湖南省郴州市一中2022年高一数学第一学期期末质量检测试题含解析
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【详解】如图，在同一直角坐标系中分别作出函数 和 的图象，
因为对 ， ，故函数 的图象如图所示：
由图可知，当 时，函数 取得最小值 .
故答案为： .
14、2
【解析】由扇形的周长和面积，可求出扇形的半径及弧长，进而可求出该扇形的圆心角.
【详解】设扇形的半径为 ，所对弧长为 ，则有 ，解得 ，故 .
故答案为：2.
1．函数 ， 值域是()
A. B.
C. D.
2．已知向量 ， ，则 在 方向上的投影为
A. B.8
C. D.
3．若 ， ，则下列结论正确的是（）
A. B.
C. D.
4．某地一年之内12个月的降水量从小到大分别为：46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71，则该地区的月降水量20%分位数和75%分位数为（）
故答案为： ，
16、
【解析】设实数x∈[1,9]，
经过第一次循环得到x=2x+1，n=2，
经过第二循环得到x=2(2x+1)+1，n=3，
经过第三次循环得到x=2[2(2x+1)+1]+1，n=4此时输出x，
输出的值为8x+7，
令8x+7⩾55，得x⩾6，
由几何概型得到输出的x不小于55的概率为 .
当 时，令 ，即 ， ，不在定义域区间内，舍
所以函数 零点所在的区间为
故选：D
9、B
【解析】利用一元二次不等式的解法即得.
【详解】由 可得， ，
故不等式 的解集是 .
故选：B.
10、D
【解析】A项， 可能相交或异面,当 时，存在 ， ，故A项错误；
B项， 可能相交或垂直,当 时，存在 ， ，故B项错误；
（2）由题意得 使 成立，则只需 ，利用基本不等式，即可求得答案.
【详解】（1）因为 的解集为 ，
所以1,2即为方程 的两根，由韦达定理得 ，且 ，
解得 ， ，
又方程 有两个相等 实数根，
所以 ，即 ，
，解得 ，所以 ，
所以 ；
（2）由（1）可得 ， ，
所以 ，则 ， ，
又 ，当且仅当 ，即x=2时等号成立，
C项， 可能相交或垂直,当 时，存在 ， ，故C项错误；
D项，垂直于同一平面的两条直线相互平行，故D项正确,故选D.
本题主要考查的是对线，面关系的理解以及对空间的想象能力.
考点：直线与平面、平面与平面平行的判定与性质；直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
即实数 的取值范围为 ；
（2）由（1）知当 时， ，方程表示的直线的斜率不存在，
此时直线方程为 ；
（3）易知 且 时，直线在 轴上的截距存在.
依题意，令 ，得直线在 轴上的截距 ，解得
所以实数 的值为 ；
（4）易知 且 时，直线的斜率存在，方程即 ，故斜率为 .
因为直线的倾斜角是45°，所以斜率为1，所以 ，解得
,
所以该地区 月降水量的 分位数为 ;
所以该地区的月降水量的 分位数为 .
故选：B
5、B
【解析】根据特称命题的否定可得出结论.
【详解】由特称命题的否定可知，原命题的否定为： ， .
故选：B.
【点睛】本题考查特称命题否定的改写，解题的关键就是弄清特称命题的否定与全称命题之间的关系，属于基础题.
6、C
【解析】 ， ，即 ①，同理可得 ②，①+②得 ，故选C
【小问1详解】
解：因为函数 是定义在 上的奇函数，
所以 ，解得 ，
当 时， ，
此时 ，
故当 时，函数 为奇函数，
所以 ；
【小问2详解】
解：因为函数 的图象经过点 ，
所以函数 经过点 ，
故 ，
即 ，
当 时，函数 为增函数，故 ，
为使方程 有解，则 ，
所以 ；
【小问3详解】
解：原不等式成立即为 ，
当 时，函数 单调递增，故只要 即可，
所以 ，使 成立，等价为 成立，
所以 .
【点睛】已知解集求一元二次不等式参数时，关键是灵活应用韦达定理，进行求解，处理存在性问题时，需要 ，若处理恒成立问题时，需要 ，需认真区分问题，再进行解答，属中档题.
A.51，58B.51，61
C.52，58D.52，61
5．命题： ， ，则该命题的否定为（）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
6．已知菱形 的边长为2， ，点 分别在边 上， , .若 ，则 等于( )
A. B.
C. D.
7．已知命题“ ，使 ”是假命题，则实数 的取值范围是（）
A. B.
C. D.
考点：1．平面向量共线充要条件；2．向量的数量积运算
7、B
【解析】原命题等价于 恒成立，故 即可，解出不等式即可.
【详解】因为命题“ ，使 ”是假命题，
所以 恒成立，
所以 ，
解得 ，
故实数 的取值范围是
故选：B
8、D
【解析】题目中函数较为简单，可以直接求得对应的零点，从而判断所在区间即可
【详解】当 时，令 ，即 ，所以 ；
画出当 ， 时， 的图象，
将 在 ， 的图象向右平移 个单位（横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍），
再向左平移 个单位（横坐标不变，纵坐标变为原来的 倍），
由此得到函数 的图象如图：
当 ， 时， ， ， ，
又 ，所以 ，
令 ，由图像可得 ，则 ，解得 ，
所以当 时，满足对任意的 ， ，都有 ，
故 的范围为 ，
【点睛】本题考查扇形面积公式、弧长公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
15、 ，
【解析】作出当 ， 时， 的图象，将其图象分别向左、向右平移 个单位（横坐标不变，纵坐标变为原来的 或2倍），得到函数 的图象，令 ，求得 的最大值，可得所求范围
【详解】解：因为 满足 ，即 ；
又由 ，可得 ，
（3）由（1）知 的系数同为零时，直线在 轴上的截距存在，解得截距构建关系，即解得参数m；
（4）由（1）知， 的系数为零时，直线的斜率存在，解得斜率构建关系式，解得参数m.
【详解】解：（1）当 ， 的系数不同时为零时，方程表示一条直线
令 ，解得 或 ；
令 ，解得 或
所以 ， 的系数同时为零时 ，故若方程表示一条直线，则 ，
（2）请问是否存在这样的正数 ， ，当 时， ，且 的值域为 ？若存在，求出 ， 的值；若不存在，请说明理由.
20．如图所示，已知平面 平面 ，平面 平面 ， ，求证: 平面 .
21．已知二次函数 ，若不等式 的解集为 ，且方程 有两个相等的实数根.
（1）求 的解析式；
（2）若 ， 成立，求实数m的取值范围.
11、
【解析】先求得 ，然后利用向量运算求得
【详解】 ，
，
所以 ，
.
故答案为：
12、
【解析】根据 ＝ ，利用向量的线性运算转化即可.
【详解】在矩形ABCD中，因为O是对角线的交点，
所以 ＝ ,
故答案为： .
【点睛】本题考查平面向量的线性运算，较为容易.
13、
【解析】作出函数 的图象，结合图象即可得 的最小值.
根据题意， ，
因为 ，
则 ，得 .
又函数 在 上是减函数，所以 ，
由此得到： 是方程 的两个根，
解方程求得
所以，存在正实数 ，当 时， 且 的值域为
20、见解析
【解析】 平面 内取一点 ，作 于点 ， 于点 ，可证出 平面 ，从而 ，同理可证 ，故 平面 .
【详解】证明：如图所示，
在平面 内取一点 ，作 于点 ， 于点 ．因为平面 平面 ，且交线为 ，所以 平面 ．因为 平面 ，所以
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
同理可证 ．又 ， 都在平面 内，且 ，所以 平面
【点睛】本题主要考查了两个平面垂直的性质，线面垂直的性质，判定，属于中档题.
21、（1） ；（2） .
【解析】（1）根据 的解集为 ，可得1,2即为方程 的两根，根据韦达定理，可得b，c的表达式，根据 有两个相等的实数根.可得该方程 ，即可求得a的值，即可得答案；
令 ，则 ，
∵ ，∴ ，
∴ 对 恒成立，
由 得 ；由 得
∴ ；
同理，当 时，函数 单调递减，
故只要 即可，
∴ 对 恒成立，解得 ；
综上可知，当 时， ；
当 时，
18、（1） ；（2） ； ；（3） ；（4） .
【解析】（1）先令 ， 的系数同时为零时得到 ，即得 时方程表示一条直线；
（2）由（1）知 时 的系数为零，方程表示的直线的斜率不存在，即得结果；
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】令 ，求出g(t)的值域，再根据指数函数单调性求f(x)值域.
【详解】令 ，
则 ，
则 ，
故选：A.
2、D
【解析】依题意有投影为 .
3、C
【解析】根据不等式的性质，逐一分析选项，即可得答案.
18．已知方程
（1）若方程表示一条直线，求实数 的取值范围；
（2）若方程表示的直线的斜率不存在，求实数 的值，并求出此时的直线方程；
（3）若方程表示的直线在 轴上的截距为 ，求实数 的值；
（4）若方程表示的直线的倾斜角是45°，求实数 的值
19．设 是定义在 上的奇函数，且当 时， .
（1）求当 时， 的解析式；
12．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若 ，则 ＝________．(用 表示)
13．已知函数 ， ，对 ，用 表示 ， 中的较大者，记为 ，则 的最小值为______.
14．已知某扇形的周长是 ，面积为 ，则该扇形的圆心角的弧度数是______.
15．已知定义在R上的函数 满足 ，且当 时， ，若对任 都有 ，则m的取值范围是_________
8．函数 零点所在的区间是（）
A. B.
C. D.
9 是两条不同直线， 是三个不同平面，下列命题中正确的是（）
A.若 则 B.若 则
C.若 则 D.若 则
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．如图，矩形 中， ， ， 与 交于点 ，过点 作 ，垂足为 ，则 ______.
故答案为 .
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）1（2）
（3）答案见解析
【解析】（1）根据题意可得 ，即可得解；
（2）根据函数 的图象经过点 ，可得函数 经过点 ，从而可求得 ，在求出函数 在 时的值域，即可得出答案；
（3）原不等式成立即为 ，令 ，则 ，分 和 两种情况讨论，从而可得出答案.
【详解】对于A：因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，故A错误；
对于B：因为 ，所以 ，且 ，所以 ，故B错误；
对于C：因为 ，所以 ，又 ，所以 ，故C正确；
对于D：因为 ， ，所以 ，所以 ，故D错误.
故选：C
4、B
【解析】先把每月的降水量从小到大排列,再根据分位数的定义求解.
【详解】把每月的降水量从小到大排列为: 46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71，
16．已知实数 ，执行如图所示的流程图，则输出的x不小于55的概率为________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．定义在 上的函数 （ 且 ）为奇函数
（1）求实数 的值；
（2）若函数 的图象经过点 ，求使方程 在 有解的实数 的取值范围；
（3）不等式 对于任意的 恒成立，求实数 的取值范围.
所以实数 的值为
19、（1）当 时， （2） ，
【解析】（1）根据函数的奇偶性 ，求解解析式即可；
（2）根据题意，结合函数单调性，将问题转化为 是方程 的两个根的问题，进而解方程即可得答案.
【详解】（1）当 时， ，于是 .
因为 是定义在 上的奇函数，
所以 ，即 .
（2）假设存在正实数 ，当 时， 且 的值域为 ，
因为对 ， ，故函数 的图象如图所示：
由图可知，当 时，函数 取得最小值 .
故答案为： .
14、2
【解析】由扇形的周长和面积，可求出扇形的半径及弧长，进而可求出该扇形的圆心角.
【详解】设扇形的半径为 ，所对弧长为 ，则有 ，解得 ，故 .
故答案为：2.
1．函数 ， 值域是()
A. B.
C. D.
2．已知向量 ， ，则 在 方向上的投影为
A. B.8
C. D.
3．若 ， ，则下列结论正确的是（）
A. B.
C. D.
4．某地一年之内12个月的降水量从小到大分别为：46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71，则该地区的月降水量20%分位数和75%分位数为（）
故答案为： ，
16、
【解析】设实数x∈[1,9]，
经过第一次循环得到x=2x+1，n=2，
经过第二循环得到x=2(2x+1)+1，n=3，
经过第三次循环得到x=2[2(2x+1)+1]+1，n=4此时输出x，
输出的值为8x+7，
令8x+7⩾55，得x⩾6，
由几何概型得到输出的x不小于55的概率为 .
当 时，令 ，即 ， ，不在定义域区间内，舍
所以函数 零点所在的区间为
故选：D
9、B
【解析】利用一元二次不等式的解法即得.
【详解】由 可得， ，
故不等式 的解集是 .
故选：B.
10、D
【解析】A项， 可能相交或异面,当 时，存在 ， ，故A项错误；
B项， 可能相交或垂直,当 时，存在 ， ，故B项错误；
（2）由题意得 使 成立，则只需 ，利用基本不等式，即可求得答案.
【详解】（1）因为 的解集为 ，
所以1,2即为方程 的两根，由韦达定理得 ，且 ，
解得 ， ，
又方程 有两个相等 实数根，
所以 ，即 ，
，解得 ，所以 ，
所以 ；
（2）由（1）可得 ， ，
所以 ，则 ， ，
又 ，当且仅当 ，即x=2时等号成立，
C项， 可能相交或垂直,当 时，存在 ， ，故C项错误；
D项，垂直于同一平面的两条直线相互平行，故D项正确,故选D.
本题主要考查的是对线，面关系的理解以及对空间的想象能力.
考点：直线与平面、平面与平面平行的判定与性质；直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
即实数 的取值范围为 ；
（2）由（1）知当 时， ，方程表示的直线的斜率不存在，
此时直线方程为 ；
（3）易知 且 时，直线在 轴上的截距存在.
依题意，令 ，得直线在 轴上的截距 ，解得
所以实数 的值为 ；
（4）易知 且 时，直线的斜率存在，方程即 ，故斜率为 .
因为直线的倾斜角是45°，所以斜率为1，所以 ，解得
,
所以该地区 月降水量的 分位数为 ;
所以该地区的月降水量的 分位数为 .
故选：B
5、B
【解析】根据特称命题的否定可得出结论.
【详解】由特称命题的否定可知，原命题的否定为： ， .
故选：B.
【点睛】本题考查特称命题否定的改写，解题的关键就是弄清特称命题的否定与全称命题之间的关系，属于基础题.
6、C
【解析】 ， ，即 ①，同理可得 ②，①+②得 ，故选C
【小问1详解】
解：因为函数 是定义在 上的奇函数，
所以 ，解得 ，
当 时， ，
此时 ，
故当 时，函数 为奇函数，
所以 ；
【小问2详解】
解：因为函数 的图象经过点 ，
所以函数 经过点 ，
故 ，
即 ，
当 时，函数 为增函数，故 ，
为使方程 有解，则 ，
所以 ；
【小问3详解】
解：原不等式成立即为 ，
当 时，函数 单调递增，故只要 即可，
所以 ，使 成立，等价为 成立，
所以 .
【点睛】已知解集求一元二次不等式参数时，关键是灵活应用韦达定理，进行求解，处理存在性问题时，需要 ，若处理恒成立问题时，需要 ，需认真区分问题，再进行解答，属中档题.
A.51，58B.51，61
C.52，58D.52，61
5．命题： ， ，则该命题的否定为（）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
6．已知菱形 的边长为2， ，点 分别在边 上， , .若 ，则 等于( )
A. B.
C. D.
7．已知命题“ ，使 ”是假命题，则实数 的取值范围是（）
A. B.
C. D.
考点：1．平面向量共线充要条件；2．向量的数量积运算
7、B
【解析】原命题等价于 恒成立，故 即可，解出不等式即可.
【详解】因为命题“ ，使 ”是假命题，
所以 恒成立，
所以 ，
解得 ，
故实数 的取值范围是
故选：B
8、D
【解析】题目中函数较为简单，可以直接求得对应的零点，从而判断所在区间即可
【详解】当 时，令 ，即 ，所以 ；
画出当 ， 时， 的图象，
将 在 ， 的图象向右平移 个单位（横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍），
再向左平移 个单位（横坐标不变，纵坐标变为原来的 倍），
由此得到函数 的图象如图：
当 ， 时， ， ， ，
又 ，所以 ，
令 ，由图像可得 ，则 ，解得 ，
所以当 时，满足对任意的 ， ，都有 ，
故 的范围为 ，
【点睛】本题考查扇形面积公式、弧长公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
15、 ，
【解析】作出当 ， 时， 的图象，将其图象分别向左、向右平移 个单位（横坐标不变，纵坐标变为原来的 或2倍），得到函数 的图象，令 ，求得 的最大值，可得所求范围
【详解】解：因为 满足 ，即 ；
又由 ，可得 ，
（3）由（1）知 的系数同为零时，直线在 轴上的截距存在，解得截距构建关系，即解得参数m；
（4）由（1）知， 的系数为零时，直线的斜率存在，解得斜率构建关系式，解得参数m.
【详解】解：（1）当 ， 的系数不同时为零时，方程表示一条直线
令 ，解得 或 ；
令 ，解得 或
所以 ， 的系数同时为零时 ，故若方程表示一条直线，则 ，
（2）请问是否存在这样的正数 ， ，当 时， ，且 的值域为 ？若存在，求出 ， 的值；若不存在，请说明理由.
20．如图所示，已知平面 平面 ，平面 平面 ， ，求证: 平面 .
21．已知二次函数 ，若不等式 的解集为 ，且方程 有两个相等的实数根.
（1）求 的解析式；
（2）若 ， 成立，求实数m的取值范围.
11、
【解析】先求得 ，然后利用向量运算求得
【详解】 ，
，
所以 ，
.
故答案为：
12、
【解析】根据 ＝ ，利用向量的线性运算转化即可.
【详解】在矩形ABCD中，因为O是对角线的交点，
所以 ＝ ,
故答案为： .
【点睛】本题考查平面向量的线性运算，较为容易.
13、
【解析】作出函数 的图象，结合图象即可得 的最小值.
根据题意， ，
因为 ，
则 ，得 .
又函数 在 上是减函数，所以 ，
由此得到： 是方程 的两个根，
解方程求得
所以，存在正实数 ，当 时， 且 的值域为
20、见解析
【解析】 平面 内取一点 ，作 于点 ， 于点 ，可证出 平面 ，从而 ，同理可证 ，故 平面 .
【详解】证明：如图所示，
在平面 内取一点 ，作 于点 ， 于点 ．因为平面 平面 ，且交线为 ，所以 平面 ．因为 平面 ，所以
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
同理可证 ．又 ， 都在平面 内，且 ，所以 平面
【点睛】本题主要考查了两个平面垂直的性质，线面垂直的性质，判定，属于中档题.
21、（1） ；（2） .
【解析】（1）根据 的解集为 ，可得1,2即为方程 的两根，根据韦达定理，可得b，c的表达式，根据 有两个相等的实数根.可得该方程 ，即可求得a的值，即可得答案；
令 ，则 ，
∵ ，∴ ，
∴ 对 恒成立，
由 得 ；由 得
∴ ；
同理，当 时，函数 单调递减，
故只要 即可，
∴ 对 恒成立，解得 ；
综上可知，当 时， ；
当 时，
18、（1） ；（2） ； ；（3） ；（4） .
【解析】（1）先令 ， 的系数同时为零时得到 ，即得 时方程表示一条直线；
（2）由（1）知 时 的系数为零，方程表示的直线的斜率不存在，即得结果；
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】令 ，求出g(t)的值域，再根据指数函数单调性求f(x)值域.
【详解】令 ，
则 ，
则 ，
故选：A.
2、D
【解析】依题意有投影为 .
3、C
【解析】根据不等式的性质，逐一分析选项，即可得答案.
18．已知方程
（1）若方程表示一条直线，求实数 的取值范围；
（2）若方程表示的直线的斜率不存在，求实数 的值，并求出此时的直线方程；
（3）若方程表示的直线在 轴上的截距为 ，求实数 的值；
（4）若方程表示的直线的倾斜角是45°，求实数 的值
19．设 是定义在 上的奇函数，且当 时， .
（1）求当 时， 的解析式；
12．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若 ，则 ＝________．(用 表示)
13．已知函数 ， ，对 ，用 表示 ， 中的较大者，记为 ，则 的最小值为______.
14．已知某扇形的周长是 ，面积为 ，则该扇形的圆心角的弧度数是______.
15．已知定义在R上的函数 满足 ，且当 时， ，若对任 都有 ，则m的取值范围是_________
8．函数 零点所在的区间是（）
A. B.
C. D.
9 是两条不同直线， 是三个不同平面，下列命题中正确的是（）
A.若 则 B.若 则
C.若 则 D.若 则
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．如图，矩形 中， ， ， 与 交于点 ，过点 作 ，垂足为 ，则 ______.
故答案为 .
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）1（2）
（3）答案见解析
【解析】（1）根据题意可得 ，即可得解；
（2）根据函数 的图象经过点 ，可得函数 经过点 ，从而可求得 ，在求出函数 在 时的值域，即可得出答案；
（3）原不等式成立即为 ，令 ，则 ，分 和 两种情况讨论，从而可得出答案.
【详解】对于A：因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，故A错误；
对于B：因为 ，所以 ，且 ，所以 ，故B错误；
对于C：因为 ，所以 ，又 ，所以 ，故C正确；
对于D：因为 ， ，所以 ，所以 ，故D错误.
故选：C
4、B
【解析】先把每月的降水量从小到大排列,再根据分位数的定义求解.
【详解】把每月的降水量从小到大排列为: 46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71，
16．已知实数 ，执行如图所示的流程图，则输出的x不小于55的概率为________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．定义在 上的函数 （ 且 ）为奇函数
（1）求实数 的值；
（2）若函数 的图象经过点 ，求使方程 在 有解的实数 的取值范围；
（3）不等式 对于任意的 恒成立，求实数 的取值范围.
所以实数 的值为
19、（1）当 时， （2） ，
【解析】（1）根据函数的奇偶性 ，求解解析式即可；
（2）根据题意，结合函数单调性，将问题转化为 是方程 的两个根的问题，进而解方程即可得答案.
【详解】（1）当 时， ，于是 .
因为 是定义在 上的奇函数，
所以 ，即 .
（2）假设存在正实数 ，当 时， 且 的值域为 ，