考研数学一(多元函数微分学)模拟试卷3(题后含答案及解析)

考研数学一（多元函数微分学）模拟试卷3(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设函数f(x，y)在点(0，0)附近有定义，且f’x(0，0)=3，f’y(0，0)=1，则( )
A．dz｜(0,0)=3dx+dy．
B．曲面z=f(x，y)在点(0，0，f(0，0))处的法向量为{3，1，1}．
C．曲线，在点(0，0，f(0，0))处的切向量为{1，0，3}．
D．曲线，在点(0，0，f(0，0))处的切向量为{3，0，1}．
正确答案：C
解析：化曲线则该曲线在点(0，0，f(0，0))处的切向量为{1，0，f’x(0，0)}={1，0，3}，故选
C．知识模块：多元函数微分学
2．已知fx(x0，y0)存在，则=( )
A．fx(x0，y0)．
B．0．
C．2fx(x0，y0)．
D．fx(x0，y0)．
正确答案：C
解析：故选
C．知识模块：多元函数微分学
3．设f(x，y)=则f(x，y)在点(0，0)处( )
A．两个偏导数都不存在．
B．两个偏导数存在但不可微．
C．偏导数连续．
D．可微但偏导数不连续．
正确答案：B
解析：由偏导数定义，有故f(x，y)在(0，0)点不可微．应选
B．知识模块：多元函数微分学
4．已知为某二元函数u(x，y)的全微分，则a等于( )
A．0．
B．2．
C．1．
D．一1．
正确答案：B
解析：知识模块：多元函数微分学
5．函数f(x，y)在(0，0)点可微的充分条件是( )
A．
B．
C．
D．
正确答案：D
解析：可知，f(x，y)的两个一阶偏导数fx(x，y)和fy(x，y)在(0，0)点可微，故选
D．知识模块：多元函数微分学
6．设z=则该函数在点(0，0)处( )
A．不连续．
B．连续但偏导数不存在．
C．连续且偏导数存在但不可微．
D．可微．
正确答案：C
解析：存在，即x(x，y)在点(0，0)不可微，故选
C．知识模块：多元函数微分学
填空题
7．设f(x，y，z)=ex+y2z，其中z=Z(x，y)是由方程x+y+z+xyz=0所确定的隐函数，则f’x(0，1，一1)=_________．
正确答案：1
解析：已知f(x，y，z)=ex+y2z，那么有f’x(x，y，z)=ex+y2z’x．在等式x+y+z+xyz=0两端对x求偏导可得1+z’x+yz+xyz’x=0．由z=0，y=1，z=一1，可得z’x=0．故f’x(0，1，一1)=e0=1．知识模块：多元函数微分学
8．设f(x，y)=在点(0，0)处连续，则a=_________．
正确答案：0
解析：因为知识模块：多元函数微分学
9．设z==_________．
正确答案：
解析：知识模块：多元函数微分学
10．设f(x，y)=，则f’x(1，0)=_________．
正确答案：2
解析：由题干可知f(x，0)=x2，那么f’x(x，0)=2x．故f’x(1，0)=2x｜x=1=2．知识模块：多元函数微分学
11．设z=z(x，y)由方程z+e2=xy2所确定，则dz=_________．
正确答案：(y2dx+2xydy)
解析：知识模块：多元函数微分学
12．设函数f(u)可微，则f’(2)=2，则z=f(x2+y2)在点(1，1)处的全微分dz｜(1,1)=_________．
正确答案：4(dx+dy)
解析：由题干可知，dz=f’(x2+y2)(2xdx+2ydy)，则dz｜(1,1)=f’(2)(2dx+2dy)=4(dx+dy)．知识模块：多元函数微分学
13．设f(u，v)为二元可微函数，z=f(xy，yx)，则=_________．
正确答案：f’1.yxy—1+f’2.yxlny
解析：利用复合函数求偏导的公式，有=f’1.yxy—1+f’2.yxlny。

知识模块：多元函数微分学
14．设z==_________．
正确答案：yf”(xy)+φ’(x+y)+yφ”(x+y)
解析：由题干可得知识模块：多元函数微分学
15．设z=xg(x+y)+yφ(xy)，其中gφ、具有二阶连续导数，则=_________。

正确答案：g’(x+y)+xg”(x+y)+2yφ’(xy)+xy2φ”(xy)
解析：由题干可知，知识模块：多元函数微分学
16．设函数F(x，y)==_________
正确答案：4
解析：由题干可知，知识模块：多元函数微分学
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．设u=f(x，y，z)，φ(x2，ey，z)=0，y=sinx,其中f，φ都具有一阶连续偏导数，且．
正确答案：在等式u=f(x，y，z)的两端同时对x求导数，得到如下等式涉及知识点：多元函数微分学
18．设函数f(u)具有二阶连续导数，而z=f(exsiny)满足方程=e2xz，求f(u)．
正确答案：导到f”(u)一f(u)=0，解得f(u)=C2eu+C2e—u(其中C1，C2为任意常数)．涉及知识点：多元函数微分学
19．设y=y(x)，z=z(x)是由方程Z=xf(x+y)和F(x，y，z)=0所确定的函数，其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求．
正确答案：分别在z=xf(x+y)和F(x，y，z)=O的两端对x求导，得涉及知识点：多元函数微分学
20．设z=，其中f具有二阶连续偏导数，g具有二阶连续导数，求。

正确答案：根据复合函数的求导公式，有涉及知识点：多元函数微分学
21．设函数z=f(x，y)在点(1，1)可微，且f(1，1)=1，f’x(1，1)=2，f’y(1，1)=3，φ(x)=f(x),f(xx))，求．
正确答案：由已知得φ(1)=f(1，f(1，1))=f(1，1)=1，涉及知识点：多元函数微分学
22．设有一小山，取它的底面所在的平面为xOy坐标面，其底部所占的区域为D={(x，y)｜x2+y2一xy≤75}，小山的高度函数为h(x，y)=75一x2一y2+xy．(1)设M(x0，y0)为区域D上一点，问h(x，y)在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为g(x0，y0)，写出g(x0，y0)的表达式．(2)现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚下寻找一坡度最大的点作为攀登的起点．也就是说，要在D的边界线x2+y2一xy=75上找出使(1)中g(x，y)达到最大值的点．试确定攀登起点的位置．
正确答案：(1)由梯度向量的性质：函数h(x，y)在点M处沿该点的梯度方向(2)求g(x，y)在条件x2+y2一xy一75=0下的最大值点，即g2(x，y)=(y一2x)2+(x 一2y)2=5x2+5y2一8xy在条件x2+y2一xy一75=0下的最大值点．这是求解条件最值问题，用拉格朗日乘数法．构造拉格朗日函数L(x，y，λ)=5x2+5y2一8xy+λ(x2+y2一xy一75)，则有解此方程组得x=一y或λ=一2．若y=一x，则由(3)式得3x2=75，即x=±5，y=±5．若λ=一2，由(1)或(2)均得y=x，代入(3)式得x2=75，即x=±．于是得可能的条件极值点M1(5，
一5)，M2(一5，5)，M3．现比较f(x，y)=g2(x，y)=5x2+5y2一8xy在这些点的函数值，有f(M1)=f(M2)=450，f(M3)=f(M4)=150．因为实际问题存在最大值，而最大值又只可能在M1，M2，M3，M4中取到．因此g2(x，y)在M1，M2取得边界线D上的最大值，即M1，M2可作为攀登的起点．涉及知识点：多元函数微分学
23．设z=z(x，y)是由x2一6xy+10y2一2yz一z2+18=0确定的函数，求z=z(x，y)的极值点和极值．
正确答案：在方程x2一6xy+10y2一2yz一z2+18=0的两端分别对x，y求编导数，于是有涉及知识点：多元函数微分学
24．设函数f(u)在(0，+∞)内具有二阶导数，且z==0．(1)验证f”(u)+=0．(2)若f(1)=0，f’(1)=1，求函数f(u)的表达式．
正确答案：f(u)=lnu+C2，由f(1)=0可得C2=O，故f(u)=lnu．涉及知识点：多元函数微分学
25．已知曲线C：求曲线C距离xOy面最远的点和最近的点．
正确答案：点(x，y，z)到xOy面的距离为｜z｜，故求C上距离xOy面最远的点和最近的点的坐标等价于求函数H=z2在条件x2+y2一2z2=0，x+y+3z=5下的最大值点和最小值点．构造拉格朗日函数L(x，y，z，λ，μ) =z2+A(x2+y2一2z2)+μ(x+y+3z一5)，根据几何意义，曲线C上存在距离xOy面最远的点和最近的点，故所求点依次为(一5，一5，5)和(1，1，1)．涉及知识点：多元函数微分学
26．设z=f(xy，yg(x))，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导，且在x=1处取得极值g(1)=1，求。

正确答案：=f’1(xy，yg(x))y+f’2(xy，yg(x))yg’(x)，=f”11(xy，yg(x))xy+f”12(xy，yg(x))yg(x)+f’1(xy，yg(x)) +f”21(xy，yg(x))xyg’(x)+f”22(xy，yg(x))yg(x)g’(x)+f’2(xy，yg(x))g’(x)．由g(x)在x=1处取得极值g(1)=1，可知g’(1)=0．故=f”11(1，g(1))+f”12(1，g(1))g(1)+f’1(1，g(1)) +f”21(1，g(1))g’(1)+f”22(1，g(1))g(1)g’(1)+f’2(1，g(1))g’(1) =f”11(1，1)+f”12(1，1)+f’1(1，1)．涉及知识点：多元函数微分学
27．求f(x，y)=xe一上的极值．
正确答案：先求函数f(x，y)=xe一的驻点，f’x(x，y)=e一x=0，f’y(x，y)=一y=0，解得函数f(x，y)的驻点为(e，0)．又A=f”xx(e，0)=一1，B=f”xy(e，0)=0，C=f”yy(e，0)=一1，所以B2一AC＜0，A＜0．故f(x，y)在点(e，0)处取得极大值f(e，0)=e2．涉及知识点：多元函数微分学
28．求函数f(x，y)=(y+)ex+y的极值．
正确答案：先求驻点，令涉及知识点：多元函数微分学
29．求｜z｜在约束条件，下的最大值与最小值．
正确答案：｜z｜的最值点与z2的最值点一致，用拉格朗日乘数法，令F(x，y，z，λ，μ)=z2+A(x2+9y2一2z2)+μ(x+3y+3z一5)．则涉及知识点：多元函数微分学
30．试确定常数a与b，使得绎变换u=z+ay，v=x+by．可将方程=0，并求Z=z(x+ay，x+by)．
正确答案：根据链式法则，有按题意，应取1—4a+3a2=0．1—4b+3b2=0．即(1—3a)(1一a)=0，(1—3b)(1一b)=0．其解分别为涉及知识点：多元函数微分学。