高中数学同步学案 二次函数的图象和性质——对称性

1．2.8 二次函数的图象和性质——对称性
函数的奇偶性
已知两组函数
(Ⅰ)f(x)＝x 2
与f(x)＝|x|； (Ⅱ)f(x)＝x 与f(x)＝1
x
.
(1)试分别作出它们的图象,并填写下表．
表一
x －3 －2 －1 0 1 2 3 f(x)＝x 2
f(x)＝|x|
表二
x －3 －2 －1 0 1 2 3 f(x)＝x f(x)＝1x
(2)观察这两组函数的图象,你能发现这两组函数各有什么几何特征？ (3)观察上面两个表格,你可以得出什么结论？
1．偶函数
如果对一切使F(x)有定义的x,F(－x)也有定义,并且F(－x)＝F(x)成立,则称F(x)为偶函数． 2．奇函数
如果对一切使F(x)有定义的x,F(－x)也有定义,并且F(－x)＝－F(x)成立,则称F(x)为奇函数．
1．对于函数f(x),若存在x,使得f(－x)＝f(x),则f(x)为偶函数,对吗？若使得f(－x)＝－f(x)呢？ [提示] 不对．必须是对定义域内的任意一个x,使得f(－x)＝f(x)(或f(－x)＝－f(x))．
2．函数y ＝x|x|,x ∈(－1,1]是奇函数,对吗？当x ∈[－1,1]且x≠0时呢？由此你能得出什么结论？
[提示] 不对,是非奇非偶函数．因为定义域(－1,1]含1但不含－1,f(－1)无意义．而当x ∈[－1,1]且x≠0时,是奇函数,由此可知,具有奇偶性的函数,其定义域必须关于原点对称.
二次函数的对称性
二次函数f(x)＝ax 2
＋bx ＋c(a≠0)的对称性
图 象
a>0
a<0
性 质
(1)抛物线开口向上,并向上无限延伸
(1)抛物线开口向下,并向下无限延伸 (2)对称轴是x ＝－b
2a ,顶点坐标
是－b 2a ,4ac －b 2
4a
(2)对称轴是x ＝－b
2a ,顶点坐标是－
b 2a ,4a
c －b 2
4a
试求二次函数y ＝x 2
＋2x －3的开口方向、对称轴、顶点坐标．
[提示] 由y ＝x 2
＋2x －3＝(x ＋1)2
－4知,a ＝1>0开口向上,对称轴是x ＝－1,顶点坐标为(－1,－4)．
判断函数的奇偶性
[例1] (1)f(x)＝|x ＋1|－|x －1|. (2)f(x)＝(x －1)·
1＋x
1－x
. (3)f(x)＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
1＋x ，x>0，
1－x ，x<0.
[思路点拨] 解答本题可以先确定定义域并考察定义域是否关于原点对称,最后确定f(x)与f(－x)的关系并得出结论．
[解] (1)函数的定义域为(－∞,＋∞),关于原点对称．
因为f(－x)＝|－x ＋1|－|－x －1|＝|x －1|－|x ＋1|＝－(|x ＋1|－|x －1|)＝－f(x)． ∴f(x)＝|x ＋1|－|x －1|是奇函数．
(2)由于1＋x
1－x ≥0,得－1≤x<1,其定义域不关于原点对称,所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(3)f(x)的定义域是(－∞,0)∪(0,＋∞),关于原点对称．
当x>0时,－x<0,
f(－x)＝1－(－x)＝1＋x ＝f(x)； 当x<0时,－x>0,
f(－x)＝1＋(－x)＝1－x ＝f(x)．
综上可知,对于x ∈(－∞,0)∪(0,＋∞),都有f(－x)＝f(x), f(x)为偶函数.
借题发
挥 判断函数的奇偶性,一般有以下几种方法：
(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称,则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称,则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x),或判断f(－x)±f(x)是否等于0,从而确定奇偶性．
(2)图象法：若函数图象关于原点对称,则函数为奇函数；若函数图象关于y 轴对称,则
函数为偶函数.
1．判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝x －1＋1－x ； (2)f(x)＝|x|＋x 2
； (3)f(x)＝1－x 2
＋x 2－1； (4)f(x)＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x －1，x>0，0，x ＝0，
x ＋1，x<0.
解：(1)∵⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －1≥0
1－x≥0，
∴x ＝1.定义域为{1}．不关于原点对称, ∴函数f(x)为非奇非偶函数． (2)f(x)＝|x|＋x 2
＝2|x|,
定义域为(－∞,＋∞),关于原点对称． 具有f(－x)＝2|－x|＝2|x|＝f(x), ∴f(x)为偶函数．
(3)∵⎩
⎪⎨⎪⎧
1－x 2
≥0，
x 2
－1≥0，
∴x ＝±1,这时f(x)＝0,定义域{－1,1}． ∴函数f(x)既是奇函数,又是偶函数．
(4)法一：显然定义域为(－∞,＋∞),关于原点对称． 当x>0时,－x<0,
则f(－x)＝1－x ＝－f(x), 当x<0时,－x>0,
则f(－x)＝－x －1＝－f(x)． 而f(－0)＝f(0)＝－f(0)＝0. ∴f(x)为奇函数．
法二：作出函数f(x)的图象,可知f(x)的图象关于原点对称,所以f(x)为奇函数.
奇偶函数的图象及应用
[例2] (1)奇函数y ＝f(x)(x ∈R)的图象必过点( ) A ．(a,f(－a)) B ．(－a,f(a)) C ．(－a,－f(a))
D ．(a,f(1
a
))
(2)设偶函数f(x)的定义域为[－5,5],若当x ∈[0,5]时,f(x)的图象如图所示,
则不等式f(x)<0的解集是________．
[思路点拨] 根据奇函数、偶函数的图象特征(对称性)求解．
[解析] (1)根据奇函数图象的特征：奇函数的图象关于原点对称,知点(a,f(a))在其图象上,则它关于原点的对称点(－a,－f(a))也必在其图象上．
(2)由于偶函数的图象关于y 轴对称,所以可根据对称性确定不等式f(x)<0的解．∵当x ∈[0,5]时,f(x)<0的解为2<x≤5,所以当x ∈[－5,0]时,f(x)<0的解为－5≤x<－2.
∴f(x)<0的解是－5≤x<－2或2<x≤5. [答案] (1)C (2){x|－5≤x<－2或2<x≤5} 借题发挥 (1)如果一个函数是奇函数,则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的对称图形；反之,如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数．
(2)如果一个函数是偶函数,则它的图象是以y 轴为对称轴的对称图形；反之,如果一个函数的图象是以y 轴为对称轴的对称图形,则这个函数是偶函数.
2．(1)如图①,给出奇函数y ＝f(x)的局部图象,作出y 轴右侧的图象并求f(3)的值； (2)如图②,给出偶函数的局部图象,比较f(1)与f(3)的大小,并作出它的y 轴右侧的图象．
解：(1)奇函数的图象关于原点成中心对称,因此图①为补充右侧图象后的图象,由图知f(3)＝－2. (2)偶函数的图象关于y 轴成轴对称,因此图②为补充右侧图象后的图象．由图象知f(1)>f(3)．
二次函数的对称性与最值
[例3] 已知二次函数f(x)＝x 2
－2x ＋2. (1)当x ∈[－3,0]时,求f(x)的最值． (2)当x ∈[－3,3]时,求f(x)的最值．
(3)当x ∈[t,t ＋1](t ∈R)时,求f(x)的最小值g(t)．
[思路点拨] 把二次函数配方确定对称轴,(1)(2)根据区间直接求最值,(3)利用对称轴和区间的关系,展开分类讨论．
[解] f(x)＝x 2
－2x ＋2＝(x －1)2＋1,其对称轴为x ＝1,开口向上． (1)当x ∈[－3,0]时,f(x)在[－3,0]上为减函数,
故当x ＝－3时,f(x)有最大值f(－3)＝17. 当x ＝0时,f(x)有最小值f(0)＝2. (2)当x ∈[－3,3]时,f(x)是先减后增, 当x ＝1时,f(x)有最小值f(1)＝1. ∵|－3－1|>|3－1|,
∴当x ＝－3时,f(x)有最大值f(－3)＝17.
(3)①当t ＋1≤1,即t≤0时,由图(1)知,截取减区间上的一段,g(t) ＝f(t ＋1)＝t 2＋1；
②当1＜t ＋1≤2,即0＜t≤1时,正巧将顶点截取在内,g(t)＝f(1)＝1(见图(2))； ③当t ＋1＞2,即t ＞1时,由图(3)可知,截取增区间上的一段,g(t)＝f(t)＝t 2
－2t
＋2.
综上可知,
g(t)＝⎩⎪⎨⎪
⎧
t 2
＋1， t≤0，1， 0＜t≤1，
t 2－2t ＋2， t ＞1.
借题发挥
二次函数在给定区间[m,n]上的最值求解有以下三种情况：
①对称轴与区间[m,n]都是确定的；
②动轴定区间,即对称轴不确定,区间[m,n]是确定的；
③定轴动区间,即对称轴是确定的,区间[m,n]不确定．
对于以上三种情况,①采用数形结合,较易解决；②和③应按对称轴和区间的位置关系分类求解,分轴在区间的左侧、内部、右侧三类.
3．已知函数f(x)＝x2－2ax＋2,x∈[－1,1],求函数f(x)的最小值．
解：函数f(x)的对称轴为x＝a,且开口向上,如图所示,
当a>1时,f(x)在[－1,1]上单调递减,
故f(x)min＝f(1)＝3－2a；
当－1≤a≤1时,f(x)在[－1,1]上先减后增,
故f(x)min＝f(a)＝2－a2；
当a<－1时,f(x)在[－1,1]上单调递增,
故f(x)min＝f(－1)＝3＋2a.
综上可知,f(x)min＝
⎩⎪
⎨
⎪⎧
3－2a，a>1，
2－a2，－1≤a≤1，
3＋2a，a<－1.
1．下列函数中,既是奇函数又是偶函数的是( )
A．f(x)＝x2－1＋1－x2
B．f(x)＝1－x＋x－1
C．f(x)＝
⎩⎪
⎨
⎪⎧x，x≥0，
－x，x＜0
D．f(x)＝
⎩⎪
⎨
⎪⎧1，x≥0，
－1，x＜0
解析：选A f(x)＝x2－1＋1－x2的定义域为{1,－1},
则f(x)＝0.故选A.
2．定义在R 上的偶函数f(x),在x>0上是增函数,则( ) A ．f(3)<f(－4)<f(－π) B ．f(－π)<f (－4)<f(3) C ．f(3)<f(－π)<f(－4) D ．f(－4)<f(－π)<f(3)
解析：选C f(－4)＝f(4),f(－π)＝f(π)． ∵f(x)在(0,＋∞)上单调递增, ∴f(3)<f(π)<f(4), 即f(3)<f(－π)<f(－4)．
3．二次函数y ＝1－6x －3x 2
的顶点坐标和对称轴方程分别为( ) A ．顶点(1,4),对称轴x ＝1 B ．顶点(－1,4),对称轴x ＝－1 C ．顶点(1,4),对称轴x ＝4 D ．顶点(－1,4),对称轴x ＝4
解析：选B ∵y ＝1－6x －3x 2
＝－3x 2
－6x ＋1＝－3(x 2
＋2x ＋1)＋4＝－3(x ＋1)2
＋4, ∴y ＝1－6x －3x 2
的顶点坐标为(－1,4),对称轴方程为x ＝－1.
4．若f(x)＝x 2＋(a ＋2)x ＋3,x ∈[a,b]的图象关于x ＝1对称,则b ＝________. 解析：若f(x)＝x 2＋(a ＋2)x ＋3,x ∈[a,b]的图象关于x ＝1对称, ∴a ＋b ＝2.－a ＋2
2＝1,
∴a ＝－4,∴b ＝2－a ＝6. 答案：6
5．若函数f(x)＝(x ＋1)(x －a)为偶函数,则a ＝________. 解析：∵f(x)为偶函数,∴f(－1)＝f(1)． 即0＝2(1－a),∴a ＝1. 答案：1
6．设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上是减函数,若f(1－m)<f(m),求实数m 的取值范围． 解：因为f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上是减函数, 所以f(x)在[－2,2]上是减函数． 所以不等式f(1－m)<f(m)等价于 ⎩⎪⎨⎪
⎧
1－m>m ，－2≤m≤2，－2≤1－m≤2，
解得－1≤m<1
2
.
所以实数m 的取值范围为⎣
⎢⎡⎭⎪⎫－1，12.
通过这节课的学习,你还能总结出奇偶函数的其他一些性质吗？
奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反．
奇(偶)函数除有对称性外,还有在公共的定义域内： ①两个奇(偶)函数的和与差仍为奇(偶)函数； ②两个奇(偶)函数的积是偶函数； ③一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数； ④函数f(x)与1
f x
有相同的奇偶性．
一、选择题
1．若函数f(x) 是R 上的奇函数,则下列关系式恒成立的是( ) A ．f(x)－f(－x)≥0 B ．f(x)－f(－x)≤0 C ．f(x)·f(－x)≤0
D ．f(x)·f(－x)≥0
解析：选C ∵f(x)是R 上的奇函数, ∴f(－x)＝－f(x),
∴f(x)·f(－x)＝f(x)·[－f(x)] ＝－[f(x)]2
≤0.
2．下列函数：①y ＝x 2
－x ；②y ＝x 2
－|x|；③y ＝x 3
－x
x －1
；④y ＝5；⑤y ＝|3x ＋2|－|3x －2|,其中具有
奇偶性的为( )
A ．①③⑤
B ．②③④
C ．②④⑤
D ．③④⑤
解析：选C 对于①,f(－1)＝2,f(1)＝0.
∴f(－1)≠f(1),且f(－1)≠－f(1),是非奇非偶函数．对于②,定义域为R,且f(－x)＝x 2
－|x|＝f(x),是偶函数；对于③,定义域为(－∞,1)∪(1,＋∞),不关于原点对称,∴不具有奇偶性．④中函数是偶函数．对于⑤,定义域为R,且满足f(－x)＝|－3x ＋2|－|－3x －2|＝－(|3x ＋2|－|3x －2|)＝－f(x)为奇函数．∴②④⑤具有奇偶性．
3．二次函数y ＝x 2
＋bx ＋c 的图象经过(1,0)与(2,5)两点,则这个二次函数( ) A ．过点(0,1)
B ．顶点为(1,－4)
C ．对称轴为x ＝－1
D ．与x 轴无交点
解析：选C ∵y ＝x 2
＋bx ＋c 的图象经过(1,0)与(2,5),
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
1＋b ＋c ＝04＋2b ＋c ＝5⇒⎩
⎪⎨
⎪⎧
b ＝2
c ＝－3,
∴f(x)＝x 2
＋2x －3＝(x ＋1)2
－4, ∴对称轴为x ＝－1.
4．已知偶函数f(x)在[0,＋∞)上单调递减,则f(1)和f(－10)的大小关系为( ) A ．f(1)>f(－10) B ．f(1)<f(－10)
C ．f(1)＝f(－10)
D ．f(1)和f(－10)关系不定
解析：选A ∵f(x)是偶函数,∴f(－10)＝f(10)． 又f(x)在[0,＋∞)上单调递减,且1<10, ∴f(1)>f(10),即f(1)>f(－10)． 二、填空题
5．(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,当x ∈(－∞,0)时,f(x)＝2x 3
＋x 2
,则f(2)＝________.
解析：由已知得,f(－2)＝2×(－2)3
＋(－2)2
＝－12, 又函数f(x)是奇函数,所以f(2)＝－f(－2)＝12. 答案：12
6．已知函数f(x)＝ax 2
＋bx ＋3a ＋b 是偶函数,且定义域为[a －1,2a],则a ＝________,b ＝________. 解析：∵f(x)为偶函数,∴对定义域内的任意实数x 都有f(－x)＝f(x)． ∴ax 2
－bx ＋3a ＋b ＝ax 2
＋bx ＋3a ＋b 恒成立．∴b ＝0.∴f(x)＝ax 2
＋3a. 又f(x)的定义域为[a －1,2a], ∴(a －1)＋2a ＝0,∴a ＝1
3.
答案：13 0
三、解答题
7．已知f(x)是R 上的奇函数,且当x>0时,f(x)＝－x 2
＋2x ＋2. (1)求f(x)的解析式；
(2)画出f(x)的图象,并指出f(x)的单调区间． 解：(1)设x<0,则－x>0,所以
f(－x)＝－(－x)2
－2x ＋2＝－x 2
－2x ＋2, 又∵f(x)为奇函数,
∴f(－x)＝－f(x),∴f(x)＝x 2
＋2x －2, 又f(0)＝0,
∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2
＋2x －2，x<0，0，x ＝0，
－x 2＋2x ＋2，x>0.
(2)先画出y ＝f(x)(x>0)的图象,利用奇函数的对称性可得到相应y ＝
f(x)(x<0)的图象,其图象如图所示．
由图可知,其增区间为[－1,0)和(0,1], 减区间为(－∞,－1]和[1,＋∞)． 8．已知函数y ＝f(x)＝－12x 2－3x －5
2.
(1)求这个函数的顶点坐标和对称轴；
(2)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－72＝158,不计算函数值,求f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－52；
(3)不直接计算函数值,试比较f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14与f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－154的大小．
解：y ＝－12x 2－3x －52＝－12(x 2
＋6x ＋5)
＝－12
(x ＋3)2
＋2.
(1)顶点坐标为(－3,2),对称轴为x ＝－3.
(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－72＝f(－3.5)＝f(－3－0.5) ＝f(－3＋0.5)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝15
8
.
(3)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3－34＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋34＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－94, ∵－14,－9
4
∈[－3,＋∞),
而f(x)在[－3,＋∞)上是减函数．
∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－94,即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14<f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－154.。