合；假设存在符合条件的平行四边形，那么根据平行四边形的性质知：P、F的纵坐标互为相反数，可据此求出F点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出F点的坐标．
【详解】
（1）∵抛物线的顶点为Q（2，﹣1），
∴设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣1，
将C（0，3）代入上式，得：
3=a（0﹣2）2﹣1，a=1；
∴y=（x﹣2）2﹣1，即y=x2﹣4x+3；
（2）分两种情况：
①当点P1为直角顶点时，点P1与点B重合；
令y=0，得x2﹣4x+3=0，解得x1=1，x2=3；
∵点A在点B的右边，
∴B（1，0），A（3，0）；
∴P1（1，0）；
②当点A为△AP2D2的直角顶点时；
∵OA=OC ，∠AOC=90°， ∴∠OAD 2=45°；
当∠D 2AP 2=90°时，∠OAP 2=45°， ∴AO 平分∠D 2AP 2； 又∵P 2D 2∥y 轴， ∴P 2D 2⊥AO ，
∴P 2、D 2关于x 轴对称；
设直线AC 的函数关系式为y=kx+b （k≠0）． 将A （3，0），C （0，3）代入上式得：
30
3
k b b +=⎧⎨
=⎩ ， 解得1
3
k b =-⎧⎨
=⎩ ；
∴y=﹣x+3；
设D 2（x ，﹣x+3），P 2（x ，x 2﹣4x+3）， 则有：（﹣x+3）+（x 2﹣4x+3）=0， 即x 2﹣5x+6=0；
解得x 1=2，x 2=3（舍去）；
∴当x=2时，y=x 2﹣4x+3=22﹣4×2+3=﹣1； ∴P 2的坐标为P 2（2，﹣1）（即为抛物线顶点）． ∴P 点坐标为P 1（1，0），P 2（2，﹣1）；
（3）由（2）知，当P 点的坐标为P 1（1，0）时，不能构成平行四边形； 当点P 的坐标为P 2（2，﹣1）（即顶点Q ）时， 平移直线AP 交x 轴于点E ，交抛物线于F ； ∵P （2，﹣1）， ∴可设F （x ，1）； ∴x 2﹣4x+3=1，
解得x 1=22，x 22； ∴符合条件的F 点有两个，
即F 1（22，1），F 2（2，1）．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的解析式的确定、直角三角形的判定、平行四边形的判定与性质等重要知识点，同时还考查了分类讨论的数学思想，能力要求较高，难度较大.
6．如图1，在平面直角坐标系中，O 为原点，抛物线2
y ax bx c =++经过、、A B C 三点，且其对称轴为1,x =其中点()
0,3C ，点()3,0B ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）①如图（1），点D 是直线CB 上方抛物线上的动点，当四边形DCAB 的面积取最大值时，求点D 的坐标；
②如图（2），连接,CA 在抛物线上有一点,M 满足1
2
MCB ACO ∠=
∠，请直接写出点M 的横坐标．
【答案】（1）23233
=y x ；（2）①D 3532，，②233+2 【解析】 【分析】
（1）根据点(3C ，点()3,0B ，利用待定系数法，可得函数解析式；
（2）①先求出直线BC 的解析式，当直线m 与抛物线只有一个交点时，点D 到BC 的距离最远，此时△BCD 取最大值，故四边形DCAB 有最大值，求出b 的值代入原式即可得到答案； ②根据题干条件抛物线上有一点,M 满足1
2
MCB ACO ∠=∠，通过利用待定系数法利用方程组求出直线BE 的解析式，可得答案． 【详解】
解：（1）由题意得：
120933b
a a
b ⎧-=⎪⎨
⎪=++⎩
解得323
a
,b 故抛物线的解析式是23233=++y x x .
图（1） 图（2） （2）①设直线BC 的解析式为3. ∵直线BC 过点B （3，0）， ∴3则k=33
-
， 故直线BC 解析式为y=3
3 设直线m 解析式为3
y
x b ，且直线m ∥直线BC 当直线m 与抛物线只有一个交点时，点D 到BC 的距离最远，此时△BCD 取最大值，故四边形DCAB 有最大值. 令23323b 3+=+
23-33333
0x x b
当2Δ
(-33)-43(333)0b 时
直线m 与抛物线有唯一交点 解之得：73
,b
代入原式可求得：32
x = ∴D 353
(2
图（3）
过D 作DP ∥y 轴交CB 于点P ，△DCB 面积=△DPC 面积+△DPB 面积，
∴D 3532⎛ ⎝⎭
②存在，点M 的横坐标为313+2 解题提示：如图3
符合条件的直线有两条： CM 1和CM 2（分别在CB 的上方和下方） ∵在Rt △ACO 中，∠ACO=30°，在Rt △COB 中，∠CBO=30°， ∴∠BCM 1=∠BCM 2=15° ∵△BCE 中，∠BCE=∠BEC 2=15° ∴BC=BE=23则E （33+0）
设直线CE 解析式为：3y kx =+ ∴0
(323)3k
解之得：32 ∴直线CE 解析式为：(32)3y
x
∴23233(32)3y x x y x ⎧=+⎪
⎨⎪=⎩
解得：x 1=0，x 23－1
∵ 在Rt △OCF 中，∠CBO=30°，∠BCF=15° ∴在Rt △COF 中， ∠CFO=45° ∴3∴F 30）
∴直线CF
的解析式为-3y x
∴2323
3-3y x x y x ⎧=-
++⎪⎨⎪=+⎩
解之得：30x =（舍去），4
3+2x
即点M 的横坐标为：23-1或3+2 【点睛】
本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数解析式，理解坐标与图形性质是解题关键．
7．如图，若抛物线y ＝x 2+bx+c 与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，直线y ＝x ﹣3经过点B ，C ． （1）求抛物线的解析式；
（2）点P 是直线BC 下方抛物线上一动点，过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，交BC 于点M ，连接PC ．
①线段PM 是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由；
②在点P 运动的过程中，是否存在点M ，恰好使△PCM 是以PM 为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）①有，9
4
；②存在，(2，﹣3)或(32，2﹣2) 【解析】 【分析】
（1）由直线表达式求出点B 、C 的坐标，将点B 、C 的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）①根据PM ＝（x ﹣3）﹣（x 2﹣2x ﹣3）＝﹣（x ﹣32）2+9
4
即可求解； ②分PM ＝PC 、PM ＝MC 两种情况，分别求解即可． 【详解】
解：（1）对于y ＝x ﹣3，令x ＝0，y ＝﹣3，y ＝0，x ＝3， 故点B 、C 的坐标分别为（3，0）、（0，﹣3），
将点B 、C 的坐标代入抛物线表达式得：930
3b c c ++=⎧⎨=-⎩，
解得：3
2c b =-⎧⎨=-⎩
，
故抛物线的表达式为：y ＝x 2﹣2x ﹣3；
（2）设：点M （x ，x ﹣3），则点P （x ，x 2﹣2x ﹣3）， ①有，理由：PM ＝（x ﹣3）﹣（x 2﹣2x ﹣3）＝﹣（x ﹣32）2+9
4
， ∵﹣1＜0，故PM 有最大值，当x ＝32时，PM 最大值为：9
4
； ②存在，理由：
PM 2＝（x ﹣3﹣x 2+2x+3）2＝（﹣x 2+3x ）2； PC 2＝x 2+（x 2﹣2x ﹣3+3）2； MC 2＝（x ﹣3+3）2+x 2；
（Ⅰ）当PM ＝PC 时，则（﹣x 2+3x ）2＝x 2+（x 2﹣2x ﹣3+3）2， 解得：x ＝0或2（舍去0）， 故x ＝2，故点P （2，﹣3）；
（Ⅱ）当PM ＝MC 时，则（﹣x 2+3x ）2＝（x ﹣3+3）2+x 2，
解得：x ＝0或（舍去0和），
故x ＝3，则x 2﹣2x ﹣3＝2﹣，
故点P （3，2﹣）．
综上，点P 的坐标为：(2，﹣3)或(3，2﹣)． 【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质等，其中（2）②，要注意分类求解，避免遗漏．
8．如图1所示，抛物线2
23
y x bx c =
++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，已知C 点坐标为（0，4），抛物线的顶点的横坐标为
7
2
，点P 是第四象限内抛物线上的动点，四边形OPAQ 是平行四边形，设点P 的横坐标为m ． （1）求抛物线的解析式；
（2）求使△APC 的面积为整数的P 点的个数；
（3）当点P 在抛物线上运动时，四边形OPAQ 可能是正方形吗？若可能，请求出点P 的坐标，若不可能，请说明理由；
（4）在点Q 随点P 运动的过程中，当点Q 恰好落在直线AC 上时，则称点Q 为“和谐点”，如图（2）所示，请直接写出当Q 为“和谐点”的横坐标的值．
【答案】（1）2214433
y x x =-+；（2）9个 ；（3）33,22或44，；（4）33【解析】 【分析】
（1）抛物线与y 轴交于点C ，顶点的横坐标为
7
2
，则47
22
23
c
b ，即可求解； （2）APC ∆的面积PHA
PHC
S
S
S
，即可求解；
（3）当四边形OPAQ 是正方形时，点P 只能在x 轴的下方，此时OAP 为等腰直角三角形，设点(,)P x y ，则0x y +=，即可求解； （4）求出直线AP 的表达式为：2
(1)(6)3
y m x ，则直线OQ 的表达式为：2
(1)3
y
m x ②，联立①②求出Q 的坐标，又四边形OPAQ 是平行四边形，则AO 的中点即为PQ 的中点，即可求解． 【详解】
解：（1）抛物线与y 轴交于点C ，顶点的横坐标为7
2
，则
47
2223
c
b ，解得14
34
b c
， 故抛物线的抛物线为：2214
433
y x x =-+； （2）对于2214
433
y x x =
-+，令0y =，则1x =或6，故点B 、A 的坐标分别为(1,0)、(6,0)；
如图，过点P 作//PH y 轴交AC 于点H ，
设直线AC 的表达式为：y kx b =+ 由点A （6，0）、C （0，4）的坐标得460
b k
b
，解得
423
b k
， ∴直线AC 的表达式为：2
43
y x =-+①， 设点2
2
14(,4)3
3
P x x x ，则点2(,
4)3
H x x ，
APC ∆的面积
2
21
12214
6(4
4)212(16)223
33
PHA
PHC
S
S
S
PH OA x x x x x
，
当1x =时，10S =，当6x =时，0S =， 故使APC ∆的面积为整数的P 点的个数为9个；
（3）当四边形OPAQ 是正方形时，点P 只能在x 轴的下方， 此时OAP 为等腰直角三角形，设点(,)P x y ，则0x y +=， 即22144
3
3
y
x x x ，解得：3
2
x =
或4， 故点P 的坐标为3
(2，
3
)2
或(4,4)-； （4）设点2
2
14(,4)3
3
P m m m ，为点(6,0)A ，
设直线AP 的表达式为：y kx t =+，
由点A ，P 的坐标可得
2602144
3
3
k
t km
t m m ，解之得：
2
(1)3
26(1)
3
k
m t
m
∴直线AP 的表达式为：2
(1)(6)3
y
m x ， //AP OQ ，则AP 和OQ 表达式中的k 值相同，
故直线OQ 的表达式为：2
(1)3
y
m x ②，
联立①②
得：
2
(1)3
2
43
y
m x y
x ，解得：
44
6m
m y x ，
则点6
(
Q m ，44)m
， 四边形OPAQ 是平行四边形，则AO 的中点即为PQ 的中点， 如图2，作QC x ⊥轴于点C ，PD x ⊥轴于点D ，
∴OC AD =, 则有，66m m ，解得：3
3m
，
经检验，3
3m 是原分式方程得跟，
则63
3m
，
故Q 的横坐标的值为33 【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形正方形的性质、面积的计算等，能熟练应用相关性质是解题的关键．
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2
(0)y ax bx c a =++≠交x 轴于点
(2,0),(3,0)A B -，交y 轴于点C ，且经过点(6,6)D --，连接,AD BD ．
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）△ANM 与ABD ∆是否相似?若相似，请求出此时点M 、点N 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P 是直线AD 上方的抛物线上一动点(不与点,A D 重合)，过P 作//PQ y 轴交直线AD 于点Q ，以PQ 为直径作⊙E ，则⊙E 在直线AD 上所截得的线段长度的最大值等于 ．（直接写出答案）
【答案】（1）2113442y x x =--+；（2）点M （0，32）、点N （34
，0）或点M （0，32），N （-3，0）或点M （-1，32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，32）；（3）QH 有最大值，当x=2-时，其最大值为
125． 【解析】
【分析】
（1）用交点式函数表达式得：y=a （x-2）（x+3），将点D 坐标代入上式即可求解； （2）分∠MAB=∠BAD 、∠MAB=∠BDA ，两种大情况、四种小情况，分别求解即可； （3）根据题意，利用二次函数的性质和三角函数，
QH=PQcos ∠PQH=
35PQ=352113(442x x --+33)42x -+=23392055x x --+，即可求解． 【详解】
解：（1）用交点式函数表达式得：y=a （x-2）（x+3），
将点D 坐标代入上式并解得：14a =-
， 故函数的表达式为：2113442y x x =-
-+…①， 则点C （0，32
）； （2）由题意得：AB=5，AD=10，BD=35，
①∠MAN=∠ABD 时，
（Ⅰ）当△ANM ∽△ABD 时，
直线AD 所在直线的k 值为
34
，则直线AM 表达式中的k 值为34-， 则直线AM 的表达式为：3(2)4y x =--，故点M （0，32）， AD AB AM AN =，则AN=54，则点N （34
，0）； （Ⅱ）当△AMN ∽△ABD 时，
同理可得：点N （-3，0），点M （0，32）， 故点M （0，32）、点N （34
，0）或点M （0，32），N （-3，0）； ②∠MAN=∠BDA 时，
（Ⅰ）△ABD ∽△NMA 时， ∵AD ∥MN ，则tan ∠MAN=tan ∠BDA=
12， AM ：y=12-（x-2），则点M （-1，32
）、点N （-3，0）； （Ⅱ）当△ABD ∽△MNA 时，
AD BD AM AN =，即3535AN =， 解得：AN=94
， 故点N （14-，0）、M （-1，32
）； 故：点M （-1，
32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，32）； 综上，点M （0，32）、点N （34
，0）或点M （0，32），N （-3，0）或点M （-1，32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，32
）； （3）如图所示，连接PH ，
由题意得：tan ∠PQH=43，则cos ∠PQH=35
， 则直线AD 的表达式为：y=
3342x -， 设点P （x ，2113442x x --+），则点Q （x ，3342
x -），
则QH=PQcos ∠PQH=35PQ=352113(442x x --+33)42x -+ =23392055x x -
-+ =2312(2)205
x -++， ∵3020
-<， 故QH 有最大值，当x=2-时，其最大值为
125． 【点睛】
本题考查的是二次函数综合应用，涉及到一次函数、圆的基本知识，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，其中（2）需要分类求解共四种情况，避免遗漏．
10．在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知二次函数2
y ax bx c =++（其中a 、b 、c 是常数，且a ≠0）的图像经过点A （0，-3）、B （1，0）、C （3，0），联结AB 、AC ． （1）求这个二次函数的解析式；
（2）点D 是线段AC 上的一点，联结BD ，如果:3:2ABD BCD S S ∆∆=，求tan ∠DBC 的值； （3）如果点E 在该二次函数图像的对称轴上，当AC 平分∠BAE 时，求点E 的坐标．
【答案】（1）243y x x =-+-；（2）
32；（3）E （2，73
-） 【解析】
【分析】 （1）直接利用待定系数法，把A 、B 、C 三点代入解析式，即可得到答案；
（2）过点D 作DH ⊥BC 于H ，在△ABC 中，设AC 边上的高为h ，利用面积的比得到32
AD DC =，然后求出DH 和BH ，即可得到答案； （3）延长AE 至x 轴，与x 轴交于点F ，先证明△OAB ∽△OFA ，求出点F 的坐标，然后求出直线AF 的方程，即可求出点E 的坐标.
【详解】
解：（1）将A（0，-3）、B（1，0）、C（3，0）代入20
y ax bx c a
=++≠
（）得，03,
0934,
300
a b
a b
c
=+-
⎧
⎪
=+-
⎨
⎪-=++
⎩
解得
1
4
3
a
b
c
=-
⎧
⎪
=
⎨
⎪=-
⎩
，
∴此抛物线的表达式是：243
y x x
=-+-．
（2）过点D作DH⊥BC于H，
在△ABC中，设AC边上的高为h，则
11
:():():3:2
22
ABD BCD
S S AD h DC h AD DC
∆∆
=⋅⋅==，
又∵DH//y轴，
∴
2
5
CH DC DH
OC AC OA
===．
∵OA=OC=3，则∠ACO=45°，
∴△CDH为等腰直角三角形，
∴
26
3
55
CH DH
==⨯=．
∴
64
2
55
BH BC CH
=-=-=．
∴tan∠DBC=
3
2
DH
BH
=.
（3）延长AE至x轴，与x轴交于点F，
∵OA=OC=3，
∴∠OAC=∠OCA=45°，
∵∠OAB=∠OAC-∠BAC=45°-∠BAC，∠OFA=∠OCA-∠FAC=45°-∠FAC，∵∠BAC=∠FAC，
∴∠OAB=∠OFA．
∴△OAB∽△OFA，
∴
1
3 OB OA
OA OF
==．
∴OF=9，即F（9，0）；
设直线AF的解析式为y=kx+b（k≠0），
可得
09
3
k b
b
=+
⎧
⎨
-=
⎩
，解得
1
3
3
k
b
⎧
=
⎪
⎨
⎪=-
⎩
，
∴直线AF的解析式为：
1
3
3
y x
=-，
将x=2代入直线AF的解析式得：
7
3
y=-，
∴E（2，
7
3 -）.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，求二次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，求一次函数的解析式，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质，以及正确作出辅助线构造相似三角形.。