15.微专题：正方形中的典型模型问题

*微专题：正方形中的典型模型问题
◆模型一正方形对角线交点处含一直角的问题
一、通过全等转化求重叠部分的面积【教材P63实验与探究拓展】
1．(2017·秦皇岛海港区期末)如图，正方形ABCD边长为a，O为正方形ABCD的对角线的交点，正方形A1B1C1O绕点O旋转，则两个正方形重叠部分的面积为________．
第1题图变式题图
【变式题】将5个边长都是2cm的正方形如图摆放，点A，B，C，D分别是四个正方形对角线的交点，则阴影部分的面积为________．
二、证明相关线段长度的等量关系
2．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别在AB，BC上，且∠EOF＝90°.
(1)求证：OE＝OF；
(2)下列结论：①AE＝BF；②BE＋BF＝AD；③AE2＋CF2＝2OE2.其中正确的有__________(填序号)．
◆模型二正方形内部含互相垂直的两条线段
3．(2017·石家庄新华区期末)如图，点E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE与BF相交于点O.下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③AD＝OE；④S△AOB ＝S 四边形DEOF.其中正确的有()
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
◆模型三含一外角平分线问题
4．如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF＝90°，EF交正方形外角的平分线CF于F.求证：AE＝EF.
【变式题】如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，过B作BG⊥AE于G，延长BG 至点F使∠CFB＝45°.
(1)求证：∠BAG＝∠CBF；
(2)求证：AG＝FG.
参考答案与解析 1.14
a 2 【变式题】4cm 2 2．(1)证明：∵BD ，AC 为正方形ABCD 的对角线，∴OB ＝OC ，∠EBO ＝∠FCO ＝45°，∠BOF ＋∠FOC ＝90°.∵∠EOF ＝∠EOB ＋∠BOF ＝90°，∴∠EOB ＝∠FOC .在△EOB 和
△FOC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EBD ＝∠FCO ，BO ＝CO ，∠EOB ＝∠FOC ，
∴△EOB ≌△FOC (ASA)，∴OE ＝DF .
(2)解：①②③
3．B
4．证明：如图，取AB 的中点H ，连接EH .∵∠AEF ＝90°，∴∠2＋∠AEB ＝90°.∵四边形ABCD 是正方形，∴∠1＋∠AEB ＝90°，∴∠1＝∠2.∵E 是BC 的中点，H 是AB 的中点，∴BH ＝BE ，AH ＝CE ，∴∠BHE ＝45°.∵CF 是∠DCG 的平分线，∴∠FCG ＝45°，∴∠AHE
＝∠ECF ＝135°.在△AHE 和△ECF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝∠2，AH ＝EC ，∠AHE ＝∠ECF ，
∴△AHE ≌△ECF (ASA)，∴AE
＝EF .
【变式题】
(1)证明：∵BG ⊥AE ，∴∠AGB ＝90°，∴∠ABG ＋∠BAG ＝90°.∵∠CBF ＋∠ABG ＝90°，∴∠BAG ＝∠CBF .
(2)证明：如图，过点C 作CH ⊥BF 于H 点．∵∠CFB ＝45°，∴CH ＝HF .∵AG ⊥BF ，
CH ⊥BF ，∴∠AGB ＝∠BHC ＝90°.在△AGB 和△BHC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AGB ＝∠BHC ，∠BAG ＝∠CBH ，
AB ＝BC ，
∴△AGB ≌△BHC ，∴AG ＝BH ，BG ＝CH ＝HF .∵BH ＝BG ＋GH ，∴BH ＝HF ＋GH ＝FG ，∴AG ＝FG .
（赠品，不喜欢可以删除）
数学这个家伙即是科学界的“段子手”，又是“心灵导师”一枚。

它要是给你讲起道理来，那可满满的都是人生啊。

1.人生的痛苦在于追求错误的东西。

所谓追求错误的东西，就是你在无限趋近于它的时候，便无限远离了原点，却永远无法和它产生交点。

2.人和人就像数轴上的有理数点，彼此可以靠得很近很近，但你们之间始终存在无理的隔阂。

3.人是不孤独的，正如数轴上有无限多个有理点，在你的任意一个小邻域内都可以找到你的伙伴。

但人又是寂寞的，正如把整个数轴的无理点标记上以后，就一个人都见不到了。

4.零点存在定理告诉我们，哪怕你和他站在对立面，只要你们的心还是连续的，你们就能找到你们的平衡点。

5.有限覆盖定理告诉我们，一件事情如果是可以实现的，那么你只要投入有限的时间和精力就一定可以实现。

至于那些在你能力范围之外的事情，就随他去吧。

6.幸福是可积的，有限的间断点并不影响它的积累。

所以，乐观地面对人生吧！
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它要是给你讲起道理来，那可满满的都是人生啊。

1.人生的痛苦在于追求错误的东西。

所谓追求错误的东西，就是你在无限趋近于它的时候，便无限远离了原点，却永远无法和它产生交点。

2.人和人就像数轴上的有理数点，彼此可以靠得很近很近，但你们之间始终存在无理的隔阂。

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至于那些在你能力范围之外的事情，就随他去吧。

6.幸福是可积的，有限的间断点并不影响它的积累。

所以，乐观地面对人生吧！。