北师大版高中数学高中数学选修2-2第三章《导数应用》检测(答案解析)(1)

一、选择题
1．已知函数x y a =（1a >）与log a
y x =（1a >）的图象有且仅有两个公共点，则实数
a 的取值范围是（ ）
A ．1
e 1e a <<
B ．1e a <<
C ．1
e e e a <<
D ．e a >
2．已知函数()3
2
2f x x ax x =--+,则“2a ≤”是“()f x 在()2,4上单调递增”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
3．已知函数f (x )＝x 3－12x ，若f (x )在区间(2m ，m ＋1)上单调递减，则实数m 的取值范围是
( ) A ．－1≤m ≤1
B ．－1<m ≤1
C ．－1<m <1
D ．－1≤m <1
4．已知函数23,0
()3,0
xlnx x x f x x x x ->⎧=⎨+⎩的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的
对称点在1y kx =-的图象上，则实数k 的取值范围是( )
A ．1(,1)2
B ．1
(2
，2)
C ．(1,2)-
D ．(1,3)-
5．函数()2
e e x x
f x x
--=的图像大致为 ( ) A ． B ．
C ．
D ．
6．已知函数2()ln(1)22x x f x x -=-++，则使不等式(1)(2)f x f x +<成立的x 的取值范围是（ ）
A ．(1)(1,)-∞-⋃+∞，
B ．(1,+)∞
C ．1
(,)(1,+)3
-∞-⋃∞
D ．(,2)
(1,)-∞-+∞
7．若直角坐标系内A ，B 两点满足：（1）点A ，B 都在()f x 图象上；（2）点A ，B 关于
原点对称，则称点对()A B ，是函数()f x 的一个“和谐点对”，()A B ，与()B A ，可看作
一个“和谐点对”.已知函数22(0)()2(0)x x x x f x x e
⎧+<⎪
=⎨≥⎪⎩则()f x 的“和谐点对”有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
8．当01x <<时，()ln x
f x x
=，则下列大小关系正确的是（ ） A ．()()
()2
2f
x f x f x <
<
B ．()()()2
2
f x f
x f x << C ．()()()2
2
f x f x f x <<
D ．()()()2
2
f x f x f x <<
9．f （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ＜0时，f （x ）+x •f '（x ）＜0，且f （﹣3）＝0，则不等式f （x ）＞0的解集为（ ） A ．（﹣3，0）∪（3，+∞） B ．（﹣3，0）∪（0，3） C ．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）
D ．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）
10．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 若函数
()()
3
222113
f x x bx a c ac x =
+++-+无极值点，则角B 的最大值是（ ） A ．
6
π B ．
4
π C ．
3
π D ．
2
π 11．已知函数(),
20
21,0
x e x f x x x x ⎧>=⎨-++≤⎩，若函数()()g x f x kx =-恰好有两个零点，
则实数k 等于（e 为自然对数的底数）（ ） A ．1 B ．2 C ．e D ．2e
12．已知函数()3
2
42x
x f x x x e e
=-+-
，其中e 是自然对数的底数，若
()()2210f a f a +--≤，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
B ．11,2
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
C ．[]2,1-
D ．[]1,2-
二、填空题
13．函数()2
1ln 2
f x x x ax =+-存在与直线30x y -=平行的切线，则实数a 的取值范围是________.
14．如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为
O .D ，E ，F 为圆O 上的点，,,DBC ECA FAB 分别是以BC,CA,AB 为底边的等腰
三角形.沿虚线剪开后，分别以BC,CA,AB 为折痕折起,,DBC ECA FAB ，使得D ，
E ，
F 重合，得到三棱锥.当所得三棱锥体积（单位：3cm ）最大时，ABC 的边长为
_________（cm ）.
15．如图所示，ABCD 是边长为30cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个底面是正方形的长方体包装盒，若要包装盒容积3()V cm 最大，则EF 的长为________cm .
16．已知函数2()f x x a =+，ln ()2e x
g x x x
=
+，其中e 为自然对数的底数，若函数()y f x =与函数()y g x =的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是________．
17．已知函数()x
f x e =，()
g x ex =12,x x R ∈，使得()()12f x g x m ==，则21x x -的最小值为______.
18．已知函数()2221,204ln 2,0x mx m x f x x m x x
e ⎧----<≤⎪
=⎨+->⎪
⎩在区间()2,-+∞上有且只有三个零
点，则实数m 的取值范围为______.
19．已知函数2()x f x ae x =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是_______.
20．已知函数21ln ,0()log ,0x
x f x x x x +⎧>⎪
=⎨⎪<⎩
方程2()2()0()f x mf x m R -=∈有五个不相等的实
数根，则实数m 的取值范围是______．
三、解答题
21．如图，在半径为30cm 的半圆形（O 为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD ，其中点A 、B 在直径上，点C 、D 在圆周上.
（1）怎样截取才能使截得的矩形ABCD 的面积最大？并求最大面积；
（2）若将所截得的矩形铝皮ABCD 卷成一个以AD 为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），应怎样截取，才能使做出的圆柱形罐子体积最大？并求最大体积. 22．已知函数()3
213
f x x ax bx ab =-
+++． （1）若()f x 是奇函数，且有三个零点，求b 的取值范围； （2）若()f x 在1x =处有极大值22
3
-
，求当[]1,2x ∈-时()f x 的值域． 23．已知函数()()2
ln 1f x ax x =-+()0a ≠. （1）讨论()f x 的极值点的个数；
（2）当0a >时，设()f x 的极值点为0x ，若()()
001
21f x x >-+，求a 的取值范围.
24．已经x ∈R ，
（1）求证：1x e x ≥+ (其中， 2.71828e =)；
（2）n N +∈，求证：1
(1)n n e +≤.
25．已知函数2
1(),()ln 2
f x x
g x a x ==. （1）若曲线()()y f x g x =-在2x =处的切线与直线370x y +-=垂直，求实数a 的
值；
（2）若[]1,e 上存在一点x ，使得()()
()()00001
f x
g x g x f x ''+<-'成立，求实数a 的取
值范围.
26．一件要在展览馆展出的文物类似于圆柱体，底面直径为0.8米，高1.2米，体积约为0.5立方米，为了保护文物需要设计各面是玻璃平面的正四棱柱形无底保护罩，保护罩底面边长不少于1.2米，高是底面边长的2倍，保护罩内充满保护文物的无色气体，气体每立方米500元，为防止文物发生意外，展览馆向保险公司进行了投保，保险费用和保护罩的占地面积成反比例，当占地面积为1平方米时，保险费用为48000元. （1）若保护罩的底面边长为2.5米，求气体费用和保险费用之和； （2）为使气体费用和保险费用之和最低，保护罩该如何设计？
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．A 解析：A 【分析】 将问题转化为()1x
y a a =>的图象与y x =有两个公共点，即ln ln x
a x
=
有两解，再构造新函数()ln x
f x x
=，根据()f x 的单调性和取值分析ln a 的取值即可得到结果. 【详解】
因为函数()()1,log 1x
a y a
a y x a =>=>的图象关于直线y x =对称，
所以两个图象的公共点在y x =上，所以()1x
y a a =>的图象与y x =有两个公共点，
即x x a =有两解，即ln ln x x a =有两解，即ln ln x
a x
=有两解， 令()ln x f x x =
，所以()2
1ln x
f x x -'=， 当()0,x e ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，当(),x e ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，
()f x 大致图象如下图所示：
所以()1
0ln a f e e
<<=，所以11e a e <<， 故选：A. 【点睛】
结论点睛：函数图象的交点个数、方程根的数目、函数的零点个数之间的关系： 已知()()()h x f x g x =-，则有()h x 的零点个数⇔方程()()f x g x =根的数目⇔函数
()f x 与函数()g x 的图象的交点个数. 2．A
解析：A
【分析】
由()f x 在()2,4上单调递增，等价于23131
222x a x x x
-≤=-
在()2,4上恒成立， 再求得114a ≤，再判断“2a ≤”与“11
4
a ≤
”的充分必要性即可. 【详解】
解：若()f x 在()2,4上单调递增，则()2
3210f x x ax '=--≥,即2
3131
222x a x x x
-≤=-
在()2,4上恒成立. 又31()22h x x x =
-在()2,4上单调递增,则3111224x x ->，所以11
4
a ≤. 故“2a ≤”是“()f x 在()2,4上单调递增”的充分不必要条件. 故选A. 【点睛】
本题考查了由函数的单调性研究参数的范围，重点考查了充分必要条件，属中档题.
3．D
解析：D 【解析】
因为f ′(x)＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2)，令f ′(x)<0⇒－2<x<2，所以函数f(x)＝x 3－12x 的单调递减区间为(－2,2)，要使f(x)在区间(2m ，m ＋1)上单调递减，则区间(2m ，m ＋1)是区间(－2,2)
的子区间，所以22
1212m m m m ≥-⎧⎪
+≤⎨⎪+>⎩
从中解得－1≤m<1，选D.
点睛：导数与函数的单调性
(1)函数单调性的判定方法：设函数()y f x =在某个区间内可导，如果()0f x '>，则
()y f x =在该区间为增函数；如果()0f x '<，则()y f x =在该区间为减函数.
(2)函数单调性问题包括：①求函数的单调区间或存在单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；②利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法.
4．C
解析：C 【分析】
先求出直线1y kx =-关于1y =-对称的直线方程，然后求函数()f x 再0,0x x >≤时的单调性及极值，进而求出k 得取值范围. 【详解】
设函数1y kx =-任意一点00(,)P x y 关于直线1y =-对称的点为(,)P x y '，
则0
0,
12
y y x x +==-，所以02y y =--， 而P 在函数1y kx =-上，所以21y kx --=-，即1y kx =--， 所以函数1y kx =-恒过定点(0,1)A -，
（1）当0x >时，()ln 3f x x x x =-，设直线1y kx =--与()f x 相切于点
(,ln 3)C x x x x -，
()ln 31
ln 13ln 2x x x f x x x x k x
-+'=+-=-=-=
，
整理可得ln 2ln 31x x x x x x -=-+，解得1x =， 所以ln122AC k k =-=-=-； （2）当0x ≤时，()2
3f x x x =+，
设直线1y kx =--与函数()f x 相切于点B 点2(,3)x x x +，
()231
23x x f x x k x
++'=+=-=
，整理可得222331(0)x x x x x +=++≤，解得1x =-，
所以2(1)31AB k k =-=-+=， 故21k -<-<，即12k -<<时，
在0x >时，函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有2个交点； 在0x ≤时，函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有2个交点，
故函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有4个交点时的k 的范围是(1,2)-. 故选：C.
【点睛】
本题主要考查了直线关于直线对称，以及直线与曲线相切的斜率，以及函数与方程的关系的综合应用，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.
5．B
解析：B 【解析】
分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.
详解：2
0,()()()x x
e e x
f x f x f x x
--≠-==-∴为奇函数，舍去A, 1(1)0f e e -=->∴舍去D;
243
()()2(2)(2)()2,()0x x x x x x
e e x e e x x e x e
f x x f x x x
---+---++=='∴>'>， 所以舍去C ；因此选B.
点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．
6．D
解析：D 【分析】
先判断函数的奇偶性和单调性，由此列不等式组，解不等式组求得x 的取值范围. 【详解】
由210x ->解得1x <-或1x >，故函数的定义域为{|1x x <-或}1x >，且
()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，且当1x >时，令22x x y -=+，
'
1412ln 2ln 2022x x x x y -⎛⎫
=-=⨯> ⎪⎝
⎭，所以22x x y -=+在1x >时递增，根据复合函数
单调性可知()
2
ln 1y x =-在1x >时递增，所以函数()f x 在1x >时递增，故在1x <-时
递减.由(1)(2)f x f x +<可知121121x x x x ⎧+<⎪
+>⎨⎪>⎩
，解得(,2)(1,)x -∞-∈+∞.
故选D. 【点睛】
本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，考查利用导数判断函数的单调性，考查函数不等式的解法，属于中档题.
7．B
解析：B 【分析】
问题转化为0,()x f x ≥关于原点对称的函数与2()2f x x x =+在(,0)-∞交点的个数，先求出0,()x f x ≥关于原点对称的函数()g x ，利用导数方法求出2()2g x x x =+在(,0)-∞解的个数，即可得出结论. 【详解】
设(,)(0)P x y x ≤是()(0)y f x x =≥关于原点对称函数图象上的点，
则点P 关于原点的对称点为()P x y '--，
在()(0)y f x x =≥上， 2,2x x y y e e
--=
=-，设()2(0)x
g x e x =-≤， “和谐点对”的个数即为()g x 与()f x 在(,0)-∞交点的个数， 于是222x e x x -=+，化为2220(0)x e x x x ++=<， 令2()22(0)x x e x x x ϕ=++<，下面证明方程()0x ϕ=有两解， 由于20x e >，所以220x x +<，解得20x -<<，
∴只要考虑(20)x ∈-，
即可， ()222x x e x ϕ'=++，()x ϕ'在区间(20)-，
上单调递增， 而2(2)2420e ϕ-'-=-+<，1(1)20e ϕ-'-=>， ∴存在0(2,1)x ∈--使得0()0x ϕ'=， 当0(2,),()0,()x x x x ϕϕ∈-'<单调递减，
0(,0),()0,()x x x x ϕϕ∈'>单调递增，
而2(2)20e ϕ--=>，1
0()(1)210x e ϕϕ-<-=-<，(0)20ϕ=>，
∴函数()ϕx 在区间(21)--，
，(1,0)-分别各有一个零点， 即()f x 的“和谐点对”有2个. 故选：B . 【点睛】
本题考查函数的新定义，等价转化为函数图象的交点，利用函数导数研究单调性，结合零点存在性定理是解题的关键，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.
8．D
解析：D 【分析】
由01x <<得到2x x <，要比较()f x 与()
2
f x 的大小，即要判断函数是增函数还是减函数，可求出()'f x 利用导函数的正负决定函数的增减项，即可比较出()f x 与()
2
f x 的大
小，利用对数的运算法则以及式子的性质，从式子的符号可以得到()f x 与()2
f x 的大
小，从而求得最后的结果. 【详解】
根据01x <<得到201x x <<<，而()2
1ln 'x
f x x -=
， 所以根据对数函数的单调性可知01x <<时，1ln 0x ->，
从而可得()'0f x >，函数()f x 单调递增，所以()
()()2
10f x f x f <<=， 而()2
22ln 0x f x x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭
，所以有()()()22f x f x f x <<.
故选D. 【点睛】
本题主要考查函数的值的大小比较，在解题的过程中，注意应用导数的符号研究函数的单调性，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．
9．B
解析：B 【分析】
构造函数()()g x xf x =，根据条件确定()g x 奇偶性与单调性，最后根据单调性解不等式. 【详解】
令()()g x xf x =，因为f （x ）是定义在R 上的偶函数，所以g （x ）是定义在R 上的奇函数，
当x ＜0时，()()()0g x f x xf x ''=+<，即()g x 在(,0)-∞上单调递减，又(0)0g = 因此()g x 在(0,)+∞上单调递减，因为f （﹣3）＝0，所以(3)0(3)0g g -=∴=， 当(3,0)x ∈-时，()(3)0()0,()0g x g xf x f x <-=∴<>； 当(,3)x ∈-∞-时，()(3)0()0,()0g x g xf x f x >-=∴><； 当(0,3)x ∈时，()(3)0()0,()0g x g xf x f x >=∴>>； 当(3,)x ∈+∞时，()(3)0()0,()0g x g xf x f x <=∴<<； 综上，不等式f （x ）＞0的解集为（﹣3，0）∪（0，3） 故选：B 【点睛】
本题考查函数奇偶性、单调性、利用单调性解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.
10．C
解析：C 【解析】 函数()()
3
222113
f x x bx a c ac x =
+++-+无极值点，则导函数无变号零点，()2
22
2f x x bx a c ac +++'=- ，222222
1
0cos 22
a c
b b a
c ac B ac +-=--+≤⇒=≥
()0,(0,].3B B ππ∈∴∈故最大值为：3
π
．
故答案为C ．
11．C
解析：C 【分析】
求得y kx =与x y e =的图象相切时的k 值，结合图象可得结论． 【详解】
()()0g x f x kx =-=，()f x kx =，
作出()f x 的图象，及直线y kx =，如图，
∵0x ≤时，221y x x =-++是增函数，0x =时，1y =，无论k 为何值，直线y kx =与
()(0)y f x x =≤都有一个交点且只有一个交点，而()g x 有两个零点，
∴直线y kx =与()(0)x f x e x =>只能有一个公共点即相切．设切点为00(,)x y ，
()x f x e '=，00()x f x e '=，切线方程为0
00()-=-x
x y e e x x ，切线过原点，
∴0
00x x e
e x -=-⋅，01x =，∴(1)k
f e '==，
故选：C ．
【点睛】
方法点睛：本题考查函数零点个数问题，解题方法是把零点转化为直线与函数图象交点个数，再转化为求直线与函数图象相切问题．
12．A
解析：A 【分析】
先求得函数()f x 是R 上的奇函数，把不等式转化为()
2
2(1)f a f a ≤+，再利用导数求得
函数的单调性，在把不等式转化为221a a ≤+，即可求解. 【详解】
由题意，函数3
2
()42x
x
f x x x e e =-+-
的定义域为R ， 又由3
322()42e (42)()e x x
x x
f x x x x x e f x e -=-++
-=--+-=-， 所以()f x 是R 上的奇函数， 又因为222
22()342342230x x x x f x x e x e x e e
'=-++
≥-+⋅=≥， 当且仅当0x =时取等号，所以()f x 在其定义域R 上的单调递增函数，
因为()22(1)0f a f a +--≤，可得()
2
2(1)(1)f a f a f a ≤---=+，
所以221a a ≤+，解得
1
12
a ≤≤， 故实数a 的取值范围是1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
. 故选：A 【点睛】
利用函数的基本性质求解与函数有关的不等式的方法及策略： 1、求解函数不等式的依据是函数的单调性的定义. 具体步骤：①将函数不等式转化为12()()f x f x >的形式；
②根据函数()f x 的单调性去掉对应法则“f ”转化为形如：“12x x >”或“12x x <”的常规不等式，从而得解.
2、利用函数的图象研究不等式，当不等式问题不能用代数法求解时，常将不等式问题转化为两函数的图象上、下关系问题，从而利用数形结合求解.
二、填空题
13．【分析】原命题等价于有解再求的最小值即得解【详解】由题意得故存在切点使得所以有解因为所以（当且仅当时取等号）所以即则实数的取值范围是故答案为：【点睛】方法点睛：形如的有解问题等价于不是所以本题只要求
解析：[)1,-+∞. 【分析】
原命题等价于13t a t +=+有解，再求1t
t +的最小值即得解. 【详解】 由题意，得()1
f x x a x
'=
+-， 故存在切点()()
,P t f t ，使得13t a t
+-=， 所以13t a t
+=+有解，
因为0t >，所以12t t
+（当且仅当1t =时取等号）， 所以32a +， 即1a -，
则实数a 的取值范围是[)1,-+∞. 故答案为：[)1,-+∞.
【点睛】
方法点睛：形如()a f x =的有解问题，等价于[()]min a f x ≥，不是[()]max a f x ≥，所以本题只要求出1t
t +的最小值即得解.
14．【分析】连接交于点设求出构造函数利用导数研究函数的单调性从而得出时所得三棱锥体积最大时进而得解【详解】如图连接交于点连接由题意知所以所以设则三棱锥的高则三棱锥的体积令则令即解得所以当时在上单调递增； 解析：43
【分析】
连接OD ，交BC 于点G ，设OG x =，求出23BC x =，4532510V x x =⨯-，构造函数，利用导数研究函数的单调性，从而得出2x =时，所得三棱锥体积最大时，进而得解. 【详解】
如图，连接OD ，交BC 于点G ，连接OB ，
由题意，知OD
BC ，1
2
BG BC =
，30OBG ∠=︒， 所以，133tan 30236
OG BG BC BC =⨯︒=
⨯=，所以23BC OG =， 设OG x =，则23BC x =，5DG x =-， 三棱锥的高()
2
22252510h DG OG x x x =
-=
--=-
21
233332
ABC S x x x =⨯⨯=△，
则三棱锥的体积24511
3325103251033
ABC V S h x x x x =
⨯=⨯-=-△， 令()45
2510f x x x =-502x ⎛⎫<<
⎪⎝⎭
， 则()3
4
10050f x x x =-′，
令()0f x '=，即34100500x x -=，解得2x =，
所以，当02x <<时，()0f x >′，()f x 在()0,2上单调递增；
当5
22x <<
时，()0f x <′，()f x 在52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减， 所以，当2x =时，()f x 取得极大值，也是最大值， 此时，2343BC x ==，
所以，当所得三棱锥体积最大时，ABC 的边长为43. 故答案为：43. 【点睛】
本题考查三棱锥体积的计算及利用导数研究函数的最值问题，考查学生对这些知识的掌握能力，本题的解题关键是掌握根据导数求极值的方法，属于中档题.
15．【分析】设cm 根据已知条件求出包装盒的底面边长及高从而求得包装盒体积的关于x 的表达式利用导数研究体积的最大值即可【详解】设cm 则cm 包装盒的高为cm 因为cm 所以包装盒的底面边长为cm 所以包装盒的体积 解析：10
【分析】
设EF x =cm ，根据已知条件求出包装盒的底面边长及高从而求得包装盒体积的关于x 的表达式，利用导数研究体积(x)V 的最大值即可. 【详解】
设EF x =cm ，则302x AE BF -== cm ，包装盒的高为22
GE x = cm ， 因为302x AE AH -==
cm ，2A π∠=，所以包装盒的底面边长为2
=(30)2
HE x - cm ， 所以包装盒的体积为23
2222()[(30)](60900)224
V x x x x x x =-⋅=-+，030x <<， 则22
()(3120900)4
V x x x '=
-+，令()0V x '=解得10x =， 当(0,10)x ∈时，()0V x '>，函数(x)V 单调递增；当(10,30)x ∈时，()0V x '<，函数
(x)V 单调递减，所以3max 2()(10)(100060009000)10002()4
V x V cm ==-+=，即当
10EF cm =时包装盒容积3()V cm 取得最大值310002()cm .
故答案为：10
【点睛】
本题考查柱体的体积，利用导数解决面积、体积最大值问题，属于中档题.
16．【分析】将已知等价转化为函数与函数的图象有两个交点分别作出图象观察其只需满足二次函数顶点低于函数的顶点从而构建不等式解得答案【详解】函数与函数的图象有两个交点等价于函数与函数的图象有两个交点对函数求
解析：2
1,e e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝
⎭
【分析】
将已知等价转化为函数22y x ex a =-+与函数ln x
y x
=的图象有两个交点，分别作出图象，观察其只需满足二次函数顶点低于函数ln x
y x
=的顶点，从而构建不等式，解得答案. 【详解】
函数()y f x =与函数()y g x =的图象有两个交点， 等价于函数22y x ex a =-+与函数ln x
y x
=的图象有两个交点， 对函数ln x y x =求导，得21ln x
y x
-'=，()0,x e ∈,0y '>， 函数ln x
y x
=单调递增；(),x e ∈+∞,0y '<， 函数ln x
y x =
单调递减，在x e =处取得极大值，也是最大值为1e
， 对二次函数22y x ex a =-+，其对称轴为x e =，顶点坐标为()
2
,e a e -
分别作出图象，其若要有两个交点，则2
211a e a e e e
-<
⇒<+
故答案为：2
1,e e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝
⎭
【点睛】
本题考查由函数图象的交点个数求参数的取值范围，属于中档题.
17．【分析】由可得则设即求函数的最小值求导得出单调性即可得到答案【详解】由即且所以则设函数则令得令得所以函数在上单调递减在上单调递增则函数的最小值为所以的最小值为故答案为：【点睛】本题考查根据题目条件构 解析：
ln 2
2
【分析】
由()()12f x g x m ==，可得212ln ,m x m x e ==,则2
21ln m x x m e -=-，设()2
ln x h x x e
=-，即求函数()h x 的最小值，求导得出单调性即可得到答案.
【详解】
由()()12f x g x m ==，即12x
e ex m ==且0m >.
所以212ln ,m x m x e ==,则2
21ln m x x m e -=- 设函数()2ln x h x x e =-,则()2212x e
h x x e x ex
-'=-=
. 令()0h x '>，得2e x >
，令()0h x '<，得02
e
x <<
所以函数()h x
在0⎛ ⎝
上单调递减，在⎫
+∞⎪⎪⎭
上单调递增. 则函数()h x
的最小值为11
ln 222e h e =⨯-=. 所以21x x -的最小值为ln 22
故答案为：ln 2
2
【点睛】
本题考查根据题目条件构造函数，利用导数求函数的最小值，属于中档题.
18．【分析】当时函数的图像是函数的图像进行上下平移而得到的求出的单调区间作出其图像可得在上函数至多有2个零点又当时则在上函数至多有1个零点根据条件所以在上有一个零点在上有2个零点则从而可得答案【详解】当
解析：()
22
【分析】
当0x >时，函数()f x 的图像是函数4ln x
y x
=
的图像进行上下平移而得到的,求出4ln x
y x
=
的单调区间，作出其图像，可得在()0+∞，
上，函数()f x 至多有2个零点，又当20x -<≤时，()2
010f m =--<，则在()20-，
上，函数()f x 至多有1个零点，根据条件所以()f x 在20x -<≤上有一个零点，在()0,∞+上有2个零点，则
()()()222
042022210m e m f e e e m m +⎧>⎪⎪
+⎪
=-
>⎨⎪
⎪--⨯--->⎪⎩
，从而可得答案. 【详解】
当0x >时，函数()f x 的图像是函数4ln x
y x
=的图像进行上下平移而得到的. 又由函数4ln x y x =有()241ln x y x
-'=. 由()241ln 0x y x -'=
>，得x e <，()241ln 0x y x
-'=<，得x e >. 所以函数4ln x
y x
=
在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减,图像如图.
当1x >时，4ln 0x
y x
=
>.
所以在()0+∞，
上，函数()f x 至多有2个零点. 当20x -<≤时，()2
2
21f x x mx m =---，()2
010f m =--<，其对称轴为x m =.
此时二次方程22210x mx m ---=有两相异号的实根.
所以在()20-，
上，函数()f x 至多有1个零点. 因为函数()f x 在区间()2,-+∞上有且只有三个零点.
所以()f x 在20x -<≤上有一个零点，在()0,∞+上有2个零点.
则()()()222042022210m e m f e e e m m +⎧>⎪⎪
+⎪
=->⎨⎪
⎪--⨯--->⎪⎩
，解得:272m <
故答案为：()
27,2 【点睛】
本题考查根据函数的零点个数求参数的取值范围，属于中档题.
19．【分析】求出函数的导数问题转化为和在上有2个交点根据函数的单调性求出的范围从而求出的范围即可【详解】若函数有两个极值点则和在上有2个交点时即递增时递减故（1）而恒成立所以故答案为：【点睛】本题考查了
解析：2(0,)e
. 【分析】
求出函数的导数，问题转化为y a =和2()x x
g x e
=在R 上有
2个交点，根据函数的单调性求出()g x 的范围，从而求出a 的范围即可． 【详解】
()2x f x ae x '=-，
若函数2()x f x ae x =-有两个极值点， 则y a =和2()x
x
g x e =在R 上有2个交点， 22()x
x
g x e -'=
， (,1)x ∈-∞时，即()0g x '>，()g x 递增，
(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 递减，
故()max g x g =（1）2e
=， 而
20x x
e >恒成立，所以20a e
<<， 故答案为：2
(0,)e
． 【点睛】
本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．
20．【分析】作出函数的图象结合图象可求实数的取值范围【详解】当时当时函数为增函数；当时函数为减函数；极大值为且；作出函数的图象如图方程则或由图可知时有2个解所以有五个不相等的实数根只需要即；故答案为：【
解析：1
(0,)2
【分析】
作出函数21ln ,0()log ,0x
x f x x
x x +⎧>⎪
=⎨⎪<⎩
的图象，结合图象可求实数m 的取值范围. 【详解】
当0x >时，2ln ()x
f x x
'=-
，当
01x <<时，()0f x '>，函数为增函数； 当1x >时，()0f x '<，函数为减函数；极大值为(1)1f =，且x →+∞，()0f x →；
作出函数21ln ,0()log ,0x
x f x x x x +⎧>⎪
=⎨⎪<⎩
的图象，如图，
方程2()2()0()f x mf x m R -=∈，则()0f x =或()2f x m =，
由图可知()0f x =时，有2个解，所以2()2()0f x mf x -=有五个不相等的实数根，只需要021m <<，即102
m <<； 故答案为：1(0,)2
. 【点睛】
本题主要考查导数的应用，利用研究方程根的问题，作出函数的简图是求解的关键，侧重考查数学抽象的核心素养.
三、解答题
21．（1）取BC 为152cm 时，矩形ABCD 的面积最大，最大值为2900cm ；（2）取
BC 为103cm 时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为
60003
π
.
【分析】
（1）设BC x =，矩形ABCD 的面积为S ，()
22229002900S x x x x =-=-，利用基本不等式求解最值；
（2）设圆柱底面半径为r ，高为x ，体积为V .由229002AB x r π=-=，得
2900x r π
-=
，()231900V r h x x ππ==-，其中030x <<，利用导函数求解最值.
【详解】 （1）连结OC .
设BC x =，矩形ABCD 的面积为S . 则22900AB x =-030x <<.
所以()
222900900S x x ==+-=.
当且仅当22900x x =-，即x =时，S 取最大值为2900cm .
所以，取BC 为时，矩形ABCD 的面积最大，最大值为2900cm . （2）设圆柱底面半径为r ，高为x ，体积为V .
由2AB r π==，得r π
=，
所以()2
3
1
900V r h x x ππ
==
-，其中030x <<.
由()2
1
90030V x π
=
'-=，得x =
因此()3
1
900V x x π
=
-在(上是增函数，在()
上是减函数.
所以当x =V .
取BC 为时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为3cm π
.
【点睛】
此题考查函数模型的应用：
（1）合理设未知数，建立函数关系，需要注意考虑定义域； （2）利用基本不等式求最值，要注意最值取得的条件；
（3）利用导函数讨论函数单调性求解最值，注意自变量的取值范围. 22．（1）()0,∞+；（2）5022,3
3⎡⎤
--⎢⎥⎣⎦. 【分析】
（1）先由函数奇偶性，得到0a =，得出()3
13
f x x bx =-
+，对其求导，分别讨论0b ≤和0b >两种情况，根据导数的方法判定函数单调性，结合零点个数，即可求出结果； （2）先对函数求导，根据极大值求出2,
5.
a b =-⎧⎨=⎩，根据函数单调性，即可求出值域.
【详解】
（1）∵()f x 是定义域为R 的奇函数，所以0a =，且()00f =． ∴()3
13
f x x bx =-
+， ∴()2
f x x b '=-+．
当0b ≤时，()2
0f x x b '=-+≤，此时()f x 在R 上单调递减，
()f x 在R 上只有一个零点，不合题意．
当0b >时，()2
0f x x b '=-+>，解得x <<
∴()f x 在(,-∞，
)+∞上单调递减，在(上单调递增，
∵()f x 在R 上有三个零点，∴0f >且(0f <，
即3
103
f
=-
+>，即0>，
而0>恒成立，∴0b >． 所以实数b 的取值范围为()0,∞+． （2）()2
2f x x ax b '=-++，
由已知可得()1120f a b '=-++=，且()122133
f a b ab =-
+++=-， 解得2,
3,a b =⎧⎨=-⎩
或2,5.a b =-⎧⎨=⎩
当2a =，3b =-时，
()321
2363
f x x x x =-+--，()243f x x x '=-+-，
令()0f x '≥，即2430x x -+-≥，解得13x ≤≤， 令()0f x '<，即2430x x -+-<，解得1x <或3x >，
即函数()f x 在(),1-∞上单调递减，在()1,3上单调递增，在()3,+∞上单调递减； 所以1x =是()f x 的极小值点，与题意不符． 当2a =-，5b =时，()3
2125103
f x x x x =-
-+-，()245f x x x '=--+． 令()0f x '≥，即2450x x --+≥，解得51x -≤≤； 令()0f x '<，即2450x x --+<，解得5x <-或1x >，
即函数()f x 在(),5-∞-上单调递减，在()5,1-上单调递增，在()1,+∞上单调递减； 所以1x =是()f x 的极大值点，符合题意，故2a =-，5b =． 又∵[]1,2x ∈-，∴()f x 在[]1,1-上单调递增，在[]1,2上单调递减． 又()5013f '-=-
，()2213f =-，()3223
f =-． 所以()f x 在[]1,2-上的值域为5022,3
3⎡⎤
--⎢⎥⎣⎦． 【点睛】 思路点睛：
导数的方法求函数零点的一般步骤：
先对函数求导，由导数的方法求出函数的单调性区间，根据函数极值的定义，求出函数的的极值，再根据函数函数的零点个数，确定极值的取值情况，进而可得出结果.
23．（1）答案见解析；（2）
⎛⎫
⎪+∞⎪⎭
. 【分析】
（1）()21221211
ax ax f x ax x x +-'=-=
++，令()2
221g x ax ax =+-，分两种情况讨论，判断方程()0g x =根的个数即可；
（2）由（1）知()00g x =，即2
02210ax ax +-=，()
2
001
2a x x =
+
，先求得01x ，进而可得答案即可.
【详解】
（1）()21221211
ax ax f x ax x x +-'=-=
++，令()2
221g x ax ax =+- 当0a >时，由()10g -<知，()g x 在()1,-+∞有唯一零点， 故()f x 在()1,-+∞有一个极值点；
当0a <时，()10g -<，()g x 的对称轴为1
2
x =-，
若方程()0g x =的0∆>，即2480a a +>，2a <-时，()g x 在()1,-+∞有两个零点，
()f x 在()1,-+∞有两个极值点；
若方程()0g x =的0∆≤，即2480a a +≤，20a -≤<时，()0g x ≤，
()f x 在()1,-+∞上单减，无极值点.
（2）由（1）知()00g x =，即20
02210ax ax +-=，()
2
001
2a x x =
+……（*） 由0a >且010x +>得00x >，又∵()()
001
21f x x >-
+，
∴()()
2
0001
ln 121ax x x -+>-
+
代入（*）式，()()()
00
001
ln 12121x x x x -+>-++， 即
()01
ln 102
x -+>
解得01x <，
∴001x <<，
∴.()
2
0012a x x ⎛⎫
⎪=∈+∞⎪+⎭
. 【点睛】
求函数()f x 极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数f
x ；(3) 解方程()0,f x '=求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查f
x 在0f
x
的根0x 左右两侧
值的符号，如果左正右负（左增右减），那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正（左
减右增），那么()f x 在0x 处取极小值. 24．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】
（1）构造函数()1x f x e x =--，求函数的最小值大于等于零即可；
（2）由（1）得1n e n ≥+，n N +∈，两边取对数得ln(1)n n ≥+，进而得1
1ln(1)n n ≥+，即1
(1)n n e +≤. 【详解】
解：（1）构造函数()1x f x e x =--，x ∈R
()1x f x e =-'，令()0f x '=，则0x =
当x 在R 上变化时，()f x ，()'f x 变化如下表：
从而：min 则：10x e x --≥
则：1x e x ≥+在R 上恒成立.
（2）由（1）可得：1x e x ≥+在R 上恒成立， 则n ∈+N 时，1n e n ≥+， 两边取对数，有：ln(1)n n ≥+ 则：1
1ln(1)n n
≥
+ 则：11ln(1)n
n ≥+， 从而：1
(1)n e n ≥+ 【点睛】
本题考查利用导数证明不等式，考查化归转化思想，是中档题.
25．（1）2a =-（2）21(,2),1e e ⎛⎫
+-∞-+∞ ⎪-⎝⎭
【分析】
（1）将(),()f x g x 的解析式代入曲线()()y f x g x =-，根据导数几何意义及垂直直线的
斜率关系即可求得a 的值；
（2）将0x 代入导函数(),()f x g x ''，并代入不等式中化简变形，构造函数
1()ln a
m x x a x x
+=-+
，求得()m x '并令()0m x '=，对a 分类讨论即可确定满足题意的a 的取值范围.
【详解】
（1）由2
1()()ln 2
y f x g x x a x =-=-， 得()a y x x x
'=-
.在2x =处的切线斜率为22a -，
直线370x y +-=的斜率为1
3-
， 由垂直直线的斜率关系可知232
a
-=， 解得2a =-. （2）2
1(),()ln 2
f x x
g x a x =
=， 则(),()a f x x g x x
'='=， 不等式()()()()00001f x g x g x f x ''+
<-'等价于0000
1ln a
x a x x x +<-. 整理得000
1ln 0a
x a x x +-+
<. 构造函数1()ln a
m x x a x x
+=-+
， 由题意知，在[]1,e 上存在一点0x ，使得()00m x <.
2222
1(1)(1)(1)
()1a a x ax a x a x m x x x x x +--+--+'=--==
. 因为0x >，所以10x +>，令0m
x '=（），得1x a =+. ①当11a +≤，即0a ≤时，()m x 在[]1,e 上单调递增.只需()120m a =+<，解得
2a <-.
②当11a e <+≤即01a e <≤-时，()m x 在1x a =+处取最小值.
令(1)1ln(1)10m a a a a +=+-++<即11ln(1)a a a ++<+， 可得
11
ln(1)(*)a a a
++<+. 令1t a =+，即1t e <≤，不等式（*）可化为
1
ln 1
t t t +<-： 因为1t e <≤，所以不等式左端大于1，右端小于等于1，所以不等式不能成立. ③当1a e +>，即1a e >-时，()m x 在[]1,e 上单调递减，
只需1()0a m e e a e +=-+<，解得21
1
e a >e +-. 综上所述，实数的取值范围是21(,2),1e e ⎛⎫
+-∞-+∞
⎪-⎝⎭
. 【点睛】
本题考查了导数的几何意义及由垂直关系求参数，导函数在解不等式中的应用，构造函数法分析函数的单调性、最值的综合应用，属于中档题.
26．（1）23055元；（2）保护罩为底面边长为2米，高为4米的正四棱柱 【分析】
（1）根据定义先求保险费用，再计算正四棱柱体积，进而求气体费用，最后求和得结果； （2）先列出气体费用和保险费用之和函数关系式，再利用导数求最值，即得结果. 【详解】 （1）保险费用为
2
48000
76802.5
= 正四棱柱体积为22.5(2 2.5)⨯⨯
所以气体费用为2500[2.5(2 2.5)0.5]15375⨯⨯⨯-=
因此气体费用和保险费用之和为76801537523055+=（元）； （2）设正四棱柱底面边长为a 米，则 1.2a ≥ 因此气体费用和保险费用之和
23
22
4800048000500[(2)0.5]1000250y a a a a a
=
+⨯⨯-=+- 因为23
96000
300002y a a a
'=-
+=∴= 当2a >时，0y '>，当1.22a ≤<时，0y '<，
因此当2a =时，y 取最小值，
保护罩为底面边长为2米，高为4米的正四棱柱时，气体费用和保险费用之和最低. 【点睛】
本题考查利用导数求函数最值、列函数解析式，考查基本分析求解能力，属中档题.。